MOVING AVERAGES
Pendahuluan Metode Peramalan: Metode Perataan: Equally weighted observations Metode pemulusan eksponensial (exponential smoothing) Pembobotan yang tidak sama pada data historis, dimana bobot meluruh secara eksponensial dari data terbaru hingga terlama. Parameter yang digunakan memiliki nilai antara 0 dengan 1. Parameter inilah yang menentukan bobot yang diaplikasikan pada data.
Pendahuluan Metode perataan Jika suatu data runtun waktu dibangkitkan dari suatu subyek proses konstan dengan adanya galat random, maka rata-rata merupakan statistik yang berguna sebagai peramalan di periode berikutnya. Metode perataan tepat digunakan untuk data runtun waktu yang stasioner, dimana keseimbangan data berada disekitar nilai konstan, dengan variansi yang konstan.
Metode Perataan (Averaging Methods) Rata-rata (simple average) Gunakan rata-rata dari semua data historis untuk melakukan peramalan F 1 t t 1 y i t i 1 Ketika terdapat data terbaru, maka peramalan pada t+2 adalah rata-rata seluruh data historis termasuk data terbaru tersebut. F 1 1 t t 2 y i t 1 i 1 Metode ini tepat digunakan ketika tidak terdapat pola trend dan musiman
Metode Perataan (Averaging Methods) Rata-rata bergerak (moving average) untuk t periode adalah rata-rata dari k data terbaru; Nilai konstan k ditentukan di awal ketika melakukan peramalan; Semakin kecil nilai k, berarti semakin besar bobot yang diberikan pada data terbaru; Semakin besar nilai k, berarti semakin kecil bobot yang diberikan pada data terbaru.
Single Moving Averages Bagaimana menentukan k? Nilai k yang besar digunakan ketika terdapat fluktuasi yang lebar dan jarang dalam suatu data; Nilai k yang kecil digunakan ketikan terdapat pergerakan tiba-tiba pada suatu data. Dengan kata lain, data cukup berfluktuatif. Misalkan, pada data kuarter, maka moving average dengan k=4 atau ditulis MA(4), mengeliminasi atau merata-ratakan efek musiman. Untuk data bulanan, maka MA(12) juga mengeliminasi atau merata-ratakan efek musiman.
Single Moving Averages Bobot yang sama diberikan pada setiap data yang digunakan dalam perataan. Each new data point is included in the average as it becomes available, and the oldest data point is discarded.
Single Moving Averages Suatu moving average dengan order k, MA(k), adalah nilai k data berurutan: F F t 1 t 1 t 1 yˆ 1 k t i t k 1 (y y y y ) y t t 1 t 2 t k 1 i k is the number of terms in the moving average. The moving average model does not handle trend or seasonality very well although it can do better than the total mean. k
Example 1: Weekly Department Store Sales The weekly sales figures (in millions of dollars) presented in the following table are used by a major department store to determine the need for temporary sales personnel. 1 5.3 2 4.4 3 5.4 4 5.8 5 5.6 6 4.8 7 5.6 8 5.6 9 5.4 10 6.5 11 5.1 12 5.8 13 5 14 6.2 15 5.6 16 6.7 17 5.2 18 5.5 19 5.8 20 5.1 21 5.8 22 6.7 23 5.2 24 6 25 5.8
Sales Example: Weekly Department Store Sales 8 Weekly Sales 7 6 5 4 3 2 1 0 0 5 10 15 20 25 30 Weeks
Example: Weekly Department Store Sales Misalkan: gunakan moving average tiga-minggu (k=3) untuk meramalkan penjualan department store minggu 24 dan 26. (y y y ) 5.2 6.7 5.8 3 3 23 22 21 ŷ24 5.9 Nilai galat peramalan: e y yˆ 6 5.9.1 24 24 24
Example: Weekly Department Store Sales Nilai peramalan untuk minggu ke 26 y y y 5.8 6 5.2 25 24 23 ŷ 26 5.7 3 3
Example: Weekly Department Store Sales Period (t) Sales (y) Peramalan e^2 PE 1 5.3 2 4.4 3 5.4 4 5.8 5.033333 0.587778 13.22% 5 5.6 5.2 0.16 7.14% 6 4.8 5.6 0.64 16.67% 7 5.6 5.4 0.04 3.57% 8 5.6 5.333333 0.071111 4.76% 9 5.4 5.333333 0.004444 1.23% 10 6.5 5.533333 0.934444 14.87% 11 5.1 5.833333 0.537778 14.38% 12 5.8 5.666667 0.017778 2.30% 13 5 5.8 0.64 16.00% 14 6.2 5.3 0.81 14.52% 15 5.6 5.666667 0.004444 1.19% 16 6.7 5.6 1.21 16.42% 17 5.2 6.166667 0.934444 18.59% 18 5.5 5.833333 0.111111 6.06% 19 5.8 5.8 0 0.00% 20 5.1 5.5 0.16 7.84% 21 5.8 5.466667 0.111111 5.75% 22 6.7 5.566667 1.284444 16.92% 23 5.2 5.866667 0.444444 12.82% 24 6 5.9 0.01 1.67% 25 5.8 5.966667 0.027778 2.87% 26 5.666667 MSE 0.397323 9.04% RMSE 0.630336 Peramalan menggunakan MA(3) menghasilkan MSE = 0.397
Grafik Penjualan Department Store example 1 8 7 6 5 4 3 Data asli Peramalan 2 1 0
Double Moving Average Prosedur peramalan: Double moving average dapat dikatakan moving average dari moving average; Gunakan single moving average orde t (S t ) Fitting: the difference between single moving average and double moving average at time t (S t S t ) Fitting: trend from t period to t+1 period (or to t+m period if we want to forecast m period)
Double Moving Average Secara umum, prosedur melakukan double moving average adalah sebagai berikut: S S X X X... X k S S S... S k ' t t 1 t 2 t k 1 t '' t t 1 t 2 t k 1 t a S S S 2S S ' ' '' ' '' t t t t t t 2 b S S k 1 F a b m ' '' t t t t m t t
Double moving average example 1 Period (t) Sales (y) S't=MA(3)S"t=MA(3x3 at bt F(t+1) e^2 PE 1 5.3 2 4.4 3 5.4 5.033333 4 5.8 5.2 5 5.6 5.6 5.277778 5.922222 0.322222 6 4.8 5.4 5.4 5.4 0 6.244444 2.08642 30.09% 7 5.6 5.333333 5.444444 5.222222-0.11111 5.4 0.04 3.57% 8 5.6 5.333333 5.355556 5.311111-0.02222 5.111111 0.239012 8.73% 9 5.4 5.533333 5.4 5.666667 0.133333 5.288889 0.012346 2.06% 10 6.5 5.833333 5.566667 6.1 0.266667 5.8 0.49 10.77% 11 5.1 5.666667 5.677778 5.655556-0.01111 6.366667 1.604444 24.84% 12 5.8 5.8 5.766667 5.833333 0.033333 5.644444 0.024198 2.68% 13 5 5.3 5.588889 5.011111-0.28889 5.866667 0.751111 17.33% 14 6.2 5.666667 5.588889 5.744444 0.077778 4.722222 2.183827 23.84% 15 5.6 5.6 5.522222 5.677778 0.077778 5.822222 0.049383 3.97% 16 6.7 6.166667 5.811111 6.522222 0.355556 5.755556 0.891975 14.10% 17 5.2 5.833333 5.866667 5.8-0.03333 6.877778 2.814938 32.26% 18 5.5 5.8 5.933333 5.666667-0.13333 5.766667 0.071111 4.85% 19 5.8 5.5 5.711111 5.288889-0.21111 5.533333 0.071111 4.60% 20 5.1 5.466667 5.588889 5.344444-0.12222 5.077778 0.000494 0.44% 21 5.8 5.566667 5.511111 5.622222 0.055556 5.222222 0.333827 9.96% 22 6.7 5.866667 5.633333 6.1 0.233333 5.677778 1.044938 15.26% 23 5.2 5.9 5.777778 6.022222 0.122222 6.333333 1.284444 21.79% 24 6 5.966667 5.911111 6.022222 0.055556 6.144444 0.020864 2.41% 25 5.8 5.666667 5.844444 5.488889-0.17778 6.077778 0.07716 4.79% 26 5.311111 27 5.133333 MSE 0.70458 11.92%
Grafik Penjualan Department Store menggunakan MA (3x3) example 1 8 7 6 5 4 3 Data asli Peramalan 2 1 0
Variasi dari Moving Average Single/simple moving average Double moving average Triple moving average (TRIX) Exponential moving average (EMA) Weighted moving average (WMA) Sinus weighted moving average (SWMA) Spencer 15 point moving average (SpMA) Dll
Weighted Moving Average (WMA) Pembobotan nilai pada WMA tergantung dari period yang kita tentukan, semakin besar period maka semakin pesar pembobotan nilai perhitungannya. WMA t;n nx n 1 X...1X 1 ( 1) t t t n n ( n 1)... 1 WMA bisa dihitung menggunakan rumus berikut
Exponential Moving Average (EMA) Pemberian bobot pada EMA sama seperti juga pada WMA, melibatkan periode. Rumus EMA: 2 EMA EMA EMA n 1 t;n X t t 1 t 1 Dengan nilai awal EMA diambil dari nilai MA sederhana.
TRIX Triple exponential moving average (TRIX) uses exponential moving average three times:
Sinus weighted moving average (SWMA) SWMA is a weighted average, based on motivation, that price (asset) fluctuates following some unknown wave. As model, Sine wave is used to adjust price weights.
Spencers 15 point moving average (SpMA) SpMA is another version of WMA used by actuaries. It is fixed 15 position mean with weights 3, -6, -5, 3, 21, 46, 67, 74, 67, 46, 21, 3, -5, -6, -3. The problem with this average is high lag.
Latihan Perhatikan data ln dari volume penumang berikut: Tahun 2014 2015 Bulan Ln(volume) 10 15.1 11 15.1 12 15.2 1 15.0 2 14.8 3 14.9 4 15.0 5 15.1 6 15.0 7 15.1 8 15.1 9 14.9 10 15.0 11 15.0 12 15.2 Lakukan peramalan 2 (dua) periode ke depan menggunakan: a. WMA (5) b. EMA (5) c. SWMA(5)