DIMENSI PARTISI PADA TIGA HASIL OPERASI GRAF CYCLE DENGAN GRAF PATH oleh HIDRA VERTANA M0112042 SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SEBELAS MARET SURAKARTA 2016 i
ii
ABSTRAK Hidra Vertana, 2016. DIMENSI PARTISI PADA TIGA HASIL OPERASI GRAF CYCLE DENGAN GRAF PATH. Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Sebelas Maret. Teori graf merupakan salah satu cabang matematika yang berkembang begitu cepat. Dalam kehidupan sehari-hari, teori graf membantu menyelesaikan permasalahan manusia dengan merepresentasikan objek diskrit sebagai vertex dan hubungan antar objek diskrit sebagai edge. Salah satu konsep teori graf yang menarik adalah dimensi partisi. Dimensi partisi pada graf G dinotasikan pd(g) adalah kardinalitas terkecil dari partisi pembeda terhadap V (G), dengan Π = {S 1, S 2,..., S k } pada V (G) merupakan himpunan partisi pembeda sedemikian sehingga representasi jarak tiap vertex v V (G) ke Π berbeda. Tujuan penelitian ini untuk menentukan rumus umum dimensi partisi pada tiga hasil operasi graf cycle dengan graf path. Operasi tersebut adalah operasi product (graf C m P n ), korona (graf C m P n ), dan join (graf C m + P n ). Hasil dimensi partisi pada graf C m P n adalah pd(c m P n ) = 3 dengan m 3 dan n 2. Selanjutnya, dimensi partisi graf C m P n dengan m 3 dan n 2 adalah pd(c m P n ) = k + 1 dimana k bilangan bulat positif terkecil yang memenuhi n 2 untuk k = 2, n 3k 2 untuk k = 3, dan n k3 3k 2 +6k 2 2 untuk k 4. Dimensi partisi graf C 3 +P n dengan n 2 yaitu pd(c 3 +P n ) = g dimana g dimana bilangan positif terkecil yang memenuhi n 5g 12 untuk g = 5 dan n g3 7g 2 +20g 18 2 untuk g 6, dan pd(c q + P n ) = min{p + f, r + t, x + y}, untuk q 4 dan n 2 dimana p, f, r, t, x dan y merupakan bilangan bulat positif tertentu yang terkait dengan banyaknya kelas partisi yang memuat vertex-vertex C q dan P n. Kata Kunci: Dimensi partisi, partisi pembeda, graf C m P n, graf C m P n, graf C m + P n iii
ABSTRACT Hidra Vertana, 2016. ON THE PARTITION DIMENSION OF THREE OPERATIONS OF CYCLE GRAPH WITH PATH GRAPH. Faculty of Mathematics and Natural Sciences, Sebelas Maret University. Graph theory is a branch of mathematics that developed rapidly. In daily life, the graph theory is used to solve some problems with vertex as discrete objects and edge as the relationship between both of them. One of the interesting concepts in graph theory is so called the partition dimension. The partition dimension of G denoted pd(g) is the minimum cardinality of partition of V (G), with Π = {S 1, S 2,..., S k } on V (G) is called a resolving partition if the representations of vertex v V (G) with respect to Π are distinct. In this research, we determine the partition dimension of three operations of cycle graph with path graph. The operations are product (C m P n graph), corona (C m P n graph), and join (C m + P n graph). The partition dimension of C m P n graph is pd(c m P n ) = 3 with m 3 and n 2. Next, the partition dimension of C m P n graph with m 3 and n 2 is pd(c m P n ) = k + 1 where k is the smallest positive integer such that n 2 for k = 2, n 3k 2 for k = 3, and n k3 3k 2 +6k 2 for k 4. The 2 partition dimension of C 3 +P n graph with n 2 is pd(c 3 +P n ) = g where g is the smallest positive integer such that n 5g 12 for g = 5 and n g3 7g 2 +20g 18 2 for g 6, and pd(c q + P n ) = min{p + f, r + t, x + y} for q 4 and n 2 where p, f, r, t, x and y are some positive integers related to the number of partition classes containing vertices of C q and P n. Keywords : Partition dimension, resolving partition, C m P n graph, C m P n graph, C m + P n graph iv
PERSEMBAHAN Karya ini kupersembahkan untuk ibu, bapak, dan kakak saya. v
KATA PENGANTAR Bismillahirrahmanirrahim, Segala puji bagi Allah SWT atas segala rahmat dan hidayah-nya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini. Sholawat serta salam selalu dihaturkan kepada Nabi Muhammad SAW. Penulis menyadari bahwa selesainya skripsi ini berkat dorongan, dukungan dan bimbingan dari semua pihak. Oleh karena itu penulis menghaturkan terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu dalam penulisan skripsi ini, terutama kepada Prof. Drs. Tri Atmojo Kusmayadi, M.Sc., Ph.D. sebagai pembimbing yang telah memberikan bimbingan dalam materi dan penulisan, motivasi, dan semangat sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini. Semoga skripsi ini bermanfaat. Surakarta, Oktober 2016 Penulis vi
DAFTAR ISI PENGESAHAN............................... iii ABSTRAK................................. iii ABSTRACT................................ iv PERSEMBAHAN.............................. v KATA PENGANTAR........................... vi DAFTAR ISI................................ viii DAFTAR GAMBAR............................ ix DAFTAR NOTASI............................. x I PENDAHULUAN 1 1.1 Latar Belakang Masalah....................... 1 1.2 Perumusan Masalah......................... 2 1.3 Tujuan................................. 2 1.4 Manfaat................................ 3 II LANDASAN TEORI 4 2.1 Tinjauan Pustaka........................... 4 2.2 Landasan Teori............................ 5 2.2.1 Pengertian Dasar Graf.................... 5 2.2.2 Operasi pada Graf...................... 8 2.2.3 Kelas-Kelas Graf....................... 9 2.2.4 Dimensi Partisi........................ 11 2.3 Kerangka Pemikiran......................... 12 III METODE PENELITIAN 15 vii
IV HASIL DAN PEMBAHASAN 16 4.1 Dimensi Partisi pada Graf C m P n................. 16 4.2 Dimensi Partisi pada Graf C m P n................. 20 4.3 Dimensi Partisi pada Graf C m + P n................. 24 V PENUTUP 36 5.1 Kesimpulan.............................. 36 5.2 Saran.................................. 37 DAFTAR PUSTAKA 38 viii
DAFTAR GAMBAR 2.1 Graf G................................. 6 2.2 Graf G 1 dan Graf H......................... 7 2.3 (a) Graf C 3 dan P 2, (b) Graf C 3 P 2, (c) Graf C 3 +P 2, (d) Graf C 3 P 2, dan (e) Graf C 3 P 2..................... 9 2.4 Graf C m P n............................. 10 2.5 Graf C m P n............................. 10 2.6 Graf C m + P n............................. 11 2.7 Graf cycle C 4............................. 12 ix
DAFTAR NOTASI G : graf G u, v : vertex uv : edge V (G) : himpunan vertex dari graf G E(G) : himpunan edge dari graf G V (G) : banyaknya vertex dari graf G (order) E(G) : banyaknya edge dari graf G (size) deg v : degree vertex v dari graf G d(u, v) : jarak dari vertex u ke v pada graf G G = H : graf G isomorphic dengan graf H d(v, S) : jarak dari vertex v terhadap himpunan bagian S pada graf G diam(g) : diameter dari graf G : operasi union + : operasi join : operasi product : operasi korona : himpunan bagian : anggota : pembulatan ke atas (ceiling) W : himpunan pembeda W : kardinalitas himpunan pembeda dim(g) : dimensi metrik pada graf G x
S i : kelas partisi ke-i S i : kardinalitas dari kelas partisi ke-i Π : partisi pembeda Π : kardinalitas dari partisi pembeda r(v Π) : representasi jarak setiap vertex v terhadap Π pd(g) : dimensi partisi pada graf G P n : graf lintasan ber-order n C m : graf cycle ber-order m xi