Jurnal Matematika UNAND Vol. 2 No. 1 Hal. 42 51 ISSN : 2303 2910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND KEKONVERGENAN BARISAN DI RUANG HILBERT PADA PEMETAAN TIPE-NONSPREADING DAN NONEXPANSIVE DEBI OKTIA HARYENI Program Studi Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Andalas, Kampus UNAND Limau Manis Padang, Indonesia, debby hy@ymail.com Abstract. We obtained some fundamental properties for k-strictly pseudononspreading mappings in Hilbert space. Furthermore, we studied the approximation of common fixed points of k-strictly pseudononspreading mappings and nonexpansive mappings in a Hilbert space using the iterative scheme. Kata Kunci: Fixed point, Hilbert space, Banach Space, nonexpansive mappings, nonspreading mappings. 1. Pendahuluan Misalkan X adalah suatu himpunan tak kosong dan T : X X. Titik x X dinamakan suatu titik tetap dari T jika berlaku T (x) = x. Himpunan semua titik tetap dari T dinotasikan dengan F (T ). Pada ruang Hilbert dapat didefinisikan beberapa jenis pemetaan, seperti pemetaan nonexpansive dan pemetaan nonspreading. Titik tetap dari pemetaan tertentu pada ruang Hilbert tidak mudah untuk ditentukan secara langsung. Oleh karena itu, diperlukan prosedur iterasi sehingga titik tetap sesungguhnya dapat dihampiri. Nilai hampiran ini dinamakan aproksimasi titik tetap. Dalam tulisan ini penulis akan mengkaji kembali paper [5] yang membahas tentang aproksimasi titik tetap dari pemetaan k pseudononspreading sejati S : C C dan pemetaan nonexpansive T : C C dalam ruang Hilbert dengan menggunakan iterasi sebagai berikut: x 1 C, x n+1 = (1 α n )(β n x n + (1 β n )Sx n ) + α n (γ n x n + (1 γ n )T x n ). Selanjutnya iterasi di atas akan dipandang sebagai suatu barisan (x n ) di C. (1.1) 1.1. Norm dan Hasil Kali Dalam Definisi 1.1. [4] Suatu fungsi dari suatu ruang vektor X ke R dikatakan suatu norm jika memenuhi kondisi berikut: (N1) x = 0 jika dan hanya jika x = 0, 42
(N2) αx = α x, untuk setiap x X dan α R, (N3) x + y x + y, untuk setiap x, y X. Pasangan (X,. ) dinamakan ruang norm. Kekonvergenan Barisan di Ruang Hilbert 43 Definisi 1.2. [4] Misalkan X adalah suatu ruang vektor kompleks. Suatu fungsi.,. : X X C dinamakan hasil kali dalam di X jika untuk sebarang x, y, z X dan α, β C, berlaku: (H1) x, x > 0, dan x, x = 0 jika dan hanya jika x = 0, (H2) x, y + z = x, y + x, z, (H3) αx, y = α x, y, (H4) x, y = y, x (tanda bar menunjukkan konjugat kompleks). Pasangan (X,.,. ) dinamakan ruang hasil kali dalam (ruang pre-hilbert). Definisi 1.3. [4] Suatu barisan dari vektor-vektor (x n ) dalam ruang norm X dikatakan Cauchy jika lim m,n x m x n = 0, yaitu untuk setiap ɛ > 0, ada suatu M(ɛ) N sedemikian sehingga x m x n < ɛ, untuk setiap m, n M(ɛ). Suatu ruang hasil kali dalam lengkap, yakni bilamana memenuhi definisi ruang hasil kali dalam dan setiap barisan Cauchy di X konvergen ke suatu elemen di X, dinamakan ruang Hilbert, sedangkan ruang bernorm lengkap dinamakan dinamakan ruang Banach. 1.2. Pemetaan nonexpansive dan nonspreading Misalkan H adalah suatu ruang Hilbert riil dan C adalah subhimpunan konveks tertutup yang tak kosong dari H. Pemetaan T : C C dikatakan nonexpansive apabila memenuhi T x T y x y, x, y C. (1.2) Pemetaan T : C C dikatakan nonspreading jika memenuhi 2 T x T y 2 T x y 2 + x T y 2, x, y C. (1.3) Berdasarkan terminologi Browdwer-Petryshyn [5], T : C H dikatakan k pseudononspreading sejati jika ada k [0, 1), sedemikian sehingga T x T y 2 x y 2 + 2 x T x, y T y + k x T x (y T y) 2, x, y C. (1.4) Dengan demikian jelas bahwa setiap pemetaan nonspreading merupakan pemetaan k pseudononspreading sejati. Definisi 1.4. [3] Misalkan E adalah suatu ruang Banach riil. Suatu pemetaan T dengan domain D(T ) dan range R(T ) di E disebut demiclosed di suatu titik p D(T ) jika setiap (x n ) yang merupakan barisan di D(T ) konvergen lemah ke suatu titik x D(T ) dan (T x n ) konvergen kuat ke p, maka T x = p. Lema 1.5. [6] Misalkan H suatu ruang Hilbert riil, dengan demikian untuk setiap x, y, z, w H berlaku hubungan berikut
44 Debi Oktia Haryeni (1) tx + (1 t)y 2 = t x 2 + (1 t) y 2 t(1 t) x y 2, dengan t [0, 1], (2) 2 x y, z w = x w 2 + y z 2 x z 2 y w 2. Lema 1.6. [5] Misalkan C suatu subhimpunan konveks tertutup dari H. Pemetaan S : C C adalah pemetaan k pseudononspreading sejati jika dan hanya jika untuk setiap x, y C, berlaku 2 Sx Sy 2 Sx y 2 + x Sy 2 + k (1 S)x (1 S)y 2. (1.5) Lema 1.7. [5] Misalkan C adalah suatu subhimpunan konveks tertutup dan tak kosong dari H, S : C C suatu pemetaan k pseudononspreading sejati, dan A = I S, sehingga untuk setiap x, y C diperoleh (2 k) Ax Ay 2 2 x y, Ax Ay + Ax 2 + Ay 2. (1.6) Lema 1.8. [5] Misalkan C subhimpunan konveks tertutup yang tak kosong dari suatu ruang Hilbert H dan S : C C adalah suatu pemetaan k pseudononspreading sejati, maka I S demiclosed di 0. 2. Kekonvergenan Barisan di Ruang Hilbert pada Pemetaan Tipe-nonspreading dan nonexpansive 2.1. Teorema Utama Teorema 2.1. [5] Misalkan C adalah subhimpunan konveks tertutup tak kosong dari suatu ruang Hilbert riil H, S : C C adalah suatu pemetaan k pseudononspreading sejati, dan T : C C adalah suatu pemetaan nonexpansive sedemikian sehingga F (S) F (T ). Misalkan (α n ), (β n ), (γ n ) adalah barisan-barisan dalam selang [0, 1] sedemikian sehingga β n (k, 1]. Definisi barisan (x n ) adalah sebagai berikut: x 1 C, x n+1 = (1 α n )(β n x n + (1 β n )Sx n ) + α n (γ n x n + (1 γ n )T x n ), untuk setiap n N. (2.1) (T 1) Jika lim inf n α n (β n γ n ) > 0, n=1 α n(1 γ n ) <, dan 1 + k < (2 α n )β n + α n γ n, maka (x n ) konvergen lemah ke q F (S). (T 2) Jika β n > γ n, n=1 (1 β n) <, 2β n 1 α n (β n γ n ) > 0, dan lim inf n α n (β n γ n )(2β n 1 α n (β n γ n )) > 0, maka (x n ) konvergen lemah ke q F (T ). (T 3) Jika lim inf n α n > 0, lim inf n (1 α n ) > 0, lim inf n (1 β n ) > 0, dan lim inf n γ n (1 γ n ) > 0, maka (x n ) konvergen lemah ke q F (S) F (T ). Bukti. Misalkan U n = β n I + (1 β n )S dan V n = γ n I + (1 γ n )T. Pertamatama akan ditunjukkan bahwa barisan (x n ) terbatas. Berdasarkan Lema 1.5(1) dan karena S adalah suatu pemetaan k pseudononspreading sejati, maka untuk setiap
Kekonvergenan Barisan di Ruang Hilbert 45 x, y C diperoleh U n x U n y 2 = β n (x y) + (1 β n )(Sx Sy) 2 β n x y 2 + (1 β n )( x y 2 + 2 x Sx, y Sy +k x Sx (y Sy) 2 ) β n (1 β n ) x Sx (y Sy) 2 x y 2 + 2(1 β n ) x Sx, y Sy. Karena U n = β n I + (1 β n )S maka (1 β n )Sy = U n y β n y untuk setiap y C, sehingga diperoleh U n x U n y 2 x y 2 + 2 x Sx, y U n y. (2.2) Misalkan p F (S) F (T ), dengan demikian p = Sp sehingga U n p = β n p + (1 β n )Sp = p. (2.3) Dari persamaan (2.2) dan persamaan (2.3), diperoleh U n x n p 2 = U n x n U n p 2 x n p 2. Karena T merupakan pemetaan nonexpansive dan F (T ), maka untuk setiap p F (S) F (T ) diperoleh V n x n p = γ n x n + (1 γ n )T x n p γ n (x n p) + (1 γ n )(T x n p) x n p. (2.4) Dari persamaan (2.2) persamaan (2.4), untuk setiap n N diperoleh x n+1 p 2 = (1 α n )U n x n + α n V n x n p 2 (1 α n ) U n x n p 2 + α n V n x n p 2 x n p 2. (2.5) Dengan demikian ( x n p ) bukan barisan naik, mengakibatkan lim n x n p ada dan karena itu (x n ) terbatas. Misalkan Untuk membuktikan (T 1), misalkan dan A = I S, maka lim x n p = c. (2.6) n z n+1 = (1 α n )U n x n + α n (γ n x n + (1 γ n )Sx n ), (2.7) x n+1 z n+1 = α n γ n x n + (1 γ n )T x n γ n x n (1 γ n )Sx n = α n (1 γ n ) T x n Sx n. (2.8) Karena n=1 α n(1 γ n ) < maka dari [2,7], n=1 α n(1 γ n ) konvergen dan lim n α n (1 γ n ) = 0. Oleh karena itu lim n x n z n = 0 dan diperoleh Karena U n = β n I + (1 β n )S, diperoleh lim z n p = lim x n p = c. (2.9) n n U n x n Sx n = β n Ax n dan U n x n x n (1 β n )Ax n.
46 Debi Oktia Haryeni Dari Lema 1.7, Lema 1.8, Ap = 0, dan persamaan di atas, maka diperoleh z n+1 p 2 = (1 α n )U n x n + α n (γ n x n + (1 γ n )Sx n ) p 2 x n p 2 α n (β n γ n ){(1 k) 2(1 β n ) α n (β n γ n )} Ax n 2. Oleh karena itu, α n (β n γ n ){(1 k) 2(1 β n ) α n (β n γ n )} Ax n 2 x n p 2 z n+1 p 2. (2.10) Karena lim inf n α n (β n γ n ) > 0 dan (1 k 2(1 β n ) α n (β n γ n )) > 0, akibatnya lim x n Sx n = lim Ax n = 0. (2.11) n n Karena (x n ) barisan terbatas, maka ada suatu subbarisan (x ni ) (x n ) sedemikian sehingga (x ni ) konvergen lemah ke q. Dari Lema 1.8 diperoleh q F (S). Untuk menunjukkan kesimpulan perlu ditunjukkan bahwa untuk subbarisan lain (x nj ) (x n ), sedemikian sehingga jika (x nj ) konvergen lemah ke v F (S), maka q = v. Sebelum membuktikan ini terlebih dahulu akan dibuktikan bahwa untuk sebarang z F (S), lim n x n z ada. Perhatikan bahwa dan untuk setiap z F (S) diperoleh Dengan demikian U n z = β n z + (1 β n )Sz = z, (2.12) U n x n z 2 = U n x n U n z 2 x n z 2. (2.13) z n+1 z = (1 α n )U n x n + α n (γ n x n + (1 γ n )Sx n ) z z n z + x n z n + α n (1 γ n ) Sx n z. (2.14) Karena n=1 α n(1 γ n ) <, lim n x n z n = 0, dan dari [3] lim n z n z ada, mengakibatkan lim n x n z juga ada. Misalkan q v, dari [3] diperoleh lim x n q = lim x ni q < lim x ni v n i i = lim x n v = lim x n j v n j < lim x n j q = lim x n q, (2.15) j n yang merupakan suatu kontradiksi. Oleh karena itu mestilah q = v dan (x n ) konvergen lemah ke q F (S). Untuk membuktikan (T 2), misalkan maka diperoleh z n+1 = (1 α n )(β n x n + (1 β n )T x n ) + α n V n x n, (2.16) x n+1 z n+1 (1 β n ) Sx n T x n. (2.17) Karena n=1 (1 β n) <, maka lim n (1 β n ) = 0. Oleh karena itu lim n x n+1 z n+1 = 0. Karena (x n ) adalah barisan terbatas, maka (z n ) juga
Kekonvergenan Barisan di Ruang Hilbert 47 terbatas. Misalkan B = I T dan untuk setiap p F (S) F (T ), maka Bp = 0 sehingga z n+1 p 2 = (1 α n )(β n x n + (1 β n )T x n ) + α n V n x n p 2 Karena T pemetaan nonexpansive, T p = p, dan Bx n = T x n x n, dengan demikian diperoleh z n+1 p 2 x n p 2 2α n (β n γ n ) x n p, Bx n Bp + 2α n (1 β n ) (β n γ n ) Bx n, Bx n + α 2 n(β n γ n ) 2 Bx n 2. dari [5] dengan B = I T adalah 1/2 invers monoton kuat, maka diperoleh z n+1 p 2 x n p 2 α n (β n γ n ) Bx n Bp 2 + 2α n (1 β n ) (β n γ n ) Bx n 2 + α 2 n(β n γ n ) 2 Bx n 2 = x n p 2 α n (β n γ n ){1 2(1 β n ) α n (β n γ n )} Bx n 2. Dengan demikian untuk p F (S) F (T ), berlaku (2.18) α n (β n γ n ){1 2(1 β n ) α n (β n γ n )} Bx n 2 x n p 2 z n+1 p 2. (2.19) Dengan menjumlahkan persamaan (2.19) dari n = 1 hingga N, diperoleh Σ N n=1α n (β n γ n )(2β n 1 α n (β n γ n )) Bx n 2 Σ N n=1{ x n p 2 z n+1 p 2 } x 1 p 2 + Σ N 1 n=1 { x n+1 p 2 z n+1 p 2 } x 1 p 2 + Σ N 1 n=1 ( x n+1 p + z n+1 p ) x n+1 z n+1 x 1 p 2 + Σ N 1 n=1 (1 β n)( x n+1 p + z n+1 p ) Sx n T x n x 1 p 2 + MΣ N 1 n=1 (1 β n), (2.20) dengan M = sup n N {( x n+1 p + z n+1 p ) Sx n T x n }. Misalkan N, dan karena Σ n=1(1 β n ) <, diperoleh Σ n=1α n (β n γ n )(2β n 1 α n (β n γ n )) Bx n 2 x 1 p 2 +MΣ n=1(1 β n ) <. (2.21) Dari [7], jika α n > 0, (β n γ n ) > 0, dan 2β n 1 α n (β n γ n ) > 0, maka lim n α n (β n γ n )(2β n 1 α n (β n γ n )) > 0 dan Σ n=1α n (β n γ n )(2β n 1 α n (β n γ n )) =. Oleh karena itu diperoleh lim inf n x n T x n = lim inf n Bx n = 0. (2.22) Karena T merupakan pemetaan nonexpansive, dari [7] diperoleh T x n+1 x n+1 = T x n+1 (1 α n )U n x n α n V n x n T x n x n + (1 β n )( Sx n x n + T x n Sx n ) (2.23) Karena n=1 (1 β n) <, dari [3] maka limit dari ( T x n x n ) ada, dan dari persamaan (2.22) diperoleh lim T x n x n = 0. (2.24) n
48 Debi Oktia Haryeni Karena (x n ) adalah barisan terbatas, maka ada suatu subbarisan (x ni ) (x n ) sedemikian sehingga (x ni ) konvergen lemah ke q. Suatu pemetaan nonexpansive T merupakan demiclosed dengan q F (T ). Berdasarkan bukti bagian (T 1), (x n ) konvergen lemah ke q F (T ). (T 3). Dari persamaan (2.5) dan persamaan (2.6), untuk sebarang p F (S) F (T ) diperoleh 0 x n p 2 x n+1 p 2 c 2 c 2 = 0. (2.25) Karena n, pertama akan ditunjukkan bahwa (x n ) konvergen lemah untuk beberapa titik di F (S). Dari persamaan (2.2) persamaan (2.4) diperoleh Oleh karena itu diperoleh x n+1 p 2 (1 α n ) U n x n p 2 + α n x n p 2 x n p 2. (2.26) 0 x n p 2 (1 α n ) U n x n p 2 α n x n p 2 = (1 α n )( x n p 2 β n x n + (1 β n )Sx n p 2 ) x n p 2 x n+1 p 2. (2.27) Karena lim inf n (1 α n ) > 0, dari persamaan (2.25) dan persamaan (2.27) diperoleh Dari Lema 1.5(1) diperoleh lim ( x n p 2 β n x n + (1 β n )Sx n p 2 ) = 0. (2.28) n β n x n + (1 β n )Sx n p 2 = β n (x n p) + (1 β n )(Sx n p) 2 = β n x n p 2 + (1 β n ) Sx n p) 2 β n (1 β n ) x n Sx n 2. (2.29) Karena S adalah suatu pemetaan k pseudononspreading sejati, p F (S), dan dari persamaan (1.4) diperoleh β n (1 β n ) x n Sx n 2 x n p 2 +k(1 β n ) x n Sx n 2 β n x n +(1 β n )Sx n p 2. (2.30) Dengan demikian berlaku (1 β n )(β n k) x n Sx n 2 x n p 2 β n x n + (1 β n )Sx n p 2. (2.31) Karena lim inf n (1 β n ) > 0, dari persamaan (2.28) diperoleh lim x n Sx n 2 = 0. (2.32) n Sebagaimana pada pembuktian (T 1), dari Lema 1.8 jika (x ni ) konvergen lemah ke v, maka v F (S). Akan ditunjukkan bahwa v F (T ). Dari persamaan (2.2) persamaan (2.4), untuk p F (S) F (T ), maka x n+1 p 2 (1 α n ) x n p 2 + α n γ n x n + (1 γ n )T x n p 2 x n p 2. (2.33)
Kekonvergenan Barisan di Ruang Hilbert 49 Oleh karena itu diperoleh 0 x n p 2 (1 α n ) x n p 2 α n γ n x n + (1 γ n )T x n p 2 = α n ( x n p 2 γ n x n + (1 γ n )T x n p 2 ) x n p 2 x n+1 p 2. (2.34) Karena lim inf n α n > 0, dari persamaan (2.25) diperoleh lim n ( x n p 2 γ n x n + (1 γ n )T x n p 2 ) = 0. (2.35) Karena T merupakan pemetaan nonexpansive dan p = T p, maka γ n x n + (1 γ n )T x n p 2 = γ n (x n p) + (1 γ n )(T x n p) 2 x n p 2 γ n (1 γ n ) x n T x n 2. (2.36) Karena lim inf n γ n (1 γ n ) > 0, dari persamaan (2.35) diperoleh lim x n T x n 2 = 0. (2.37) n Karena (x ni ) konvergen lemah ke q, maka q F (T ). Misalkan (x nj ) merupakan subbarisan lain dari (x n ) sedemikian sehingga (x nj ) konvergen lemah ke v. Oleh karena itu diperoleh q = v. Sebaliknya, jika q v diperoleh lim x n q = lim x ni q n i < lim x ni v = lim x n v = lim x n j v i n j < lim x n j q = lim x n q. (2.38) j n Hal ini merupakan suatu kontradiksi, maka dari itu mestilah q = v. Oleh karena itu dapat disimpulkan bahwa (x n ) konvergen lemah ke q F (S) F (T ). 2.2. Beberapa Akibat Teorema Utama Untuk pemetaan nonspreading S, misalkan k = 0, sehingga diperoleh Akibat 2.2. [5] Misalkan C subhimpunan konveks tertutup yang tak kosong dari suatu ruang Hilbert H, S : C C adalah suatu pemetaan nonspreading, dan T : C C adalah pemetaan nonexpansive sedemikian sehingga F (S) F (T ). Definisi barisan (x n ) adalah sebagai berikut: x 1 C, x n+1 = (1 α n )(β n x n + (1 β n )Sx n ) + α n (γ n x n + (1 γ n )T x n ), untuk setiap n N, dengan (α n ), (β n ), (γ n ) adalah barisan dalam selang [0, 1]. (2.39) (1) Jika lim inf n α n (β n γ n ) > 0, n=1 α n(1 γ n ) <, dan 1 < (2 α n )β n + α n γ n, maka (x n ) konvergen lemah ke q F (S). (2) Jika β n > γ n, n=1 (1 β n) <, 2β n 1 α n (β n γ n ) > 0, dan lim inf n α n (β n γ n )(2β n 1 α n (β n γ n )) > 0, maka (x n ) konvergen lemah ke q F (T ).
50 Debi Oktia Haryeni (3) Jika lim inf n α n > 0, lim inf n (1 α n ) > 0, lim inf n (1 β n ) > 0, dan lim inf n γ n (1 γ n ) > 0, maka (x n ) konvergen lemah ke q F (S) F (T ). Akibat 2.3. [5] Misalkan C suatu subhimpunan konveks tertutup yang tak kosong dari ruang Hilbert H dan S : C C suatu pemetaan nonspreading sedemikian sehingga F (S). Definisi barisan (x n ) adalah sebagai berikut: x 1 C, x n+1 = α n x n + (1 α n )Sx n, (2.40) untuk setiap n N, dengan (α n ) adalah barisan dalam selang [0, 1]. Jika lim inf n α n > 0, maka (x n ) konvergen lemah ke q F (S). Bukti. Dengan memisalkan β n = 0, γ n = 1 untuk n N pada Teorema 2.1, maka diperoleh akibat di atas. Akibat 2.4. [5] Misalkan C merupakan subhimpunan konveks tertutup yang tak kosong dari suatu ruang Hilbert H dan T : C C merupakan pemetaan nonexpansive sedemikian sehingga F (T ). Definisi barisan (x n ) adalah sebagai berikut: x 1 C, x n+1 = (1 α n )x n + α n T x n, (2.41) untuk setiap n N, dengan (α n ) adalah barisan dalam selang [0, 1]. Jika n=1 α n =, maka (x n ) konvergen lemah ke q F (T ). Bukti. Dengan memisalkan β n = 1, γ n = 0 untuk n N pada Teorema 2.1, maka diperoleh akibat tersebut di atas. 3. Ucapan Terima kasih Penulis mengucapkan terima kasih kepada Bapak Syafrizal Sy, Bapak Admi Nazra, Bapak Muhafzan, Bapak Efendi, dan Bapak Mahdhivan Syafwan yang telah memberikan masukan dan saran sehingga makalah ini dapat diselesaikan dengan baik. Daftar Pustaka [1] Agarwal, R.P., D. O Regan dan D.R. Sahu. 2009. Fixed Point Theory for Lipschitzian-type Mappings with Applications. New York: Springer. [2] Bartle, R.G. dan D.R. Sherbert. 2000. Introduction to Real Analysis (Third Edition). New York: John Wiley and Sons. [3] Berinde, V. 2007. Iterative Approxomation of Fixed Point. New York: Springer. [4] Debnath, L. dan P. Mikusiński. 2005. Hilbert Space with Applications. California: Elsevier. [5] Kyung, S.K. 2012. Approximating common fixed points of nonspreading-type mappings and nonexpansive mappings in a Hilbert space. Hindawi Publishing Corporation Abstract and Applied Analysis. 10: 1155 1173.
Kekonvergenan Barisan di Ruang Hilbert 51 [6] Shigeru, I. dan W. Takahashi. 2009. Approximating common fixed point of nonexpansive mappings and nonspreading mappings in a Hilbert space. Nonlinear Analysis Theory, Methods and Applications. 71: e2082 e2089. [7] Tan, K.K. dan H.K Xu. 1993. Approximating fixed points of nonexpansive mappings by the Ishikawa iteration process. Journal of Mathematical Analysis and Applications. 178: 301 308.