Bab 6 TRANSFORMASI LINEAR

B 6 RANSFORMASI LINEAR 6 Pegtr Pd k idg tetik serigkli diigik utuk eghuugk ggot dri sutu hipu deg ggot pd hipu li d deg deiki kosep sutu fugsi f : S dietuk Segi cotoh dl klkulus vriel tuggl S d is dlh hipu gi sederh dri R Pd ii k dipeljri fugsi f : V W deg V d W dlh rug vektor ts field g s DEFINISI 6 Dierik rug vektor V d W ts sutu field F Sutu fugsi : V W diseut trsforsi lier (lier trsfortio) tu hooorfis (hooorphis) jik egwetk opersi pejulh vektor d perkli sklr: L Lier: (v v ) (v ) (v ) " v v Î V; L Hooge: (kv) k(v) " v Î V " k Î F V W v v v kv v (v ) (v v ) (kv ) (v ) Gr 6: Represetsi sketis dri sutu trsforsi lier 9 Didit B Nugroho

B 6 rsforsi Lier CONOH 6 ujukk hw : R R g didefiisik oleh () dlh trsforsi lier Peelesi Diil serg Î R k ( ) ( ) [ruus fugsi] [sift rittik rel] () () [ruus fugsi] d jug (k) (k) [ruus fugsi] k() [sift rittik rel] k() [ruus fugsi] utuk k Î R Disipulk hw dlh trsforsi lier CONOH 6 ujukk hw : R R () uklh trsforsi lier Peelesi Hrus ditujukk hw defiisi trsforsi lier tidk dipeuhi oleh fugsi terseut d ii is ditujukk deg cotoh pegkl Berdsrk ruus fugsi diperoleh hw () d () Kre d ¹ k () ( ) ¹ () () Disipulk hw uklh trsforsi lier CONOH 6 ujukk hw : M (R) P (R) g didefiisik oleh (d c) ( c) c d dlh trsforsi lier Peelesi Diil serg e f c d Î M (R) g h Berdsrk ruus fugsi diperoleh e f e f c d g h c g d h ( e) ((d h) (c g)) (( f) (c g)) ( (d c) ( c) ) (e (h g) (f g) ) e f c d g h Seljut jik k Î R k k k k c d kc kd k (kd kc) (k kc) k ( (d c) ( c) ) k c d Disipulk hw dlh lier Didit B Nugroho

B 6 rsforsi Lier CONOH 6 ujukk hw : C C g diruusk oleh z iz z z " z z Î C z iz dlh lier Peelesi Diil serg z w z w z Î C w Diperoleh z (z w) w z w z w z w i( z w ) ( z w ) ( ) ( ) iz z iw w z w i z w z iz w iw (z) (w) Jik k Î C k kz (kz) ikz kz kz kz ikz iz z k k(z) z iz Disipulk hw dlh lier Sutu trsforsi lier dri rug vektor V ke rug vektor V g s diseut opertor lier Keudi jik didug hw fugsi g dierik dlh trsforsi lier k dico utuk euktik tetpi jik erpikir hw fugsi tidklh lier k stu cotoh pegkl dlh cukup CONOH 65 Diferesisi d itegrsi dlh trsforsi lier Diil V C (R) dlh rug vektor dri fugsifugsi g terdiferesil deg R segi doi d kodoi Dierik fugsi derivtif D : V V g didefiisik oleh df ( ) D( f ( ) ) d d fugsi itegrl It : V V g didefiisik oleh ( f ( ) ) ò Fugsi D d It dlh trsforsi lier It f ( t) dt CONOH 66 Dierik V dlh rug vektor d didefiisik I : V V oleh I(v) v " v Î V I dlh trsforsi lier g diseut trsforsi idetits CONOH 67 Dierik V d W dlh rug vektor d didefiisik fugsi : V W oleh (v) W " v Î V dlh trsforsi lier g diseut trsforsi ol Didit B Nugroho

B 6 rsforsi Lier EOREMA 6 Jik : V W dlh trsforsi lier k () ( V ) W () å å ( ) ivi i vi deg i Î F v i Î V utuk i i i Bukti ) ( V ) ( V V ) ( V ) ( V ) [ dlh lier] kre itu ( V ) ( V ) ( V ) Kre ( V ) ( V ) W diperoleh ( V ) W ) Diuktik deg iduksi tetik Diil P() segi pert dri å å ( ) ivi i vi i i P() etk hw ( v ) (v ) d ii dlh sutu pert g er se dlh lier Seljut didik hw P() er utuk k d k ditujukk hw P(k ) dlh sutu pert g er jug Ditulisk w å i v i d diuji: k i k å i v i (w k v k ) i (w) ( k v k ) [se dlh lier] (w) k (v k ) [se dlh lier] k å i v i k (v k ) i deg deiki k å ( ) i i v i k (v k ) [erdsrk hipotesis iduksi] k k å ivi å i i ( v ) i i d P(k ) dlh er Disipulk erdsrk prisip iduksi tetik hw P() dlh er " Î N eore erikut erft utuk egurgi ush dl eetuk pkh sutu fugsi dlh trsforsi lier Pec dihrpk egethui hsil g log utuk eeriks rug gi EOREMA 6 Fugsi : V W dlh trsforsi lier jik d h jik (kv v ) k(v ) (v ) " v v Î V " k Î F Didit B Nugroho

B 6 rsforsi Lier Bukti Jik dlh lier k erdsrk eore 6() dipui (kv v ) k(v ) (v ) Sekrg didik hw (kv v ) k(v ) (v ) " k Î F " v v Î V Secr khusus jik k k (v v ) (v v ) (v ) (v ) (v ) (v ) erdsrk sift sklr g errti eeuhi L Jik dipilih v V k deg egguk eore 6() diperoleh (kv ) (kv V ) k(v ) ( V ) k(v ) W Ii errti hw (kv ) k(v ) d kre itu eeuhi L Sekrg dpt disipulk hw dlh sutu trsforsi lier CONOH 68 Dierik sutu triks A Î M (R) d didefiisik sutu fugsi A : R R oleh A () A utuk setip Î R Deg egguk sift perkli triks k " Î R d k Î R diperoleh A (k ) A(k ) A(k) A() k(a) (A) k A () A () Kre itu A dlh trsforsi lier d dik trsforsi triks AKIBA 6 Jik : V W dlh trsforsi lier k utuk setip u v Î V erlku: ( v) (v) (v w) (v) (w) CONOH 69 Didefiisik : V R W R oleh 5 ujukk hw uklh sutu trsforsi lier Peelesi Dierik sutu cotoh pegkl khusus ( V ) W tu (kv v ) k(v ) (v ) dlh dilggr utuk sutu v v Î V Utuk g pert peelesi g ugki: ( V ) ¹ Utuk g kedu peelesi g ugki: diil k v d v V k (kv v ) V () 5( ) d Didit B Nugroho

B 6 rsforsi Lier k(v ) (v ) ( V ) 5 5 Kre (kv v ) ¹ k(v ) (v ) k dlh tidk lier Rug Vektor utuk rsforsi Lier Didik V d W dlh du rug vektor ts field F Ditetpk hipu seu trsforsi lier dri V ke W itu L(V W) Hipu ii dpt eerik struktur sutu rug vektor ts F jik didefiisik julh d perkli deg cr: ( ) : V W didefiisik oleh ( )(v) (v) (v) (k ) : V W didefiisik oleh (k )(v) k (v) Vektor ol dlh : V W (v) W " v Î V 6 Kerel d Ige dri rsforsi Lier Utuk sutu fugsi g terdefiisi terdpt du hipu gi khusus g erik Pert dlh hipu seu titik g g ugki g diseut rge Yg li dlh hipu gi dri doi g dipetk ke ol dl kodoi g diseut rug ol Rge Dierik : V W dlh trsforsi lier dri rug vektor V ke rug vektor W DEFINISI 6 Rge (ige) dri diotsik I() dlh hipu seu titik g dri rti I() {w Î W ½ w (v) v Î V} V W I() v v (v ) (v ) Gr 6 : Represetsi sketis dri rge Jels hw rge dlh sutu hipu gi dri W Leih gus lgi dipui: EOREMA 6 Dierik : V W dlh trsforsi lier dri rug vektor V ke rug vektor W k I() dlh sutu rug gi dri W Didit B Nugroho

B 6 rsforsi Lier Didit B Nugroho 5 Bukti ( V ) W kre dlh lier Jdi W Î I() d kre itu I() ¹ Æ Sekrg didik hw w w Î I() k $ v v Î V sehigg (v ) w (v ) w Kre V dlh rug vektor kv v Î V d deg egpliksik dipui: (kv v ) Î I() Kre dlh lier k (kv v ) k(v ) (v ) kw w Berrti hw kw w Î I() Disipulk hw I() dlh rug gi dri W CONOH 6 Rge dri A pd Cotoh 68 dlh vektorvektor sehigg siste " " " kosiste CONOH 6 Dierik 6 A u d didefiisik trsforsi lier A : R R oleh A () A 6 6 [Bis jug ditulisk A ( ) ( 6 )] () etuk A (u) g dri u oleh trsforsi A () etuk rge dri A Peelesi () A (u) Au 6 6 9 6 () Utuk setip di R A dlh koisi lier dri kolokolo A d kre slh stu kolo dri A dlh kelipt dri kolo g li k rge dri A dlh seu kelipt dri

6 B 6 rsforsi Lier CONOH 6 Dierik A u 5 5 c d didefiisik trsforsi A : R R oleh A () A () etuk sutu di R deg g oleh A dlh () Apkh terdpt leih dri stu oleh A deg g dlh? (slh ketuggl) (c) Ntk jik c erd dl rge trsforsi A (slh eksistesi) Peelesi () Diselesik A () A itu eelesik A tu 5 5 Mtriks g diperesr dri siste: 5 5 deg etuk eselo ris dlh Jdi deg d dlh serg () Dri () jels hw terdpt leih dri stu oleh A deg g dlh kre A epui tk erhigg k peelesi (c) Apkh terdpt sutu sehigg A () c? Atu deg pert li pkh A c dlh kosiste Mtriks g diperesr dri siste d etuk eselo ris itu 5 5 Jels hw siste tidk epui peelesi d kre itu c tidk erd di rge A CONOH 6 Dierik sis {v v v } utuk R deg v ( ) v ( ) v ( ) d trsforsi lier : R R sehigg (v ) ( ) (v ) ( ) (v ) ( ) etuk ruus utuk () d seljut guk ruus terseut utuk eghitug ( 5) Peelesi Pert ditk ( ) Î R segi koisi lier dri v v v itu k ( ) k ( ) k ( ) ( ) g epui peelesi k k d k Kre dlh trsforsi lier errti () (k v k v k v ) k (v ) k (v ) k (v ) Didit B Nugroho

B 6 rsforsi Lier 7 sehigg dipui ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) Dri ruus terseut diperoleh ( 5) (9 ) CONOH 65 Dierik : R R ( ) ( ) I() {( ) ( ) Î R } {( ) ( ) Î R } Dpt ditulisk rge segi I() {( ) Î R} Jdi rge dlh gris lurus g erupk rug gi erdiesi stu dri R DEFINISI 6 Utuk I() erdiesi erhigg didefiisik rk() di(i()) CONOH 66 Dierik dp( ) D : P [](R) P [](R) D( p( ) ) d d I(D) {D(p()): p() Î P [](R)} ( c) : c Î R d Dpt ditk I(D) { : Î R} {d : d Î R} Jels hw rge dri D dlh hipu seu polioil lier P [](R) d rk(d) CONOH 67 Dierik p() p () : P [](R) M (R) (p()) p () p () p () Diperoleh rge dri itu I() {(p): p c c Î R} c : c Î R Sehigg is disipulk hw rk() Utuk sutu fugsi g sederh dpt diperoleh rge deg peeriks sedgk utuk fugsi g leih ruit dipui teore erikut ii EOREMA 6 Dierik : V W dlh trsforsi lier dri rug vektor erdiesi erhigg V ke rug vektor W Dierik {v v v } dlh sis utuk V k I() á(v ) (v ) (v )ñ Ii errti hw sutu hipu retg dpt diperoleh deg egpliksik ke setip vektor dl sutu sis utuk V Bukti Ditujukk hw setip hipu terut di hipu li Secr jels (v i ) Î I() utuk seu i Kre I() dlh sutu rug gi k á(v ) (v ) (v )ñ Í I() Didit B Nugroho

8 B 6 rsforsi Lier Seljut didik hw w Î I() k w (v) utuk sutu v Î V Kre v Î V k v å i v i utuk sutu i Î F Jdi i w (v) å i v i åi( v i ) i i d deg egguk eore 6 diperoleh w Î á(v ) (v ) (v )ñ Jdi I() Í á(v ) (v ) (v )ñ Disipulk hw I() á(v ) (v ) (v )ñ CONOH 68 : R P [](R) diruusk oleh ( c) ( ) ( c) ( c) etuk I() d sutu sis utuk I() Peelesi Dipliksik teore seelu utuk eperoleh rge dri Diguk sis ku utuk R : ( ) ( ) ( ) Jdi I() á ñ Utuk eperoleh sutu sis utuk rge k hrus direduksi hipu retg terseut ke sutu hipu retg es lier Ctt hw d dlh es lier sedgk ( ) ( ) Dri situ disipulk hw sis utuk I() dlh { } Ctt hw pd cotoh ii I() ¹ P [](R) DEFINISI 6 Fugsi : V W dlh pd (oto) utuk egrtik hw I() W Bis jug diktk hw dlh pd W Utuk trsforsi lier dlh pd W ii errti hw setip vektor di W jug erd di rge d vektor terseut dlh g dri iil stu vektor di V Deg kt li dlh pd W epui rti hw " w Î W $ v Î V sehigg (v) w CONOH 69 Dierik : M (R) P [](R) g diruusk oleh ( d) c c d Apkh dlh pd? Peelesi Pert kli ditetuk rge dri I() á ñ P [](R) Disipulk hw dlh pd Didit B Nugroho

B 6 rsforsi Lier 9 Peelesi Diperhtik hw jik w c Î P [](R) k triks M dipetk ke w Î P [](R) Jdi setip vektor di P [](R) dlh c g dri iil stu triks di M (R) CONOH 6 Dierik : M (R) P [](R) g diruusk oleh ( c) c d Apkh dlh pd? Peelesi I() á ñ ¹ P [](R) Peelesi Jels tidk d elee di M (R) g dipetk ke polioil Jdi I() ¹ P [](R) d kre itu uklh pd Kodoi dri sutu trsforsi lier sellu dpt ditsi utuk eut trsforsi lier ru g pd itu jik : V W k : V I() dlh pd Rug Nol Dierik : V W dlh trsforsi lier dri rug vektor V ke rug vektor W DEFINISI 6 Rug ol (kerel) dri diotsik Ker() dlh hipu gi dri vektorvektor di V g dipetk ke W oleh rti Ker() {v Î V: (v) W } V W Ker() W Gr 6: Represetsi sketis dri rug ol EOREMA 6 Ker() dlh rug gi dri V Didit B Nugroho

5 B 6 rsforsi Lier Bukti ( V ) W kre dlh lier Jdi V Î Ker() Seljut didik hw v v Î Ker() d k Î F Ditujukk hw kv v Î Ker() Ii dlh er kre (kv v ) k(v ) (v ) [kre dlh lier] k W W [kre v v Î Ker()] W [sift W ] Disipulk kv v Î Ker() d kre itu Ker() dlh rug gi dri W CONOH 6 Kerel dri A pd Cotoh 68 dlh seu vektor g erupk peelesi dri siste hooge " " " DEFINISI 65 Utuk Ker() erdiesi erhigg didefiisik ulits dri segi diesi dri Ker() CONOH 6 etuk Ker() utuk : V R V ( ) ( ) Peelesi Hrus diselesik pers ( ) V Dl ksus ii ( ) ( ) Û Jdi Ker() {( ): Î R} d ul() CONOH 6 etuk Ker() utuk D : V C df (R) V D(f) d Peelesi Hrus diselesik pers D(f) V df Dl ksus ii epui peelesi itu f c utuk c Î R d Ker() {f() c : c Î R} CONOH 6 etuk sis utuk Ker() deg : M (R) P [](R) g diruusk oleh ( d) ( c d) ( c d) c d Peelesi Pert kli hrus diselesik pers c d ii errti ( d) ( c d) ( c d) Didit B Nugroho

B 6 rsforsi Lier Didit B Nugroho 5 Jdi Ker() Î : ) ( d c d c d M d c R Utuk eeuk sutu sis gi Ker() hrus direduksi siste dri tig pers hooge terseut kre itu c d c d Jdi peelesi siste dlh Î R d c d c d c d c : d vektorvektor d eetuk sutu sis utuk rug ol Diperoleh sutu sis utuk Ker() itu DEFINISI 66 Dierik : V W dlh trsforsi lier dri rug vektor V ke rug vektor W dlh stustu utuk egrtik hw titik ered di V epui pet g ered di W secr siolis ditulisk: " Î V ¹ Þ ( ) ¹ ( ) tu ekuivle deg pert: " Î V ( ) ( ) Þ CONOH 65 ujukk hw : R P [](R) dlh stustu utuk ( c) c Peelesi Didik ( c) (d e f) d ( ) ( ) k ( ) c f e d ( ) g errti (c f) ( e) ( d) d jug c f e d kre itu Disipulk hw dlh stustu

5 B 6 rsforsi Lier CONOH 66 ujukk : R P [](R) uklh stustu utuk ( c) Peelesi Diil ( c) (d e f) d didik ( ) ( ) k ( ) d e ( ) g errti d e etpi tidk d huug g terkit tr c d f Jdi eerp vektor di R epui g g s di P [](R) Peelesi Diuktik du vektor di R g epui g s di P [](R) itu ( ) ( ) Disipulk hw tidk stustu Hsil erikut eujukk hw terdpt sutu huug hkiki tr sutu fugsi stustu deg rug ol EOREMA 6 Dierik dlh sutu trsforsi lier dri rug vektor V ke rug vektor W dlh stustu jik h jik Ker() { V } Bukti Didik dlh stustu d diil Î Ker() Kre dlh lier k ( V ) W Kre dlh stustu () ( V ) Û V Disipulk hw Î Ker() jik h jik V itu Ker() { V } Seljut didik hw Ker() { V } Jik ( ) ( ) utuk Î V k ( ) ( ) ( ) W [kre dlh lier] Hl terseut errti hw Î Ker() Jdi V Û Disipulk hw dlh stustu eore di ts serigkli diguk segi peeriks cept utuk etk pkh sutu fugsi dlh stustu tu tidk Jik diuji keli du cotoh g terkhir diperoleh Ker( ) {( ) } Þ dlh stustu ( c ):cî R Þ tidk stustu Ker( ) { } eore erikut ii eujukk hw sutu trsforsi lier g stustu egwetk keeslier EOREMA 65 Dierik : V W dlh trsforsi lier dri rug vektor V ke rug vektor W Diil S dlh sutu hipu gi g es lier dri V Jik dlh stustu k (S) dlh hipu gi g es lier dri W Bukti Diil w i Î (S) i d didik hw sutu i Î F å i i w i W utuk Didit B Nugroho

B 6 rsforsi Lier 5 Pert dictt hw setip w i (v i ) utuk sutu v i Î S Jdi dpt ditulis ejdi g errti hw å i i å i ( v ) i ivi W å i i v i Î Ker() Kre dlh stustu d jug Ker() V k å i i v i V Kre seu v i Î S dlh es lier k Disipulk hw (S) dlh es lier å i i w i W Dierik trsforsi lier A : F F g didefiisik oleh A () A deg A Î M (F) d Î F Rge dri trsforsi lier terseut tidk li dlh rge dri triks A g jug s deg rug kolo dri A Rug ol dri trsforsi lier terseut tidk li dlh rug ol dri triks A g jug s deg hipu peelesi utuk pers hooge A 6 eore Diesi Jik dipikirk tetg trsforsi lier g ugki ered terjdi pd rug vektor g dierik k disdri hw terdpt sutu tidk peeig g terjdi tr ukur dri rug ol d rge Sutu rug ol g kecil ucul ketik rge reltif esr sedgk sutu rug ol esr egkitk sutu rge g reltif kecil CONOH 6 Utuk trsforsi lier : R P (R) ( c) diperoleh Ker( ) R d I( ) {} Jdi diesi rug ol esr sedgk rge kecil CONOH 6 Utuk trsforsi lier : R P (R) ( c) c diperoleh Ker( ) {} d I( ) P (R) Jdi diesi rug ol kecil tetpi rge esr eore diesi eujukk hw huug tr ukur rge d ukur rug ol dri trsforsi lier g dierik dlh sugguh tept EOREMA 6 eore Diesi (eore RkNulits) Jik : V W dlh trsforsi lier dri rug vektor V erdiesi ke rug vektor W k di(ker()) di(i()) itu rk() ulits() Didit B Nugroho

5 B 6 rsforsi Lier Bukti Didik Ker() epui diesi deg sift di(ker()) r < d sutu sis {v v v r } Berdsrk eore 5 k hipu terseut dpt diperesr sehigg {v v v r v r v } dlh sutu sis utuk V Diil w dlh serg vektor di I() k w (u) utuk sutu u Î V deg u dpt ditk segi u c v c v c r v r c r v r c v Kre {v v v r } di dl kerel k (v ) (v ) (v r ) sehigg w (u) c r ( v r ) c (v ) Ii eujukk hw S {(v r ) (v )} eretg I() Jik dpt ditujukk hw S dlh sutu hipu es lier k S dlh sis utuk I() d kit di(ker()) di(i()) ( r) r Diti hw h r (v r ) h (v ) (h r v r h v ) g errti h r v r h v d dl Ker() k utuk sutu h h r h r v r h v h v h r v r Kre {v v v r v r v } dlh sutu sis utuk V k seu h dri pers di ts hruslh ol Ii euktik hw S dlh hipu es lier Sekrg diuktik pert utuk di(ker()) Dl ksus ii Ker() hruslh s deg V d utuk setip u Î V erlku (u) g errti I() {} Bukti utuk ksus di(ker()) diserhk segi ltih CONOH 6 Ujilh teore diesi utuk : P [](R) M (R) ( c c ) c c Peelesi Dipui hw I() á() () ( )ñ Diperhtik hw d hw d dlh es lier Jdi di(i()) c Ker() c c c Diperoleh siste c c c tu triks g diperesr dri siste: erdpt du ut dri tig vriel Jdi diesi dri rug peelesi dlh tu di(ker()) Kre itu di(ker()) di(i()) di(p [](R)) Didit B Nugroho

B 6 rsforsi Lier 55 CONOH 6 ujukk tidk d trsforsi lier : M (C) P [](C) g pd Peelesi di M (C) d erdsrk teore diesi di(ker()) di(i()) d khusus di(i()) < 5 di(p [](C)) Kre di(i()) < di(p [](C)) k I() tidk ugki s deg P [](C) d jug tidklh pd AKIBA 6 Diil : V W dlh trsforsi lier dri rug vektor V ke rug vektor W d didik hw V erdiesi erhigg deg di(v) di(w) dlh stustu jik h jik dlh pd Bukti dlh stustu jik h jik ulits() (eore 6) jik h jik rk() di(v) (teore diesi) jik h jik di(i()) di(w) (dierik) jik h jik I() W jik h jik dlh pd (defiisi pd) AKIBA 6 Diil : V W dlh trsforsi lier dri rug vektor V ke rug vektor W d didik V erdiesi erhigg Jik dlh stustu d pd k di(v) di(w) Bukti Jik dlh stustu k ulits() erdsrk eore 6 Jik dlh pd k I() W d jug rk() di(w) Kre itu erdsrk teore diesi di(v) rk() ulits() di(w) di(w) Diguk teore rkulits utuk trsforsi lier A : R R () A deg A Î M (R) Secr khusus dipui di(ker( A )) di(r ) di(i( A )) g errti hw k peelesi g es lier utuk A s deg r deg r dlh rk(a) g s deg k ut pd etuk eselo ris tereduksi dri A 6 rsforsi Lier dri R ke R Pd gi ii k diperlihtk hw jik : R R dlh serg trsforsi lier k dpt ditetuk sutu triks A erukur sehigg dlh perkli oleh A deg Î R Diil sis ku { e e e } utuk R d diislk hw A epui (e ) (e ) (e ) segi vektorvektor kolo itu (e ) (e ) (e ) Didit B Nugroho

B 6 rsforsi Lier Didit B Nugroho 56 Kre itu triks A diseut triks ku utuk Seljut diperhtik e e e sehigg dpt ditk () ( e e e ) (e ) (e ) (e ) kre dlh trsforsi lier Selik A " " " (e ) (e ) (e ) Jdi diperoleh hw () A Berdsrk pejels di ts diperoleh teore erikut EOREMA 6 Jik : R R dlh trsforsi lier d {e e e } dlh sis ku utuk R k dlh perkli oleh A deg Î R utuk A dlh triks deg vektorvektor kolo itu (e ) (e ) (e ) CONOH 6 etuk triks ku utuk trsforsi lier : R R g didefiisik oleh Peelesi (e ) (e ) (e ) Deg egguk (e ) (e ) (e ) segi vektor kolo k diperoleh A

q B 6 rsforsi Lier 57 (cos q si q) () DEFINISI 6 Jik q q A dlh (si sutu q cos triks q) tertetu k trsforsi lier A : R R deg defiisi A () A diseut trsforsi lier g dihuugk () deg triks A EOREMA 6 Jik Gr triks 6: A Rotsi d B oleh erukur sudut q d A B k A B Seljut k diilustrsik ksi dri trsforsi lier : R R deg eliht g dri sutu gu persegi terhdp Rotsi (Perputr) Mtriks ku utuk trsforsi Gr 65: lier Refleksi gu persegi : R R g erotsik vektor deg sudut q dlh cos θ si θ A si θ cos θ Secr udh diperoleh cos θ si θ si θ cos θ Refleksi (Peceri) Utuk setip gris pd idg terdpt trsforsi lier g erefleksik vektor terhdp gris Refleksi terhdp suu dierik oleh triks ku A g ew vektor ke Refleksi terhdp suu dierik oleh triks ku A g ew ke Yg terkhir refleksi terhdp gris dierik oleh A d ew vektor ke Didit B Nugroho

(k>) 58 B 6 rsforsi Lier Ekspsi d Kopresi (< k<) Mtriks ku k A egekspsi vektor Gr sepjg 67: Pergeser dl rh Gr 66: Ekspsi d rh d kopresi k sepjg suu suu ke utuk k > d eptk sepjg suu utuk < k < Sejl deg itu A k egekspsi tu eptk vektor ke k sepjg suu Pergeser Mtriks ku k A k g ew vektor ke diseut pergeser dl rh Sejl deg itu A k ew vektor ke d k diseut pergeser dl rh Jik secr erhigg eerp trsforsi lier dri R ke R dietuk erurut k terdpt sutu trsforsi lier tuggl deg kit g s Keudi jik triks ku utuk trsforsi : R R dlh iversiel k dpt ditujukk hw kit geoetris dri dlh s seperti eerp rgki dri refleksi ekspsi kopresi d pergeser 65 Mtriks Represetsi dri rsforsi Lier Diislk hw V d W dlh serg rug vektor erdiesi erhigg deg sis utuk V d W erturutturut dlh {v v v } d {w w w } Didit B Nugroho

B 6 rsforsi Lier Didit B Nugroho 59 Utuk setip v Î V triks koordit [v] erupk vektor di R d triks koordit [(v)] erupk vektor di R Jdi proses peet v ke (v) utuk trsforsi lier k eghsilk sutu peet dri R ke R g eetk [v] ke [(v)] Ak diperlihtk hw peet g dihsilk terseut erupk trsforsi lier Seljut k dicri triks ku A [ ij ] i d j g eeuhi A[v] [(v)] utuk seu vektor v Î V Khusus diigik gr pers terseut dpt dipeuhi utuk vektor sis v v v itu A[v ] [(v )] A[v ] [(v )] A[v ] [(v )] Kre [v ] [v ] [v ] k A[v ] " " " A[v ] " " " A[v ] " " " Diperoleh [(v )] [(v )] [(v )] g eujukk hw kolo A g erurut erupk triks koordit dri (v ) (v ) (v ) g erkorespodesi deg sis Jdi diperoleh triks tuggl A g diseut triks utuk g erkorespodesi deg sis d d ditk oleh A [ ] )] ( [ )] ( [ )] ( [ v v v Mtriks A dik triks represetsi dri trsforsi lier terhdp sis d d diotsik []

B 6 rsforsi Lier Didit B Nugroho 6 Secr khusus jik V W k is diil Dri situ triks g dihsilk diseut triks utuk g erkorespodesi deg sis d ditk oleh [] [ ] )] ( [ )] ( [ )] ( [ v v v CONOH 65 Dierik opertor lier : R R etuk [] utuk dlh sis ku R Peelesi Jdi [] CONOH 65 Dierik opertor lier : R R g didefiisik oleh etuk triks utuk g erkorespodesi deg sis v v Peelesi Dri ruus diperoleh (v ) v v (v ) 6 v v Jdi [ ] ( ) v d [ ] ( ) v Oleh kre itu [] CONOH 65 Dierik trsforsi lier : R R g didefiisik: 6 7 5 etuk triks utuk g erkorespodesi deg sis 5 v v d w w w

B 6 rsforsi Lier Didit B Nugroho 6 Peelesi Dri ruus diperoleh (v ) 5 v v (v ) 5 v v v Jdi [(v )] d [(v )] Kre itu [] CONOH 65 Dierik : R P [](R) ) ( Guk sis ku { } utuk ecri [] Peelesi Jdi [] CONOH 655 Dierik A Î M (F) d didefiisik A : F F oleh A () A Jik d erturutturut dlh sis ku utuk F d F k [] A CONOH 656 Dierik trsforsi lier : P (R) P (R) g didefiisik oleh (p()) p() etuk triks utuk g erkorespodesi deg sis {v v } d {w w w } Peelesi Dri ruus diperoleh (v ) () (v ) () Dicri triks koordit utuk (v ) d (v ) reltif terhdp sis segi erikut

6 B 6 rsforsi Lier k Diislk [(v )] [] k errti k k w k w k w v k k k g epui peelesi k k d k c Diislk [(v )] [ ] c g errti c c w c w c w v c c c g epui peelesi c c d c Diperoleh [(v )] d [(v )] Jdi triks utuk g erkorespodesi deg sis d itu [] CONOH 657 Dierik : P [](R) P [](R) (p) p p p Guk B { } utuk ecri [ ] B Peelesi () ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) ( ) 9 5 () ( ) ( ) [ ] B Hsil erikut eujukk hw represetsi dlh sutu ide g erft Hsil egtk hw kopoe dri pet v di wh dpt diperoleh deg eglik triks represetsi dri deg kopoe v EOREMA 65 Dierik : V W dlh trsforsi lier dri rug vektor erdiesi erhigg V ke rug vektor erdiesi erhigg W Diil d segi sis utuk V d W secr erturutturut Jik v Î V k [(v)] [] [v] Bukti Diil {v v } {w w } d didik hw (v j ) å ij w i j i Didit B Nugroho

B 6 rsforsi Lier 6 Jik v Î V k v åc j v j c j Î F j deg deiki (v) å c j v j å c j v j ) c j j j j Urut julh dpt ditukrk d ditulisk ejdi (v) ååc jij wi åå ijc j i i j Jdi kopoe kei dri (v) dlh å j ij c j ( å å i ( ) j w ij wi g erupk hsil kli ris kei dri [] deg vektor kolo [v] B Jdi diperoleh [(v)] [] [v] CONOH 658 Dierik : R R g didefiisik oleh Guk sis ku dri R d [] utuk eghitug Peelesi sehigg Dikethui hw [(v)] [] [v] α kre itu 7 7 Disipulk hw 7 7 i Didit B Nugroho

6 B 6 rsforsi Lier CONOH 659 Dierik : P [](R) P [](R) g didefiisik oleh (p) p p p Guk { } d [] utuk eghitug [( )] d ( ) Peelesi ( )( ) ( ) sehigg [( )] Kre [(p)] [] [p] k [( )] d ( ) () ( ) ( ) 6 Digr erikut ii dlh sutu rigks peederh g egguk sis utuk rug vektor erdiesi erhigg Gr 68: Ilustrsi dri triks represetsi Didit B Nugroho

B 6 rsforsi Lier Didit B Nugroho 65 Diliht ksus khusus utuk triks represetsi dri trsforsi lier pd triks peruh sis [I] triks represetsi dri I : V V I(v) v tidk li dlh triks trsisi dri triks koordit Gr 69: Peruh triks sis segi sutu triks represetsi CONOH 65 Di R dierik sis {( ) ( 5 6) (7 8 )} d {( ) ( ) ( )} etuk triks trsisi dri ke [I] Peelesi I 6 5 I 6 5 5 6 8 7 I 8 7 7 8 sehigg [I] 6 8 5 7

66 B 6 rsforsi Lier 66 Koposisi rsforsi Lier d Perkli Mtriks Pd gi ii k dihs triks represetsi dri julh d koposisi trsforsi lier Proses ii k dihuugk deg pejulh d perkli triks Seljut k dipikirk kit eguh sis pd triks represetsi dri sutu trsforsi lier EOREMA 66 Dierik V d W dlh rug vektor erdiesi erhigg deg sis d secr erturutturut Jik Î L(V W) d k Î F k [k ] k[ ] [ ] Bukti Ditujukk hw du triks terseut dlh s deg eujukk hw seu usurusur g erkorespodesi dlh s Jik {v v } k ([k ] ) ij erupk kopoe kei dri (k )(v j ) Kre (k )(v j ) k (v j ) (v j ) k kopoe kei dri kedu vektor ii dlh s Jug kopoe kei dri (k (v j ) (v j )) dlh s deg k kli kopoe kei dri (v j ) kopoe kei dri (v j ) Berrti hw ([k ] ) ij k([ ] ) ij ([ ] ) ij tu [k ] k[ ] [ ] Deg kt li hsil ii egtk hw triks represetsi sutu koisi lier dri trsforsi lier s deg koisi lier dri triks represetsi DEFINISI 66 Dierik V W X dlh rug vektor Î L(V W) sert S Î L(W X) Didefiisik fugsi koposisi S : V X oleh (S )(v) S((v)) " v Î V Jik Î L(V V) d p Î Z k didefiisik p : V V oleh p ( v) % %&% ( v) $ # " p kli Hsil erikut egtk hw triks represetsi dri sutu koposisi trsforsi lier s deg hsil kli dri sigsig triks represetsi EOREMA 66 Dierik V W X dlh rug vektor erdiesi erhigg deg sis erturutturut g Dierik Î L(V W) d S Î L(W X) k [S ] g [S] g [] Bukti Didik {v v } {w w } g { } d diil [] A deg deiki ( v ) j å i ij w i Didit B Nugroho

B 6 rsforsi Lier 67 d jug [S] g B deg deiki å ( w ) i p ki k Utuk eperoleh triks represetsi dri trsforsi S hrus diterpk utuk vektor sis d diuji kopoekopoe: ([S ] g ) kj kopoe kek dri (S )(v j ) Diperhtik (S )(v j ) S((v j )) S å i p å å ij ki k i k Kopoe kek dri vektor terseut dlh å i ki ij k ij w i p åå k i å S( ki i ij k ij w i g tidk li dlh kopoe kek dri hsil kli triks BA Ii errti hw ([S ] g ) kj ([S] g [] ) kj Dpt disipulk hw du triks [S ] g d [S] g [] dlh s ) Gr 6: Represetsi koposisi oleh perkli triks CONOH 66 Buktik eore 66 utuk trsforsitrsforsi: : R P [](R) (( ) ) ( ) ( ) S : P [](R) P [](R) S(p) p p Didit B Nugroho

B 6 rsforsi Lier Didit B Nugroho 68 Peelesi Diguk sis ku d { } g Diperoleh [] d jug S() S( ) S( ) [S] Dikli hw [S ] [S] [] 5 Diperiks S (( ) ) S( ( ) ( ) ) (5) ( ) d diperoleh (S ) 5 (S ) sehigg [S ] g 5 eore terukti dl ksus ii eore 66 dpt diperlus secr iduktif segi erikut EOREMA 66 Dierik i : V i V i segi trsforsi lier dri rug vektor erdiesi erhigg V i ke rug vektor erdiesi erhigg V i i Dierik g i segi sis utuk V i i k [ ] g g [ ] [ ] [ ] [ ] g g g g g g g g Sutu pliksi g sgt petig dri teore terseut d sutu pliksi g k diguk pd gi kedu dri pehs ii ucul ketik diiliki opertor lier d eguh sis di V Hsil erikut dlh sutu ksus khusus teore seelu AKIBA 66 Dierik : V V segi opertor lier pd rug erdiesi erhigg V d dierik d segi sis utuk V k [] [I] [] [I]

B 6 rsforsi Lier 69 Bukti Ditk trsforsi lier : V V dl du cr g idetik: () : V V deg diguk segi sis utuk V () (I I ) : V V deg I : V V dlh trsforsi idetits Kit guk segi sis utuk doi d segi sis utuk kodoi : V V dlh trsforsi lier Kit guk sis utuk V I : V V dlh trsforsi idetits Kit guk segi sis utuk doi d segi sis utuk kodoi Megguk eore 66 [] [I I ] [I ] [] [I ] Gr 6: Peruh sis d trsforsi lier Didit B Nugroho

7 B 6 rsforsi Lier Hsil pd Akit 66 eujukk hw triks represetsi dri trsforsi lier g erke deg du sis terkit oleh perkli deg triks peruh sis g sesui Dictt hw [I ] dlh triks koordit peruh sis dri ke d [I ] dlh triks koordit peruh sis dri ke d ivers dri [I ] Hsil terseut dlh erft se eujukk hw st eghitug triks represetsi dri sutu trsforsi lier dl stu sis tidk hrus eghitug keli triks dl sis li h perlu dilkuk eerp perkli triks g eertk triks peruh sis etu sj erls kep perlu [] utuk eghitug [(v)] Sekrg dpt ditulisk (i) [(v)] [] [v] (ii) [(v)] [I] [] [I] [v] Jl (i) dlh lgkh pits Diperoleh koordit dri (v) pd sis dl stu jl tetpi diperluk triks represetsi dri dl koordit Jl (ii) dlh lgkh g pjg Pert eguh koordit dri ke egguk [I] g kedu dlh eperoleh koordit dri (v) dl sis egguk [] d g terkhir itu eguh koordit egguk [I] utuk eperoleh [(v)] Pd du cotoh erikut utuk eperoleh sutu ltih g sederh diuktik hsil deg eghitug du keugki triks g ru CONOH 66 : R R Hitug [] [] d uktik Akit 66 Peelesi Diperoleh [] 5 7 5 Diperoleh [] Seli itu jug didptk [I] d[i] eore egtk hw 5 [] [I] [] [I] Didit B Nugroho

B 6 rsforsi Lier Didit B Nugroho 7 CONOH 66 : P (R ) P (R ) (p) p p p { } { } Hitug [] [] d uktik Akit 66 Peelesi () () ( ) 6 Diperoleh [] 6 ( ) 9 5 5( ) ( ) ( ) 5 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Diperoleh [] 5 Seli itu jug didptk [I] Utuk eghitug [I] dicri ivers dri triks segi erikut: Jdi [I] Dihitug [I] [] [I] 6 5 [] seperti g dihrpk Keserup (Siilrit) DEFINISI 66 Dierik A B Î M (F) A diktk serup (siilr) terhdp B jik terdpt sutu triks iversiel P sehigg AP P B

7 B 6 rsforsi Lier Jik B P AP k A PBP Q BQ deg Q P Ii errti hw jik A serup terhdp B k B dlh serup terhdp A Pd uu ditk hw A d B dlh serup Akit 66 egtk hw du triks represetsi dri opertor lier g s terhdp du sis g ered dlh triks serup Ii errti hw [] [I] [] [I] Jik ditulisk [] B [] A d [I] P deg [I] P k diiliki B P AP CONOH 66 Dierik opertor lier : R R g didefiisik oleh etuk triks ku utuk itu triks reltif terhdp sis {e e } Seljut trsforsik triks terseut ke triks reltif terhdp sis v v Peelesi Dri Cotoh 65 triks reltif terhdp sis ku itu A [] Mtriks trsisi dri ke dlh [I] P deg [I] P Oleh kre itu triks reltif terhdp sis dlh [] [I] [] [I] P AP g s deg hsil g diperoleh dri Cotoh 65 67 Iversiilits Didik terdpt trsforsi lier Î L(V W) Fugsi S dlh sutu ivers utuk klu S : W V eeuhi S I V d S I W deg I V d I W erturutturut eotsik opertor idetits pd V d W Perlu dictt hw sutu fugsi epui ivers jik d h jik fugsi dlh stustu d pd Jik (v ) (v ) w d v ¹ v (itu tidk stustu) k gi dpt didefiisik S(w)? Jik $ w Î W d w Ï I() (itu tidk pd) k gi dpt didefiisik S(w)? Utuk sutu trsforsi lier Î L(V W) g stustu d pd k di(v) di(w) erdsrk Akit 6 Didit B Nugroho

B 6 rsforsi Lier 7 Jik ivers sutu fugsi d k ivers tuggl utuk Î L(V W) d diotsik deg EOREMA 67 Dierik Î L(V W) Jik dlh iversiel k dlh lier Bukti Didik w w Î W d k Î F Kre dlh pd k $ v v Î V sehigg (v ) w (v ) w (kw w ) Disipulk hw dlh lier (k(v ) (v )) ((kv v )) kv v k (w ) (v ) EOREMA 67 Dierik Î L(V W) dlh trsforsi lier dri rug vektor V erdiesi erhigg ke rug vektor W erdiesi erhigg d dierik erturutturut dlh sis utuk V d W dlh iversiel jik h jik [] dlh iversiel Jik dlh iversiel k [ ] [ ] ( ) Bukti Pert didik hw epui ivers k Jik diil triks represetsi dri pers terseut deg egguk sis utuk V d sis utuk W k Ii errti hw I V [ ] [I V ] [ ] [] I Kre iversiel kit thu hw V d W epui diesi g s d jug [] dlh sutu triks persegi Disipulk hw [] dlh iversiel deg ivers [ ] Jug [ ] [ ] ( ) Yg kedu didik hw A [] epui ivers B Jik {v v } d {w w } k didefiisik S : W V oleh Secr jels Jug d Jdi S I V d S I W d jug S S(w j ) å( B) ij u i i [S] B A [S ] [S] [] BA I [I V ] [ S] [] [S] AB I [I W ] Didit B Nugroho

7 B 6 rsforsi Lier CONOH 67 ujukk hw dlh iversiel d tetuk utuk: : P (R) R ( ) Peelesi Diil sis ku utuk P [](R) d R erturutturut dlh { } () () Jdi Mtriks terseut iversiel d [] A A 5 Dpt disipulk hw d d [ ] A Ii errti hw d 5 5 5 5 Berdsrk lierits diperoleh c c d c d d 5 5 68 Apliksi rsfosi Lier: Kriptogrfi Didik kit igi egiri pes kepd te kit: M E E O M O R R O W Utuk ke kit pert kli egkodek lfet segi erikut: A B X Y Z 5 6 Jdi kode pes dlh M E E O M O R R O W M E E O M O R R O W 5 5 5 5 8 8 5 Bris 5 5 5 5 8 8 5 dlh kode sli utuk pes Utuk erk kode sli kit dpt eerpk sutu trsforsi lier utuk kode sli Diil : R R () A deg A Didit B Nugroho

B 6 rsforsi Lier 75 Seljut kit eech pes sli ejdi vektor: 8 5 5 5 5 5 8 d diguk trsforsi lier utuk eperoleh kode tersrk: 8 5 97 97 5 8 7 5 6 5 6 5 5 5 5 8 5 8 5 Seljut kit dpt egirik kode pes tersrk: 8 8 5 5 7 5 97 6 5 7 79 6 Didik te kit igi egkodek pes tersrk Pert kli te kit dpt ecri triks ivers dri A: A d seljut 8 5 97 A 8 5 A 7 A 6 5 5 5 8 5 5 8 Jdi te kit dpt eeuk kode sli: 5 5 5 5 8 8 5 ellui triks ivers A 7 8 A 79 5 6 Segi cotoh li jik kit eeri kode pes erikut ii dri te kit 77 5 8 7 9 9 68 5 76 8 86 5 5 d kit egethui hw pes dri te kit ditrsforsik oleh trsforsi lier g s : R R ( ) A k pert kli pes dipech ejdi 5 vektor: 77 7 68 76 86 5 9 5 8 5 8 9 5 d seljut dpt diperoleh kode pes sli: 77 6 7 68 8 76 8 86 A 5 8 A 9 5 A 5 A 8 6 A 5 8 5 9 7 6 5 9 Jdi pes sli dri te kit itu 6 8 5 5 7 8 6 8 6 9 P H O O G R A P H P L A N S P H O O G R A P H P L A N S Didit B Nugroho

76 B 6 rsforsi Lier SOALSOAL UNUK BAB 6 Ntk g dri fugsifugsi erikut g erupk trsforsi lier () f : R R f () si () f : R R f () (c) f : R R f ( ) ( ) (d) f : P (R) R f ( c ) ( c ) Apkh ugki dipui trsforsi lier dri R ke R deg sift: () ( ) ( ) d ( 6) ( 6) () ( ) ( ) d ( ) ( ) (c) ( ) ( ) ( ) ( ) d ( 6) ( )? Buktik hw dlh lier utuk : R R g didefiisik oleh z z z z Dierik (V á ñ) dlh sutu rug hsil kli dl d W dlh rug gi erdiesi higg dri V Buktik hw fugsi : V W g didefiisik oleh (v) pro W (v) dlh trsforsi lier 5 Dierik : V W dlh trsforsi lier Didik v v Î V d {(v ) (v )} dlh es lier ujukk hw {v v } dlh es lier 6 Dierik : V W dlh trsforsi lier Dierik S : W X dlh trsforsi lier Buktik hw fugsi koposisi S g didefiisik oleh (S )(v) S((v)) dlh trsforsi lier 7 Dierik : M (R) M (R) g didefiisik oleh (A) AB BA deg B dlh sutu elee dri M (R) etuk rge dri d rk dri utuk: () B () B (c) B (d) B 8 Dierik : R R g diruusk oleh ( c) ( c c c) etuk sutu sis utuk rge dri Apkh pd? 9 Dierik : C C g diruusk oleh z ( i) z ( i) z z (i ) z ( i) z etuk sutu sis utuk rge dri Apkh pd? Didit B Nugroho

B 6 rsforsi Lier 77 Dierik : R R g diruusk oleh ( ) ( ) etuk sutu sis utuk I() Apkh pd? Dierik : R P (R ) g diruusk oleh ( ) ( ) ( )t ( )t etuk sutu sis utuk I() Apkh pd? Dierik (V á ñ) segi sutu rug hsil kli dl d utuk setip v Î V didefiisik fugsi L v : V F oleh L v (w) áw vñ () ujukk hw L v dlh sutu trsforsi lier () ujukk hw L v dlh pd keculi v etuk sis utuk rug ol utuk trsforsi lier pd pert 7 spi d tk pkh stustu Dierik : V W d L : W X dlh trsforsi lier () ujukk hw jik d L dlh stustu k L dlh stustu () (c) Jik L dlh stustu k pkh stustu? Jik L dlh stustu k pkh L stustu? 5 Berik sutu cotoh trsforsi lier : R R deg sift Ker() I() 6 () ujukk hw jik : R R dlh sutu trsforsi lier k $ c Î R sehigg ( z) ( c) ( z) () Ntk secr geoetris rug ol g ugki dri trsforsi lier : R R 7 Ujilh teore diesi utuk trsforsi lier pd sol o 7 spi 8 etuk Ker() d I() pd sol o 9 Dierik : M (R) M (R) g didefiisik deg (A) A A ujukk hw dlh lier d seljut tetuk di(i()) etuk Ker() d I() utuk : R R g eeuhi etuk Ker() d I() utuk trsforsi lier : R R g didefiisik oleh Didit B Nugroho

B 6 rsforsi Lier Didit B Nugroho 78 etuk Ker() d I() utuk : R R etuk Ker() d I() utuk : R R z z z Dierik : M (R) R g didefiisik deg (A) tr(a) etuk Ker() d I() 5 () ujukk hw : M (R) M (R) g didefiisik oleh (A) A A dlh sutu trsforsi lier () etuk sutu sis utuk Ker() d tetuk di(ker()) (c) etuk sutu sis utuk I() d tetuk di(i()) 6 ujukk hw tidk d trsforsi lier : P [](C) M (R) g stustu 7 etuk triks represetsi dri trsforsi lier di wh ii terhdp sis g dierik ) : R R z z z z (i) [] B B (ii) [ ] B B ) : C C z z z iz iz z (i) [] B B (ii) [ ] B B i i c) : P [](R) P [](R) ( c ) ( c) ( c) ( c) (i) [] B B { } (ii) [ ] B B { }

B 6 rsforsi Lier Didit B Nugroho 79 8 Guk peelesi pert sol 7 utuk eghitug () (i) B (ii) B () (i) B i i (ii) B i i d i i (c) (i) [( )] B d ( ) (ii) [ ] B ( d ( ) 9 Dierik : M (R) M (R) g diruusk oleh (M) AM MA deg A Dierik B B () etuk (i) [] B (ii) [ ] B B (iii) [ ] B B (iv) [ ] B () Guk eore 65 d peelesi pd gi () utuk ecri () Buktik : P [](R) P [](R) dlh sutu trsforsi lier utuk (p()) ) p ( () etuk triks dri egguk sis { } utuk P [](R) d { } utuk P [](R) (c) etuk triks dri egguk sis { } utuk P [](R) d { } utuk P [](R) (d) etuk sis utuk Ker() d tetuk di(ker()) (e) etuk sis utuk I() d tetuk di(i()) () Sutu trsforsi lier : R R epui rge erup idg deg pers z d rug ol erup gris z Jik 5 c etuk c () etuk triks represetsi dri terhdp sis ku

B 6 rsforsi Lier Didit B Nugroho 8 () Buktik hw : R R dlh sutu trsforsi lier utuk () etuk sis utuk Ker() d tetuk di(ker()) (c) etuk sis utuk I() d tetuk di(i()) (d) etuk triks dri terhdp sis B utuk R d sis B utuk R Dierik trsforsi lier : R R g didefiisik oleh z z etuk triks represetsi utuk jik () Bsis utuk R d R dlh sis ku () Bsis utuk R dlh d utuk R dlh sis ku (c) Bsis utuk R dlh d utuk R dlh Sutu trsforsi lier : R R g eeuhi Ker() I() d etuk triks represetsi terhdp sis ku 5 etuk triks represetsi utuk peet lier : M (R) R g didefiisik deg (A) tr(a) terhdp sis ku utuk M (R) 6 () Pd sol hituglh peruh sis [ ] B B I d [ ] B B I () Buktik hw (i) [ ] B B [ ] B B I [ ] B ; (ii) [ ] B B [ ] B [ ] B B I ; (iii) [ ] B [ ] B B I [ ] B [ ] B B I

B 6 rsforsi Lier Didit B Nugroho 8 7 Dierik trsforsi lier : R P (R) d S : P (R) M (R) g didefiisik oleh ( ) ( ) ( ) S(p) () () () () () () () p p p p p p p Jik g { } d etuk () [] g () [S] gd d [S ] d deg du cr g ered 8 Dierik S : R R g didefiisik oleh c S c c c d dierik sis g 6 () etuk [S] () etuk [I] g d [I] g (c) Hitug [S] g deg du cr ered 9 () Dierik : V W dlh trsforsi lier dri rug vektor V erdiesi d rug vektor W erdiesi Dierik i d g i erturutturut dlh du sis utuk V d W i Ntk sutu pers g eghuugk [ ] g d [ ] g () Jik : R M (R) didefiisik oleh d g g Buktik pers g ditulisk pd gi ()

B 6 rsforsi Lier Didit B Nugroho 8 ujukk hw triks g serup epui trce g s Yg kh dri trikstriks di wh g serup? () () (c) (d) (e) Dierik : P [](R) R g didefiisik oleh ( c ) c c c 5 5 5 ujukk hw dlh iversiel d tetuk

INDEKS F fugsi koposisi 66 H hooge 9 hooorfis 9 L lier 9 M triks ku 56 represetsi 59 N ulits 5 O opertor lier P pd 8 55 R rge rug ol 9 S stustu 5 5 55 serup 7 trsforsi idetits lier 9 triks ol