SOLUSI PERSAMAAN SCHRÖDINGER UNTUK KOMBINASI POTENSIAL HULTHEN DAN NON-SENTRAL POSCHL- TELLER DENGAN METODE NIKIFOROV-UVAROV Disusun oleh : NANI SUNARMI M0209036 SKRIPSI Diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan mendapatkan gelar Sarjana Sains FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SEBELAS MARET SURAKARTA Maret, 2013
HALAMAIY PENGESAHAN Skripsi dengan judul Solusi Persamaan Schnidinger untuk Kombinasi Potensial Hulthen dan Non-Sentral Poschl-Teller dengan Metode Nikiforov-Uvarov Yang ditulis oleh Nama NIM Telah diuji dan dinyatakan Hari Tanggal Narri Sunarmi M0209036 lulus oleh dewan penguji pada Kamis 28 Maret 2013 Anggota Tim Penguji: 1. Ahmad Marzuki, S.Si., Ph.D. NrP. 19680s08 199702 1 001 2. Drs. Suharyana, M.Sc. NrP. 1961r2r7 198943 1 003 J. Dra. Suparmi, M.A., Ph.D. NIP. 19520915 197603 2 001 4. Drs. Cari, M.Sc., M.A., Ph-D NrP. 19610306 198503 1 002 Fakult4s Disahkan oleh Ketua Jurusan Fisika ika dan Ilmu Pengetahuan Alam Sebelas Maret Surakarta u /11 a -- s.si.. Ph.D. 9680508 199702 1 001 ii
PERNYATAAN Dengan ini saya menyatakan bahwa isi intelektual skripsi saya yang berjudul SOLUSI PERSAMAAN SCHRÖDINGER UNTUK KOMBINASI POTENSIAL HULTHEN DAN NON-SENTRAL POSCHL-TELLER DENGAN METODE NIKIFOROV-UVAROV adalah hasil kerja saya atas arahan pembimbing dan sepengetahuan saya hingga saat ini, isi skripsi tidak berisi materi yang telah dipublikasikan atau ditulis oleh orang lain atau materi yang telah diajukan untuk mendapatkan gelar kesarjanaan di Universitas Sebelas Maret atau di PerguruanTinggi lainnya, jika ada maka telah dituliskan di daftar pustaka skripsi ini dan segala bentuk bantuan dari semua pihak telah ditulis di bagian ucapan terimakasih. Isi skripsi ini boleh dirujuk atau difotokopi secara bebas tanpa harus memberitahu penulis. Surakarta, 1 Maret 2013 Nani Sunarmi iii
MOTTO DAN PERSEMBAHAN SEMANGAT Tulisan ini saya persembahkan untuk Mamak, Mak e, Mas Nurul, Mba Ten, Ndari, Mamat dan Mas Majid atas segala kasih sayang dan dukungannya selama ini. vi
SOLUSI PERSAMAAN SCHRÖDINGER UNTUK KOMBINASI POTENSIAL HULTHEN DAN NON-SENTRAL POSCHL-TELLER DENGAN METODE NIKIFOROV-UVAROV NANI SUNARMI Jurusan Fisika, Fakultas MIPA, Universitas Sebelas Maret ABSTRAK Penelitian ini bertujuan untuk menentukan persamaan energi dan fungsi gelombang untuk dengan metode Nikiforov-Uvarov serta memvisualisasikan energi dan fungsi gelombang dengan pemrograman komputer yang berbasis Matlab. Penyelesaian persamaan Schrödinger dengan metode Nikivorov-Uvarov (NU) dilakukan dengan cara mereduksi persamaan differensial orde 2 menjadi persamaan diferensial orde 2 tipe Hipergeometri melalui subtitusi variabel yang sesuai. Tingkat energi yang diperoleh merupakan fungsi tertutup sedangkan fungsi gelombang (bagian radial dan sudut) dinyatakan dalam bentuk Polinomial Jacobi. Potensial Non-Sentral Poschl-Teller menyebabkan bilangan kuantum orbital bertambah dan energi pada potensial Hulthen semakin bernilai negatif. Kata Kunci : potensial Hulthen, potensial Non-Sentral Poschl-Teller, metode Nikiforov-Uvarov. iv
THE SOLUTION OF SCHRÖDINGER EQUATION FOR COMBINED HULTHEN POTENTIAL AND POSCHL-TELLER NON- CENTRAL WITH NIKIFOROV-UVAROV METHOD NANI SUNARMI Physics Department, Faculty of Sciences, Sebelas Maret University ABSTRACT This research is aimed to determine the energy equation and the wave function for combinations of Hulthen potential and Poschl-Teller Non-Central potential with Nikiforov-Uvarov method and to visualize the energy and wave function with Matlab. To solve the Schrödinger equation with Nikivorov-Uvarov method (NU) has been done by reducing the two order differensial equation to be the two order differential equation Hypergeometric type through substitution of appropriate variables.the energy levels obtained is the closed function while the wave functions (radial and angular part) are expressed in the form of Jacobi polynomials. The Poschl-Teller Non-Central potential causes the orbital quantum number increased and the energy of the Hulthen potential is increasing negativelly. Keywords: Hulthen potential, Non-Central Poschl-Teller potential, Nikiforov- Uvarov method. v
KATA PENGANTAR Puji syukur Penulis panjatkan kehadirat Allah SWT yang telah memberikan rakhmat dan karunia-nya sehingga Penulis dapat menyelesaikan penyusunan skripsi yang berjudul Solusi Persamaan Schrödinger Untuk Kombinasi Potensial Hulthen Dan Non-Sentral Poschl-Teller Dengan Metode Nikiforov-Uvarov. Penulis menyadari bahwa keberhasilan penyusunan skripsi ini tidak terlepas dari bantuan berbagai pihak baik langsung maupun tidak langsung. Pada kesempatan ini, Penulis ingin menyampaikan rasa terima kasih yang sebesarbesarnya kepada : 1. Ahmad Marzuki, M.Sc., Ph.D selaku Ketua Jurusan Fisika FMIPA Universitas Sebelas Maret Surakarta. 2. Dra. Suparmi, M,A., Ph.D selaku Dosen Pembimbing I atas bimbingan, saran, serta nasehat yang berarti banyak bagi penulis selama penyusunan skripsi. 3. Drs. Cari, M.Sc., M.A., Ph.D selaku Dosen Pembimbing II atas bimbingan, saran, serta semangat yang diberikan. 4. Drs. Harjana, M.Si., Ph.D selaku pembimbing akademik yang atas semangat yang diberikan. 5. Segenap staff jurusan atas bantuan yang diberikan, semoga Allah membalas kebaikan kalian. 6. Seluruh Mahasiswa Jurusan Fisika FMIPA UNS untuk tegur sapa dan keramahan yang diberikan. Semoga segala kebaikan dan pertolongan semuannya mendapat berkah dari Allah S.W.T. Penulis mohon maaf apabila masih banyak kekurangan dalam penyusunan skripsi ini. Semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi semua pihak yang membutuhkan. Amin. Surakarta, 1 Maret 2013 Nani Sunarmi vii
DAFTAR ISI halaman HALAMAN JUDUL... i HALAMAN PENGESAHAN... ii HALAMAN PERNYATAAN..... iii HALAMAN ABSTRAK... vi HALAMAN ABSTRACT... v HALAMAN MOTTO DAN PERSEMBAHAN... vi KATA PENGANTAR... vii DARTAR ISI... viii DAFTAR TABEL... x DAFTAR GAMBAR... xi DAFTAR SIMBOL... xiii BAB I PENDAHULUAN... 1 1.1. Latar Belakang Masalah... 1 1.2. Batasan Masalah... 2 1.3. Perumusan Masalah... 2 1.4. Tujuan Penelitian... 3 1.5. Manfaat Penelitian... 3 BAB II TINJAUAN PUSTAKA... 4 2.1.Persamaan Schrödinger... 4 2.2. Persamaan Schrödinger Untuk Koordinat Bola... 6 2.3. Metode Nikiforov-Uvarov. 8 2.4. Potensial Hulthen... 9 2.5. Potensial Non-Sentral Poschl-Teller... 10 2.6. Persamaan Schrödinger Untuk Kombinasi Potensial Hulthen dan Non-Sentral Poschl-Teller... 10 BAB III METODOLOGI PENELITIAN... 12 3.1. Waktu dan Tempat Penelitian... 12 3.2. Peralatan Penelitian... 12 3.3. Metode Penelitian... 13 3.3.1. Studi Literatur... 13 3.3.2. Penulisan Persamaan Kombinasi Potensial Hulthen dan Non-Sentral Poschl-Teller... 13 viii
3.3.3. Penulisan Persamaan Schrödinger Kombinasi Potensial Hulthen Dan Non-Sentral Poschl-Teller Menggunakan Koordinat Bola... 13 3.3.4. Penentuan Fungsi Gelombang Sudut... 14 3.3.5. Penentuan Fungsi Energi Dan Fungsi Gelombang Radial... 14 3.3.6. Visualisasi Tingkat Energi, Fungsi Gelombang Radial Dan Sudut Dengan Matlap 2008... 15 3.3.6. Analisis... 16 3.3.6. Kesimpulan... 16 BAB IV HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN... 17 4.1. Pendahuluan... 17 4.3. Penyelesaian Persamaan Schrödingger Bagian Sudut Untuk Kombinasi Potensial Hulthen Dan Non-Sentral Poschl-Teller... 17 4.2. Penyelesaian Persamaan Schrödingger Bagian Radial Untuk Kombinasi Potensial Hulthen Dan Non-Sentral Poschl-Teller... 42 BAB V PENUTUP... 56 5.1. Kesimpulan... 56 5.2. Saran... 56 DAFTAR PUSTAKA... xiv ix
DAFTAR TABEL Tabel 4.1 Tabel 4.2 Tabel 4.3 Tabel 4.4 Tabel 4.5 halaman Fungsi gelombang sudut kombinasi potensial Hulthen dan Non-Sentral Poschl-Teller dengan variasi nilai n l... 32 Fungsi gelombang sudut kombinasi potensial Hulthen dan Non-Sentral Poschl-Teller dengan variasi nilai m... 32 Fungsi gelombang sudut kombinasi potensial Hulthen dan Non-Sentral Poschl-Teller dengan variasi nilai κ... 33 Fungsi gelombang sudut kombinasi potensial Hulthen dan Non-Sentral Poschl-Teller dengan variasi nilai η... 33 Fungsi gelombang radial potensial Hulthen dan Non-Sentral Poschl-Teller 52 x
DAFTAR GAMBAR halaman Gambar 2.1.Sistem Koodinat Bola... 7 Gambar 3.1.Bagan Prosedur Penelitian... 12 Gambar 4.1. Perbandingan Fungsi gelombang sudut 3D dalam koordinat bola terhadap perubahan nilai n l (a) P 1122, (b) P 2122, (c) P 3122, (d) P 2122 34 Gambar 4.2. Perbandingan Fungsi gelombang sudut 2D dalam koordinat bola terhadap perubahan nilai n l (a) P 1122, (b) P 2122, (c) P 3122, (d) P 2122 34 Gambar 4.3. Perbandingan Fungsi gelombang sudut 2D dalam koordinat kartesian kombinasi potensial Hulthen dan Non-Sentral Poschl- Teller terhadap perubahan nilai m (a) P 1000, (b) P 1100, (c) P 1022, (d) P 1122, (e) P 1222, (f) P 1322.. 35 Gambar 4.4. Perbandingan Fungsi gelombang sudut 3D dalam koordinat bola terhadap perubahan nilai m (a) P 1000, (b) P 1100, (c) P 1022, (d) P 1122, (e) P 1222, (f) P 1322... 35 Gambar 4.5. Perbandingan Fungsi gelombang sudut 2D dalam koordinat kartesian kombinasi potensial Hulthen dan Non-Sentral Poschl- Teller terhadap perubahan nilai m (a) P 1000, (b) P 1100, (c) P 1022, (d) P 1122, (e) P 1222, (f) P 1322.. 36 Gambar 4.6. Perbandingan Fungsi gelombang sudut 2D dalam koordinat kartesian kombinasi potensial Hulthen dan Non-Sentral Poschl- Teller terhadap perubahan nilai m (a) P 1000, (b) P 1100, (c) P 1022, (d) P 1122, (e) P 1222, (f) P 1322.. 37 Gambar 4.7. Perbandingan Fungsi gelombang sudut 3D dalam koordinat bola terhadap perubahan nilai κ (a) P 1122, (b) P 1132, (c) P 1142, (d) P 1152 37 xi
Gambar 4.8. Perbandingan Fungsi gelombang sudut 2D dalam koordinat bola terhadap perubahan nilai κ (a) P 1122, (b) P 1132, (c) P 1142, (d) P 1152 37 Gambar 4.9. Perbandingan Fungsi gelombang sudut 2D dalam koordinat kartesian kombinasi potensial Hulthen dan Non-Sentral Poschl- Teller terhadap perubahan nilai κ (a) P 1122, (b) P 1132, (c) P 1142, (d) P 1152 38 Gambar 4.10. Perbandingan Fungsi gelombang sudut 3D koordinat bola terhadap perubahan nilai η (a) P 1000, (b) P 1002, (c) P 1120, (d) P 1122, (e) P 2000, (f) P 2002 39 Gambar 4.11. Perbandingan Fungsi gelombang sudut 2D koordinat bola terhadap perubahan nilai η (a) P 1000, (b) P 1002, (c) P 1120, (d) P 1122, (e) P 2000, (f) P 2002 39 Gambar 4.12. Perbandingan Fungsi gelombang sudut 2D koordinat kartesian terhadap perubahan nilai η (a) P 1000, (b) P 1002, (c) P 1120, (d) P 1122, (e) P 2000, (f) P 2002 40 Gambar 4.13. Grafik Tingkat Energi Potensial Hulthen Terganggu Potensial Non-Sentral Poschl-Teller Dengan V 1 = ħ2 2μ α = 1. 48 Gambar 4.14. Visualisasi Gelombang Radial Potensial Hulthen dan Non- Sentral Poschl-Teller.... 52 Gambar 4.15. Grafik Probabilitas Gelombang Radial Potensial Hulthen dan Non-Sentral Poschl-Teller.. 53 xii
DAFTAR SIMBOL Simbol Keterangan Nilai/ Satuan h Tetapan Planck 6,626x10 34 J. s ħ h 2π 1,055x10 34 J. s e Muatan elektron 1,6x10 19 C μ Massa diam elektron 9,1x10 31 kg ε 0 Permitivitas ruang hampa 8,85x10 12 C 2 /Nm 2 p Momentum linier kg m/s v Kecepatan linier m/s k Bilangan gelombang 1/m ω Kecepatan sudut rad/s ν Frekuensi 1/s E Energi total Joule E k Energi kinetik Joule E p Energi potensial Joule r Jarak elektron ke inti m n Bilangan kuantum utama - n r Bilangan kuantum radial - n l Bilangan kuantum polar - l Bilangan kuantum orbital - m Bilangan kuantum magnetik - xiii