PENDUGAAN PARAMETER REGRESI DENGAN BOOTSTRAP RESIDUAL UNTUK JUMLAH SAMPEL YANG BERVARIASI M a r zu k i, H i zi r S o f y a n Universitas Syiah Kuala marz_ukie@yahoo.com ABSTRAK Penelitian ini bertujuan untuk menduga parameter model regresi linier dan membandingkannya untuk beberapa variasi jumlah sampel bootstrap dan jumlah perulangan. Data yang digunakan dalam penelitian tentang pendugaan parameter regresi sederhana ini adalah data sekunder. Komponen yang dibootstrap adalah residual dari model yang telah diduga dengan memakai data asli. Penarikan sampel bootstrap diulang dengan perulangan yang berbeda-beda dan kemudian dianalisis perbedaan parameter-parameter yang diperoleh dari bermacam perulangan tersebut. Beberapa variasi jumlah sampel bootstrap dan jumlah perulangan bootstrap dilakukan, yaitu masing-masing untuk kombinasi n = 5,, 2, dan 5 serta B =, 2, 5, dan. Dugaan parameter ˆ, cenderung tidak dipengaruhi oleh banyaknya jumlah sampel bootstrap, tetapi sedikit dipengaruhi oleh banyaknya perulangan bootstrap. Dugaan untuk parameter ˆ berlaku sebaliknya. Kata kunci: regresi linier, dugaan parameter, bootstrap, residual PENDAHULUAN Model regresi adalah metode statistik yang paling bermanfaat dan paling sering digunakan. Model regresi diperoleh dengan pendugaan parameter regresi. Pendugaan parameter ini didasarkan pada variansi masing-masing parameter. Hal ini dilakukan atas dasar asumsi-asumsi tertentu dalam model regresi. Mencari hubungan fungsional antara satu atau beberapa peubah dengan sebuah peubah respon, adakalanya dihadapkan dengan sedikitnya data yang tersedia. Simulasi bootstrap sering digunakan dalam analisis statistik seperti menghitung standar error dari suatu statistik dan analisis regresi. Metode bootstrap memungkinkan mengambil data sampel lebih banyak berdasarkan data aslinya (data yang tersedia). Komponen yang dibootstrap adalah residu dari model yang telah diduga dengan memakai data asli (belum dibootstrap). Penarikan sampel bootstrap diulang dengan perulangan yang berbeda-beda dan kemudian dianalisis perbedaan parameter-parameter yang diperoleh dari bermacam perulangan tersebut. Model regresi yang digunakan dalam penelitian ini adalah model regresi linier sederhana. Penelitian ini bertujuan untuk menduga parameter model regresi linier dan 93

membandingkannya untuk beberapa variasi jumlah sampel bootstrap dan jumlah perulangan. BAHAN DAN METODE Data yang digunakan dalam penelitian tentang pendugaan parameter regresi ini adalah sekumpulan data riil, untuk model regresi linier sederhana. Data riil digunakan supaya data yang disimulasikan ini dapat dipastikan ada hubungan fungsionalnya antara peubah bebas dan peubah takbebas. Data Jumlah hormon antiinflamasi (dalam milligram) yang tersisa di 27 perangkat dari 3 industri yang berbeda setelah beberapa jam pemakaian, diambil dari buku An Introduction to the Bootstrap (Efron dan Tibshirani, 993). Data sampel ini disajikan dalam Tabel. Tabel. Jumlah hormon antiinflamasi (dalam milligram) yang tersisa di 27 perangkat Nomor Sampel Jumlah Hormon (mg) Pemakaian (jam) Y X 2 3 4 5 6 7 8 9 2 3 4 5 25,8 2,5 4,3 23,2 2,6 3, 2,9 2,9 3,4 6,3,6,8 32,5 32, 8, 99 52 293 55 96 53 84 7 52 376 385 42 29 76 296 94

6 7 8 9 2 2 22 23 24 25 26 27 24, 26,5 25,8 28,8 22, 29,7 28,9 32,8 32,5 25,4 3,7 28,5 5 77 29 9 88 5 88 58 49 5 7 25 Kumpulan data riil pertama (Tabel ) diduga model regresi linier sederhana. Pendugaan parameter dengan metode bootstrap residual dilakukan berdasarkan langkah-langkah berikut:. Menduga parameter regresi linier sederhana untuk data yang sudah ditetapkan (Tabel ) M 2. Menghitung nilai residual dari model tersebut 3. Sampel bootstrap dari nilai-nilai residual diambil sebanyak jumlah sampel awal, yaitu sampel 4. Menduga model regresi dari sampel bootstrap di atas 5. Langkah ke-3 dan ke-4 diulang sebanyak kali, sehingga diperoleh parameter 6. Menduga parameter bootstrap 7. Langkah ke-3 sampai ke-6 juga dilakukan untuk 8. Langkah ke-3 dan ke-7 juga diulang untuk 9. Terakhir, dilakukan perbandingan parameter di antara perulangan yang berbeda. 95

HASIL DAN DISKUSI Data riil dijadikan dasar data analisis untuk mencapai tujuan penelitian. Data riil pada Tabel, diduga model regresi sederhana sehingga memberikan nilai ˆ b 34,675, dan ˆ b, 574. Model regresi linier yang diperoleh, Yˆ 34,675,574 X. Hasil ini dapat dilihat pada Gambar. Gambar. Output model regresi linier Dari output ini, dapat dikatakan bahwa peubah bebasnya berpengaruh secara signifikan terhadap peubah responnya, dengan nilai P yang cukup kecil untuk kedua parameter yang ada. Sementara koefisien determinasinya mencapai 86,9%. Model linier ini memberikan nilai residual sebagai berikut: Tabel 2. Nilai residual dari model linier Nomor Sampel ˆ Nomor Sampel ˆ -2,683 5,8366 2-4,9357 6 -,393 3-3,358 7 2,55 4-2,634 8 3,6388 5-2,38 9,4686 6 -,229 2 -,3676 7-2,6974 2 2,388 8-3,4442 22 -,223 9 -,783 23,9644 96

3,7323 24,473 -,457 25 -,56 2,7259 26 3,6792 3 -,6 27,533 4 2,984 Sampel bootstrap diambil secara nonparametrik dari 27 sampel data riil. Kasus pertama, ambilan sebanyak n 27 sampel atau sebanyak sampel aslinya. Dari sampel ini diduga nilai parameter dan. Misalkan nilai dugaan untuk pengambilan pertama ini masing-masing adalah ˆ dan ˆ. Pengambilan masing-masing 27 sampel ini diulang sebanyak B kali sehingga diperoleh nilai dugaan parameter 2 regresi untuk masing-masing parameter, yaitu ˆ, ˆ,, ˆ 2 dan ˆ, ˆ,, ˆ. Dugaan bootstrap untuk parameter diperoleh dengan menghitung rata-rata dari parameter ˆ, ˆ,, ˆ. Sehingga untuk sampel bootstrap n 27 dan perulangan 2 ˆ * bootstrap B diperoleh rata-ratanya 34,2389. Selanjutnya, dengan cara yang sama, rata-rata dari parameter ˆ, ˆ,, ˆ 2 ˆ * diperoleh -,58. Berikutnya, untuk pengambilan sebanyak n 27 sampel dan B 2. Dugaan parameter ˆ diperoleh dengan mencari rata-rata dari 2 nilai dugaan ˆ, ˆ,, ˆ, sehingga dihasilkan ˆ * 34, 2256. Sedangkan dugaan parameter 2 2 ˆ untuk perulangan ini adalah ˆ * -,58 Langkah-langkah seperti ini juga dilakukan untuk jumlah sampel bootstrap dan jumlah perulangan bootstrap yang lain. Kesemua dugaan parameter tersebut disajikan dalam Tabel 3. Tabel 3. Dugaan parameter regresi sederhana dengan bootstrap n B * ˆ Parameter * ˆ 34,2389 -,58 27 2 34,2256 -,58 97

5 34,23 -,58 34,28 -,58 34,892 -,577 5 2 34,22 -,578 5 34,229 -,577 34,882 -,577 34,766 -,576 2 34,85 -,576 5 34,779 -,576 34,73 -,575 34,753 -,575 2 2 34,754 -,575 5 34,77 -,575 34,79 -,575 Semua nilai dugaan parameter dengan bootstrap residual (dalam Tabel 3), harga mutlaknya lebih besar daripada nilai dugaan parameter dengan data asli. Tetapi perbedaan tersebut tidak terlalu jauh. KESIMPULAN Kajian terhadap pendugaan parameter regresi dengan metode bootstrap residual dilakukan untuk 6 kasus dengan berbagai variasi jumlah sampel bootstrap dan variasi jumlah perulangan bootstrap. Pendugaan ini dilakukan masing-masing untuk parameter pada model regresi linier sederhana. Variasi tersebut masing-masing adalah untuk jumlah sampel bootstrap yang berbeda, yaitu n 27, 5,, 2 dan untuk jumlah perhitungan parameter yang berbeda, yaitu B, 2, 5,. Ada beberapa hal yang dapat disimpulkan sehubungan dengan kajian tersebut, yaitu: ) Dugaan parameter ˆ yang dihasilkan, cenderung tidak dipengaruhi oleh banyaknya jumlah sampel bootstrap, tetapi sedikit dipengaruhi oleh banyaknya perulangan bootstrap. 2) Dugaan untuk parameter ˆ berlaku sebaliknya. Banyaknya perulangan bootstrap hampir tidak berpengaruh untuk semua jumlah sampel bootstrap yang dicoba, tetapi cenderung ada pengaruh jika jumlah sampel bootstrapnya berbeda. 98

UCAPAN TERIMA KASIH Terima kasih kami sampaikan kepada Jurusan Matematika dan Fakultas MIPA Universitas Syiah Kuala yang telah memberikan dukungan untuk kami melakukan penelitian ini. DAFTAR PUSTAKA Chernick, M.R., (28). Bootstrap Methods : A Guide for Practitioners and Researchers, Second Edition. John Wiley & Sons, New Jersey, 8-82. Efron, B. dan Tibshirani, R.J., (993). An Introduction to the Bootstrap, Chapman & Hall, New York, 7-2. Marzuki, Sofyan, H., dan Rusyana, A., (2). Pendugaan Selang Kepercayaan Persentil Bootstrap Nonparametrik untuk Parameter Regresi, Jurnal Statistika, Jurusan Statistika FMIPA Unisba, Vol. No., 3-23. 99