BAB III METODE PENELITIAN

digilib.uns.ac.id BAB III METODE PENELITIAN Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah kajian pustaka dari buku referensi karya ilmiah. Karya ilmiah yang digunakan adalah hasil penelitian serta jurnal yang berkaitan dengan stochastic frontier metode Bayesian. Adapun langkah-langkah penelitian, yaitu 1. Menganalisis stochastic frontier 2. mengkaji ulang model stochastic frontier distribusi normal-gamma, yaitu a) menunjukkan distribusi bersama dari distribusi normal distribusi gamma serta menentukan mean variansi dari masingmasing distribusi, b) menentukan distribusi bersama dari kombinasi linear, c) menunjukkan distribusi marginal dari fungsi distribusi eror,, menentukan mean variansinya, d) menentukan harga harapan dari fungsi densitas probabilitas Z bersyarat. 3. Mengestimasi parameter model stochastic frontier distribusi normalgamma dengan metode Bayesian, yaitu a) menentukan fungsi likelihood, b) menentukan distribusi prior, c) menentukan distribusi posterior memaksimumkan distribusi posterior yang diperoleh dengan menyelesaikan persamaan turunan parsial pertamanya terhadap parameter yang disamakan dengan nol. d) menentukan nilai estimasi parameter untuk. 19

digilib.uns.ac.id 20 BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN Bab ini dibahas kajian ulang model stochastic frontier distribusi normalgamma estimasi parameternya dengan metode Bayesian yang mengacu pada Steel Koop [13]. 4.1 Stochastic Frontier Stochastic frontier merupakan pendekatan parametrik dengan model stochastic frontier memiliki dua error term yang tidak saling berkorelasi. Analisis ini dikembangkan oleh Aigner et al. [1] berdasarkan persamaan (2.1) pada data panel Jika, diperoleh dengan merupakan fungsi terhadap merupakan kombinasi error. Data panel merupakan bentuk khusus dari pooled data atau penggabungan data antara data cross-section data time series, dengan merupakan unit dari data cross-section merupakan data time series. Berdasarkan persamaan (2.1) ke persamaan (2.2) dengan merupakan variabel output, merupakan variabel input merupakan error dengan dua komponen yang tidak saling berkorelasi. Komponen pertama merupakan faktor error term yang bersifat random merepresentasikan statistic noise. Statistic noise merupakan gangguan simetris yang berasal dari sumber variasi data yang tidak dapat dimasukkan kedalam model, yang biasa dikenal dengan sesatan. Komponen kedua merupakan faktor error term yang merepresentasikan inefisiensi. Inefisiensi merupakan ketidakberaturan atau ketidakseimbangan antara input output, kemampuan menghasilkan ouput yang maksimal optimal dengan input yang ada merupakan ukuran yang diharapkan. Persamaan (2.1) (2.2) merupakan

digilib.uns.ac.id 21 interpretasi data pengamatan yang diharapkan untuk menghasilkan ouput yang maksimal optimal dengan input yang ada, dengan dua komponen error tersebut diasumsikan berdistribusi normal gamma. Variabel random berdistribusi normal standar, variabel random berdistribusi gamma, Secara umum, variabel random berdistribusi secara identik independen. 4.2 Distribusi Normal-Gamma Variabel random yang berdistribusi normal dengan parameter yang dinotasikan mempunyai fungsi densitas probabilitas dengan. Jika maka serta berdasarkan definisi 2.1.4 berlaku,

digilib.uns.ac.id 22 dari persamaan (4.4), (4.5) definisi 2.1.5 berlaku, Jadi, nilai mean variansi dari distribusi normal, adalah

digilib.uns.ac.id 23 Persamaan (4.1) dikatakan variabel random yang berdistribusi normal, berdasarkan persamaan (4.3), (4.4), (4.6) mempunyai fungsi densitas probabilitas dengan nilai mean variansinya adalah Variabel random berdistribusi gamma dengan parameter yang dinotasikan mempunyai fungsi densitas probabilitas Berdasarkan definisi 2.1.8 diperoleh

digilib.uns.ac.id 24 Berdasarkan persamaan (4.9), (4.10) definisi 2.1.9 diperoleh Jadi, nilai mean variansi dari distribusi Gamma, adalah Selanjutnya, ditunjukan fungsi densitas probabilitas bersama dari variabel random. Berdasarkan persamaan (4.7), (4.8) definisi 2.1.10, diperoleh Jika diambil sembarang dengan merupakan konstanta bernilai, maka dapat dinyatakan sebagai

digilib.uns.ac.id 25 Dengan melakukan transformasi, dengan jacobian dari transformasi tersebut diperoleh berdasarkan persamaan (4.11) diperoleh fungsi densitas probabilitas untuk adalah

digilib.uns.ac.id 26 dengan, Selanjutnya, ditunjukan fungsi densitas probabilitas marginal untuk. Berdasarkan definisi 2.1.11 persamaan (4.13) diperoleh fungsi densitas probabilitas marginal untuk,

digilib.uns.ac.id 27

digilib.uns.ac.id 28 dengan merupakan fungsi kumulatif distribusi normal standar merupakan mean dari nonnegatif distribusi truncated normal pada variabel random, yang diperoleh berdasarkan mempunyai fungsi densitas probabilitas untuk, sedemikian hingga, Berdasarkan persamaan (4.14) diperoleh

digilib.uns.ac.id 30 dengan, berdasarkan persamaan (4.12) diperoleh nilai mean adalah

digilib.uns.ac.id 31 variansi adalah Berdasarkan persamaan (4.15) definisi 2.1.15 diperoleh fungsi likelihood dari distribusi normal-gamma adalah Selanjutnya, menentukan mean dari distribusi bersyarat. Berdasarkan (4.13), (4.14) definisi 2.1.14 diperoleh

digilib.uns.ac.id 32 dengan nilai mean adalah Persamaan (4.19) merupakan nilai yang diharapkan dari data pengamatan. Dasar dari penelitian ini adalah mengkaji ulang model stochastic frontier mengestimasi parameter model stochastic frontier berdistribusi normal-gamma dengan metode Bayesian. Berikut ini uraian dari estimasi parameter model stochastic frontier distribusi normal-gamma dengan metode Bayesian.

digilib.uns.ac.id 33 4.3 Estimasi Parameter Estimasi parameter model stochastic frontier distribusi normal-gamma diperoleh dengan menggunakan metode Bayesian. Dalam metode Bayesian, estimasi parameter diperoleh dengan memaksimumkan distribusi posterior. Berdasarkan teorema bayes, distribusi posterior berasal dari fungsi likelihood distribusi prior. Pada subbab ini, pertama ditentukan fungsi likelihood dari distribusi normal-gamma. Kedua, menentukan distribusi prior. Ketiga, menentukan distribusi posterior memaksimumkannya. 4.3.1 Fungsi Likelihood Fungsi likelihood dari distribusi normal-gamma berdasarkan persamaan (4.18) dapat dinyatakan sebagai dengan,,, 4.3.2 Distribusi Prior Distribusi prior merupakan distribusi awal suatu variabel random sebelum dilakukan pengambilan sampel. Distribusi prior terbagi menjadi dua, yaitu distribusi prior conjugate distribusi prior noninformatif. Distribusi prior conjugate merupakan pemberian bentuk distribusi prior yang sekawan berdasarkan pola data, segkan distribusi prior noninformatif merupakan pemberian bentuk distribusi prior yang tidak sekawan dengan bentuk hasil identifikasi dari data. Pada estimasi parameter dengan metode Bayesian, distribusi posterior lebih mudah diperoleh menggunakan distribusi prior conjugate, yaitu himpunan distribusi yang setiap anggotanya dapat dikombinasikan dengan fungsi likelihoodnya tanpa menimbulkan kesulitan dalam perhitungan. Namun, dalam

digilib.uns.ac.id 34 pembahasan ini tidak dapat digunakan distribusi prior conjugate dikarenakan fungsi likelihood distribusi normal-gamma belum mempunyai distribusi prior yang conjugate. Menurut Steel and Koop [13], distribusi posterior diperoleh dari fungsi likelihood kombinasi distribusi prior noninformatif. Distribusi prior untuk distribusi normal-gamma berdasarkan persamaan (4.20) merupakan distribusi prior normal-gamma untuk dengan dinotasikan sebagai. Menurut Steel Koop [13], masing-masing distribusi prior diasumsikan, dengan yaitu merupakan fungsi indikator untuk economic regularity condition, Sebagai alternatif, prior untuk yang proper sesuai, biasanya diasumsikan berdistribusi normal-truncated normal. Distribusi prior untuk adalah dengan merupakan distribusi prior dari distribusi gamma noninformatif yang dinyatakan dalam persamaan dengan melakukan tranformasi maka,

digilib.uns.ac.id 35 diperoleh, untuk maka Persamaan (4.22) dapat dinyatakan sebagai distribusi prior invers gamma dengan parameter. Jika, maka distribusi prior invers gamma dinyatakan sebagai Distribusi prior untuk adalah dengan merupakan distribusi prior gamma noninformatif dengan parameter yang dinyatakan dalam persamaan dengan. Berdasarkan persamaan (4.21), (4.23) (4.24) diperoleh distribusi prior untuk masing-masing parameter, maka dapat ditentukan distribusi posteriornya.

digilib.uns.ac.id 36 4.3.3 Distribusi Posterior Distribusi posterior berdasarkan definisi 2.1.17 untuk kontinu adalah atau dengan,. Berdasarkan persamaan (4.20), (4.21), (4.23) persamaan (4.24) dapat ditentukan distribusi posterior untuk masing-masing parameter. Berikut adalah uraian masing-masing distribusi posterior : 1. Distribusi posterior untuk adalah dengan merupakan fungsi indikator. Berdasarkan kriteria teorema Bayes, persamaan (4.20) (4.21) diperoleh

digilib.uns.ac.id 37 Karena distribusi posterior untuk adalah 1, tidak dapat dilakukan estimasi terhadap parameternya. Berdasarkan persamaan (2.1) diperoleh dengan asumsi kenormalan pada model regresi linier diperoleh estimasi parameter untuk adalah sehingga, 2. Distribusi posterior untuk adalah Berdasarkan kriteria teorema Bayes, persamaan (4.20) (4.23) diperoleh Persamaan (4.27) tidak dapat diselesaikan secara analitis. Oleh karena itu, dilakukan penyelesaian dengan pendekatan lain, yaitu berdasarkan asumsi bahwa persamaan (4.1) diperoleh fungsi likelihood adalah

digilib.uns.ac.id 38 Persamaan (4.28) merupakan distribusi dari sampel normal. Berdasarkan kriteria teorema Bayes, persamaan (4.28) (4.23) diperoleh integralnya adalah misal,

digilib.uns.ac.id 39 diperoleh

digilib.uns.ac.id 40 sehingga, Jadi, distribusi posterior untuk merupakan distribusi invers gamma dengan parameter, berdasarkan persamaan (2.1) diperoleh 3. Distribusi posterior untuk adalah Berdasarkan persamaan (4.2), diberikan sampel berdistribusi gamma dengan parameter maka diperoleh fungsi likelihood

digilib.uns.ac.id 41 Berdasarkan persamaan (4.30) (4.24) diperoleh integralnya adalah diperoleh

digilib.uns.ac.id 42 sehingga, sedemikian hingga, distribusi posterior untuk gamma dengan parameter dinyatakan sebagai adalah distribusi invers Selanjutnya, berdasarkan persamaan (4.25), (4.26) (4.29) diperoleh distribusi posterior untuk masing-masing parameter, maka dapat ditentukan estimasi parameter dengan memaksimumkan persamaan (4.25), (4.26) (4.29). 4.3.4 Maksimum Distribusi Posterior Distribusi posterior diperoleh dari fungsi likelihood distribusi prior dari distribusi normal-gamma berdasarkan Teorema Bayes pada persamaan (2.3). Distribusi posterior untuk adalah

digilib.uns.ac.id 43 Selanjutnya, estimasi parameter distribusi normal-gamma dengan metode Bayesian dilakukan dengan memaksimumkan distribusi posterior. Karena fungsi merupakan bentuk eksponensial, penentuan nilai maksimumnya diperoleh berdasarkan fungsi yang diubah ke dalam bentuk logaritma natural dengan fungsi diselesaikan berdasarkan turunan parsial pertama terhadap parameternya, kemudian mengambil ruas kanan yang disamakan dengan nol. Berikut uraian dari masing-masing distribusi posterior yang dimaksimumkan : 1. Nilai maksimum untuk adalah diperoleh. Berdasarkan asumsi persamaan (2.1) dengan adalah vektor, adalah matriks adalah vektor parameter yang tidak diketahui dengan. Persamaan (4.31) dapat dinyatakan dalam matriks Estimasi parameter diperoleh dengan metode kuadrat terkecil, yaitu dengan meminimumkan bentuk kuadrat error. Jumlah kuadrat error diperoleh

digilib.uns.ac.id 44 Persamaan (4.32) diturunkan secara parsial terhadap nol sehingga diperoleh disamakan dengan 2. Turunan parsial pertama untuk ln adalah menyamadengankan nol, Jadi, nilai maksimum distribusi posterior untuk adalah

digilib.uns.ac.id 45 dengan adalah fungsi digamma. 3. Turunan parsial pertama untuk ln adalah menyamadengankan nol, Jadi, nilai maksimum distribusi posterior untuk adalah

digilib.uns.ac.id 46 dengan adalah fungsi digamma. Berdasarkan turunan parsial pertama terhadap masing-masing parameter distribusi posterior, diperoleh nilai maksimum dari distribusi posterior diperoleh pula nilai estimasi parameternya. Dengan distribusi posterior yang merepresentasikan inefisiensi teknis diberikan dengan merupakan distribusi bersyarat merupakan distribusi posterior untuk. Pada proses ditentukan distribusi posterior untuk terdapat, dengan merupakan distribusi yang merepresentasikan inefisiensi teknis, sehingga dengan. Pada dasarnya, merupakan fungsi densitas probabilitas bersyarat, dengan diasumsikan sebagai fungsi yang merepresentasikan inefisiensi. merupakan fungsi densitas probabilitas bersyarat, dengan diasumsikan sebagai fungsi yang merepresentasikan pengukuran efisiensi teknis. Dengan persamaan (4.33) (4.34) diperoleh nilai efisiensi dari setiap data pengamatan. Berdasarkan persamaan (4.25), (4.26) (4.29) yang diturunkan secara parsial terhadap parameter, diperoleh estimasi parameter yang merepresentasikan technical efficiency pada distribusi normal-gamma dengan metode Bayesian. 4.3.5 Contoh Kasus

digilib.uns.ac.id 47 Untuk contoh ini diambil data sebaran tenaga kerja berdasarkan lapangan usaha dari tahun 2003-2009 (Buletin Ekonomi Moneter Dan Perbankan Vol. 14. No. 3 Januari 2012). Tabel 1. Sebaran Tenaga Kerja Berdasarkan Lapangan Usaha Pada Tahun 2003-2009 (dalam persen) Sektor 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 Pertanian 46,38 43,33 43,97 42,05 41,24 40,30 39,68 Industri 12,39 11,81 12,72 12,46 12,38 12,24 12,24 Perdagangan, Hotel 18,59 20,40 19,06 20,13 20,57 20,69 20,93 Restauran Jasa 10,60 11,22 10,99 11,90 12,03 12,77 13,35 Sumber : Buletin Ekonomi Moneter Dan Perbankan Vol. 14. No. 3 Januari 2012 Hasil Pembahasan : Tabel 2. Hasil Efisiensi Sektor 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 Pertanian 2% 2% 2% 2% 2% 2% 3% Industri 8% 8% 8% 8% 8% 8% 8% Perdagangan, Hotel 5% 5% 5% 5% 5% 5% 5% Restauran Jasa 9% 9% 9% 8% 8% 8% 7% Efisiensi 79% 81% 72% 93% 73% 61% 65% Data diolah dari sebaran tenaga kerja berdasarkan lapangan usaha pada tahun 2003-2009. Tabel 2 menunjukkan hasil analisis faktor input output, serta diberikan presentase tingkat efisiensi dari yang paling besar ke paling kecil dengan masing-masing berdasarkan model nilainya sebesar 93% 61%, yang diperoleh dengan nilai estimasi untuk Berdasarkan persamaan (4.35) berarti, jika, maka untuk setiap kenaikan satu satuan sektor pertanian, sektor industri, sektor perdagangan, sektor jasa maka masing-masing sektor akan mengakibatkan kenaikan terhadap sebaran

digilib.uns.ac.id 48 tenaga kerja sebesar 186; 81,4; 125; 58,7. Pada sektor pertanian, industri, perdagangan jasa memberikan tingkat efisiensi yang signifikan setiap tahunnya. Dengan sektor jasa memberikan tingkat efisiensi sebesar 9% pada tahun 2003-2005, segkan tahun 2006-2009 mengalami penurunan secara signifikan. Sektoral yang lain memberikan tingkat efisiensi yang dengan rata-rata yang sama. Sektor industri sebesar 8%, sektor perdagangan sebesar 5% sektor petanian memiliki tingkat efisiensi dengan rata-rata presentase terkecil. Grafik 1. Rata-Rata Sebaran Tenaga Kerja Berdasarkan Lapangan Usaha Sebaran tenaga kerja berdasarkan lapangan usaha di sisi sektoral diberikan dari empat sektor, yaitu pertanian, industri, perdagangan jasa. Berdasarkan Grafik 1 tampak terlihat bahwa sektor pertanian dengan rata-rata presentase sebesar 42,42% memiliki peran yang signifikan terhadap pergerakan sebaran tenaga kerja diikuti oleh perdagangan, industri, jasa dengan rata-rata presentase masing-masing sektor sebesar 20,05%; 12,32%; 11,84%. Grafik 2. Peranan Sektor Terhadap Sebaran Tenaga Kerja Tahun 2003-2009

digilib.uns.ac.id 49 Berdasarkan Grafik 2 tampak terlihat bahwa pada tahun 2003 peran sektoral pertanian, industri, perdagangan jasa memberikan peran yang paling besar dengan rata-rata 21,99%, segkan pada tahun 2008 mempunyai peran yang paling kecil dengan rata-rata 21,5%. Grafik 3. Plot Distribusi Normal-Gamma Grafik 3 menunjukkan bahwa probabilitas distribusi normal-gamma dengan menggambarkan bahwa dua komponen distribusi error pada stochastic frontier terhadap sebaran tenaga kerja berdasarkan lapangan usaha pada tahun 2003-2009 yang simetris asimetris terhadap nilai meannya.