BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Sekilas Mengenai Tuberkulosis 2.1.1 Pengertian dan Sejarah Tuberkulosis Tuberkulosis TB adalah penyakit menular yang disebabkan oleh bakteri Mycobacterium Tuberculosis. Bakteri ini berbentuk batang dan bersifat tahan asam sehingga dikenal juga sebagai batang tahan asam BTA. Bakteri ini pertama kali ditemukan oleh seorang dokter dari Jerman bernama Robert Koch pada tanggal 24 Maret 1882. Penyakit tuberkulosis adalah salah satu penyakit tertua yang diketahui menyerang manusia Lisa Prihutami21. Tuberkulosis telah menyerang masyarakat pada ribuan tahun yang lalu. Hal ini ditunjukkan oleh tulang-tulang peninggalan masa pra sejarah di Jerman 8 SM. Fosil yang digali dari sisa-sisa peradaban Mesir kuno juga terdapat bukti-bukti bahwa penyakit ini sudah menjadi masalah kesehatan masyarakat. Dari berbagai catatan dunia banyak raja-raja dan tokoh-tokoh terkenal seperti Raja Henry VII Goethe Rousseau dan Chopin diketahui meninggal karena penyakit tuberkulosis Bambang Ruswanto 21. 2.1.2 Macam-macam Tuberkulosis Macam-macam tuberkulosis dibedakan berdasarkan pemeriksaan basil tahan asam dan BTA dalam dahak dan berdasarkan tipe pasien Departemen Kesehatan RI 25. Berdasarkan pemeriksaan batang tahan asam BTA dalam dahak tuberkulosis dibedakan menjadi tuberkulosis BTA positif dan tuberkulosis BTA negatif. Sedangkan berdasarkan pemeriksaan pasien dengan memperhatikan riwayat hidup penderita tuberkulosis dibedakan menjadi 6 macam yaitu sebagai berikut: 1. Kasus baru yaitu pasien yang belum pernah mendapatkan pengobatan dengan obat anti tuberkulosis OAT. II-1
2. Kasus kambuh relaps yaitu pasien tuberkulosis yang sebelumnya pernah mendapatkan pengobatan tuberkulosis dan dinyatakan telah sembuh. 3. Kasus pindahan transfer in yaitu penderita yang sedang mendapat pengobatan disuatu tempat kemudian pendah berobat ketempat lain. 4. Kasus lalai default/drop out penderita yang sudah berobat lebih kurang satu bulan dan berhenti dua bulan atau lebih kemudian datang kembali berobat. 5. Kasus gagal yaitu pasien BTA positif yang masih tetap positif atau penderita dengan hasil BTA negatif menjadi BTA positif. 6. Kasus kronis yaitu pasien dengan hasil pemeriksaan masih BTA positif setelah selesai pengobatan ulang. 2.1.3 Penyebaran Tuberkulosis Penyebaran penyakit tuberkulosis adalah melalui udara terkontaminasi oleh mycobacterium tuberculosis yang terhirup kemudian masuk kedalam paru-paru menyerang dinding pernapasan dengan membentuk rongga yang berisi nanah dan bakteri TB. Apabila penderita TB batuk atau bersin maka akan mengeluarkan bakteri TB keudara jika terhirup oleh orang yang rentan penyakit TB maka orang tersebut dapat terinfeksi bakteri TB. Infeksi TB dibedakan menjadi 2 macam yaitu terinfeksi secara latent dan terinfeksi secara aktif. Terinfeksi secara latent adalah kondisi dimana di dalam tubuh penderita terdapat bakteri TB yang bersifat dormant tidur tidak menimbulkan penyakit TB dalam tubuh penderita namun dalam waktu tertentu bakteri yang bersifat dormant dapat bangun dan menjadi aktif. Terinfeksi aktif adalah kondisi dimana tubuh penderita bakteri TB bersifat aktif berkembang biak dan menimbulkan gejala penyakit TB. II-2
2.1.4 Gejala Tuberkulosis Gejala tuberkulosis pada orang dewasa adalah umumnya mengalami batuk dan berdahak terus-menerus selama 3 minggu atau lebih batuk darah sesak nafas badan lemah malaise dan lain-lain. Gejala tuberkulosis pada anak-anak adalah berat badan turun demam lama atau berulang tanpa sebab yang jelas gejala dari saluran nafas dan gejala dari saluran cerna. 2.1.5 Penanganan Tuberkulosis Penanganan TB adalah dengan memberikan antibiotik kepada penderita. Pengobatan TB memerlukan waktu 6 sampai 9 bulan. Walaupun gejala penyakit TB sudah hilang pengobatan tetap harus dilakukan sampai tuntas karena bakteri mycobacterium tuberculosis masih berada dalam keadaan aktif dan siap membentuk resistensi terhadap obat. Hal-hal yang harus dilakukan untuk menghindari TB adalah sebagai berikut: 1. Hindari kontak dengan percikan batuk penderita. 2. Jangan menggunakan alat-alat makan/ minum/ mandi bersamaan dengan penderita. 3. Sirkulasi udara dan sinar matahari dirumah harus baik. 4. Pola hidup sehat sehingga daya tahan tubuh diharapkan cukup untuk memberikan perlindungan. 2.1.6 Populasi Terbuka Berdasarkan ruang lingkup populasi penyebaran tuberkulosis terjadi pada dua kondisi yaitu penyebaran pada populasi tertutup dan penyebaran pada populasi terbuka. Populasi tertutup adalah jika dalam populasi tidak terjadi proses migrasi perubahan pada jumlah populasi hanya disebabkan oleh kelahiran dan kematian Kalu dan Inyama 212. Sebaliknya populasi terbuka adalah jika dalam populasi II-3
terjadi proses migrasi sehingga proses migrasi juga dapat mempengaruhi perubahan jumlah populasi. 2.2 Sistem Persamaan Diferensial Persamaan diferensial adalah persamaan yang melibatkan variabel tak bebas dependent variable dan derivatifnya terhadap variabel bebas indefendent variable. Suatu persamaan yang memuat turunan dari suatu fungsi yang terdiri dari satu variabel bebas maka disebut persamaan diferensial biasa. Sebaliknya jika suatu persamaan memiliki lebih dari satu variabel bebas maka disebut persamaan diferensial parsial Didit Budi Nugroho 21. Definisi 2.1 Roni Tri Putra 211: Diberikan fungsi fungsi f transformasi linier operator linier pada lim dikatakan diferensiabel di sehingga: disebut turunan f di dengan dan ℎ : dengan jika terdapat menyatakan himpunan semua 2.1. Jika suatu fungsi diketahui diferensiabel maka turunan parsialnya selalu ada. Apabila terdapat beberapa persamaan diferensial maka akan membentuk sistem persamaan diferensial. Diberikan sistem persamaan differensial : dengan 2.2 dan ℝ. Sistem persamaan differensial 2.2 dapat ditulis dalam bentuk sistem persamaan berikut : 2.3 II-4
dengan adalah fungsi kontinu pada [ab] dari untuk i 12... n. Bentuk sistem persamaan diferensial linier dengan n fungsi tak diketahui dapat dituliskan sebagai berikut: 2.4 Selanjutnya sistem Persamaan 2.4 dapat dituliskan dalam bentuk: dengan: 2.5 [ [ ] ] Definisi 2.2 Perko 1991: Titik Definisi 2.3 Kocak 1991: Diberikan 12. Matriks disebut solusi sistem 2.2 jika. pada sistem 2.2 dengan 2.6 dinamakan matrik Jacobian dari f dititik x. Sifat kestabilan dapat diketahui dengan menggunakan matriks Jacobian jika titik equilibrium tersebut hiperbolik. Titik equilibrium disebut titik II-5
equilibrium hiperbolik jika semua nilai eigen nol Roni Tri Putra 211. mempunyai bagian real tidak Teorema 2.1 Tu 1994: Secara umum kestabilan titik tetap mempunyai perilaku sebagai berikut: 1. Stabil jika a. Setiap nilai eigen yang berupa bilangan real bernilai negatif semua i. < untuk b. Setiap komponen bagian real dari nilai eigen kompleks lebih kecil dari nol Re untuk semua i. 2. Tidak stabil jika a. Ada nilai eigen yang berupa bilangan real yang bernilai positif suatu i. > untuk b. Ada komponen bagian real dari nilai eigen kompleks yang lebih besar atau Bukti: sama dengan nol Re > untuk suatu i. Andaikan matriks dapat didiagonalkan maka sistem dapat direduksi menjadi persamaan-persamaan diferensial orde satu masing-masing dalam bentuk: dengan 1 2 3 adalah nilai eigen dari matriks 1 2 berikut ini: 1 II-6
maka ln dengan syarat Jika untuk untuk maka maka 2.3. < <. Titik Kesetimbangan Equilibrium dan Analisa Kestabilan Keadaan setimbang equilibrium dari suatu persamaan diferensial adalah sembarang penyelesaian konstan persamaan tersebut. Dalam model matematika penyebaran penyakit terdapat dua titik kesetimbangan yaitu titik kesetimbangan bebas penyakit free-disease dan titik kesetimbangan endemik penyakit. Titik kesetimbangan bebas penyakit free-disease terjadi jika dalam suatu populasi tidak terdapat individu yang terinfeksi penyakit dan apabila dalam populasi tersebut selalu terdapat individu yang terinfeksi maka disebut titik kesetimbangan endemik penyakit Husni Tamrin 27. Analisis kestabilan dilakukan untuk mengetahui informasi yang menggambarkan perilaku sistem pada titik kesetimbangan. Keadaan setimbang tersebut dikatakan stabil jika semua solusi yang dekat dengan titik kesetimbangan menuju titik tersebut. Berikut ini diberikan definisi tentang kestabilan: II-7
Definisi 2.4 Widodo 27: Titik kesetimbangan equilibrium yang memenuhi f dikatakan : 1. Stabil jika untuk untuk setiap > terdapat yang memenuhi < untuk setiap solusi < untuk setiap. 2. Stabil asimtotik jika stabil dan terdapat berakibat lim ~ > sedemikian sehingga. yang berakibat > sehingga < yang 3. Tidak stabil jika titik equlibrium tidak memenuhi 1. Sedangkan kestabilan yang bersifat lokal jika untuk sembarang titik awal solusi sistem persamaan differensial 2.4 membesar menuju tak hingga konvergan ke Namun jika untuk titik berada dekat titik. maka stabil asimtotik global. Kriteria Routh-Hurwitz adalah matriks n x n untuk nilai eigen persamaan det Jika dengan adalah matriks identitas dapat diturunkan menjadi persamaan polinomial orde ke-n. Persamaan polinomial ini disebut persamaan karakteristik dan dapat dinyatakan sebagai berikut: 2.7 Jika persamaan karakteristik yang diperoleh cukup rumit untuk menentukan akar-akar karakteristiknya yaitu nilai eigen matriks maka untuk menentukan apakah nilai eigen bernilai negatif dapat menggunakan kriteria Routh-Hurwitz. Teorema 2.2 Hasim A. O. A 211: Titik equilibrium akan stabil jika: 1. Untuk n 2 kondisi Routh-Hurwitz adalah 2. Untuk n 3 kondisi Routh-Hurwitz adalah > dan > 3. Untuk n 4 kondisi Routh-Hurwitz adalah >. >. > dan > > >. > dan II-8
Bukti: Bentuk polinomial untuk persamaan karakteristik nilai eigen adalah: Sedangkan bentuk umum matriks Hurwitz adalah sebagai berikut: 1 1 2 1 1 3 4 3 2 5 2 k 1 2 k 2 2 k 3 2 k 4 k Bagian real dari matriks Hurwitz akan bernilai negatif jika: det Untuk > 2 persamaan karakteristiknya adalah sebagai berikut: dan matriks Hurwitsnya adalah sebagai berikut: det 1 1 > jika > dan >. 3 persamaan karakteristiknya adalah sebagai berikut: Untuk dan matriks Hurwitsnya adalah sebagai berikut: 1 1 II-9
det > jika > > > dan >. 4 persamaan karakteristiknya adalah sebagai berikut: Untuk dan matriks Hurwitsnya adalah sebagai berikut: det 2.5 > 1 1 1 1. > jika > > > > dan Model MSLIR Populasi pada model MSLIR dibagi menjadi lima kelompok yaitu immune kelas individu bayi yang diberi imun untuk kekebalan tubuh suspectible kelas subpopulasi yang rentan terinfeksi penyakit latent kelas individu yang telah terinfeksi penyakit tetapi tidak dapat menularkannya kepada orang lain infektive kelas individu yang telah terinfeksi penyakit dan dapat menularkannya kepada orang lain dan recovered kelas subpopulasi yang sudah sembuh dari penyakit. Contoh penerapan model MSLIR ini yaitu pada epidemi penyebaran penyakit tuberkulosis. Model MSLIR penyebaran penyakit tuberkulosis memerlukan asumsi-asumsi sebagai berikut: 1. Sebagian populasi yang baru lahir diimunisasi terhadap infeksi tuberkulosis melalui vaksinasi sebesar. 2. Laju penularan dari kelas rentan menjadi laten TB sebesar k. II-1
3. Laju penularan dari kelas laten menjadi aktive TB sebesar. 4. Laju penyembuhan dari kels aktive TB menjadi removered sebesar. 5. Penyakit tuberkulosis menyebabkan kematian sebesar. 6. Kematian alami terjadi pada setiap kelas dengan laju. 7. Populasi yang baru lahir masuk ke dalam kelas suspectible sebesar 1. 8. Efikasi vaksin berakhir dengan laju sebesar. 9. Banyaknya populasi yang lahir sebesar. 1. Populasi bersifat tertutup. Berdasarkan asumsi di atas dapat dibuat diagram alir untuk model MSLIR sebagai berikut: M 1 S L I R Gambar 2.1 Diagram Alir Model MSLIR Berdasarkan diagram alir di atas maka dapat dibentuk sistem persamaan diferensial sebagai berikut: 1 2.8.a 2.8.b 2.8.c II-11
2.5.1 2.8.d 2.8.e 2.8.f Titik Equilibrium Bebas Penyakit Titik equilibrium bebas penyakit adalah suatu kondisi dimana tidak ada lagi penyakit yang menyerang dengan kata lain tidak ada lagi individu yang terserang penyakit tuberkulosis. Titik equilibrium bebas penyakit ini dinotasikan dengan sehingga. Selanjutnya subtsitusikan nilai Berdasarkan Persamaan 2.8.a: ke dalam Persamaan 2.8.a-2.8.e. Berdasarkan Persamaan 2.8.b: 1 1 Berdasarkan Persamaan 2.8.e: II-12
Sehingga diperoleh titik equilibrium bebas penyakit untuk model MSLIR adalah 2.5.2. Titik Equilibrium Endemik Penyakit Titik equilibrium endemik penyakit adalah suatu keadaan dimana penyakit selalu ada di dalam populasi dengan kata lain selalu ada individu yang terserang penyakit tuberkulosis. Titik equilibrium endemik penyakit ini dinotasikan dengan. Untuk mendapatkan titik equilibrium endemik penyakit maka dilakukan penyelesaian sebagai berikut: Berdasarkan Persamaan 2.8.a: Berdasarkan Persamaan 2.8.d: Selanjutnya substitusikan nilai ke dalam Persamaan 2.8.c: II-13
Kemudian substitusikan nilai 1 1 ke dalam ke dalam Persamaan 2.8.b: Kemudian substitusikan nilai dan : Kemudian berdasarkan Persamaan 2.8.e: Sehingga diperoleh titik equilibrium endemik penyakit model MSLIR adalah. II-14
2.5.3 Kestabilan Titik Equilibrium Kestabilan titik equilibrium dapat dilihat dengan menggunakan matriks Jacobian. Misalkan dari sistem 2.8: 1 Selanjutnya dicari turunan parsial terhadap variabel pada fungsi tersebut. 1. Fungsi diturunkan terhadap variabel berikut: masing-masing sebagai masing-masing sebagai 2. Fungsi diturunkan terhadap variabel berikut: II-15
3. Fungsi diturunkan terhadap variabel berikut: masing-masing sebagai masing-masing sebagai masing-masing sebagai 4. Fungsi diturunkan terhadap variabel berikut: 5. Fungsi diturunkan terhadap variabel berikut: II-16
Sehingga diperoleh matrik Jacobian untuk model MSLIR sebagai berikut: ki ks ki ks a. Kestabilan titik equilibrium bebas penyakit free-disease Teorema 2.3: Jika lokal. > maka titik equilibrium bebas penyakit stabil asimtotik Bukti: Titik equilibrium bebas penyakit model MSLIR adalah. Selanjutnya dengan mensubstitusikan titik ini ke dalam matriks Jacobian di atas maka diperoleh: ki kiˆ Selanjutnya akan dicari determinan dari ksˆ ksˆ c P k c P k. II-17
cp k cp k Maka diperoleh: c P k c P k c P k c P k II-18
Misalkan: Untuk dan diperoleh dari matriks. Dari matriks diperoleh persamaan karakteristik sebagai berikut: 2 Persamaan di atas dapat diubah menjadi bentuk berikut ini: dengan: 1 2 > dan a Akan ditunjukkan dan b Akan ditunjukkan >. >. Oleh karena > maka akan ditunjukkan: akan bernilai >. Oleh karena semua parameter bernilai positif maka terbukti >. 2 Berdasarkan Teorema 2.2 kriteria Routh-Hurwitz negatif jika > II-19
Perhatikan bahwa: Karena Akibatnya: dan Oleh karena < > sehingga > Oleh karena > > maka akan < < >. > > sehingga terbukti < dan ditunjukkan: maka berdasarkan teorema 3 >. < berdasarkan Teorema 2.2 kriteria Routh-Hurwitz titik equilibrium bebas penyakit adalah stabil asimtotik lokal. b. Kestabilan titik equilibrium endemik penyakit Titik equilibrium endemik penyakit model MSLIR penyebaran penyakit tuberkulosis adalah. Selanjutnya dengan mensubstitusikan titik ini ke dalam matriks Jacobian maka diperoleh: II-2
ki * ks * ki * ks * - c P k k k k - c P k k k k Selanjutnya akan dicari determinan dari * * ki ks ki * ks* * * ki ks * * ki ks ki * ki * ks * ks * II-21
Maka diperoleh: Misalkan: Untuk dan diperoleh dari matriks B. Dari matriks B diperoleh persamaan karakteristik sebagai berikut: Persamaan di atas dapat diubah dalam bentuk sebagai berikut: dengan: 1 Berdasarkan Teorema 2.2 kriteria Routh-Hurwitz bernilai negatif jika a Akan ditunjukkan > >. > > dan > > akan. Oleh karena semua nilai parameter bernilai positif maka terbukti b Akan ditunjukkan dan >. II-22
>. Oleh karena semua nilai parameter bernilai positif maka terbukti > c Akan ditunjukkan > Perhatikan bahwa: maka akan ditunjukkan: > > < < > > sehingga terbukti Oleh karena > jika dan hanya jika 2 >.. < < dan < maka berdasarkan Teorema 2.2 kriteria Routh-Hurwitz titik equilibrium endemik penyakit adalah stabil asimtotik lokal. Hal ini berarti dalam waktu yang lama penyakit selalu ada dalam populasi. II-23
II-24