PRAKTIKUM 1 SIMULASI GERAK JATUH BEBAS TUJUAN PRAKTIKUM 1. Menyelesaikan simulasi gerak jatuh bebas denngan algoritma Euler dan Runge- Kutta. 2. Membandingkan hasil dari pendekatan numerik dengan hasil analitis. 3. Mengintepretasikan grafik hasil. DASAR TEORI Misalkan sebuah partikel, misalnya sebuah bola di dekat permukaan bumi dikenai sebuah gaya tunggal, yaitu gaya grafitasi. Kita mengasumsikan ahwa gesekan dengan udara diabaikan, dan gaya grafitasi diberikan oleh (1-1) dimana m adalah massa bola dan g = 9.8 N/kg adalah medan grafitasi (gaya persatuan massa) di dekat permukaan bumi. Untuk menyederhanakan permasalaha, pertama kita mengasumsikan bahwa hanya ada satu arah gerak partikel yaitu gerak vertikal. Kita menggunakan hukum Newton kedua untuk memperoleh gerakan bola (1-2) dimana y adalah koordinat arah vertikal dan berharga positip, t adalah waktu, F adalah total gaya pada bola dan m adalah mass diam (yang samadengan massa grafitasi seperti pada (1-1)). Jjika kita set F =F g, (1-1) dan (1-2) menjadi Jurdik Fisika FMIPA Universitas Negeri Yogyakarta 2010 1
(1-3) Persamaan (1-3) merupakan pernyataan dari sebuah model gerakan bola. Dalam kasus ini model gerakan berupa persamaan diferensial orde dua. Solusi analitik dari persamaan (1-3) adalah (1-4) akan tetapi, yang akan kita lakukan adalah menentukan gerak jatuh bebas bola secara numerik dengan tujuan untuk mengenalkan tool yang diperlukan dalam menyelesaikan permasalahan yang sudah familiar bagi kita. Kita mulai dengan menjadikan pernyataan (1-3) menjadi dua persamaan diferensial berorde satu, yaitu (1-5) dimana v merupakan kecepatan bola pada arah vertikal. Selanjutnya, kita dapat mendekati ungkapan derivatif pada (1-5) dalam ungkapan beda hingga menjadi (1-6) Dari (1-6), dengan menyususun kembali ungkapan ini maka akan diperoleh (1-7) Dari ungkapan (1-7), kita dapat memperoleh posisi dan kecepatan bola pada setiap saat. Jurdik Fisika FMIPA Universitas Negeri Yogyakarta 2010 2
TUGAS 1. Selesaikan simulasi gerak partikel ini dengan algoritma Euler (lihat ungkapan (1-7)). Set syarat awal y t=0 =3.0 dan v t=0 =0 dan ukuran langkah h=0.1. 2. Buat grafik fungsi y dan v sebagai fungsi waktu. Cocokkan dengan hasil analitik (lihat ungkapan (1-4). 3. Kerjakan sekalai lagi, tetapi sekarang Anda menggunakan metode Runge Kutta orde 2. Bagaimana jika Anda bandingkan hasilnya dengan ketika Anda menggunakan metode Euler untuk ukuran langkah yang sama. Jurdik Fisika FMIPA Universitas Negeri Yogyakarta 2010 3
PRAKTIKUM 2 GAYA BERGANTUNG POSISI Penyelesaian analitik dari gerak jatuh bebas di dekat permukaan bumi seperti pada ungkapan (1-4) sudah sangat akrab dan penyelesaian numerik untuk masalah ini hanya untuk pengenalan metode numerik saja. Adalah tidak terlalu sulit untuk memikirkan model realistik untuk gerak jatuh bebas di dekat permukaan bumi yang mana persamaan geraknya tidak terlalu mudah untuk diselesaikan secara analitik. Sebagai contoh, jika kita mengingat kembali variasi medan grafitasi terhadap jarak dari pusat bumi, maka gaya pada partikel adalah tidak konstan. Menurut hukum Newton tentang grafitasi, bahwa gaya yang diakibatkan oleh bumi pada sebuah partikel bermassa m diberikan oleh (2-1) dimana y diukur dari permukaan bumi, R adalah jejari bumi, M adalah massa bumi, G adalah konstanta grafitasi dan g=gm/r. Illustration 1: (a) sistem koordinat dengan y posisitp ke arah vertikal ke atas, (b) diagram gaya untuk benda jatuh, (c ) diagram gaya untuk benda bergerak ke atas. Jurdik Fisika FMIPA Universitas Negeri Yogyakarta 2010 4
Untuk patikel di dekat permukaan bumi, modifikasi yang mungkin penting adalah dengan memasukkan gaya gesek kadena resistensi udara. Arah dari gaya gesek F d v berlawanan dengan arah kecepatan partikel (Lihat ilustrasi 1). Untuk benda yang jatuh F d v berarah ke atas. Oleh sebab itu, gaya total F pada benda jatuh dapat dinytakan dengan (2-2) Selanjutnya, kita perlu menentukan bentuk F d v secara empirik. Salah satu cara yang dapat digunakan untuk menentukan F d v ini adalah dengan mengukur y sebagai fungsi t, kemudian menentukan v t dengan menghitung derivatif numerik dari y. Demikian pula, kita dapat menentukan secara numerik dari percepatan a t dengan menggunakan v t.dengan demikian kita dapat menentukan percepatan sebagai fungsi v kemudian menentukan F d v dari (2-2). Akan tetapi, cara ini akan menimbulkan kesalahan karena akurasi dari derivatif akan lebih rendah dari posisi yang terukur. Cara alternatif yang dapat dipilih adalah dengan cara sebaliknya, yaitu kita berasumsi bahwa F d secara ekspilisit bergantung pada v. kemudian menggunakannya untuk menentukan y t. Apabila perhitungan terhadap y(t) sesuai dengan hasil eksperimen y(t), maka asumsi bahwa F d bergantung kepada v adalah benar. Dua asumsi yang umum digunakan untuk menggambarkan ketergantungan F d terhadap v adalah F 1,d =C 1 v (2-3a) dan F 2,d =C 2 v 2 (2-3b) dimana parameter C 1 dan C 2 bergantung kepada sifat mediaum dan bentuk dari Jurdik Fisika FMIPA Universitas Negeri Yogyakarta 2010 5
benda. Oleh karena F d semakin besar ketika v bertambah, maka terdapat sebuah kecepatan terminal (terminal velocity) atau kecepatan batas (limiting velocity) yang mana pada saat itu jumlah gaya yang bekerja pada benda jatuh sama dengan nol. Kecepatan terminal ini dapat diperoleh dari ungkapan (2-2) dan (2-3) dengan mensetting F d =mg, sehingga diperoleh (2-4) Selanjutnya, jika ungkapan pada (2-3) menggunakan ungkapan kecepatan terminal (2-4) maka diperoleh (2-5) Dengan demikian, gaya total yang bekerja pada benda jatuh seperti pada ungkapan (2-2) dapat dinyatakan dalam dua bentuk, F 1 v = mg 1 v v 1,t (2-6a) F 2 v = mg v2 1 2 v 2,t Gaya total per satuan massa dapat dinyatakan dari (2-6) yaitu (2-6b) Jurdik Fisika FMIPA Universitas Negeri Yogyakarta 2010 6
F 1 v / m= g 1 v v 1,t (2-7a) F 2 v /m= g v2 1 2 v 2,t (2-7b) Untuk menentukan bahwa pengaruh gesekan dengan udara selama benda jatuh, maka pandanglah sebuah kerikil dengan massa m = 10-2 kg. Pendekatan yang cocok untuk masalah ini adalah bahwa drag force sebanding dengan v 2. Untuk kerikil dengan radius 0.01 m, secara empirik C 2 bernilai sekitar 10-4 kg/m. Dari (2-4), maka kita dapat peroleh bahwa kecepatan terminalnya sekitar 30 m/s. Dari hasil running program, kecepatan terminal dapat diperoleh ketika benda jatuh sejauh 50 m pada sekitar 3 detik. #include<stdio.h> #include<math.h> main(){ float v,vo,temp,g,h,v2,t,y,yo; double i,n; printf("masukkan ketinggian awal yo :");scanf("%f",&yo); printf("masukkan kecepatan awal vo :");scanf("%f",&vo); h=0.01; //step size g=9.8; //percepatan grafitasi N=1000; y=yo; v=vo; //inisialsisasi untuk v v2=30.0; for (i=1;i<=n;i++){ t=i*h; y=y+v*h; Jurdik Fisika FMIPA Universitas Negeri Yogyakarta 2010 7
v=v-g*h*(1.0-v*v/(v2*v2));; if (y<0) break; temp=v; printf("%f %f %f \n",t,v,y); } } TUGAS 1. Lihat tabel 1, gunakan data empirik dalam tabel tersebut untuh tinggi y t dari penyaring kopi seperti terlihat pada illustration 2 untuk menentukan kecepatan v t dengan menngunakan pendekatan beda terpusat. Tabel 1. Data empirik untuk penyaring kopi yang jatuh dalam dalam minuman koopi 2. Tentukan jika kita menuliskan percepatan sebagai a t v t t v t t kemudian menggunakan pendekatan beda mundur untuk kecepatan Jurdik Fisika FMIPA Universitas Negeri Yogyakarta 2010 8
v t y t y t t t, maka kita dapat menyatakan percepatan sebagai (2-8) Selanjutnya, gunakan (2-8) ini untuk mencari perceptannya. 3. Tentukan kecepatan terminal dari data pada Tabel 1. Penentuan ini sulit, karena kecepatan terminal tidak tercapai selama waktu jatuhnya penyering kopi. Gunakan hasil perkiraan Saudara untuk v t dan a t untuk mengeplot a sebagai fungsi v. Jurdik Fisika FMIPA Universitas Negeri Yogyakarta 2010 9
PRAKTIKUM 3 LINTASAN GERAK BENDA 2 DIMENSI Mungkin kita sudah familiar dengan masalah lintasan gerak dalam 2 dimensi tanpa kehadiran gesekan udara. Sebagai contoh, sebuah bola dilempar ke udara dengan kecepatan awal v 0 dengan sudut lempar 0 (besar sudut terhadap tanah). Seberapa jauh bola akan meninggalkan pelempar pada arah horisontal dan berapa tinggi maksimum yang dicapai oleh bola serta berapa lama bola akan terbang di angkasa? Misalnya bola dilepas pada ketinggian tertentu, berapa sudut lemparan untuk jangkauan maksimum? Apakah jawaban Anda masih berlaku apabila gerakan sudah dipengaruhi oleh gesekan udara. Pandanglah sebuah benda dengan massa m dengan kecepatan awal v 0 diarahkan dengan sudut 0 di atas horosontal. Partikel dipengaruhi oleh gaya graffitasi dan gaya gesek udara yaitu mg dan F d, arah dari gaya selalu berlawanan arah dengan arah kecepatan benda Illustration 2: (a) Bola dilempar dari ketinggian h dengan sudut lemparan 0 dihitung dari horisontal dan kecepatan awal v 0 (b) gaya grafitasi dan gaya gesek pada benda yang bergerak. Jurdik Fisika FMIPA Universitas Negeri Yogyakarta 2010 10
sebagai Menurut hukum gerak Newton, komponen x dan y gerakan ini dapat dituliskan (3-1) Misalnya, kita pandang sebuah bola baja dengan radius 4 cm. Asumsi yang cocok untuk bola baja dengan ukuran ini adalah bergerak gaya gesekan sebesar F d =C 2 v 2. Oleh karena v x =v cos dan v y =vsin. Selanjutnya kita dapat menuliskan ungkapan (3-1) menjadi m dv x dt m dv y dt = C 2 v v x = mg C 2 v v y (3-2) Ingat, bahwa C 2 vv x dan C 2 vv y merupakan komponen x dan y dari gaya gesek F d =C 2 v 2. Oleh karena (3-9) pada perubahan v x dan v y melibatkan kuadrat dari komponen kecepatan ini, yaitu v 2 =v x 2 v y 2, maka kita tidak dapat menghitung gerak vertikal tanpa memperhitungkan komponen horizontal, artinya bahwa gerak pada arah x dan y adalah terkopel. Tugas 1. Buatlah program komputer untuk menghitung trayektori dua dimensi dari bola yang bergerak di udara tanpa pengaruh gaya gesek dengan udara kemudian buatlah plot y sebagai fungsi x. Bandingkan hasil perhitungan Anda dengan hasil eksak. Sebagai contoh, misalnya bola tersebut dilempar dari permukaan tanah dengan sudut 0 dengan kecepatan awal v 0 =15 m/s. Variasikan sudut 0 Jurdik Fisika FMIPA Universitas Negeri Yogyakarta 2010 11
dan perlihatkan bahwa tinggi maksimum terjadi pada range 0 = max =45 o. Dapatkan tinggi maksimum R max. Bandingkan hasil numerik dengan hasil analitik yaitu R max =v 0 2 / g. 2. Misalnya bola dilempar dari ketinggian tertentu, misalnya h, dengan sudut 0 diatas horisontal dengan kecepatan awal sama dengan (1). Jika Anda mengabaikan gesekan dengan udara, apakan Anda berharap bahwa max menjadi lebih besar atau lebih kecil dari 45 o? Hitunglah max untuk h=2 m. Berapa persen perubahan R jika divariasikan 2% dari max. 3. Sekarang perhitungkan efek gesekan dengan udara. Untuk bola dengan massa 7 kg dan tampang lintang 0.01 m 2, parameter C 2 0.1. Apakah satuan untun C 2. Hitunglah sudut optimum untuk h=2 m, v 0 =30 m/ s, C 2 /m=0.1, bandingkan hasil Saudara dengan poin (2). Apakah R lebih atau kurang sensitif terhadap perubahan 0 dari max dibandingkan dengan (2). Tentukan sudut optimum lemparan untuk parameter C 2 =0.1. Sebagai ilustrasi, tulislah program dan tampilkan hasilnya dalam bentuk grafik. #include<stdio.h> #include<math.h> #define pi 3.14 main() { float temp_y,ymax,phi,c2,v,v0,vx,vx0,vy,vy0,x1,y1,y,y0,x,x0,h,theta0,t,m=5.0,g=9.8; double i,n; printf("masukkan kecepatan awal :");scanf("%f",&v0); printf("masukkan sudut lemparan :");scanf("%f",&theta0); printf("masukkan y0 :");scanf("%f",&y0); Jurdik Fisika FMIPA Universitas Negeri Yogyakarta 2010 12
printf("masukkan x0 :");scanf("%f",&x0); phi=pi/180.0*theta0; vx0=v0*cos(phi); vy0=v0*sin(phi); vx=vx0; vy=vy0; y=y0; x=x0; C2=0.10; N=10000; h=0.01; FILE*pf; pf=fopen("peluru2d.txt","w+"); for (i=1;i<=n;i++){ t=i*h; temp_y=y; x=x+vx*h; x1=vx0*t; vx=vx-c2*sqrt(vx*vx+vy*vy)*vx*h; y=y+vy*h; if (y<0) {y=0;} vy=vy-g*h-c2*sqrt(vx*vx+vy*vy)*vy*h; y1=vy0*t-0.5*g*t*t; printf("%f %f %f %f %f %f %f\n",t,x,x1,y,y1,vx,vy); fprintf(pf,"%f %f %f\n",t,y,y1); if (y>temp_y) Jurdik Fisika FMIPA Universitas Negeri Yogyakarta 2010 13
ymax=y; else ymax=ymax; if (y1<0) { y1=0; break;} } printf("%f",ymax); } Jurdik Fisika FMIPA Universitas Negeri Yogyakarta 2010 14