Seri Modul Kulih EL- Memik Tekik I MODUL DERET TAKHINGGA Su Acr Perkulih Modul Dere Tkhigg) sebgi beriku. Peemu ke- Pokok/Sub PokokBhs TujuPembeljr Dere Tkhigg Bris Dere khigg Dere khusus d kovergesiy) Uji Kovergesi Dere Posiif Mhsisw dihrk mmu: memhmi bris, bik secr forml muu iuiif, meeuk rumus rekursif dri bris, memeriks kovergesi suu bris d meeuk iy, megel d meyelesik mslh deg bris sebgi model memiky. memhmi ri dere khigg d membedky dri ejumlh bis, memhmi kovergesi dere d kiy deg kovergesi bris, meyusu d meulis dere deg megguk osi, megel beber dere khusus d kovergesiy, seeri dere geomeri, dere hrmoik, d dere-. memeriks kovergesi dere sederh deg defiisi memeriks kovergesi dere osiif d meghiug jumlhy bil koverge deg megguk uji iegrl, Dere Tkhigg Uji Kovergesi Dere Posiif lju) Dere Bergi Td; Kovergesi Mulk d Kovergesi Bersyr Mhsisw dihrk mmu: memeriks kovergesi dere osiif d meghiug jumlhy bil koverge deg megguk uji erbdig d uji i erbdig memeriks kovergesi dere osiif d meghiug jumlhy bil koverge deg megguk uji rsio memeriks kovergesi dere osiif d memilihk uji yg e, megel keku d kekurg i uji ser megguky uuk meeuk sregi eeu kovergesi. megel dere yg lebih umum yiu dere bergi d, memhmi erbed dere bergi d deg dere osiif, memhmi kose kediverge, kose kovergesi mulk, d kovergesi bersyr. AiSriudi Modul DereTkhigg -
Seri Modul Kulih EL- Memik Tekik I meguji kekoverge dere bergi d deg megguk memilih deg e) uji dere bergi d, uji kovergesi mulk, uji rsio mulk, ser megel kelebih d kekurg i uji kovergesi. Dere Pgk memhmi egeri dere gk sebgi dere, meeuk jri-jri kovergesi suu dere gk d iervl kovergesiy. memhmi fugsi yg dibgkik oleh sebuh dere gk deg domi sm deg iervl kovergesiy. Dere Tkhigg Oersi Dere Pgk Dere Tylor d Mcluri Mhsisw dihrk mmu: memhmi reresesi/eyji berbgi fugsi dlm beuk dere d bs domi eyjiy. meeuk reresesi/eyji fugsi dlm beuk dere deg megguk ekik membgu dere gk yg bru berdsrk yg elh d, deg oersi uru, iegrl, oersi ljbr, subsiusi d liy. meeuk eyji fugsi dlm beuk dere gk dere Tylor d dere Mcluri. meghrgi eigy dere Tylor uuk meghmiri ili fugsi ser mfy dlm erhiug memik yg diguk dlm berbgi bidg. megel beber dere Mcluri yg eig. AiSriudi Modul DereTkhigg -
Seri Modul Kulih EL- Memik Tekik I. BrisTkhigg Bris dlh susu bilg-bilg riil secr beruru. Perhikcoohberiku. ),, 8, 6, b),,,, 8 6 c),, 7, 0,, Secrumum, brisddiulis { },,, deg memeuhi ersm ereu. Pd cooh di s, msig-msig d diulis dlm rumus sebgi beriku. ) { },,8,6, b) ) { },, 8, 6, c) },,7,0, { Kovergesi Bris Bris { } dikk koverge meuju L bilg berhigg) jik memeuhi { Jik syr di s idk dieuhi, bris dikk diverge. } L Sif-sif Limi Bris Misly { } d {b } dlh bris koverge d k dlh kos. ) k k ) k k ) b ) b ) b ) b ) b b CONTOH Cri Peyelesi. AiSriudi Modul DereTkhigg -
Seri Modul Kulih EL- Memik Tekik I Bgi embilg d eyebu deg gk erbesr dri dlm hl ii, ) mk dieroleh / 0. CONTOH Peyelesi Dikehui sebuh bris sebgi beriku.,,,, ) Nyk bris ersebu dlm rumus ekslisi. b) Akh bris di s koverge? ) Pd bris di s, eyebu sellu lebih besr drid embilg. Jik embilg diberi simbol, eyebu mejdi +. Deg demiki, rumus ekslisi bris di s dlh b) Ujikovergesi. / 0 Kre bilg berhigg), mk { } koverge meuju. CONTOH Akh { } Peyelesi deg e koverge? Uuk meguji kovergesi bris di s, cri i uuk. Jik ki msukk = d sol ii, k dieroleh beuk keu /. Ki gukdlill Hoil: e e e Kre khigg), mk { } diverge meuju. LATIHAN. Uuk Sol, ulisk suku erm bris beriku. Teukkhbrisersebukoverge udiverge.... ). l. e si UukSol 6 0, crirumusekslisi uukseibrisberik u.teukkhbrisersebukoverge udiverge. 6.,,,, AiSriudi Modul DereTkhigg -
Seri Modul Kulih EL- Memik Tekik I 7.,,,, 8.,,,, 6 8 6 9.,,,, 6 0. 6, 9,,, 9 7 8. Dere Tkhigg: Dere Khusus d Kovergesiy Secr umum, dere khigg diulis sebgi beriku. KovergesiDere Derekhigg dikkkovergedmemilikijumlhsjikbrisjumlhrsilke-{s } kovergemeujus. Jik {S } diverge, dereersebudiverge. Dere diverge idk memiliki jumlh. CONTOH Peyelesi Teuk kovergesi jumlh dere beriku. Jumlhrsilke-dereersebudlh S 9 7 8 S 9 6 9 S 9 7 7 S 9 7 Mk S Deg demiki, jumlh dere koverge meuju. 9 7 8 AiSriudi Modul DereTkhigg -
Seri Modul Kulih EL- Memik Tekik I Dere Geomeri Dere geomeri memiliki beuk r r r r deg 0, r. Deregeomerikovergeuuk - <r< ddivergeuukr< ur >. Uukderegeomerikoverge, jumlhymemeuhi S S r deg S k r k r r r r CONTOH Teukjumlhdereberiku. 8 6 Peyelesi Rsio dere r d mk jumlhy dlh S r Dere Hrmoik Dere hrmoik memiliki beuk sebgi beriku. Dere hrmoik meruk dere diverge. Bukiy sebgi beriku. S 6 7 8 9 6 Jels bhw 8 S 8 6 sehigg dere hrmoik diverge meuju khigg. AiSriudi Modul DereTkhigg - 6
Seri Modul Kulih EL- Memik Tekik I Dere- Dere-memilikibeuksebgiberiku. deg kos. Dere- koverge jik > d diverge jik {Buki kovergesi ii diud dulu higg Ad selesi memeljri beber meode uji kovergesi). UjiSukuke- uukkovergesi: UjiPedhulu Jik 0 u idk d, dere ersebu diverge. Jik 0, dere lgi deg meode li kh i koverge u diverge. erlu diuji CONTOH Tujukk bhw diverge. Peyelesi Deg demiki, sesui deg uji suku ke-, dere ersebu diverge. 0. LATIHAN. Uuk Sol 6, euk kh dere beriku koverge u diverge. Jik koverge, cri jumlhy. Peujuk: uuk memudhk, ulis beber suku wl dere ersebu..... 6. k k k k k ) k k k k k Uuk Sol 7 0, guk uji edhulu uji suku ke-) uuk meyk bhw dere ersebu diverge u erlu uji lju. Ig, uji edhulu idk d diguk uuk meyimulk bhw dere koverge. 9 6 6 7. 8. 9. 0 7 0! )! ) 0. ) 6 7 AiSriudi Modul DereTkhigg - 7
Seri Modul Kulih EL- Memik Tekik I. UjiKovergesiDerePosiif.. Uji Iegrl Mislyfmerukfugsikoiu, osiif, didkikd iervl [, f ) uuksemubilgosiif. Derekhigg ) dgg koverge jik d hy jik iegrl imroer f ) d koverge. CONTOH 6 Guk uji iegrl uuk meeuk kh koverge u diverge. Peyelesi d l ) l ) l Degdemiki, diverge. CONTOH 7 Tujukbhwdere-)kovergejik > d b) divergejik. Peyelesi Seerielhdiuliskdsubbb., dere-berbeuk deg kos. Uuk > 0, fugsi f ) koiu, osiif, d idk ik d [, ). ) Uuk >, d d Seljuy, 0. Deg demiki koverge uuk >. b) Uuk = : d d l l Seljuy, l mk diverge. Uuk 0 << : d d AiSriudi Modul DereTkhigg - 8
Seri Modul Kulih EL- Memik Tekik I Kre 0 << mk u = > 0. Seljuy, diverge. Uuk < 0,: edhulu uji suku ke-): < 0 mk = u> 0 sehigg u mk u diverge. u mk. Deg uji Dri keig kodisi di s dieroleh simul bhw diverge uuk... UjiPerbdig Misly d. Uuk N, ) d b koverge mk koverge. ) d b diverge mk diverge. Uuk uji erbdig, ki d melkuk erbdig suu dere deg dere yg kovergesi u divergesiy sudh ki kehui. Dlm hl ii, elh dikehui kovergesi u divergesi beber dere sebgi beriku. ) DereGeomeri ) Dere- r kovergejik <r< ddivergejikr< ur >. ) DereHrmoik koverge jik > d diverge jik. diverge. CONTOH Akh koverge u diverge? Peyelesi Uuk besr, suku ke- dere ersebu meyerui deg sebgi beriku. Ki cob ilih d bdigk b AiSriudi Modul DereTkhigg - 9
Seri Modul Kulih EL- Memik Tekik I Kre diverge. d b diverge seerig kli dere hrmoik) mk CONTOH Teuk kovergesi Peyelesi. Uuk besr, suku ke-dere di s meyerui. Pilih. Seljuy, Kre d koverge. b b koverge dere- deg = > ) mk.. UjiLimi Perbdig Misly 0, b 0, d L. b ) 0 < L< d ) L = 0 d b diverge b sm-sm koverge u sm-sm diverge. koverge. CONTOH Teuk kh koverge u diverge. Peyelesi Uuk besr, suku ke- dere ersebu meyerui /. Oleh kre iu, ilih b mk b Kre b diverge dere hrmoik), mk diverge. AiSriudi Modul DereTkhigg - 0
Seri Modul Kulih EL- Memik Tekik I CONTOH Teuk kh Peyelesi koverge u diverge. Uuk besr, suku ke- dere ersebu miri /. Oleh kre iu, ilih b mk b Kre b koverge dere- deg = > ), mk koverge. CONTOH Peyelesi Teuk kovergesi l. Miri beuk rumus ekslisi suku ke- seeri kh membdigky deg. Kre iu, ilih b l b l? Ki cob deg mk l Tery uji di s ggl kre idk sesui deg syr uji ierbdig. Ki coblgidegmemilih b mk b {Limi di s dieroleh deg dlil L Hoil} l l / / 0 Kre diverge dere- deg = ½ < ) mk, sesui syr uji / l ierbdig, koverge... UjiRsio Misly merukderesuku-sukuosiifd. ) Jik <, dereersebukoverge. ) Jik > u =, dereersebudiverge. ) Jik =, guk uji kovergesi li. AiSriudi Modul DereTkhigg -
Seri Modul Kulih EL- Memik Tekik I CONTOH 8 Peyelesi Uji kovergesi dere beriku.! Dere ersebu memiliki suku ke-: d suku ke-+): mk! )!!!!! )!! )! 0. Kre < mk dere ersebu koverge. C:! )! ) ) ) ) ) ). CONTOH 9 Uji kovergesi dere beriku.. Peyelesi Suku ke- d ke-+) dere ersebu msig-msig d mk, deg ) uji rsio, ) ) ) 0). = > mk dere ersebu diverge. LATIHAN. Uuk Sol, guk uji erbdig u erbdig i uuk meeuk kovergesi dere.... l. Guk uji iegrl uuk meeuk kovergesi dere d Sol 8 beriku.. 6. l AiSriudi Modul DereTkhigg -
Seri Modul Kulih EL- Memik Tekik I 7. 8. e ) Guk uji rsio uuk meeuk kovergesi dere d Sol 8 beriku. 9. 0...! 0 e e! Teuk kovergesi dere d Sol 0 beriku. Tuliskuji yg diguk.... 6. 7. 8. 9. 0. )! l. Dere Bergi Td; Kovergesi Mulk d Kovergesi Bersyr Dere bergi d memiliki beuk umum sebgi beriku. ) deg 0. Uji Dere Bergi Td: Jik 0, dere ersebu koverge. CONTOH Tujukk bhw ) koverge. Peyelesi Jels bhw dere ersebu koverge. 0 AiSriudi Modul DereTkhigg -
Seri Modul Kulih EL- Memik Tekik I KovergesiMulk Jik koverge, koverge. Uji kovergesi mulk uji rsio mulk) sebgi beriku. Misly ) Jik <, dere ersebu koverge mulk. ) Jik > u =, dereersebudiverge. ) Jik =, guk uji kovergesi li. CONTOH Teukkovergesi ). Peyelesi ) ) ) 0) > mk, sesui uji kovergesi mulk, dere ersebu diverge. Kovergesi Bersyr Dere disebu koverge bersyr jik koverge ei diverge. CONTOH Tujukk bhw ) koverge bersyr. Peyelesi Pd CONTOH elh dibukik bhw dere ersebu koverge. Ak ei, ) diverge dere hrmoik). Jdi, jels bhw koverge bersyr LATIHAN. Tujukk bhw dere d Sol beriku koverge mulk.. ).. ) )! e. AiSriudi Modul DereTkhigg -
Seri Modul Kulih EL- Memik Tekik I TeukkhderedSol 6 0 berikukovergemulk, kovergebersyr, udiverge. 8. ) 6. ) 9. ) si 7. ) 0. ). DerePgk;HimuKovergesi Dere gk memiliki beuk sebgi beriku. 0 0 Kovergesi dere gk bergug d ili yg diilih. Uji kovergesi yg diguk dlh uji rsio mulk. Himu kovergesi dere gk sellu berd dlm iervl dri slh su kemugki beriku. ) Tiikuggl = 0. ) Iervl -R, R), dimbh slh su u kedu iik ujug. ) Semubilgriil. Keig kemugki iervl di s disebu rdius kovergesi. CONTOH Teuk sehigg Peyelesi Uji rsio mulk, 0! koverge. )!! 0. Kre = 0 <, dere ersebu koverge uuk semu. CONTOH Teuk himu kovergesi ) 0. Peyelesi Uji rsio mulk, ) ). AiSriudi Modul DereTkhigg -
Seri Modul Kulih EL- Memik Tekik I Dere ersebu koverge uuk <, yki, u d, sebliky, diverge d. Seljuy, cek iik-iik ujug, yki = d =. Pd = ) d sehigg sesui deg uji edhulu uji suku ke-), Pd = 0 diverge. ) ) d idk d sehigg sesui degeorem uji dere bergi d, ) diverge. 0 Deg demiki, dere di s koverge d iervl: <<. LATIHAN. Teuk himu kovergesi dere gk d Sol beriku...!!!... l ) ).6 Turud Iegrl DerePgk Misly S) dlh jumlh dere gk d iervl I, Jik di dlm iervl I, ) S ' ) d d 0 0 d d S ). 0 ) S ) d d d 0 0 0 0 0 0 AiSriudi Modul DereTkhigg - 6
Seri Modul Kulih EL- Memik Tekik I CONTOH Pd dere geomeri, uuk <<, S ) Teuk du fugsi bru mellui ediferesil d egiegrl. Peyelesi d ) d d d ), << ) 0 d 0 d l ) Gi oleh d klik kedu rus deg mk dieroleh l ), << CONTOH Peyelesi Misly mk S ) S ' ) Tujukkbhw!!!! e!! Dri kedufugsidere di s, dieroleh S ) S' ), yg idk li dlhersmdiferesil. Solusi umum ersm diferesil ii dh S) = Ae, deg A kos. Kre S0) = mk A = sehigg solusi khususy dlh S) = e. Jdi, jelsbhw e!!!! AiSriudi Modul DereTkhigg - 7
Seri Modul Kulih EL- Memik Tekik I LATIHAN.6 Teuk ugk dere gk dri f) d rdius kovergesiy. f) berki deg dere geomeri.. f ). f ) ). f ). f ) l[ )/ )]. Guk hsil d Cooh uuk medk fugsi beriku. f ) e e.7 Dere Tylor dmcluri Tijufugsidereberiku. f ) ko k ) k ) k ) k ) d iervl sekir. Turu ke- fugsi ersebu dlh f ' ) k k ) k ) k ) f '' )! k! k ) k ) f ''' )! k! k ) Msukk = mk k dieroleh k 0 f ) k f ' ) k k usecrumum k f '' )! f ''' )! ) f )! Jik kos k dimsukk ke fugsi dere, dieroleh f ) f ) f ' ) ) f '' )! ) f ''' )! ) ) f! Dere ii dikel sebgi dere Tylor. Uuk = 0, dere di s disebu dere Mcluri, yki f ) f 0) f '0) f ''0)! f '''0)! f! ) ) AiSriudi Modul DereTkhigg - 8
Seri Modul Kulih EL- Memik Tekik I CONTOH Ekssik f ) si kedlmderemcluri. Peyelesi f ) si f 0) 0 f ' ) cos f '0) f '' ) si f ''0) 0 f ''' ) cos f '''0) SesuidegrumusdereMcluridieroleh si!! 7 7! CONTOH Ekssik f ) e kedlmderemcluri. Peyelesi e f 0) f ) ' e f '0) f ) '' e f ''0) f ) SesuidegrumusdereMcluridieroleh e!!! {Hsil ii sm deg CONTOH Subbb.6) CONTOH Peyelesi Nyk e PdCooh elhdieroleh Gi oleh mk dieroleh sebgi fugsi dere gk. e!!! 6!! 8 e! AiSriudi Modul DereTkhigg - 9
Seri Modul Kulih EL- Memik Tekik I Beber dere Mcluri eig d iervl kovergesiy.., <<. l ), <. e!!!, semu. si 7!! 7!, semu. cos 6!! 6!, semu 6. ) ) ) )!!, << Dere biomil, bilg riil). LATIHAN.7 Nyk fugsi beriku ke dlm beuk dere Mcluri.. f ) cos. 0 u du Guk subsiusi d dere yg sudh d uuk medk reresesi dere dri fugsi beriku.. f ) l, 0 <.. f ) e. f ) ), <<. AiSriudi Modul DereTkhigg - 0