PRAKATA Alhmdulillhiril lmin, segl puj dn puji syukur kmi pnjtkn kepd Allh SWT. Tnp kruni-ny, kit tk dpt menyelesikn nskh uku ini tept pd wktuny mengingt tugs dn kewjin lin yng ersmn hdir. Buku ini kmi susun dlm rngk memenuhi tugs Mt Kulih Progrm Komputer yitu memut uku jr. Buku ini erisi tentng mteri Integrl kels XII SMA, dn pliksiny dlm kehidupn sehri-hri. Terselesiknny penulisn uku ini jug tidk terleps dri ntun eerp pihk. Kren itu, kmi menympikn terim ksih kepd Dosen Pemiming kren telh memerikn wktu dn ilmuny untuk mengjri kmi, dn semu rekn yng telh ikut memiming kmi dlm penyusunn uku ini. Dlm penyusunn uku ini tentu juh dri sempurn meskipun kmi telh erush untuk menghindrkn keslhn, kmi menydri hw uku ini msih mempunyi kelemhn segi kekurngnny. Kren itu, kmi erhrp gr pemc erkenn menympikn kritikn. Dengn segl penghrpn dn keterukn, kmi menympikn rs terim ksih dengn setulus-tulusny. Kritik merupkn perhtin gr dpt menuju kesempurnn. Akhir kt, kmi erhrp gr uku ini dpt memw mnft kepd pemc. Cireon, Oktoer 4 Penyusun, i
DAFTAR ISI PRAKATA... i DAFTAR ISI...ii SEKAPUR SIRIH DARI PENYUSUN... iii INTEGRAL... A. Pengertin Integrl... B. Integrl Tk Temtu... 4 C. Integrl Tertentu... D. Menentukn Lus Derh... 7 E. Menentukn Voleme Bend Putr... APLIKASI INTEGRAL DALAM KEHIDUPAN... 9 DAFTAR PUSTAKA... BIODATA PENYUSUN... DESKRIPSI KERJA KELOMPOK... ii
SEKAPUR SIRIH DARI PENYUSUN Kwn seerp pentingkh eljr itu? Bgi orng yng suk eljr merek psti menjw hw etp pentingny eljr itu, eljr memut kit dri yng tidk thu menjdi thu dn dri yng tidk is menjdi is. Tujun eljr dlh untuk tumuh dn kl kit ered dri tuuh kit, is terus ertumuh selm kit hidup. Seperti pepth hw tuntutlh ilmu dri uin smpi msuk keling lht tu tuntutlh ilmu smpi ke Negeri Chin. Beljr lykny mendyung ke hulu, jik tidk mju sm dengn hnyut ke wh. Sm hlny dlm duni pendidikn jik kit tidk mu eljr mk kit kn tertinggl juh dengn duni pendidikn dn menhn perihny keodohn. Kwn hidup itu hny sekli, sekli seumur hidup mk gunknlh wktumu dengn ik untuk melkukn hl-hl yng ik, ppun yng is kmu lkukn, tu kmu mimpi is lkukn, mulilh itu, jngn tkut kn yng nmny keggln kren keggln teresr dlh pil kit tidk pernh menco. Kesuksesn is dirih kren ush, ush d kren kemun, kemun tercipt kren d cit-cit dn cit-cit ersl dri mimpi, mk ermimpilh dn rihlh p yng ingin kit dptkn. Slm Hngt, Penyusun iii
INTEGRAL Stndr Kompetensi :. Menggunkn konsep integrl dlm pemechn mslh. Kompetensi Dsr :.. Memhmi konsep integrl tk tentu dn integrl tentu. Indiktor :. Menentukn integrl tk tentu dri fungsi ljr dn trigonometri. Tujun Pemeljrn Setelh pemeljrn erlngsung dihrpkn sisw dpt:. Menjelskn integrl tertentu segi lus derh di idng dtr.. Menentukn integrl tentu dengn menggunkn siftsift (turn) integrl.. Menghitung integrl tk tentu dengn teknik integrl prsil. Menghitung integrl tentu dengn teknik integrl prsil
INTEGRAL Pernhkh klin meliht ling-ling peswt? Bgimnkh entukny? Ketik peswt hendk mengudr, ling-ling peswt kn erputr dengn keceptn tinggi. Bgimnkh entuk ling-ling itu st erputr? St ling-ling erputr, klin kn mengmti seuh entuk seperti lingkrn. Dptkh klin mengethui lus lingkrn yng terentuk dri perputrn ling-ling itu? Dengn menggunkn integrl, klin kn dpt mengethuiny. A. Pengertin Integrl Di Kels XI, klin telh mempeljri konsep turunn. Pemhmn tentng konsep turunn ini dpt klin gunkn untuk memhmi konsep integrl. Untuk itu, co tentukn turunn fungsi-fungsi erikut. f (x) = x + f (x) = x + 7 f (x) = x f 4 (x) = x f 5 (x) = x - 99 Perhtikn hw fungsi-fungsi terseut memiliki entuk umum f(x) = x + c, dengn c sutu konstnt. Setip fungsi ini memiliki turunn f (x) = 9x. Jdi, turunn fungsi f(x) = x + c dlh f (x) = 9x.
Sekrng, gimn jik klin hrus menentukn fungsi f(x) dri f (x) yng dikethui? Menentukn fungsi f(x) dri f (x), errti menentukn ntiturunn dri f (x). Sehingg, integrl merupkn ntiturunn (ntidiferensil) tu opersi invers terhdp diferensil. Jik F(x) dlh fungsi umum yng ersift F (x) = f(x), mk F(x) merupkn ntiturunn tu integrl dri f(x). Pengintegrln fungsi f(x) terhdp x dinotsikn segi erikut. f x dx = F x + c dengn: = notsi integrl (yng diperkenlkn oleh Leiniz, seorng mtemtikwn Jermn) f(x) = fungsi integrn F(x) = fungsi integrl umum yng ersift F (x) = f(x) c = konstnt pengintegrln Sekrng, perhtikn turunn fungsi-fungsi erikut. g (x) = x, didpt g (x) =. Jdi, jik g (x) = mk g (x) = g (x) dx = x + c. g (x) = x, didpt g (x) = x. Jdi, jik g (x) = x mk g (x) = g x dx = x + c. g (x) = x, didpt g (x) = x. Jdi, jik g (x) = x mk g (x) = g x dx = x + c. g 4 (x) = 6 x6, didpt g 4 (x) = x 5. Jdi, jik g 4 (x) = x 5 mk g 4 (x) = g 4 x dx = 6 x6 + c 4. Dri urin ini, tmpk hw jik g (x) = x n, mk g x = dituliskn x n = n + xn + + c, n. n + xn + + c tu dpt Segi contoh, turunn fungsi f(x) = x + c dlh f (x) = 9x. Ini errti, ntiturunn dri f (x) = 9x dlh f(x) = x + c tu dituliskn f x dx = x + c. Urin ini menggmrkn huungn erikut.
Jik f (x) = x n, mk f x = sutu konstnt n+ xn+ + c, n dengn c Contoh sol. Tentuknlh turunn dri setip fungsi erikut!. f(x) = 5x + c. f(x) = x + x. f(x) = x + 5x 4x + 5 d. f(x) = 4 x4 + x + x + Jw:. f (x) = (.5)x + = x. f (x) = (.)x + (.)x - (.4)x + c. f (x) =. x +. x = x + d. f (x) = 4. 4 x4 +. x +. x + = x + x + x. Tentuknlh nti turunn x jik dikethui:. g (x) = x. g (x) = x 6 + Jw:. g (x) = + x+ = 4 x4 + c. g (x) = 6+ x6+ + + x+ = 7 x7 + x + c B. Integrl Tk Tentu Pd gin seelumny, klin telh mengethui hw integrl merupkn ntiturunn. Jdi, pil terdpt fungsi F(x) yng dpt didiferensilkn pd intervl [, ] sedemikin hingg mtemtis, ditulis di mn: d(f x ) dx = f x, mk ntiturunn dri f(x) dlh F(x) + c. Secr f x dx = F x + c dx = Lmng integrl yng menytkn opersi ntiturunn. f(x) = Fungsi integrn, yitu fungsi yng dicri ntiturunnny. c = Konstnt Segi contoh, dpt kit tuliskn 4
x dx = x + c Kren d dx x + c = x Sehingg klin dpt memndng integrl tk tentu segi wkil keseluruhn kelurg fungsi (stu ntiturunn untuk setip nili konstnt c). Pengertin terseut dpt digunkn untuk memuktikn teorem- teorem erikut yng kn memntu dlm pengerjn hitung integrl. Teorem Jik n ilngn rsionl dn n -, mk x n dx = n + xn+ + c di mn c dlh konstnt. Teorem Jik f fungsi yng terintegrlkn dn k sutu konstnt, mk kf x dx = k f x dx Teorem Jik f dn g fungsi-fungsi yng terintegrlkn, mk Teorem 4 f x + g x dx = f x dx + g x dx Jik f dn g fungsi-fungsi yng terintegrlkn, mk f x g x dx = f x dx g x dx Teorem 5 Aturn integrl sustitusi Jik u sutu fungsi yng dpt didiferensilkn dn r sutu ilngn rsionl tk nol, mk u x r u x dx = r + (u x )r + c, dimn c dlh konstnt dn r -. 5
Teorem 6 Aturn integrl prsil Jik u dn v fungsi-fungsi yng dpt didiferensilkn, mk Teorem 7 u dv = uv v du Aturn integrl trigonometri cos x dx = sin x + c sin x dx = cos x + c cos x dx = tn x + c di mn c dlh konstnt Contoh Hitunglh integrl dri (x x + 7) dx! Jw: (x x + 7)dx = x dx x dx + 7 dx (Teorem,, 4) = + x+ + x + + 7x + c (Teorem ) = x x + 7x + c Jdi, (x x + 7)dx = x x + 7x + c. B.. Aturn Integrl Sustitusi Aturn integrl sustitusi seperti yng tertulis di Teorem 5. Aturn ini digunkn untuk memechkn mslh pengintegrln yng tidk dpt diselesikn dengn rumus-rumus dsr yng sudh dipeljri. Untuk leih jelsny, perhtikn contoh erikut ini. 6
Contoh Hitunglh integrl dri:. x 9 x dx. sin x x dx Jw:. Mislkn u = 9 x, mk du = -x dx x dx = du x 9 x dx = 9 x x dx = u du = = u u du = u + c + c = u u + c = 9 x 9 x + c Jdi, x 9 x dx = 9 x 9 x + c.. Mislkn u = x = x du dx = x = x dx = x du, sehingg sin x x dx = sin u x du = sin u du = cos u + c x = cos x + c B.. Integrl dengn Bentuk x, + x, dn x Pengintegrln entuk-entuk x, + x, dn x dpt dilkukn dengn menggunkn sutisusi dengn x = sin t, x = tn t, x = sec t. Sehingg diperoleh entuk-entuk seperti ini. 7
x = sin t = ( sin t) = cos t = cos t + x = + tn t = ( + tn t) = sec t = sec t x = sec t = (sec t ) = tn t = tn t Gmr. Segitig siku-siku untuk integrl sustitusi trigonometri: (i) x = cos t, (ii) + x = sec t, (iii) x = tn t Contoh. Hitunglh setip integrl erikut!. sin x + cos x + dx. x 9 x dx Jw:. Untuk mengerjkn integrl ini, terleih dhulu klin hrus menguh sin (x + ) cos (x + ) ke dlm rumus trigonometri sudut rngkp, yitu sin cos = sin. Dengn rumus in klin mendptkn: sin x + cos x + dx = sin 6x + dx = sin 6x + dx 8
= 6 cos 6x + + c Jdi, sin x + cos x + dx = = 9 sin t = 9 = cos 6x + + c ( cos t)dt = 9 ( cos t)dt = 9 (t sin t) + c cos 6x + + c. Mislkn, x = sin t, mk sin t = x dn dx = cos t dt. Sekrng, perhtikn segitig erikut ini! Dri segitig di smping, cos t = 9 x 9 x = cos t x 9 x dx = ( sin t) cos t cos t dt = x y + c = 9 t 9 4 sin t + c = 9 t 9 sin tcos t + c 4 = 9 sin x 9 x 9 x. Jik g (x) = x dn g() =, tentuknlh g(x). Jw: g(x) = g (x) dx = x dx kren g() =, mk c dpt ditentukn segi erikut. g(x) = x y + c g() = + c = 4 6 + c = + c Jdi, g(x) = x x + + c = 9 sin x x 9 x + c 9
. Tentukn persmn kurv yng mellui titik (, ) dn memiliki persmn grdien gris singgung dy dx Jw: dy = 6x 5 dx = 6x 5. y = (6x 5) dx = x 5x + c f x = x 5x + c Kren kurv mellui titik (, ), mk: f = ( ) 5( ) + c = 4 + + c = 4 + c c = 4 c = Jdi, persmn kurv terseut dlh f x = x 5x. Ash Kompetensi. Hitunglh setip integrl erikut!. x dx c. 4 x4 + x + dx. (4x + x + 5) dx d. 5x + x + x + 4 dx. Jik, g x = 4x 5 dn g() = 6, tentuknlh g x.. Tentuknlh persmn kurv yng mellui titik (, ) dn memiliki grdien gris singgung dy dx = x.
C. Integrl Tertentu C.. Memhmi Lus Segi Limit Sutu Jumlh Seelumny klin telh mempeljri grfik fungsi kudrt. Derh grfik fungsi kudrt erup gris lengkung. Berpkh lus derh yng ts-tsny erup gris lengkung ini? Untuk mengethui, lkuknlh ktivits erikut. Aktivits di Kels. Gmrlh grfik fungsi kudrt, mislny f x = 9 x pd intervl [,].. Bgi selng menjdi n selng gin yng lerny msing-msing x =, memki n titik-titik x = < x < x < < x n < x n =. But persegi pnjng-persegi pnjng yng lsny x dn tingginy f(xi). Tentukn pul lus setip persegi pnjng terseut! 4. Jumlhkn lus setip persegi pnjng terseut! 5. Dengn memilih x sekecil-kecilny hingg mendekti nol, hitunglh limit jumlh dri hsil pd lngkh 4. Hsil yng klin dptkn menunjukkn lus derh yng ditsi kurv f x = 9 x, sumu-x, gris x =, dn x =. 6. Butlh kesimpulnny dn diskusikn kesimpuln terseut dengn temn-temnmu! Dri Aktivits ini, klin memperoleh derh yng kn ditentukn lusny. Setelh memgi intervl, menjdi n selng gin yng lerny msing-msing x =, n klin memperoleh: x = x = x = n x = x = 6 n x = x = 9 n x i = i x = i n
Lus setip persegi pnjng pd gmr terseut dlh: f x i x = f i n n = 9 i n n = 7 n 7 n i Lus seluruh persegi pnjng dlh segi erikut. L = f x x + f x x + + f x n x = 7 n 7 n + 7 n 7 n + + 7 n 7 n n = n 7 n 7 n ( + + + n ) = 7 7 n n + (n+) n 6 ( ) = 7 9 + n + n = 8 9 n n Dengn memilih x mk n, sehingg kn di peroleh lus lus derh yng ditsi kurv f x = 9 x, sumu-x, gris x =, dn x = segi erikut. L(R) lim n 8 9 + = 8 n n Sekrng, perhtikn kemli persmn erikut. L(R n )=f x x + f x x + + f x n x Dengn menggunkn notsi sigm, klin dpt menuliskn persmn terseut segi erikut. L(R n )= n i= f(x i ) x Jik x, mk kn diperoleh n L(R n ) = lim x i= f(x i ) x Dengn mengmil ts derh x = dn x =, mk entuk di ts merupkn sutu entuk integrl tertentu yng dituliskn segi L= f x dx Sehingg diperoleh 9 x dx = 9x x ] = 7 9 = 8. Jik fungsi f terdefinisi pd intervl [, ], mk fungsi f dri ke. Pengintegrlnny dituliskn segi erikut. dengn: f(x) = fungsi integrn = ts wh = ts ts f x dx f x dx dlh integrl tertentu terhdp = [f x ] = F F()
Sehingg klin hrus dpt memedkn hw integrl tertentu ilngn, sedngkn integrl tk tentu yng dihs seelumny f x dx dlh Ash Kompetensi. 5x dx 4. sin x dx. x dx π 5. x dx. x π dx 6. cos x dx C.. Teorem Dsr Klkulus Berdsrkn definisi integrl tertentu, mk dpt diturunkn sutu teorem yng diseut dengn Teorem Dsr Klkulus. Jik f kontinu pd intervl, dn ndikn F semrng ntiturunn dri f pd intervl terseut, mk f x dx = F F. Dlm pengerjn hitung integrl tertentu ini kn leih mudh jik klin menggunkn teorem-teorem erikut. Teorem Kelinern Jik f dn g terintegrlkn pd intervl [, ] dn k sutu konstnt, mk. kf x dx = k f x dx. f x + g x dx = f x dx c. f x + g x dx = f x dx Teorem + g x dx g x dx Peruhn Bts Jik f terintegrlkn pd intervl [, ] mk:. f x dx =. f x dx = f x dx
Teorem Teorem penmhn intervl Jik f terintegrlkn pd sutu intervl yng memut tig titik,, dn c, mk c f x dx = f x dx Teorem 4 Kesimetrin + f x dx c. Jik f fungsi genp, mk f x dx d. Jik f fungsi gnjil, mk f x dx = c = f x dx Contoh: π. Hitunglh 6(sin x + cos x) dx Jw: π 6 π 6 (sin x + cos x) dx = sinx dx + cos x dx (teorem ) π 6 = [ π π cos x] 6 6 + [sin x] = cos π cos + sin π 6 sin = + = 5 6. Tentukn x Jw: Oleh kren untuk f(x) = x, erlku f x = f(x),mk f x = x merupkn fungsi genp. Dengn menggunkn Teorem 4 diperoleh. x dx = x dx = [ x ] = = 4
Ash Kompetensi. Tentuknlh integrl tertentu erikut ini! 5. x dx π. 4x + + cos x dx c. x 5 dx d. x dx 5 e. x 5x dx 5. Dri fungsi f(x) erikut, hitunglh f x dx. f x = x +, jik x < 6 x, jik x 5. f x = 4 x, jik x < 4, jik 4 x c. f x = 9 x, jik x 5x, jik x D. Menentukn Lus Derh D.. Menentukn Lus Derh di Ats Sumu-x Pd su c kit telh mengethui hw lus merupkn limit sutu jumlh, yng kemudin dpt dinytkn segi integrl tertentu.pd su ini, kn dikemngkn pemhmn untuk menentukn lus derh yng ditsi oleh eerp kurv. Mislkn R derh yng ditsi oleh kurv y = f(x), sumu-x, gris x = dn gris x =, dengn f x = pd [, ], mk lus derh R dlh segi erikut. L(R) = f x dx 5
D.. Menentukn Lus Derh di Bwh Sumu-x Mislny S derh yng ditsi oleh kurv y = f(x), sumu-x, gris x =, dn gris x =, dengn f(x) = pd [, ], seperti yng telh dihs di su D., mk lus derh S dlh L(S) = f x dx 6
D.. Menentukn Lus Derh yng Terletk Ditsi Kurv y = f(x) dn sumu-x Mislkn T derh yng ditsi oleh kurv y = f(x), sumu-x, gris x =, dn gris x = c, dengn f(x) = pd [, ] dn f(x) = pd [, c],mk lus derh T dlh L(T) = f x dx f x dx Rumus ini didpt dengn memgi derh T menjdi T dn T msing msing pd intervl [, ] dn [, c]. Klin dpt menentukn lus T segi lus drh yng terletk di ts sumu-x dn lus T segi lus derh yng terletk di wh sumu-x. 7
D. 4. Menentukn Lus Derh yng Terletk di Antr Du Kurv Lus derh U pd gmr di wh dlh L(U) =Lus ABEF - Lus ABCD 8
ABEF dlh derh yng ditsi oleh kurv y = f(x), x =, x =, dn y = sehingg Lus ABEF = f x dx Adpun ABCD dlh derh yng ditsi oleh kurv y = g(x), x=, x =, dn y = sehingg Lus ABEF = g x dx Dengn demikin, lus derh U dlh Contoh: L U = f x dx Tentuknlh lus derh yng ditsi oleh kurv f(x) = 4 - x, gris x =, dn di ts gris y =. Jw: Lus derh yng dimksud dlh lus derh U. Tentuknlh ts-ts pengintegrln, g x dx yitu sis titik potong ntr kurv y = f(x) 4 - x dn gris y = di kudrn I. Sustitusi y = ke persmn y = 4 - x sehingg didpt: = (f x g x )dx 9
4 x = x = x = tu x = Oleh kren derh U d di kudrn I, mk ts-ts pengintegrlnny dlh x = smpi x =. Dengn demikin, lus derh U dlh segi erikut. L U = 4 x dx = x dx = x x = ( ) = = = Jdi, lus derh U dlh stun lus. E. Menentukn Volume Bend Putr E.. Menentukn Volume Bend Putr yng Diputr Mengelilingi Sumu-x Secr umum, volume dinytkn segi lus ls dikli tinggi. Secr mtemtis, ditulis V = A. h Kemudin, perhtikn seuh end yng ersift hw penmpng penmpng tegk lurusny pd sutu gris tertentu memiliki lus tertentu. Mislny, gris terseut dlh sumu-x dn ndikn lus penmpng di x dlh A(x) dengn x. Bgi selng [, ] dengn titik-titik gi x x x... xn.
Mellui titik-titik ini, lus idng tegk lurus pd sumu-x, sehingg diperoleh pemotongn end menjdi lempengn yng tipis-tipis. Volume sutu lempengn ini dpt dinggp segi volume tung, yitu Vi A(x) xi dengn x i- x i xi. n Dengn jumlh yng klin dptkn V A(x i ) x i, kemudin kn mejdi t = V = f x dx. A(x) dlh lus ls end putr, oleh kren ls end putr ini erup lingkrn, mk A(x) = πr jri-jri yng dimksud merupkn seuh fungsi dlm xi mislny f(x). Dengn demikin volume end putr dpt dinytkn segi V = π f x dx. Mislkn R derh yng ditsi oleh grfik fungsi df(x), sumu-x, gris x, gris x, dengn, mk volume end putr yng diperoleh dengn memutr derh R mengelilingi sumu-x dlh V = π f x dx E.. Menentukn Volume Bend Putr yng Diputr Mengelilingi Sumu-y Mislkn S derh yng ditsi oleh grfik fungsi x f(y), sumu-y, gris x =, gris x, dengn <, mk volume end putr yng diperoleh dengn memutr derh S mengelilingi sumu-y dlh V. V = π f y dy
Contoh Tentuknlh volume end putr, jik derh yng ditsi oleh grfik f x = 4 x sumu-x, dn sumu-y diputr 6 terhdp:. sumu-x. sumu-y Jw:. Volumeny dlh: V = π (4 x ) dx = π 6x 8x + x 4 = π 6x 8 x + 5 x5 = π 6 8 + 5 5 y = 4 x x = 4 y V = π 4 4 y dy = 4y y = π 6 8 = 8π E.. dlh Menentukn 8 π stun Volume volume. Bend Putr yng Ditsi Kurv f(x) dn g(x) jik Diputr Mengelilingi Sumu-x = π 64 + 5 = 56 5 π Jdi, volume end putr yng terjdi jik derh R diputr mengelilingi sumu-x dlh 56 5 π stun volume.. Untuk menentukn volume end putr yng terjdi jik derh R diputr mengelilingi sumu-y, klin hrus nytkn persmn kurv y = f x = 4 x menjdi persmn x dlm vriel y. Volume end putr terseut dlh 4 = π 4 4 4 Jdi, volume end putr yng terjdi jik derh R diputr mengelilingi sumu-y
Derh yng ditsi oleh kurv f(x) dn g(x) dengn f(x) g(x) pd intervl [, ] diputr mengelilingi sumu-x seperti yng telh dijelskn di su E., mk volume end putr yng diperoleh dlh segi erikut. V T = π f x g x dx Contoh Tentuknlh volume end putr, jik derh yng ditsi oleh grfik f x = x, sumu-y, gris x =, dn y = diputr 6 mengelilingi sumu-x Jw: Kren derh yng dimksud d di wh sumu-x, mk volume ny dlh V = π ( (x ) ) dx = π (x 4x + 4) dx = π x + x x = π 8 + 8 6 = π Jdi, volume end putr yng terjdi jik derh S diputr mengelilingi sumu-x dlh π stun volume.
E.4. Menentukn Volume Bend Putr yng Ditsi Kurv f(y) dn g(y) jik Diputr Mengelilingi Sumu-y Jik derh yng ditsi oleh kurv f(y) dn g(y) dengn f (y) g(y) pd intervl [, ] diputr mengelilingi sumu-y. Seperti yng telh dijelskn di su E., mk volume end putr yng diperoleh dlh segi erikut. V U = π f y g y dy Tentuknlh volume end putr, jik derh yng ditsi oleh grfik f x = x, 4 sumu-x, gris x =, dn gris x = 4 diputr 6 mengelilingi sumu-y. Jw: Contoh Untuk menentukn volume end putr terseut, tentukn ts-ts pengintegrln, yitu ordint titik potong ntr kurv y = f x = x dn gris x = 4. 4 Sustitusi x = 4 ke persmn y = f x = x sehingg diperoleh, 4 y = f x = 4 = 4 Jdi, ts-ts pengintegrlnny dlh y = - smpi y = Oleh kren derh terseut diputr mengelilingi sumu-y, mk klin hrus menytkn persmn kurv y = x menjdi persmn x dlm vriel y. 4 4
Dri y = 4 x x = y + 4 x = 4y + 8 Jdi, volume end putr terseut dlh V = π ( 4y + 8 4 ) dy + π (4y + 8) dy = π 6y + 64y + 48 dy + π 6y + 64y + 64 dy = π 6 y + y + 48y + π 6 y + y + 64y = π 6 + + 48 + π 6 + + 64 6 + + 64 = π 6 = 6 + π 6 6 8 π + π = π 6 + 64 8 + 8 8 Dengn demikin, volume end putr yng terjdi jik derh U diputr mengelilingi sumu-y dlh 8 π stun volume. 5
Ash Kemmpun Gmrlh derh yng ditsi oleh kurv-kurv erikut ini. Kemudin, tentukn volume end putr yng terjdi jik derh terseut diputr 6 mengelilingi sumu-x dn volume jik diputr 6 mengelilingi sumu-y.. y = x, sumu x, gris x =, dn gris x = 6. f x = sin x pd intervl π, π dn sumu x. x + y = 64, sumu x, sumu y 4. y = x, y = 4x, dn x = 4 5. f x = 4 x +, g x = x, dn x = RANGKUMAN. Bentuk umum integrl tk tentu Dengn f x dx = F x + c dx: lmng integrl yng menytkn opersi ntiturunn f(x): Fungsi integrn, yitu fungsi yng dicri ntiturunnny c: Konstnt. Rumus integrl tk tentu x n dx = n + xn+ + c di mn c dlh konstnt, n - kf x dx = k f x dx f x + g x dx = f x dx + g x dx f x g x dx = f x dx g x dx u x r u x dx = r + (u x )r + c, dimn c dlh konstnt dn r -. u dv = uv v du cos x dx = sin x + c, dimn c dlh konstnt sin x dx = cos x + c, dimn c dlh konstnt cos x dx = tn x + c, dimn c dlh konstnt. Bentuk umum integrl tertentu di mn f kontinu pd intervl, f x dx = F F() 6
4. Rumus-rumus integrl tertentu d. kf x dx = k f x dx e. f x + g x dx = f x dx f. f x + g x dx = f x dx g. f x dx h. f x dx c i. f x dx j. f x dx k. f x dx = = f x dx = f x dx c + f x dx L U = f x dx g x dx = (f x g x )dx V = V = π V = π + g x dx g x dx = f x dx di mn f fungsi genp = di mn f fungsi gnjil 5. Rumus lus derh (L) yng terletk. di ts sumu-x. di wh sumu-x c. di ts dn di wh sumu x d. di ntr du kurv L(R) = L(T) = L(S) = π V = π f x dx 6. Volume end putr (V) yng diputr mengelilingi. sumu-x. sumu-y c. sumu-x dn ditsi kurv f(x) dn g(x) d. sumu-y dn ditsi kurv f(y) dn g(y) f x dx f x dx f x dx f x dx f y dy f x g x dx f y g y dy 7
APLIKASI INTEGRAL DALAM KEHIDUPAN Definisi integrl dlh kelikn dri diferensil. Apil kit mendiferensilkn kit muli dengn sutu pernytn dn melnjutknny untuk mencri turunnny. Apil kit mengintegrsikn, kit muli dengn turunnny dn kemudin mencri pernytn sl integrl ini. Integrl dlm kehidupn sehri-hri sngtlh lus ckupnny seperti digunkn di idng teknologi, fisik, ekonomi, mtemtik, teknik, dn idng linny. Integrl dlm idng teknologi dintrny digunkn untuk memechkn persoln yng erhuungn dengn voleme pnjng kurv, memperkirkn populsi, kelurn krdik, ush, gy dn surplus konsomen. Sedngkn dlm idng ekonomi penerpn integrl dintrny d 4 yitu untuk menentukn persmn-persmn dlm perilku ekonomi, mencri fungsi konsumsi dn fungsi konsumsi mrginl, mencri fungsi sl dri fungsi mrginlny dn mencri fungsi penerimn totl dri fungsi mrginlny. Dlm idng mtemtik dn fisik penerpn integrl jug digunkn, seperti dlm mtemtik digunk untuk menentukn lus sutu idng, menentukn volume end putr dn menentukn pnjng usur. Sedngkn dlm fisik integrl digunkn untuk nlisis rngkin listrik rus AC, nlisis medn mgnet pd kumprn,dn nlisis gygy pd struktur pelengkung. Penerpn integrl dlm idng teknik digunkn untuk mengethui volume end putr dn digunkn untuk mengethui lus derh pdd kurv. Contoh integrl dlm kehidupn sehri-hri, kit thu keceptn seuh motor pd wktu tertentu, tpi kit ingin tu posisi end itu pd setip wktu. Untuk menemukn huungn ini kit memerlukn proses integrl dn liht gedung petrons di Kul Lumpur tu gdung-gedung ertingkt di Jkrt. Semkin tinggi ngunn semkin kut ngin yng menghntmny. Krenny gin ts ngunn hrus dirncng ered dengn gin wh. Untuk menentukn rncngn yng tept, mk dipkilh rumus integrl. 8
DAFTAR PUSTAKA Chirunismth,. Penerpn Integrl dlm Kehidupn Sehri-hri.[Online]. Tersedi: chirunismth.wenode.com.[4 Oktoer 4] Pest. Anwr, Cecep. 8. Mtemtik Apliksi untuk SMA dn MA Kels XII Progrm Studi Ilmu Alm. Jkrt: Pust Perukun 9
BIODATA PENYUSUN Nm : WIDIAWATI Ttl : Indrmyu, 4 Feruri 995 Almt: Des Tmi Blok dn-dn Rt/Rw / No. 5 Gg. Drgol Kec. Sliyeg K. Indrmyu. Motto : Lkukn ppun yng is kit lkukn Nm : Nur Biyiti Septisih Ttl : Cireon, 5 Septemer 995 Almt: Jl. Tmn sri VII lok J No. 7 Rt/Rw 4/ Klijg kec. Hrjmukti Tmn klijg permi, Cireon Motto : Hidup itu pilihn, pilihn untuk tetp dim tu ergerk. Nm : Khnifh Nurul Bhiyh Ttl : Cireon, 6 Septemer 995 Almt: Jln. Nyims ending geulis lok. Sldoduku /5 Des ngodu. Kec. Klngenn K. Cireon Motto: Appun yng kit lkukn hri ini, itulh tkdir kit
DESKRIPSI KERJA KELOMPOK Desin Cover Pencrin Mteri Pengetikn Penyuntingn Percetkn : Khnifh Nurul Bhiyh & Nur Biyiti Septisih : Semu Anggot : Semu Anggot : Widiwti : Widiwti & Khnifh Nurul Bhiyh