III PEMBAHASAN 3 Alisis Metode Perhtik persm itegrl Volterr berikut y ( f( λ Ktyt ( ( (8 deg y( merupk fugsi yg k ditetuk sutu kostt f( fugsi sembrg yg dikethui d terdefiisi pd R d K(ty(t sutu fugsi yg betuky tk lier d bergtug pd vribel t d fugsi y(t Berdsrk betuk fugsi K(ty(t mk berikut ii k dilisis du ksus 3 Ksus pertm Fugsi K(ty(t terdefiisi pd [ b ] Selg [ b ] dibgi mejdi selg bgi yitu [ i i i3- Uri deret Tylor fugsi K(ty(t di sekitr titik ( t y deg y ( y dlh sebgi berikut: Ktyt ( ( K ( t y K( t y ( (9 K ( t y ( tt K( t y ( yy ik persm (9 disubstitusik ke persm (8 diperoleh : K ( t y K ( t y ( y ( f( λ K ( t y ( tt K ( t y ( yy ( tu K ( ( tt Q y ( f( λ ( yy ( deg K K ( t y K ( t y K ( t y Q ( K ( t y Kre dlm itegrd pd persm ( t merupk vribel bebs y vribel tk bebs d sebuh prmeter mk persm ( dpt ditulis y ( f( λ yt ( [ ( ] ( λ Q tt λ K y (3 ik itegrl pd persm (3 disederhk mk diperoleh betuk lier persm itegrl Volterr sebgi berikut K ( y ( f( λ ( y λ Q ( t ( t ( λ yt ( ; Kemudi jik kedu rus pd persm ( dituruk terhdp mk diperoleh y'( f '( λ K λ ( y λq( (5 λ y(
tu K ( y '( y ( f'( λ y Q ( (6 Persm (6 merupk persm differesil bis orde stu deg peyelesi litik dlm betuk y ( y ( f( ep( ft ( ep( t K ( ( ( t Q ep( ( K ( f( ( t Q (7 Deg demiki utuk diperoleh : y ( y ( f( tu ep( f( tep( t K ( ( ( t Q ep( ( K ( f( ( t Q y y f ep( f( tep( t (8 K ( ( ( t Q ep( ( K ( ( t Qf( (9 deg y y( d f f( Persm (9 merupk pedekt peyelesi persm itegrl Volterr (8 Utuk memudhk dlm perhitug mislk t d selg [ b ] dibgi deg pjg selg bgi di persm (9 dpt ditulis : y y f ep( f( tep( t K ( ( Q K ( ep( f( Q ( ik disumsik selg [ bdibgi ] sm pjg deg pjg selg bgi h mk h sehigg persm ( mejdi seperti berikut y y f ep( f( tep( t K ( h ( h Q K ( h ep( h f( Q ( Apliksi ke dlm perhitug umerik membutuhk ili f( λ K Q d h Hsily berup fugsi yy( 3 Ksus kedu Mislk K(ty(t memiliki titik sigulr di mk formulsi yg dituruk di ts tidk berlku Dlm ksus ii mislk fugsi K(ty(t didekti deg uri deret Tylor di sekitr titik ( t y deg y ( y sebgi berikut: K( t y( t K( t y K( t y ( K( t y ( tt ( K( t y ( y y
ik persm ( disubstitusi ke dlm persm (8 kemudi dilkuk peyederh seperti yg dilkuk pd peuru persm ( mk diperoleh persm berikut [ ] y ( f( λ K ( y ( λ Q ( t ( t (3 yt ( ; deg K K( t y K( t y K( t y Q ( K( t y Persm (3 merupk persm differesil bis orde stu ik kedu rus persm (3 dituruk mk diperoleh peyelesi litik yg serup deg persm (6 seperti berikut y ( y ( f( ep( f( tep( t ( K ( t Q ep( ( K ( f( ; ( t Q (5 Persm (5 merupk pedekt peyelesi persm itegrl Volterr (5 deg y y( d f f( Utuk memudhk dlm perhitug mislk t d selg [ b ] dibgi deg pjg selg bgi diperoleh: y ( y f ep( f( tep( t K ( Q ep( K ( f( ( Q (6 ik disumsik selg [ bdibgi ] sm pjg deg pjg selg bgi h mk h sehigg persm (6 mejdi : y y f ep( f ( t ep( t ( h K Q K ( h ep( h f ( Q (7 Apliksi ke dlm perhitug umerik membutuhk ili f( λ K Q d h Hsily berup fugsi yy( Utuk memhmi kedu ksus yg diberik di ts mk berikut ii dibhs beberp cotoh pliksi 3 Apliksi d Hsil Numerik Dlm bgi ii k dibhs tig cotoh ksus Cotoh yg kedu d keempt mejelsk ksus pertm dri metode ii Sedgk cotoh ksus yg ketig mejelsk ksus kedu dri metode ii
Cotoh Tiju persm itegrl Volterr berikut pd selg [] y ( ep( (ep( y( t (8 Peyelesi eksk dri persm itegrl (8 dlh y ( ep( (9 Berikut ii k ditetuk peyelesi hmpir persm itegrl (8 deg megguk metode yg diurik di ts Oleh kre itu mislk K( t y y ( t f( ep( (ep( (3 λ Deg demiki persm (5 memberik betuk lier persm itegrl Volterr dri persm (8 sebgi berikut y ( ep( (ep( y y yt ( ; (3 Kemudi persm (7 memberik persm berikut y y y ep( (ep( ep( yh( ep( ep( y ep( y (ep( t (ep( t ep( y t (3 Persm (3 k diguk utuk meetuk hmpir peyelesi persm (8 Deg megguk softwre MATLAB k ditetuk peyelesi y( utuk ili h yg berbed Utuk ili h h d h d beberp ili pd [] diperoleh ili y( seperti diberik dlm Tbel Tbel Peyelesi umerik cotoh h h h 8 5 5 5 3 38 398 399 888 98 98 5 637 687 687 6 8 8 8 7 5 36 38 8 39 53 55 9 33 59 596 6556 776 783 Berikut ii diberik grfik peyelesi eksk d hmpir peyelesi persm (8 deg ili h yg berbed yki utuk h h d h Gmbr Grfik peyelesi eksk d hmpir cotoh deg h Gmbr 3 Grfik peyelesi eksk d hmpir cotoh deg h
Tbel meujukk bhw semki kecil h peyelesi hmpir semki medekti peyelesi eksk deg keslh medekti Gmbr Grfik peyelesi eksk d hmpir cotoh deg h Gmbr 3 d memperlihtk bhw hmpir peyelesi eksk k cukup bik utuk h yg semki kecil Keslh yg ditimbulk utuk pemilih h yg berbedbed dpt diliht pd Tbel Tbel Tigkt keslh metode lierissi cotoh h h h 9 3 8 3 5 5 6 8 7 33 8 6 9 363 67 7 Cotoh 3 Tiju persm itegrl Volterr Hmmerstei berikut pd selg [] 5 3 y ( y( t 6 8 (33 Titik sigulr dri persm itegrl (33 dlh Peyelesi eksk dri persm itegrl (33 dlh y ( (3 Berikut ii k ditetuk peyelesi hmpir dri persm itegrl (33 deg megguk metode yg diurik di ts Oleh kre itu mislk K( t y y ( t 5 3 f ( (35 6 8 λ Deg demiki persm (3 memberik betuk persm itegrl Volterr lier dri persm (33 sebgi berikut 5 3 y y ( [ ] 6 8 y yt ( ; (36 Kemudi persm (7 memberik persm berikut ( h 5 t 5 3 y y y y( ( ep( y (( t ep( t 6 8 6 8 (37 y y ep( ( ( ( h 5 h 6 8 Persm (37 k diguk utuk meetuk peyelesi umerik persm (33 Deg megguk softwre MATLAB k ditetuk peyelesi y( utuk ili h d beberp ili pd [] Perhitug MATLAB utuk peyelesi eksk peyelesi umerik sert tigkt keslhy deg ili h diberik dlm Tbel 3
Tbel 3 Peyelesi umerik eksk d tigkt keslh cotoh 3 deg h Solusi Solusi Tigkt litik umerik keslh 5 58 68 5 68 6668 3 59 633 6733 66 335 675 5 75 56 6656 6 86 5 65 7 99 67 637 8 7 6 9 3 877 567 5 85 585 Dlm Tbel berikut diberik tigkt keslh utuk beberp ili h yg berbed yki utuk h h d h Tbel Tigkt keslh metode lierissi cotoh 3 X tigkt keslh h h h 68 67 679 6668 668 6668 3 6733 665 6579 675 68 66 5 6656 635 66 6 65 666 6 7 637 575 5685 8 6 53 567 9 567 8 738 585 76 79 Berdsrk Tbel diperoleh bhw semki kecil ili h mk peyelesi hmpir deg metode ii semki medekti peyelesi eksky Cotoh Tiju persm itegrl Volterr berikut pd selg [] y ( ep( ep( y( t (38 Peyelesi eksk dri persm itegrl (38 dlh y ( ep( (39 Berikut ii k ditetuk peyelesi hmpir dri persm itegrl (38 deg megguk metode yg diurik di ts Oleh kre itu mislk K( t y y ( t f ( ep( ep( ( λ Deg demiki persm ( memberik persm berikut y y ep( ( ep( ( [ ] y ep( y ep( t ep( t y ep( yh ep( ep( ( Persm ( k diguk utuk meetuk hmpir peyelesi persm (38 Deg megguk softwre MATLAB k ditetuk peyelesi y( utuk ili h yg berbed Utuk ili h h d h d beberp ili pd [] diperoleh ili y( seperti diberik dlm Tbel 5 Tbel 5 Peyelesi umerik dri cotoh deg h h d h h h h 95 98 98 88 887 887 3 7398 78 78 669 673 673 5 69 665 665 6 569 588 588 7 93 966 966 8 68 93 93 9 37 66 66 367 3679 3679
3 5 6 7 8 9 Berikut ii diberik grfik peyelesi eksk d hmpir persm (38 yki utuk h d h 9 8 7 6 5 9 8 7 umerik -- litik Gmbr 5 Grfik peyelesi eksk d hmpir cotoh deg h umerik -- litik Dri Gmbr 5 d 6 terliht bhw peyelesi hmpir medekti peyelesi eksk deg sgt bik Keslh yg ditimbulk utuk pemilih h yg berbed-bed dpt diliht pd Tbel 6 Tbel 6 Tigkt keslh metode lierissi cotoh Tigkt Keslh h h h 3 6 3 3 5 6 6 9 7 3 8 5 9 9 3 6 5 Tbel 6 meujukk bhw semki kecil h peyelesi hmpir semki medekti peyelesi eksk deg keslh medekti 3 5 6 7 8 9 Gmbr 6 Grfik peyelesi eksk d hmpir cotoh deg h