BAB IV PEMBAHASAN Pada bab ini akan dibahas mengenai estimasi parameter model Regresi M- kuantil, penurunan model Regresi M-kuantil, dan contoh penerapan model Regresi M-kuantil pada pengaruh pendapatan terhadap kebutuhan pangan rumah tangga. 4.1. Estimasi Parameter Model Regresi M-kuantil dengan metode Iterative Reweighted Least Square (IRLS) Pada Regresi M-kuantil, estimasi parameter dapat dilakukan dengan menggunakan metode Iterative Reweighted Least Square. Metode IRLS merupakan pengembangan dari metode Weighted Least Square. Hasil estimasi parameter dengan metode IRLS digunakan sebagai estimasi awal model Regresi M-kuantil seperti pada persamaan (2.1) yaitu Proses estimasi pada metode IRLS ini dengan meminimumkan fungsi residu, yang dapat dituliskan sebagai berikut. dari (4.1) dengan adalah fungsi yang berhubungan dengan fungsi likelihood untuk menentukan distribusi residu yang tepat. Fungsi diturunkan terhadap sehingga persamaan (2.2) menjadi (4.2) 12
dengan adalah turunan. Selanjutnya, perlu dilakukan estimasi skala parameter,, sehingga persamaan (2.3a) menjadi. / (4.3) dengan. Menurut Montgomery dan Peck [5], persamaan (2.3b) dapat dijabarkan menjadi 0 1 ( ) (4.4) sehingga persamaan (2.3c) memiliki bentuk yang sama dengan persamaan (4.5) dengan 0 1. Persamaan (2.4) dapat diubah dalam bentuk matriks menjadi (4.6) dengan adalah matriks diagonal pembobot yang memiliki elemen dan merupakan iterasi. Berdasarkan persamaan (2.5a) diperoleh estimasi yaitu 13
(4.7) Pada iterasi selanjutnya, perlu dilakukan perhitungan ulang untuk pemberian bobot pada setiap sampel. Pemberian bobot pada iterasi ke- ( dihitung berdasarkan estimasi pada iterasi ke-. Sehingga, metode ini memerlukan proses iteratif dengan berubah-ubah pada setiap iterasinya. Perhitungan iterasi ini berhenti bila selisih antara dan lebih kecil dari 0.1% atau dapat dikatakan konvergen [7]. Langkah-langkah estimasi dengan metode IRLS sebagai berikut. 1. Proses iteratif dimulai dengan menentukan estimasi parameter awal. 2. Menghitung nilai dan nilai residu iterasi pertama,. 3. Menghitung nilai sebagai berikut 4. Menghitung skala residual 5. Memberi bobot berdasarkan nilai skala residualnya. Jika, maka diberi bobot 1. Jika, maka diberi bobot 6. Menghitung estimasi parameter dengan persamaan berdasarkan persamaan (2.5b) yaitu Matriks pembobot pada Regresi M-kuantil pendekatan SAE merupakan matriks pembobot dengan elemen bobot sampel, pada daerah sampel ke-, sehingga persamaan (2.5b) menjadi ( ) 7. Mengulangi langkah 2 6 hingga diperoleh nilai yang konvergen. 4.2. Pendekatan Model Regresi M-kuantil dengan SAE Regresi M-kuantil merupakan suatu analisis regresi yang digunakan untuk mengetahui bentuk model setiap commit kuantil to pada user data. Salah satu contoh penerapan 14
Regresi M-kuantil yaitu untuk mengestimasi suatu daerah kecil. Estimasi pada suatu daerah kecil biasanya memiliki tingkat ketepatan yang rendah. Sehingga, dikembangkan metode SAE untuk menangani permasalahan tersebut. Tzavidis dan Chambers [9], melakukan pendekatan untuk mengestimasi daerah kecil dengan menggunakan Regresi M-kuantil. Pendekatan Regresi M-kuantil pada SAE dengan Design Based Estimator yaitu [ ] (4.8) dengan : estimasi rata-rata variabel y pada daerah kecil j, : sampel pada daerah kecil j, : bukan sampel pada daerah kecil j. Selanjutnya, Tzavidis et al. [10] menyarankan estimasi kuantil ke- dari distribusi bersyarat pada daerah kecil sebagai (4.9) dengan [ ] (4.10) Berdasarkan persamaan (2.7a) dan (2.7b) diperoleh hasil yang bias, sehingga Tzavidis et al. [10], menggunakan estimator distribusi fungsi alternatif berdasarkan persamaan (2.3b) yang diperkenalkan oleh Chambers dan Dunstan yaitu 0 1 (4.11) dengan untuk sampel pada daerah kecil. 15
Menurut Tzavidis et al. [10], perhitungan alternatif untuk mengestimasi daerah kecil menggunakan Regresi M-kuantil seperti pada persamaan (2.6), dapat dilakukan dengan, ( ) -, ( ) - (4.12) Karena maka persamaan (2.5a) menjadi, ( )-, * +-, * +-, - (4.13) 4.3. Contoh Kasus 4.3.1. Deskripsi Data Pada contoh kasus ini dimodelkan hubungan antara kebutuhan pangan dan pendapat pribadi pada suatu wilayah. Data yang digunakan adalah data penelitian yang dilakukan oleh Ernst Engel, yaitu data kebutuhan pangan rumah tangga di Eropa yang dapat dilihat pada Lampiran 1. Variabel x merupakan pendapatan rumah tangga dan variabel y merupakan kebutuhan pangan rumah tangga. 16
Frequency Frequency perpustakaan.uns.ac.id 4.2. Histogram masing-masing variabel disajikan dalam Gambar 4.1 dan Gambar Grafik data Engel's 60 50 Mean 977.9 StDev 522.2 N 235 40 30 20 10 0 0 750 1500 2250 y 3000 3750 4500 Gambar 4.1. Histogram variabel 50 40 Grafik data Engel's Mean 623.6 StDev 276.6 N 235 30 20 10 0 0 300 600 900 x 1200 1500 1800 Gambar 4.2. Histogram variabel Berdasarkan Gambar 4.1 dan Gambar 4.2 menunjukkan data tidak memiliki bentuk lonceng yang sempurna, sehingga perlu dilakukan uji normalitas untuk mengetahui distribusi residunya. 17
4.3.2. Estimasi Parameter pada Data Kebutuhan Pangan Estimasi parameter model Regresi M-kuantil dengan menggunakan metode IRLS diawali dengan menghitung estimasi parameter awal sehingga diperoleh model regresi berikut. Kemudian, menghitung nilai dan nilai residunya, untuk iterasi pertama. Sebagai contoh rumah tangga pertama dan rumah tangga ke-10. Residual rumah tangga pertama,, bernilai -9.4062 dan rumah tangga ke-10,, bernilai -126.7911. Selanjutnya, menghitung nilai MAD yaitu sehingga skala residual rumah tangga pertama, berturut-turut adalah, dan rumah tangga ke-10, dan Pemberian pembobot pada fungsi Huber berdasarkan nilai skala residualnya yaitu { Karena nilai pertama diberi pembobot sebesar, maka rumah tangga pertama pada iterasi = 1. Sedangkan nilai, maka rumah tangga ke-10 diberi pembobot. Estimasi parameter yang dihasilkan pada iterasi pertama sebesar 0.6313. Proses iteratif ini diulang, sehingga diperoleh nilai yang konvergen. Proses estimasi parameter model Regresi M-kuantil dengan menggunakan metode Iterative Reweighted Least Square dapat dilihat pada Lampiran 2. Hasil estimasi parameter tersebut disajikan commit pada to Tabel user 4.1. 18
Tabel 4.1. Hasil iterasi estimasi parameter model regresi M-kuantil Iterasi Estimasi parameter Iterasi 0 0.6313 Iterasi 1 0.6476 Iterasi 2 0.6525 Iterasi 3 0.6543 Iterasi 4 0.6549 Iterasi 5 0.6550 Iterasi 6 0.6551 Iterasi 7 0.6551 Berdasarkan Tabel 4.1 diperoleh nilai estimasi parameter dengan menggunakan metode IRLS konvergen pada iterasi ke-7 dengan nilai sebesar 0.6551, sehingga didapatkan model Regresi M-kuantil yaitu Artinya, setiap kenaikan satu satuan pendapatan akan mempengaruhi kenaikan kebutuhan pangan keluarga sebesar 0.6551 satuan. Hasil estimasi parameter dengan menggunakan metode IRLS, digunakan untuk menentukan estimasi model awal dalam Regresi M-kuantil. Setelah diperoleh estimasi model awal, selanjutnya dilakukan perhitungan untuk mencari nilai parameter pada setiap kuantil seperti yang disajikan pada Tabel 4.2. Tabel 4.2. Nilai parameter untuk tiap kuantil Kuantil Nilai parameter 0.05 0.4631149 0.1 0.529766 0.15 0.5389513 0.2 0.5743479 0.25 0.5990381 0.3 0.6208163 0.35 0.6343782 19
0.4 0.6406577 0.45 0.6472388 0.456 0.651668 0.5 0.6574609 0.55 0.6743338 0.6 0.6848058 0.65 0.6990031 0.7 0.7143874 0.75 0.7186578 0.8 0.7205792 0.85 0.7305775 0.9 0.7492595 0.95 0.7705197 Berdasarkan Tabel 4.2, semakin besar nilai kuantil yang dipilih, nilai estimasi parameter juga akan terus meningkat. Nilai parameter pada setiap kuantil, dapat disajikan dalam bentuk grafik seperti pada Gambar 4.4. 20
kebutuhan 500 1000 1500 2000 perpustakaan.uns.ac.id Keterangan: : 0.05 : 0.5 : 0.1 : 0.75 : 0.25 : 0.9 : 0.45 : 0.95 500 1000 1500 2000 2500 pendapatan Gambar 4.4. Grafik parameter tiap kuantil 4.3.3. Model Regresi M-kuantil pada Data Kebutuhan Pangan Setelah diperoleh model Regresi M-kuantil pada setiap kuantil, kemudian dilakukan perhitungan untuk memperoleh model Regresi M-kuantil dengan pendekatan SAE berdasarkan persamaan (4.13) dan disajikan pada Tabel 4.3. Tabel 4.3. Model Regresi M-kuantil dengan pendekatan SAE untuk tiap kuantil Kuantil Model Regresi M-kuantil 0.05 0.1 0.15 21
0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.456 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 22
0.85 0.9 0.95 4.3.5. Uji Kebaikan Model pada Data Kebutuhan Pangan Model Regresi M-kuantil dengan pendekatan SAE, perlu dilakukan uji kebaikan model untuk mengetahui model yang terbaik dari beberapa model seperti yang disajikan pada Tabel 4.3. Uji kebaikan model dilakukan dengan membandingkan nilai Mean Square Error (MSE) setiap model dapat dilihat pada Lampiran 3. Model yang memiliki nilai MSE terkecil, merupakan model terbaik pada Regresi M-kuantil. Misalnya, MSE pada dan. Untuk, nilai ( ) dan ( ) yaitu ( ) dan ( ), sehingga diperoleh nilai ( ) Sedangkan untuk, nilainya sebagai berikut ( ) dan ( ), sehingga diperoleh nilai ( ) Nilai MSE dihitung dari penjumlahan ( ) dan ( ). Nilai MSE untuk dan berturut-turut sebagai berikut dan 23
Nilai MSE masing-masing model pada tiap kuantil disajikan pada Tabel 4.4. Tabel 4.4. Nilai Mean Square Error model Regresi M-kuantil. Kuantil Mean Square Error 0.05 33096.3171 0.1 27734.2128 0.15 27182.9769 0.2 25484.0018 0.25 24698.7254 0.3 24278.7939 0.35 24146.4536 0.4 24118.7542 0.45 24112.5339 0.456 24121.4900 0.5 24149.1613 0.55 24332.8249 0.6 24523.9853 0.65 24877.5360 0.7 25383.2911 0.75 25546.2948 0.8 25622.8479 0.85 2603.2961 0.9 27002.0001 0.95 28310.4877 Berdasarkan Tabel 4.4. diperoleh nilai MSE terkecil pada kuantil 0.45 dengan nilai sebesar 24112.5339. Jadi, model Regresi M-kuantil yang terbaik sebagai berikut. 24
Artinya, setiap kenaikan pendapatan perkapita rumah tangga sebesar 0.6472388 akan mempengaruhi kenaikan estimasi rata-rata kebutuhan pangan rumah tangga sebesar satu satuan. 25