PREDIKSI KECEPATAN PHASE GELOMBANG SOLITER TERGANGGU AHMAD HAKIM SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2009
PERYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis dengan judul Prediksi Kecepatan Phase Gelombang soliter terganggu adalah karya saya sendiri dengan arahan dari komisi pembimbing, dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir tesis ini. Bogor, Juli 2009 Ahmad Hakim NIM G551070641
ABSTRACT AHMAD HAKIM. Phase Speed Prediction of the Perturbed Solitary Waves. Under supervision of JAHARUDDIN and ALI KUSNANTO. The Ocean can be considered to be inviscid and incompressible fluid (ideal fluid) which consist of some layers, where each layer has different constant density. Internal waves are waves occurred under sea surface. One of internal waves is internal solitary wave. One of formulations that can describe solitary wave movement is Korteweg-de Vries (KdV) equation. This research studies a solution of the slowly varying solitary wave using asymtotic solution of the perturbed KdV equation. Some variations of the solitary wave amplitude and the accompanying trailing tail are recovered. Here, the analysis is carried out through second order asymtotic expansion to determine a general expression for the first order phase speed. Two cases of example for the prediction of the first order phase speed are given. By using Mathematica 6 Software, the variation of the undisturbed solitary wave amplitude is shown to be influenced by some disturbance factors and. The first case shows that as amplitude increases, the tail decreases. Furthermore the first order phase speed increases as time increases for both positive and negative. On the other hand, the second case shows that as amplitude decreases, the tail decreases. Finally the first order phase speed increases as time increases for positive. Keywords : solitary waves, KdV equations, disturbance factor, asymtotic method
RINGKASAN AHMAD HAKIM. Prediksi Kecepatan Phase Gelombang Soliter Terganggu. Dibimbing oleh JAHARUDDIN dan ALI KUSNANTO. Gelombang tak linier yang dikaji dalam penelitian ini adalah gelombang soliter. Gelombang soliter adalah gelombang yang memiliki satu puncak, dimana dalam perambatannya mempertahankan bentuk dan kecepatannya. Selain itu, gelombang soliter juga memiliki sifat seperti partikel, yakni stabil melawan tumbukan. Persamaan gerak yang dapat menggambarkan gerak gelombang soliter adalah persamaan Korteweg-de Vries (KdV). Dalam bentuk standar, gelombang soliter persamaan KdV tidak mengalami gangguan. Dalam penelitian ini dikaji penyelesaian gelombang soliter persamaan KdV yang melibatkan faktor gangguan (perturbasi). Penyelesaian persamaan KdV yang melibatkan parameter perturbasi. diselesaikan dengan menggunakan metode asimtotik, dengan uraian asimtotik dilakukan hingga orde kedua. Metode ini banyak digunakan untuk menyelesaikan berbagai masalah tak linier. Dalam metode asimtotik, persamaan KdV diselesaikan dengan memisalkan peubah-peubah tak bebasnya dalam bentuk uraian asimtotik. Dari uraian asimtotik, dengan memperhatikan orde persamaan, maka pada orde rendah diperoleh persamaan KdV standar. Penyelesaian persamaan ini dilakukan dengan menggunakan asumsi bahwa penyelesaiannya berupa gelombang soliter. Diperoleh tiga parameter gelombang soliter tak terganggu, yaitu, dan, dengan menyatakan amplitudo gelombang, menyatakan kecepatan phase gelombang dan memberikan panjang gelombang soliter tak terganggu. Ketiga parameter ini saling berkaitan dan bergantung pada waktu, sehingga jika salah satu parameter diketahui, maka dua parameter lainnya dapat ditentukan. Untuk orde selanjutnya pada uraian asimtotik, pada kondisi terselesaikan diperoleh suatu persamaan yang secara ekplisit menggambarkan perilaku koreksi kecepatan phase bagi gelombang soliter terganggu. Persamaan bagi konsisten dengan hukum konservasi. Selanjutnya, diberikan dua studi kasus untuk memprediksi kecepatan phase. Pada dua studi kasus tersebut dikaji perubahan amplitudo ekor-ekor gelombang soliter terganggu dan kecepatan phase gelombang soliter terganggu. Dengan software Mathematica6, pada kasus pertama didapatkan hasil bahwa perubahan amplitudo gelombang soliter tak terganggu dipengaruhi oleh faktor gangguan (delta) yang diberikan. Untuk delta positif, perubahan amplitudo gelombang soliter tak terganggu meningkat dan sebaliknya menurun untuk delta negatif. Sementara itu, perubahan amplitudo gelombang soliter tak terganggu tidak berpengaruh secara signifikan terhadap perubahan amplitudo ekor gelombang soliter terganggu dan kecepatan phase gelombang soliter terganggu. Amplitudo ekor gelombang soliter terganggu menurun sedangkan kecepatan phase meningkat untuk delta positif dan negatif. Pada kasus kedua, perubahan amplitudo gelombang soliter tak terganggu menurun, sedangkan amplitudo ekor gelombang dan kecepatan phase menujukan situasi yang sama dengan kasus pertama, yaitu amplitudo ekor
gelombang menurun dan kecepatan phase meningkat untuk faktor gangguan positif. Kekonsistenan hasil ini terlihat pada simpangan gelombangnya ketika gelombang itu merambat, dimana dalam perambatannya gelombang soliter terganggu disertai ekor (tail) gelombang dengan kecepatan phase yang meningkat dan amplitudo ekor gelombang yang menurun. Selanjutnya gelombang soliter tak terganggu merambat dengan kecepatan phase meningkat, tetapi relatif tidak mengalami perubahan simpangan gelombang untuk waktu yang cukup lama. Kata kunci : Gelombang soliter, persamaan KdV, faktor gangguan, metode asimtotik.
@ Hak Cipta Milik IPB, tahun 2009 Hak Cipta dilindungi Undang-undang 1. Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan atau menyebutkan sumber a. Pengutipan hanya boleh untuk kepentingan pendidikan penelitian, penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik atau tinjauan suatu masalah, b. Pengutipan tidak merugikan kepentingan yang wajar IPB 2. Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh karya tulis dalam bentuk laporan apapun tanpa izin IPB
PREDIKSI KECEPATAN PHASE GELOMBANG SOLITER TERGANGGU AHMAD HAKIM Tesis sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister Sains pada Program Studi Matematika Terapan SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2009
Penguji Luar Komisi pada Ujian Tesis: Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, M.S.
Judul Tesis Nama NIM : Prediksi Kecepatan Phase Gelombang Soliter Terganggu : Ahmad Hakim : G551070641 Disetujui Komisi Pembimbing Dr. Jaharuddin, M.S. Ketua Drs. Ali Kusnanto, M.Si. Anggota Diketahui Ketua Program Studi Matematika Terapan Dekan Sekolah Pascasarjana Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, M.S. Prof. Dr. Ir. Khairil A. Notodiputro, M.S. Tanggal Ujian: 21 Juli 2009 Tanggal Lulus:
PRAKATA Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala karunia- Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Tema yang dipilih dalam penelitian yang dilaksanakan sejak bulan Desember 2008 ini adalah gelombang soliter, dengan judul Prediksi Kecepatan Phase Gelombang Soliter Terganggu. Terima kasih penulis ucapkan kepada Bapak Dr. Jaharuddin, MS dan Drs. Ali Kusnanto, M.Si. selaku Pembimbing, serta Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, M.S selaku penguji luar komisi dan selaku Ketua Program Studi Matematika Terapan yang telah membimbing dan banyak memberikan saran. Ucapan terima kasih juga disampaikan kepada Departemen Agama Republik Indonesia yang telah memberikan beasiswa kepada penulis selama menempuh pendidikan di IPB. Ucapan terima kasih yang tiada hingga kepada kedua Orangtua, Istri dan dua anak tercinta serta seluruh keluarga, atas segala do a dan kasih sayangnya. Semoga karya ilmiah ini bermanfaat. Bogor, Juli 2009 Ahmad Hakim
DAFTAR ISI Halaman DAFTAR GAMBAR... ix DAFTAR LAMPIRAN... x I PENDAHULUAN... 1 1.1 Latar Belakang... 1 1.2 Tujuan Penelitian... 2 II LANDASAN TEORI... 3 2.1 Konsep Metode Asimtotik... 3 2.2 Persamaan Dasar Fluida Ideal... 5 2.3 Penurunan Persamaan KdV... 6 2.4 Konsep Hukum Konservasi... 10 III METODE PENELITIAN 12 IV HASIL DAN PEMBAHASAN... 14 4.1 Analisis Asimtotik... 14 4.2 Gelombang Soliter Tak Terganggu... 15 4.3 Gelombang Soliter Terganggu... 16 4.4 Studi Kasus 20 4.4.1 Kasus Pertama... 20 4.4.2 Kasus Kedua. 25 V KESIMPULAN DAN SARAN... 30 DAFTAR PUSTAKA... 31 LAMPIRAN... 32
DAFTAR GAMBAR Halaman 1 Grafik penyelesaian MNA dengan metode asimtotik (garis penuh) dan penyelesaian eksak (garis putus-putus)... 4 2 Grafik perubahan amplitudo gelombang soliter tak terganggu dengan K 10, δ 7 dan ε 0.1... 22 3 Grafik M dan kecepatan phase gelombang soliter terganggu dengan K 10, δ 7 dan ε 0.1... 22 4 Grafik perubahan amplitudo gelombang soliter tak terganggu dengan K 10, δ 7 dan ε 0.1 22 5 Grafik M dan kecepatan phase gelombang soliter terganggu dengan K 10, δ 7 dan ε 0.1... 23 6 Simpangan gelombang soliter tak terganggu dengan K 10, δ 7 dan ε 0.1... 24 7 Simpangan gelombang soliter terganggu dengan K 10, δ 7 dan ε 0.1... 25 8 Grafik perubahan amplitudo gelombang soliter tak terganggu dengan K 1, v 12 dan ε 0.1.... 27 9 Grafik M dan kecepatan phase gelombang soliter terganggu dengan K 1, v 12 dan ε 0.1... 27 10 Simpangan gelombang soliter tak terganggu dengan K 1 dan v 12... 28 11 Simpangan gelombang soliter terganggu dengan K 1 dan v 12... 29
DAFTAR LAMPIRAN Halaman 1 Penurunan Persamaan (2.26), (2.28), (2.29), (2.32) dan (2.35)... 33 2 Penurunan Persamaan (4.6), (4.7) dan (4.8). 39 3 Pembuktian Persamaan (4.20).. 42 4 Penurunan Persamaan (4.24), (4.25) dan (4.29)... 46 5 Pembuktian Persamaan (4.30).. 49 6 Penurunan Persamaan (4.32), (4.33), (4.34) dan (4.35)... 57 7 Pembuktian Persamaan (4.24) dan (4.45). 59 8 Penurunan Persamaan (4.46), (4.47), (4.48) dan (4.49)... 62 9 Penurunan Persamaan (4.52) (4.56).. 64 10 Penurunan Persamaan (4.70) (4.73).. 66