BAB III NORM MATRIKS PADA HIMPUNAN DARI MATRIKS-MATRIKS TOEPLITZ 3. Mtriks Toeplitz Defiisi 3. Mtriks Toeplitz dlh sutu mtriks [ t ; k, j = 0,,..., ] : T =, k j, deg ili,, d ideks yg diguk setip etriy dlh,. Secr umum ditulisk dlm betuk 0 0 0 Cotoh: 4 5 4, 3 3 4 5 3 4 3 3 4 3 5 4 3. Slh stu cotoh mtriks Toeplitz dlh mtriks Sirkul. Mtriks Sirkul dlh mtriks Toeplitz yg memiliki betuk: 0 0 0 3
dim setip bris dlh perubh siklis dri bris di tsy. Struktury bis jug ditulisk bhw etri (k,j) dri mtriks sirkul, C k, j diberik oleh,. Mtriks Sirkul ii diguk sebgi pedekt d mejelsk perilku mtriks Toeplitz. Seli itu opersi mtriks k lebih mudh ketik berbetuk mtriks Sirkul kre mtriks Sirkul memiliki lebih sedikit etri yg berbed dri mtriks Toeplitz secr umum. Berikut dlh cotoh mtriks Sirkul 3 4 5 5 3 4 4 5 3 3 4 5 3 4 5. 3. Norm Mtriks Mislk dlh rug vektor dri mtriks-mtriks berukur ts lpg. Berikut ii didefiisik orm mtriks pd. Defiisi 3. Sebuh fugsi : dlh sebuh orm mtriks jik utuk setip A, B, memeuhi ksiom berikut: ) A 0, (oegtif) ) A 0 jik d hy jik 0, (positif) 3) ca A, utuk setip, (homoge) 4) A+B A + B, (ketksm segitig) 4
5) AB A B. (submultipliktif) Dri defiisi tetg orm mtriks di ts, dpt diliht bgim hubug orm mtriks d orm umum. Meliht dri sift yg hrus dipeuhiy, orm mtriks memiliki syrt tmbh, yitu submultipliktif. Pd orm umum, sift ii belum tetu dipeuhi, kre opersi perkli tidk dikel pd rug vektor umum. Jdi orm mtriks lebih khusus. Kemudi k dibhs bgim megkostruksi orm mtriks dri orm umum di rug l, l d l. 3.3 Jeis-Jeis Norm Mtriks 3.3. Norm, d ) Norm Pd bgi ii k ditmpilk jeis-jeis orm mtriks pd rug l, l d l. Utuk bgi pertm dlh orm yg didefiisik deg pd Lemm dibwh ii,,, sebgim delsk Lemm 3.3.. Jik = i, j= utuk setip, k sebuh orm mtriks di. Bukti:. Ambil sebrg A. Perhtik bhw 5
3 i, j= = = + + +... +,. Kre 0, i, j =,,..., diperoleh 0, i, j= mk sift ) terpeuhi.. Ak dibuktik jik 0 mk 0. Mislk A M deg 0. Perhtik bhw: = = 0, i, j= kre 0,, mk 0. Akibty 0, jdi A = 0. Seljuty k dibuktik jik 0 mk 0. Mislk A = 0, rtiy = 0, i, j. Deg demiki: = = 0 = 0, i, j= i, j= mk sift ) terpeuhi. 3. Ambil sebrg A, c, kre 6
,,, mk sift 3) terpeuhi. 4. Kre utuk sebrg A, B berlku:,,,, mk sift 4) terpeuhi. 5. Perhtik bhw utuk A, B berlku: - ik bkj j= k = j= k = ik b kj b = ik mj ik k = m= j= k = m= j= b mj =, mk sift 5) terpeuhi. Norm pd defiisi di ts disebut jug Etrywise orm. b) Norm 7
Norm berikuty dlh orm yg didefiisik deg dibwh ii.,,, sebgim delsk pd Lemm Lemm 3.3.. Jik = i, j= utuk semu, mk sebuh orm mtriks di. Bukti.. Ambil sebrg A, perhtik bhw = = ( ) + + 3 +... +,. i, j= Kre 0, i, j =,,..., mk = 0, i, j= mk sift ) terpeuhi.. Ak dibuktik jik 0 mk 0 Mislk A deg 0. Perhtik bhw: = = 0 i, j=, 0. 8
Kre 0,, mk = 0 kibty = 0. Jdi A = 0. Seljuty k dibuktik jik 0 mk 0. Mislk A = 0 rtiy = 0. Deg demiki = = 0 = 0, i, j= i, j= mk sift ) terpeuhi.. Ambil sebrg A, c, kre,, =, mk sift 3) terpeuhi. 3. Kre utuk sebrg A, B berlku 9
= i, j= + b = + b + + b +... + + b ( b ) ( b )... ( b ) + + + + + + b b i, j= i, j= i, j= = + + + i, j= i, j= i, j= i, j= b + b. Deg megmbil kr-kr kudrty mk k didptk, mk sift 4) terpeuhi. 4. Perhtik bhw utuk A, B berlku 0
, mk sift 5) terpeuhi Norm l ii bis disebut sebgi orm Frobeius, orm Schur, tu orm Hilbert-Schmidt. c) Norm Norm berikuty dlh orm yg didefiisik deg mx,,, sebgim delsk pd Lemm dibwh ii. Lemm 3.3..3 Jik mx i, j utuk semu, mk sebuh orm mtriks di. Bukti.. Ambil sebrg A. Perhtik bhw mx,. Kre 0, i, j =,..., mk mx, 0, mk sift ) terpeuhi.. Ak dibuktik jik 0 mk A = 0.
Mislk A M deg 0. Perhtik bhw mx, 0. Kre 0,, mk mx 0. i, j Sehigg = 0 kibty = 0. Jdi A = 0. Seljuty k dibuktik jik A = 0 mk 0. Mislk A = 0 rtiy = 0, deg demiki mx, mx, 0 0. mk sift ) terpeuhi. 3. Ambil sebrg A, c, kre mx, mx,, mk sift 3) terpeuhi. 4. Kre utuk sebrg A, B berlku mx, mx, mx,,
mk sift 4) terpeuhi. Utuk membuktik orm memeuhi sift perkli (submultipliktif), dibutuhk Lemm berikut ii. Lemm 3.3..4 Jik A utuk setip, mk sebuh orm mtriks di. Bukti. Kre utuk sebrg A, B, berlku AB = mx i, j k= ik b kj = mx i, j k = ik b kj mx,, mx, = A. B, mk sift 5) terpeuhi. Norm pd defiisi di ts disebut jug orm mksimum (mximum orm). 3
3.3. Norm Mtriks yg Dibgu oleh Norm Vektor Defiisi 3.3.. Mislk dlh orm vector di, yitu :, didefiisik A mx Ax utuk setip d. x = Diguk kt mksimum pd defiisi di ts (tidk megguk supremum) kre utuk setip dlh fugsi kotiu pd bol uit ( ;0 ) = { y V : } B B y dlh himpu yg pdt, deg demiki mksimumy dicpi. Utuk orm mtriks pd defiisi di ts, k dibuktik bhw A = mx Ax = mx Ax x = x = mx x 0 Ax x Ax = mx, dim dlh x α x orm vektor. Bukti: Dikethui mx mx:,. ) Ak dibuktik mx:, mx : 0,.. Perhtik mx : 0, mx : 0, = mx : 0, 4
= mx :,. Mislk, mk mx :, mx:,. Kre y hy vribel boek mk didptk: mx:, mx :0,.. b) Ak dibuktik mx:, mx:,. Hrus dibuktik: mx:, mx:,. D mx:, mx:,. k ditujukk Perhtik : mx:,. ;, 0,, Artiy 5
mx : 0, mx:,.. Berdsrk ) mx:, mx : 0,. Didptk mx:,. Ak ditujukk mx:,. Dikethui mx:,, Didptk ;,. Artiy mx:, mx :, mx:, mx:, mx:, Sehigg didptk mx:,. 6
Teorem 3.3.. Fugsi yg didefiisik seperti pd Defiisi 3.3.., dlh orm mtriks pd, lebih ljut Ax A x utuk semu d semu d orm idetits I: I =. Bukti.. Mislk, kre dlh mksimum dri bilg positif, mk A 0. Jdi A 0, mk sift ) terpeuhi.. Ak dibuktik, jik A = 0 mk A = 0. Mislk deg A = 0. Artiy 0, deg, hl ii berkibt 0. Jdi A = 0. Seljuty k dibuktik, jik A = 0 mk A = 0. Mislk A = 0 rtiy = 0, deg demiki A mx Ax mx 0 0. x = x = Jdi A = 0, mk sift ) terpeuhi. 3. Ambil sebrg, c, kre 7
ca mx cax x = = mx c x = Ax = c mx x = Ax = c A, mk sift 3) terpeuhi. 4. Kre utuk sebrg A, B berlku A + B = mx ( A + B)x x = = mx x = Ax + Bx mx x = ( Ax + Bx ) mx Ax + mx x = x = Bx = A + B, mk sift 4) terpeuhi. 5. Ambil sebrg A, B. Perhtik bhw AB = mx x 0 ABx x = mx x 0 ABx Bx Bx x mx Ay y mx y 0 x 0 Bx x = A. B, 8
mk sift 5) terpeuhi. Norm mtriks yg didefiisik pd Defiisi 3.3.. di ts dlh orm mtriks yg diiduksi oleh orm vektor. Norm mtriks ii serig disebut orm opertor tu orm bts ts terkecil (lest upper boud) yg bersesui deg orm vektor. ([]: 94) Norm opertor dlh sutu orm mtriks sebgi kosekuesi dri semu sift umum orm vektor. Oleh kre itu, stu jl utuk membuktik bhw sutu fugsi tertetu pd dlh sutu orm mtriks deg meujukk bhw i diiduksi oleh beberp orm vektor. Seljuty k dipki cr ii ketik membicrk orm mtriks utm yg disebut orm spectrl. ( []: 94 ) Ketidksm pd rgume Teorem 3.3.. meytk bhw orm vektor dlh sesui deg orm mtriks yg diiduksi, d teorem ii meujukk bhw berkit deg sebrg orm vektor pd C terdpt orm mtriks yg sesui di. Teorem ii jug memberik syrt perlu utuk I =, utuk sutu orm mtriks yg k diiduksi oleh beberp orm vektor. Sygy syrt perlu ii buk merupk syrt cukup. ( []: 94 ) Seljuty k diberik beberp cotoh petig dri orm mtriks yg di iduksi oleh orm l yg sudh bis diguk tetpi, bis jug dihitug secr lgsug tp merujuk Defiisi 3.3... Dlm ksus ii, k dimbil. ( []: 94 ) 9
Teorem 3.3..3 Norm mtriks jumlh kolom mksimum ii didefiisik mellui j A mx. Norm mtriks ii diiduksi oleh vektor kolom l, oleh kre itu mejdi orm mtriks. Bukti Ambil A = M M K K O K M d vektor-vektor kolom dri A dlh = M, = M,, = M, sehigg dpt ditulisk [ ] A =...,, Mk A mx, jik x = [ x i ], mk Ax = x + L+ x mx = A, mk sift stu terpeuhi. 30
Deg demiki mx Ax A x = ke k), kemudi utuk sebrg k =,,,, mk. Seljuty dipilih x = ek (uit vektor bsis mx, Jdi, mx mx. Sehigg sudh dibuktik bhw orm mtriks yg diiduksi oleh orm vektor l merupk bts ts d bts bwh pd A. Ak dibuktik bhw merupk orm mtriks.. Utuk sebrg A, berlku j A = mx, jelslh bhw i 0, i =,,... Akibty A = mx 0. j Jdi A 0, mk sift ) terpeuhi.. Ak dibuktik, jik 0 mk A = 0. Mislk A deg A = 0. 3
Perhtik bhw: A = mx = 0 j Kre 0, mk = 0. Akibty = 0. Jdi A = 0. Ak dibuktik, jik A = 0 mk 0. Mislk A = 0 rtiy = 0, i, j., deg demiki j j A = mx = mx 0 = 0. Jdi A = 0, mk sift ) terpeuhi. 3. Ambil sebrg A, c, kre ca mx c = mx c = mx c = c mx = c A j j j j mk sift 3) terpeuhi. 4. Kre utuk sebrg A, B berlku = mx + b mx + mx b = A + j j j A + B B, mk sift 4) terpeuhi. 5. Ambil sebrg A, B. Perhtik bhw 3
AB = mx j b = mx j b = A. B, mk sift ke 5) terpeuhi. 33