I. Kompetensi Inti KI 1: Menghayati dan mengamalkan ajaran agama yang dianutnya. KI 2: Menghayati dan mengamalkan perilaku jujur, disiplin, tanggung jawab, peduli (gotong royong, kerja sama, toleran, damai), santun, responsif dan pro-aktif, dan menunjukkan sikap sebagai bagian dari solusi atas berbagai permasalahan dalam berinteraksi secara efektif dengan lingkungan sosial dan alam serta dalam menempatkan diri sebagai cerminan bangsa dalam pergaulan dunia. KI 3: Memahami, menerapkan, menganalisis pengetahuan faktual, konseptual, prosedural berdasarkan rasa ingin tahunya tentang ilmu pengetahuan, teknologi, seni, budaya, dan humaniora dengan wawasan kemanusiaan, kebangsaan, kenegaraan, dan peradaban terkait penyebab fenomena dan kejadian, serta menerapkan pengetahuan prosedural pada bidang kajian yang spesifik sesuai dengan bakat dan minatnya untuk memecahkan masalah. KI 4: Mengolah, menalar, dan menyaji dalam ranah konkret dan ranah abstrak terkait dengan pengembangan dari yang dipelajarinya di sekolah secara mandiri, dan mampu menggunakan metoda sesuai kaidah keilmuan. II. Kompetensi Dasar 3.6 Menerapkan konsep torsi, momen inersia, titik berat, dan momentum sudut pada benda tegar (statis dan dinamis) dalam kehidupan seharihari. III. Indikator 3.6.1 Menganalisis momentum sudut pada benda berotasi. 3.6.2 Merumuskan hukum kekekalan momentum sudut. 3.6.3 Menganalisis titik berat pada benda homogen dan tidak homogen. 3.6.4 Menganalisis jenis-jenis kesetimbangan benda. 1
3.6.5 Menerapkan konsep titik berat benda dalam kehidupan. 3.6.6 Merumuskan hukum kekekalan momentum sudut pada benda tegar dalam kehidupan. IV. Tujuan Pembelajaran 1. Peserta didik dapat merumuskan pengaruh torsi atau momen gaya pada sebuah benda. 2. Peserta didik dapat menggunakan konsep momen kopel untuk berbagai bentuk benda. 3. Peserta didik dapat menggunakan konsep momen inersia untuk berbagai bentuk benda tegar. 4. Peserta didik dapat mengetahui perbedaan antara momen inersia benda satu dengan yang lainnya. 5. Peserta didik dapat menerapkan konsep titik berat benda dalam kehidupan sehari-hari. 6. Peserta didik dapat mengungkap analogi hukum II Newton tentang gerak translasi dan gerak rotasi. 7. Peserta didik dapat menjelaskan momentum sudut secara jelas. 8. Peserta didik dapat merumuskan hukum kekekalan momentum sudut pada benda tegar. 9. Peserta didik dapat menentukan energi kinetik rotasi dan usaha dalam gerak rotasi. 10. Peserta didik dapat menganalisis energi dalam gabungan gerak rotasi dan translasi. V. Materi Pokok Titik berat, dan momentum sudut pada benda tegar (statis dan dinamis) serta penerapannya dalam kehidupan sehari-hari. VI. Konsep Esensial 1. Momentum Sudut a. Impuls sudut 2
b. Hukum kekekalan momentum sudut 2. Kesetimbangan Benda Tegar a. Syarat kesetimbangan b. Pusat massa dan titik berat benda c. Kesetimbangan tiga gaya 3. Penerapan dalam kehidupan sehari-hari VII. Peta Konsep VIII. Uraian Materi 1. Momentum Sudut Kita sudah mendapatkan bahwa hukum Newton II untuk benda berotasi sama dengan Hukum Newton untuk gerak translasi. Bagaimana dengan momentumnya? Pada gerak transisi kita mengenal momentum linear dan hukum kekekalan momentum linear. Momentum sudut linear akan kekal bila total gaya yang bekerja pada sistem adalah nol. Bagaimana pada gerak rotasi? Pada gerak rotasi kita akan menemukan apa yang disebut sebagai mometum sudut. 3
Benda akan memiliki momentum linear sebesar mv. Momentum sudut didefinisikan sebagai hasil perkalian silang antara vektor r dan momentum linearnya. L = r p = r mv Momentum sudut merupakan besaran vektor karena memiliki besar dan arah. Arah momentum sudut L tegak lurus dengan arah r dan arah v. Arah momentum sudut sesuai dengan arah putaran sekrup tangan kanan. Atau arah momentum sudut dapat ditentukan dengan aturan tangan kanan, seperti yang ditunjukkan pada Gambar 6.21. Besar momentum sudut adalah : L = (rsinθ)mv Mari kita tinjau sebuah partikel bermassa m yang berotasi dengan jarijari konstan r memiliki kecepatan sudut Z. Kecepatan linear partikel adalah v. Momentum sudutnya adalah: L = r p = r mv = mr 2 ωk Arah momentum sudutnya ke arah sumbu z positif. Besarnya momentum sudut adalah: L = rmv = rm(rω) = Iω Tampak bahwa momentum sudut analog dengan momentum linear pada gerak rotasi, kecepatan linear sama dengan kecepatan rotasi, massa sama dengan momen inersia. Apabila jari-jari benda yang melakukan gerak rotasi jauh lebih kecil dibandingkan dengan jarak benda itu terhadap sumbu rotasi r, momentum sudut benda itu dinyatakan sebagai momentum sudut partikel yang secara matematis dituliskan sebagai L = mvr a) Hukum Kekekalan Momentum Sudut 4
Jika momen gaya luar sama dengan nol, berlaku Hukum Kekekalan Momentum Sudut, yaitu momentum sudut awal akan sama besar dengan momentum sudut akhir. Secara matematis, pernyataan tersebut ditulis sebagai berikut. L awal = L akhir I 1 ω 1 + I 2 ω 2 = I 1 ω 1 I 2 ω 2 Dari Persamaan tersebut, dapat dilihat bahwa apabila I bertambah besar, ω akan semakin kecil. Sebaliknya, apabila ω semakin besar maka I akan mengecil 2. Kesetimbangan Benda Tegar a) Syarat Kesetimbangan Menurut Hukum Pertama Newton, apabila resultan gaya-gaya yang bekerja pada benda sama dengan nol, percepatan benda tersebut juga akan sama dengan nol. Dalam hal ini, dapat diartikan bahwa benda berada dalam keadaan diam atau bergerak dengan kecepatan tetap. Kondisi ini berlaku untuk gerak translasi dan gerak rotasi. Apabila pada benda berlaku hubungan F = 0 dan τ = 0 (a = 0 dan α = 0) maka dikatakan benda tersebut dalam keadaan setimbang. Benda yang berada dalam keadaan setimbang tidak harus diam, akan tetapi harus memiliki nilai percepatan linier a = 0 (untuk gerak translasi) dan percepatan sudut α = 0 (untuk gerak rotasi). Sebaliknya, benda yang diam pasti berada dalam keadaan setimbang. Dengan demikian, keadaan setimbang itu terdapat dua macam, yaitu : Setimbang statik (benda diam). v = 0 dan ω = 0 F = 0 dan τ = 0 Setimbang mekanik (benda bergerak translasi atau rotasi). o Setimbang translasi benda bertranslasi dengan v konstan. 5
o Setimbang rotasi (untuk benda tegar) benda berotasi dengan ω konstan. b) Pusat Massa dan Titik Berat Benda Benda tegar yang melakukan gerak rotasi, memiliki pusat massa yang tidak melakukan gerak translasi (v = 0). Apakah benda tegar itu? Benda tegar adalah benda yang saat bergerak jarak antar titiknya tidak berubah. Misalnya sepotong kayu padat. Jika misalnya kalian melempar suatu benda ke atas, lalu benda tadi berubah bentuk, maka benda itu bukan benda tegar. Berbeda dengan sebuah partikel yang bergerak melingkar beraturan, partikel tersebut memiliki pusat massa yang melakukan gerak translasi (v 0) dengan arah yang selalu berubah karena adanya percepatan sentripetal, as di mana F 0. Jika kita memiliki sebuah sistem yang terdiri atas 2 massa, massa 1 di titik x1 dan massa 2 ditik x2. Pusat massa sistem terletak di titik tengah. Bila sistem terdiri atas banyak benda bermassa maka pusat massa sistem adalah: x pm = x 1m 1 + x 2 m 2 + + x n m n m 1 + m 2 + + m n Begitu juga komponen ke arah sumbu y dan z y pm = y 1m 1 + y 2 m 2 + + y n m n m 1 + m 2 + + m n z pm = z 1m 1 + z 2 m 2 + + z n m n m 1 + m 2 + + m n Jika sistem kita adalah sistem yang kontinu, misalkan sebuah balok, di manakah titik pusat massa balok? Kita dapat membagi menjadi bagian yang kecil-kecil yang tiap bagiannya bermassa dm. akan berubah menjadi integral. Pusat massa sistem adalah x pm atau y pm atau z pm = (x, y, z)dm M 6
Letak pusat massa suatu benda menentukan kestabilan (kesetimbangan) benda tersebut. Jika dari titik pusat massa benda ditarik garis lurus ke bawah dan garis tersebut jatuh pada bagian alas benda, dikatakan benda berada dalam keadaan setimbang stabil. Namun, apabila garis lurus yang ditarik dari titik pusat massa jatuh di luar alas benda maka benda dikatakan tidak stabil. Selain titik pusat massa kita mengenal titik pusat berat. Samakah titik pusat massa dengan titik pusat berat? Titik pusat berat akan berimpit dengan titik pusat massa bila percepatan gravitasi pada semua titik pada benda itu sama. Mari kita lihat gambar di samping. Tiap elemen massa dm akan memiliki berat W =gdm. Total gaya berat bisa kita anggap berpusat pada suatu titik XG. XG kita sebut sebagai titik berat X G = x 1w 1 + x 2 w 2 + + x n w n w 1 + w 2 + + w n Bila g yang bekerja pada tiap dm sama maka X G = x 1dm 1 g + x 2 dm 2 g + + x n dm n g dm 1 g + dm 2 g + + dm n g = N n=1 x ndm n g Mg = N n=1 x ndm n M titik berat berimpit dengan titik pusat massa. Titik berat benda adalah titik tangkap gaya berat suatu benda, di mana titik tersebut dipengaruhi oleh medan gravitasi. Penentuan letak titik berat ini dapat dilakukan dengan mudah apabila benda bersifat homogen dan beraturan (seperti kubus, bola, dan silinder). c) Titik Berat Benda Beraturan Tabel 1 Tititk Berat Benda Homogen Berbentuk Garis 7
No Nama Benda Gambar Benda Letak Titik Berat 1 Garis Lurus X 0 = 1 2 l z titik tengah garis 2 Busur Lingkaran Y 0 = R tali busur AB busur AB R jari jari lingkaran 3 Busur Setengah Lingkaran Y 0 = 4R 3π R jari jari lingkaran Sumber : Fisika, Kane & Sternheim, 1991. Tabel 2 Titik Berat Benda Homogen Dimensi Dua No Nama Benda Gambar Benda Letak Titik Berat 1 Segitiga Y 0 = 1 2 t t tinggi segitiga z perpotongan garis garis berat AD dan CF 2 Jajargenjang belah ketupat, bujur sangkar, Y 0 = 2 tali busur AB R 3 busur AB t tinggi segitiga z perpotongan 8
persegi panjang 3 Jaring Lingkaran diagonal AC dan BD Y 0 = 2 tali busur AB R 3 busur AB R jari jari lingkaran 4 Setengah Lingkaran Y 0 = 4R 3π R jari jari lingkaran Sumber : Fisika, Kane & Sternheim, 1991. Tabel 3 Titik Berat Benda yang Berupa Selimut Ruang No Nama Benda Gambar Benda Letak Titik Berat 1 Kulit Prisma z pada titik tengah garis z 1 z 2 Y 0 = 1 2 t 2 Kulit Silinder (tanpa tutup) z 1 titik berat bidang alas z 2 titik berat bidang atas l titik berat bidang alas Y 0 = 1 2 t t tinggi silinder 3 Kulit Limas T z = 1 3 T T T T: garis tinggi ruang 9
4 Kulit Kerucut Y 0 = zt = 1 3 T T T T: tinggi kerucut 5 Kulit Setengah Bola Y 0 = 1 2 R R jari jari bola Sumber : Fisika, Kane & Sternheim, 1991. Tabel 4 Titik Berat Benda Pejal Tiga Dimensi No Nama Benda Gambar Benda Letak Titik Berat 1 Prisma Pejal Y 0 = 1 2 t 2 Silinder Pejal z 1 titik berat bidang alas z 2 titik berat bidang atas t panjang sisi tegak Y 0 = 1 2 t t tinggi silinder 3 Limas Pejal Beraturan Y 0 = 1 3 t t garis tinggi ruang V luas alas 1 3 tinggi 4 Kerucut Pejal Y 0 = 1 3 t t tinggi kerucut V luas alas 1 3 tinggi 10
5 Setengah Bola Pejal Y 0 = 3 8 R R jari jari bola Sumber : Fisika, Kane & Sternheim, 1991. d) Kesetimbangan Statis Benda Tegar Perhatikanlah gambar tiga jenis kesetimbangan statis benda tegar, yaitu kesetimbangan stabil, labil, dan netral pada gambar berikut. Kesetimbangan stabil (mantap), ialah jenis kesetimbangan benda di mana apabila benda diberi gangguan (gaya luar) maka benda akan bergerak. Kemudian, apabila gangguan gaya luar tersebut dihilangkan maka benda akan diam dan kembali pada kedudukannya semula. Perhatikanlah Gambar 6.27a. Titik berat benda akan naik, jika benda hendak menggelinding karena gaya F. Kedudukan benda setelah digulingkan akan tetap. Kesetimbangan labil (goyah), ialah jenis kesetimbangan benda dimana benda tidak dapat kembali ke kedudukannya semula apabila gaya luar (gangguan) yang diberikan padanya dihilangkan. Perhatikanlah Gambar 6.27b. Titik berat benda O turun, apabila benda hendak menggelinding karena gaya F. Kedudukan benda sebelum dan sesudah digelindingkan berubah. 11
Kesetimbangan netral (indifferent/sembarang), ialah jenis kesetimbangan benda di mana apabila benda diberi gangguan, benda akan bergerak. Kemudian, apabila gangguan dihilangkan, benda akan kembali diam pada posisinya yang baru. Perhatikanlah Gambar 6.27c. Titik berat benda, O, tidak naik maupun turun apabila benda menggelinding. Setelah menggelinding, benda kembali setimbang di posisinya yang baru. Apabila terdapat tiga gaya yang bekerja pada satu titik partikel dan partikel tersebut berada dalam keadaan setimbang, seperti pada Gambar 6.28, berlaku hubungan sebagai berikut. F 1 sinα 1 = F 2 sinα 2 = F 3 sinα 3 dengan α1, α2, dan α3 merupakan sudut apit antara dua gaya yang berdekatan. 3. Penerapan dalam kehidupan sehari-hari Dari hukum kekekalan momentum sudut, dapat dilihat bahwa apabila I bertambah besar, ω akan semakin kecil. Sebaliknya, apabila ω semakin besar maka I akan mengecil. Prinsip ini diaplikasikan oleh pemain es skating dalam melakukan putaran (spinning). Saat akan memulai putaran badan, pemain es skating merentangkan lengannya (momen inersia pemain akan semakin besar karena jarak lengan dengan badan bertambah). Kemudian, ia merapatkan kedua lengannya ke arah badan agar momen inersianya mengecil sehingga putaran badannya akan semakin cepat (kecepatan sudutnya membesar). Aplikasi momentum sudut pada gerak planet. Menara Pisa yang miring masih tetap dapat berdiri selama berabadabad. Mengapa menara tersebut tidak jatuh? Dari ilustrasi Gambar 6.25, dapat dilihat bahwa garis yang ditarik dari pusat massa menara masih jatuh pada alasnya sehingga menara berada dalam keadaan stabil (setimbang). Kesetimbangan gaya pada jembatan. 12
IX. Referensi Saripudin, Aip. Dede Rustiawan K. Adit Suganda. (2009). Praktis Belajar Fisika 2. Jakarta: Pusat Perbukuan, Departemen Pendidikan Nasional. Palupi, Dwi Satya. Suharyanto. Karyono. (2009). Fisika 2. Jakarta: Pusat Perbukuan, Departemen Pendidikan Nasional. Nurachmandani, Setya. (2009). Fisika 2. Jakarta: Pusat Perbukuan, Departemen Pendidikan Nasional. 13