OLIMPIADE SAINS NASIONAL SMP SELEKSI TINGKAT PROVINSI TAHUN 0 BIDANG STUDI MATEMATIKA WAKTU : 50 MENIT A. ISIAN SINGKAT. Diketahui segitiga sama sisi dengan panjang sisi 0 cm. Jika dibuat lingkaran yang berpusat di titik tengah salah satu sisi segitiga dengan jari-jari 5 cm, maka luas daerah di dalam lingkaran dan di luar segitiga adalah... cm Perhatikanlah gambar berikut! A F G C D E B Diketahui ABC sama sisi dengan panjang sisi 0 cm maka AB = BC = AC = 0 cm Segitiga tersebut membagi tiga segitiga kecil yang sama besar dan sebangun, yaitu ADF, DEF, BDE, dan ECF. Sedangkan lingkaran yang berpusat di titik D mempunyai jari-jari = 5 cm, dimana panjang AD = BD = BE = CE = CF = AF = EF Perhatikan ADF!: panjang AG = 5 cm Dengan Pithagoras didapat: panjang GF = AF AG = 5 = 5 75 5 = 4 Perhatikan daerah yang diarsir! Daerah yang diarsir merupakan daerah didalam lingkaran akan tetapi daerah diluar segitiga, sehingga didapat: Luas Arsiran = Luas Lingkaran ( Luas ADF + Luas Juring DEF) = r 0 60 ( AD GF + r ) 0 60 = (5) 5 (5 + 5 ) 6 5 5 = 5 ( + ) 6 5 5 = 6 5 5 = 5 Jadi, Luas daerah di dalam Lingkaran dan di luar Segitiga adalah 5
. Rata-rata nilai dari 5 siswa adalah 40. Jika selisih rata-rata nilai 5 siswa terendah dan 0 siswa sisanya adalah 5, maka nilai rata-rata 5 siswa terendah adalah... Misalkan: 5 = rata-rata nilai 5 siswa terendah n 5 = banyaknya siswa pada 5 0 = rata-rata nilai 0 siswa terendah n 0 = banyaknya siswa pada 0 = rata-rata seluruh siswa Diketahui: n = 5 = 40 n 5 = 5 n 0 = 0 0 5 = 5 0 = 5 + 5 = n 5. 5 n0. n 5 n 0 0 40 = 40 = 5. 5 0. 5 5 5 0 5. 5 500 05 5 40. 5 = 5 5 + 500 000 = 5 5 + 500 000 500 = 5 5 Jadi, nilai rata-rata 5 siswa terendah adalah 0 500 = 5 5 5 = 0. Dalam sebuah kotak terdapat beberapa bola dengan empat macam warna yakni : biru, merah, kuning dan putih. Paling sedikit terdapat 0 bola untuk masing-masing warna. Bola diambil satu demi satu dari dalam kotak tersebut secara acak tanpa pengembalian. Banyak pengambilan yang harus dilakukan untuk memastikan mendapatkan 6 bola dengan warna sama adalah... Diketahui sebuah kotak terdapat beberapa bola dengan empat macam warna yakni: biru, merah, kuning dan putih. Paling sedikit terdapat 0 bola untuk masing-masing warna. Permasalahan ini dapat menggunakan Prinsip Sangkar Burung (Pigeon Hole Principle), yaitu : Jika ada n burung merpati menempati m sangkar dan m < n, maka paling sedikit satu sangkar akan berisi merpati atau lebih. Paling sedikit terdapat 0 bola untuk masing-masing warna, hal ini memang sangat dimungkinkan untuk memperoleh 6 bola sewarna. Dimana bola tersebut diambil satu demi satu dari dalam
sebuah kotak secara acak tanpa pengembalian, sehingga apabila slalah satu warna bola sudah terambil, maka kemungkinan terambilnya untuk warna yang lainnya adalah [(6 ) = 5] Dengan demikian, banyak pengambilan yang harus dilakukan untuk memastikan mendapatkan 6 bola dengan warna sama adalah adalah 6 +.5 = bola Jadi, banyak pengambilan yang harus dilakukan untuk memastikan mendapatkan 6 bola dengan warna sama adalah y 7y 9y 4. Jika y, maka nilai =... y y Dari soal diketahui: Jadi, nilai = + y y 7y 9y = + y y y y 9y y = + y y y 9y = + y ( y)( + y) = + y y ( y) = y y = = + y 5. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan di bawah adalah... 4 Dari soal diketahui Pertidaksamaan 4 Pertidaksamaan ini mempunyai sebagai berikut: Syarat I:, sehingga ( + )(, artinya adalah atau Syarat II: 4 4 + 0
( ) 0 ( ) = 0 = 0 atau = 0 HP = { 4 Pertidaksamaan harus memenuhi syarat I dan syarat II, sehingga: 0 Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah { } 6. Jika nilai 00B = 00 + 99 98 97 + 96 + 95 94 9 +... + 4 +, maka nilai B adalah... 00B = 00 + 99 98 97 + 96 + 95 94 9 +... + 4 + (sebanyak 00 suku) Operasi bilangan diatas berpola: bilangan pertama selalu positif dan bilangan berikutnya selalu negatif 00B = 00 + 99 98 97 + 96 + 95 94 9 +... + 8 + 7 6 5 + 4 + 00B = (00 98 ) + (99 97 ) + (96 94 ) + (95 9 ) +...... + (8 6 ) + (7 5 ) + (4 ) + ( ) Dengan menggunakan formula a b = (a b)(a + b), maka dapat disederhanakan menjadi: 00B = (00 98)(00 + 98) + (99 97)(99 + 97) + (96 94)(96 + 94) + (95 9)(95 + 9) +...... + (8 6)(8 + 6) + (7 5)(7 + 5) + (4 )(4 + ) + ( )( + ) (sebanyak 50 suku) 00B = (98) + (96) + (90) + (88) +... (4) + () + (6) + (4) 00B = (98 + 96 + 90 + 88 +... + 4 + + 6 + 4) 00 B = 98 + 96 + 90 + 88 +... + 4 + + 6 + 4 50B = 98 + 96 + 90 + 88 +... + 4 + + 6 + 4 Dengan cara Gauss dapat disederhanakan menjadi: 50B = (98 + 4) + (96 + 6) + (90 + ) + (88 + 4) +.. 50B = 0 + 0 + 0 + 0 +.. (sebanyak 5 suku) Sehingga didapat: 50B = 0(5) 5050 B = 50 B = 0 Jadi, nilai B adalah 0
7. Sebuah drum berbentuk tabung yang berjari-jari 70 cm dan berisi air setinggi 40 cm (gunakan ). Seorang tukang pasang ubin memasukkan 0 buah ubin keramik ke dalam drum 7 sehingga tinggi permukaan air bertambah 8 cm. Jika permukaan setiap ubin keramik berukuran 40 cm 40 cm, berapakah tebal ubin keramik tersebut? Misalkan: Jari-jari tabung = r = 70 cm Ketinggian air = t a = 40 cm Penambahan tinggi air = t t = 8 cm Tebal ubin keramik = t u Volume 0 ubin = Volume ketinggian air 0 (40 40 t u ) r t t 0 40 40 t u = 7 70 8 0 40 40 t u = 7 7 7 00 8 0 4 4 t u = 7 8 0 4 4 t u = 7 8 t u. 7. 8 = 0. 4. 4 t u 7 = 0 t u = 0, 7 cm atau 7 mm Jadi, tebal ubin keramik tersebut adalah 7 mm 8. Diketahui n bilangan bulat positif. Jika n ditambah angka-angka pembentuknya menghasilkan, maka semua nilai n yang mungkin adalah... Misalkan n memiliki bilangan pembentuk yz. Maka didapat: yz + + y + z = 00 + 0y + z + + y + z = 0 + y + z = Kemudian mencari nilai, y, z yang memenuhi dari persamaan diatas Nilai yang mungkin hanyalah atau, padahal adalah ganjil Menurut aturan penjumlahan dan perkalian, maka berlaku: Sehingga jika = (genap), maka y harus bernilai ganjil, dikarenakan z bernilai genap Sedangkan jika = (ganjil), maka y harus bernilai genap, dikarenakan z bernilai genap
Kita buat tabel kemungkinannya: y z 0 + y + z Nilai 5 7 8 95 Bernilai Salah 9 8 7 Bernilai Salah 9 6 Bernilai Benar 0 05 Bernilai Salah 0 09 Bernilai Salah 0 5 Bernilai Benar 0 7 7 Bernilai Salah Jadi semua nilai n yang mungkin adalah 96 dan 05 9. Diketahui dua buah himpunan A dan B dengan A = {(, y y < dan y bilangan bulat} dan B = {(, y) y dengan dan y bilangan bulat} Banyak anggota himpunan A B adalah... A B = {(, y) (, y) A dan (, y) A B} Mencari anggota A: A = {(, y y < dan y bilangan bulat} Banyaknya bilangan mulai dari 987 sampai dengan 0 ada sebanyak 7 bilangan Kemudian bilangan-bilangan tersebut disusun dengan mengambil bilangan (, y) atau (y, ). Permasalahan ini sesuai dengan aturan kombinasi bahwa terdapat 7 bilangan yang akan disusun menjadi bilangan, yaitu 7! 7! 7C = = = 7 = 5 7!.! 5!.! Dengan demikai n(a) = 5 Selanjutnya mencari anggota A A y < A = {(987, 988),..., (987, 0),..., (0, 0)} B y y + B Untuk nilai dan y bilangan bulat positif pada B, maka dapat susunan sebagai berikut: B = {(0, 0), (, 0),..., (005, 008), (006, 007),..., (0, ), (0, 0)} Sehingga dapat disumpulkan bahwa: A B = {} sehingga n(a B) = 0
Dengan demikian, diperoleh: A B = {(, y) (, y) A dan (, y) A B} A B = A n(a B) = n(a) n(a B) = 5 Jadi, banyak anggota himpunan A B adalah 5 0. Tim Sepakbola terdiri atas 5 orang, masing-masing diberi kaos bernomor sampai dengan 5. Banyak cara memilih tiga pemain secara acak dengan syarat jumlah nomor kaos mereka habis dibagi tiga adalah... Diketahui 5 orang masing-masing kaosnya diberikan nomor bebeda, yaitu {,,, 4, 5}. Kemudian akan dipilih pemain dimana jumlah nomor kaosnya harus habis dibagi. Hal ini kita bisa menggunakan prinsip hasil habis dibagi suatu bilangan, yaitu suatu bilangan bila dibagi mempunyai sisa pembagi sebanyak, yaitu 0,, dan. Karena sisa pembaginya sebanyak, maka kemugkinan banyaknya jumlah bilangan habis dibagi mempunyai sebanyak kemungkinan sis pembagi, yaitu sebagai berikut Kemungkinan I: sisa pembaginya 0 Bilangan-bilangan yang termasuk mempunyai sisa pembagi 0 adalah {, 6, 9,, 5, 8,, 4} ada sebanyak 8 bilanangan. Sehingga, untuk mengetahui banyaknya jumlah bilangan berbeda habis dibagi, sama halnya 8! dengan menyusun bilangan berbeda dari 8 bilangan yang tersedia, yaitu 8 C = = 56 5!.! Kemungkinan II: sisa pembaginya Bilangan-bilangan yang termasuk mempunyai sisa pembagi adalah {, 4, 7, 0,, 6, 9,, 5} ada sebanyak 9 bilanangan. 9! Sehingga, banyaknya jumlah bilangan berbeda habis dibagi adalah 9 C = = 84 6!.! Kemungkinan III: sisa pembaginya Bilangan-bilangan yang termasuk mempunyai sisa pembagi adalah {, 6, 8,, 4, 7, 0, } ada sebanyak 8 bilanangan. 8! Sehingga, banyaknya jumlah bilangan berbeda habis dibagi adalah 8 C = = 56 5!.! Selanjutnya, untuk penjumlahan bilangan yang didapat dari masing-masing kemungkinan I, II, dan III. Ternyata hasil penjumlahannyapun dapat habis dibagi. Sehingga, banyaknya cara menyusun bilangan tersebut habis dibagi adalah 8 C. 9 C. 8 C = 8. 9. 8 = 576 Dengan demikian, total banyaknya cara selurunya adalah 56 + 84 + 56 + 576 = 77 Jadi, banyak cara memilih tiga pemain secara acak dengan syarat jumlah nomor kaos mereka habis dibagi tiga adalah 77
This document was created with WinPDF available at http://www.daneprairie.com. The unregistered version of WinPDF is for evaluation or non-commercial use only.