BARISAN DAN DERET I. Pergerti Bris d Deret Bris bilg dlh pemet dri bilg sli ke bilg rel yg diurutk meurut tur tertetu. U III. Deret Geometri Ciriy : rsio tetp U = r S r = r S r = r = bilg sli U = suku ke- Deret dlh jumlh suku-suku pd bris S = U + U + U +.. + U S = jumlh suku pertm Utuk setip deret berlku : U = S S II. Deret Aritmetik Ciriy : selisih tetp U = + ( ) b S = U S = ( )b = suku pertm = U b = bed deret = U U Sisip : Jik tr suku pd deret ritmetik disisipk k buh bilg mk b = o kb bo = bed mul-mul b = bed yg bru k = byk sisip = suku pertm = U U r = rsio = U Sisip : Jik tr suku pd deret ritmetik disisipk k buh bilg mk r k r o r o = rsio mul-mul r = rsio yg bru k = byk sisip IV. Deret geometri tk higg Yitu deret geometri yg memiliki suku sebyk tk higg gr jumlhy berhigg deret hrus koverge, yitu : < r < Jumlh deret geometri tk higg dlh S r Mtemtik SMA
Sol-sol ltih :. Dikethui suku pertm sutu bris ritmtik dlh d bedy, mk suku ke diytk deg... + + 6 + +. Jik suku ke- sutu deret ritmtik dlh d suku ke-7 y dlh 6. Mk jumlh suku ke-0 y dlh... 00 00 00 00 00. Jumlh tig suku pertm deret ritmtik, sedgk hsil kliy 80. Jik semu suku deret ritmtik ii positif mk jumlh 0 suku pertm deret itu sm deg. 7 70 60 0. Jik jumlh empt suku pertm d jumlh em suku pertm sutu deret ritmetik berturut-turut dlh 6 d 08, mk jumlh ke sepuluh suku pertm deret itu dlh: 6 76 00 6 60. Ato membut segitig sm-sisi dri segitig-segitig sm-sisi stu (pjg sisi stu). Pd lgkh pertm diperluk buh segitig sm-sisi stu. Pd lgkh ke-, di membhk buh segitig stu utuk medpt segitig sm-sisi stu. Pd lgkh ke- ditmbhk segitig sm-sisi stu utuk medpt segitig sm-sisi stu. Smpi deg lgkh ke-9, diperoleh segitig sm-sisi stu sebyk 6 7 8 6. Diberik suku byk f (x) x x.jik f ''(), f '(), f () membetuk bris ritmetik, mk ' f ''() f () f () = 7 6 6 7 7. Tig buh bilg membetuk deret ritmtik Jik suku kedu dikurgi d suku ketig ditmbh deg, mk diperoleh deret geometri. Jik suku pertm deret semul ditmbh deg, mk i mejdi setegh suku ketig Jumlh deret ritmtik semul 6 8 0 8. Suku ke- sutu deret geometri dlh, suku ke- deret tersebut dlh 6, mk suku pertm d rsio deret tersebut berturut-turut dlh... d d d d d 9. Dikethui,, membetuk bris geometri. Agr ketig suku membetuk bris ritmtik, mk suku ketig hrus ditmbh deg 8 6 6 8 0. Jumlh deret geometri tk higg log x log x log x log x log x 6 log x.... dlh Mtemtik SMA
log x log x. Tig buh bilg merupk bris geometri deg pembdig lebih besr dri stu. Bil suku terkhir dikurgi, mk ketig bilg itu merupk bris ritmetik deg jumlh. Selisih suku ketig d suku pertm deret ritmetik ii dlh 6 0 8. Dikethui p log log... log ili p utuk ~ dlh log log log log log. Deret geometri log(x ) log (x )... koverge jik 0 < x < < x < 8 x 8 0 x 8 < x < 8. Diberik ligkr L deg jri-jri r. Di dlm L dibut bujur sgkr B, deg keempt titik suduty terletk pd busur L. Dlm B dibut pul ligkr L yg meyiggug keempt sisi bujur sgkr tersebut. Dlm L dibut pul bujur sgkr B deg keempt titik suduty terletk pd busur L. Demiki seterusy sehigg diperoleh ligkr-ligkr L, L, L, d bujur sgkr B, B, B, Jumlh lus seluruh ligkr d seluruh bujur sgkr dlh ( + )R ( + )R ( + )r ( + )r ( + )r. Jumlh tk higg sutu deret geometri dlh 8, d jumlh semu suku pd keduduk (urut) gep dlh 8. Suku kelim deret tersebut dlh 6. Deret... xlog ( xlog) ( xlog) koverge utuk ili x berikut < x < < x <, x < x <, x x < tu x > x < tu x > 7. Deret geometri log(x 6) log (x 6) erge pd itervl 6, < x < 8 6, x 8 0 < x 6< 0 x 6 x > 6 log (x 6)....kov 0 0 0 8. Jik P log log... log d = P mk P = log 9. Perhtik deret lim P logcos x log cos x log cos x... Jumlh deret ii, yitu s dpt megmbil setip ili < s < s < s < s > s > 0. Dikethui y x x x..., si y 0 dlm selg 0 < y < utuk < x < Mtemtik SMA
< x < < x < x < x <. Agr jumlh deret 6 6 6 log(x ) log (x ) log (x )... terletk tr d, mk hruslh 9 < x < 66 6 9 < x < 8 6 9 < x < 0 6 0 < x < 66 0 < x < 8. x d x dlh kr-kr persm kudrt x (k )x (k ) 0. Kedu kr itu bilg bult d k kost. Jik x, k, x merupk tig suku pertm deret geometri mk suku ke- deret tersebut dlh () () + () (). Utuk k 0, bilg k, k 6, d k membetuk tig suku pertm sutu deret geometri. Jumlh suku pertm deret tersebut dlh ( ) ( ) ( ) ( () ) ( () ). Akr-kr persm kudrt x 0x (7k ) 0, merupk suku pertm d suku kedu sutu deret geometri deg perbdig yg lebih besr dri, jik kedu kr persm itu berbdig sebgi d, mk suku keempt deret geometri itu dlh 9 utuk k = 7, utuk k sembrg, utuk k = 7, utuk k sembrg, utuk k = 7. Sebuh yu mtemtik yg pjg tliy 60 cm muli beryu dri posisi terjuh dri keduduk seimbg sebesr rdi. Posisi terjuh yg dicpiy setip kli berkurg sebesr posisi terjuh sebelumy Pjg busur yg dijli ujug yu itu smpi berheti peuh dlh rdil 0 00 0 6. Semu bilg gep positif dikelompokk,6 8,0,, seperti berikut (),, (,6,8,0),. Bilg yg terletk di tegh pd kelompok ke- dlh 70 98 6 8 90 7. Dikethui x d x dlh kr-kr positif persm kudrt x x b 0. Jik, x, x dlh tig suku pertm bris ritmtik d x, x, dlh tig suku pertm bris geometri mk diskrimi persm kudrt tersebut dlh 6 9 0 8. Jumlh buh bilg yg membetuk bris ritmtik dlh 7. Jik hsil kli bilg terkecil d terbesr dlh 6, mk selisih dri bilg terbesr d terkecil dlh 8 6 Mtemtik SMA
0 9. Sebuh deret rotmtik terdiri dri suku ( gjil). Jumlh semu sukuy dlh 90, besr suku teghy 0, sert bed deret tersebut dlh. Suku kedu dri deret ii dlh 6 8 0 0. Jik suku pertm d keempt bris x geometri berturut-turut d 9 sedg suku kesepuluh sm deg, mk ili x dlh 0. Jik x 0, x, x dlh tig suku pertrm sutu deret geometri tk higg Mk jumlh semu suku-sukuy dlh 96 6 6. Dikethui deret geometri... Jik 6 6 d log log log log log 6log. Mk = 6 8 9. Tig buh bilg positif membetuk bris geometri deg rsio r >, jik suku tegh ditmbh, mk terbetuk sebuh bris ritmtik yg jumlhy 0. Hsil kli ketig bilg itu dlh 6 6 000. Dikethui bris tk higg t si t si t,,, si,.jik t, mk hsil kli semu suku bris tersebut dlh 0 6. Bris k, k 9, k 7, merupk sutu bris ritmtik Jumlh suku pertm deret tersebut dlh 6. Perhtik bris x x x x x 6x,,,, Jik 7 u meytk suku ke- bris tersebut d x x x V u dx, mk lim V ~ 7. Keutug seorg pedgg bertmbh setip bul deg jumlh yg sm Bil keutug smpi bul ke- Rp. 0.000,00, d smpi bul ke-8 Rp. 7.0000,00, mk keutug smpi bul ke-8 dlh.07 ribu rupih.00 ribu rupih.00 ribu rupih.0 ribu rupih.7 ribu rupih 8. Seorg kryw mebug deg tertur setip bul. Yg ditbugk setip bul sellu lebih besr dri yg ditbugk bul sebelumy deg selisih yg sm Bil jumlh seluruh tbugy dlm 6 Mtemtik SMA
bul pertm dlh 9 ribu rupih d dlm 0 bul pertm dlh 80 ribu rupih, mk besr yg ditbugk dibul ke-0 dlh 97 ribu rupih 8 ribu rupih ribu rupih 7 ribu rupih 8 ribu rupih 9. Adik 0 sisw dlm sutu kels mempuyi ili uji yg berbed stu deg yg liy d setip du ili yg bedekt berbed 0,. Jik ili rtrt 7, mk ili tertiggi dlh 87, 8, 8, 79, 7, 0. Pd sebuh kursus yg bru dibuk, murid bru yg medftr setip bul bertmbh deg jumlh yg sm Jumlh murid bru yg medftr pd bul ke- d murid bru yg medftr pd bul ke- berjumlh 0 org, sedgk yg medftr pd bul ke- d ke-6 dlh 0 org. Jumlh semu murid kursus tersebut dlm 0 bul pertm dlh 0 org 00 org 98 org 90 org 80 org. Dikethui segitig OP P deg sudut sikusiku pd P d sudut puck 0 o pd O. Deg OP sebgi sisi mirig dibut pul segitig siku-siku OP P deg sudut puck P OP sebesr 0 o. Seljuty dibut pul segitig siku-siku OP P deg OP sebgi sisi mirig d sudut puck P OP sebesr 0 o. Proses ii diljutk terus meerus. Jik OP = 6, mk jumlh lus seluruh segitig dlh 6 8 8 6 6. Jik lim(y ) y y y mk utuk 0 x, deret logsi x log < x < 6 < x < 6 < x < < x < < x < si x log si x.. Suku ke sebuh deret dlh ( )(x ). Deret ii koverge utuk semu x yg memeuhi 0 < x < < x < 0 < x < < x < x, x. Utuk x, jumlh suku persm deret logcos x logcos x... Mempuyi ili miimum ( ) log ( ) log ( + ) log ( ) log ( ) log. Dri bris empt buh bilg, jumlh tig bilg pertm sm deg ol d kudrt bilg pertm sm deg kli bilg ketig Jik setip du bilg Mtemtik SMA 6
yg berdekt sm selisihy, mk bilg keempt dlh 9 9 6. Dikethui bris em bilg u, u, u, u, u d u 6. Seljuty u d u 6 0 0 logu logu, Jik utuk setip dlh,,,, ; u p u, mk 0 logp 6 7. Perhtik bris sepuluh bilg,,,, 0. p, p 9, p 7 d sm utuk semu =,,, 9, mk jumlh semu bilg itu dlh 60 80 00 0 0 8. Selisih sisi terpjg d sisi terpedek sebuh segitig siku-siku sm deg du kli selisih sisi yg li deg yg terpedek. Jik lus segitig itu 0 cm, mk keliligy sm deg 0cm cm 60 cm 90 cm 0 cm 9. Jumlh sutu deret geometri tk higg dlh 6 d jumlh dri suku-suku yg beromor gjil dlh. Suku ke-6 deret tersebut dlh 6 0. u, u, u, dlh bris ritmtik deg suku-suku positif. Jik u u u d u u 0, mk u = 6 0 0. f (x) cos x cos x cos x... utuk 0 x... merupk fugsi turu merupk fugsi ik mempuyi mksimum sj mempuyi miimum sj mempuyi mksimum d miimum. f ( x) x x x... x x x Merupk fugsi ik Merupk fugsi turu Mempuyi mksimum sj Mempuyi miimum sj Mempuyi mksimum d miimum. Jumlh semu suku deret geometri tk berhigg dlh 9, sedgk jumlh suku yg beromor gep dlh 9. Mk suku pertm deret tersebut dlh 6. Utuk x, f (x) si x si x si x... Merupk fugsi ik Merupk fugsi turu Mempuyi mksimum sj Mempuyi miimum sj Mempuyi mksimum d miimum Mtemtik SMA 7
. Sutu deret geometri tk berhigg mempuyi jumlh d jumlh suku pertm dlh. Suku ke empt dlh 9 7 9 6. f(x) si x cos xsi x cos xsi x cos xsi x... utuk 0 x 6. Jik ditr suku pertm d suku ke- Merupk fugsi ik sutu bris geometri disisipk bilg Merupk fugsi turu mk dpt diperoleh bris ritmtik Mempuyi mksimum sj deg bed d jik suku ke- bris Mempuyi miimum sj geometri tersebut dlh 0, mk rsio Mempuyi mksimum d miimum bris geometri tersebut dlh 7. Sutu bris ritmtik deg suku-suku positif, S, S, S,, dikethui S S d S 0. Mk S S 7 8 S 8. Nili-ili x yg memeuhi x x dlh x > x > < x < x... 6 < x < 0 tu 0 < x < < x < 0 tu 0 < x < 9. Hsil kli suku kedu d suku keempt dri sutu bris geometri yg semu sukuy positif dlh 6. Jik jumlh tig suku pertm dlh 7, mk suku pertmy dlh 60. Dikethui buh bilg. Tig bilg pertm membetuk bris geometri d tig bilg terkhir membetuk bris ritmtik deg bed 6. Jik bilg pertm sm deg bilg keempt, mk jumlh keempt bilg tersebut dlh 0 8 6. Dikethui segitig siku-siku sm kki pertm deg pjg sisi siku-siku Dibut segitig siku-siku sm kki ke- deg pjg sisi mirig sm deg pjg sisi siku-siku segitig pertm Segitig siku-siku sm kki ke-, ke-, d seterusy msig-msig dibut deg pjg sisi mirig sm deg pjg sisi siku-siku segitig sebelumy Jumlh lus seluruh segitig dlh 8 6. Sutu tli dibgi mejdi tujuh bgi deg pjg yg membetuk sutu bris geometri. Jik yg plig pedek dlh cm dri yg plig pjg 9 cm, mk pjg tli semul sm deg: (A) 79 Mtemtik SMA 8
(B) 8 (C) 8 (D) 8 (E) 87 6. Dikethui sutu persm prbol y x bx c Jik, b, d c berturut-turut merupk suku pertm, kedu, d ketig sutu bris ritmtik, sert gris siggug prbol tersebut di titik (, ) sejjr deg gris sm deg 6 8 0 y 6x, mk ili ( b c) 6. ABC siku-siku di A, B pd BC sehigg AB BC, A pd AC sehigg B A AC, B pd BC sehigg A B BC, A pd AC sehigg B A AC B A, d seterusy Jik AB 6 d BC 0, mk jumlh lus ABC, B AC, A B C, B A C, A B C d seterusy dlh 600 C 8 600 9 A B 60 0 A B 600 6 A B A B Mtemtik SMA 9