JMP : Volume 4 Nomor 1, Juni 2012, hal 233-240 HUBUNGAN ANTARA NILAI KRITIS DERIVATI- DENGAN DIMENSI- DARI SUATU KURVA Supriyadi Wibowo Jurusan Matematika MIPA UNS Surakarta Email supriyadi_w@yahoocoid ABSTRACT Continue function that defined on fractal set R is a function which has irregular structure, that can not be an ordinary differentiable on In this paper will be explored the correlation between critical point of the derivatif with dimension- of a curve By using the properties of the derivative, Holder s continue function in rank of and dimension, has been obtained the correlation between critical value of derivative and the dimension of a curve 0,1, Holder s continue function in rank of and Keywords Derivate order dimension ABSTRAK ungsi kontinu yang terdefinisi pada himpunan fraktal R adalah fungsi yang mempunyai struktur yang tidak teratur, sehingga tidak terdiferensial biasa pada Dalam makalah ini akan diselidiki hubungan antara nilai kritis dari derivatifdengan dimensi- dari suatu kurva Dengan menggunakan sifat-sifat derivatif-, fungsi kontinu Holder berpangkat- dan dimensi-, diperoleh hubungan antara nilai kritis derivatif- dengan dimensi- dari suatu kurva 0,1, fungsi kontinu Holder berpangkat-, Kata kunci derivatif- berorder dimensi- 1 PENDAHULUAN Kolwankar dan Gangal (1996) serta Kolwankar (1997) telah meneliti hubungan antara nilai kritis dari derivatif pecahan (fractional derivative) dengan dimensi kotak (box dimension) dari suatu kurva Sedangkan dalam penelitian ini akan diselidiki hubungan antara nilai kritis dari derivatif- dengan dimensidari suatu kurva Diberikan himpunan bagian bilangan real, berikut akan diberikan komponen (component), coarse-grained mass (cgm) dan fungsi anak tangga (staircase function) pada himpunan
234 Supriyadi Wibowo Definisi 11 (ParvateA and GangalAD, 2003) Subdivisi (subdivision) P dari interval, ab, (P) ab, a b adalah himpunan titik-titik berhingga,,,, Sebarang interval yang berbentuk, a x x x b x x 0 1 n i i 1 xi xi 1 disebut interval komponen (component interval) atau komponen (component) dari subdivisi P Jika Q adalah sebarang subdivisi dari ab, dan P Q, maka dikatakan Q sebagai penghalus dari P Jika a b hanya subdivisi dari ab,, maka himpunan a adalah Definisi 12 (Parvate and Gangal, 2003) Diberikan 0 dan a b, coarse- grained mass (cgm) dari a, b dituliskan, a, b dengan n1 xi 1 xi, a, b lim inf, xi, xi 0 P ab, : P i0 1 dan didefinisikan dengan P x x dan, xi, xi 1 1, jika, max i1 i oin1 kosong dan bernilai nol untuk yang lain untuk x 0,1,, n 1 i 1 x x tidak Definisi 13 (Parvate and Gangal, 2003) Misalkan a 0 adalah sebarang bilangan real tetapi tertentu ungsi integral anak tangga (staircase function) S x dengan order 0,1 untuk himpunan diberikan oleh ungsi S x S x, a0, x, x 0, x, a0, x 0 adalah fungsi anak tanggga (staircase function) untuk himpunan fraktal berorder 0,1, merupakan perumuman fungsi anak tangga Cantor (fungsi singular Cantor-Lebesgue) Dalam bagian ini akan diberikan pengertian limit fungsi dan kekontinuan f : R R pada himpunan fraktal i i 1
Hubungan Antara Nilai Kritis Derivatif 235 Definisi 15 (Parvate and Gangal, 2003) Diberikan R, f : R R dan x Bilangan l dikatakan limit- untuk y x, jika diberikan sebarang 0, terdapat 0 yang memenuhi y dan y x f y l Jika bilangan tersebut ada, maka dituliskan dengan l lim f y yx Definisi ini tidak termasuk nilai fungsi di y jika y, juga limit- tidak terdefinisi di titik-titik x Selanjutnya dengan menggunakan limit- akan diberikan kekontinuan- Definisi 16 (Parvate and Gangal, 2003) ungsi f : R R dikatakan kontinu- di x, jika f x lim f y yx Sebagaimana turunan order satu, turunan- juga merupakan limit pembagian, tetapi dengan limit- sedangkan penyebutnya adalah nilai dari fungsi anak tangga S di dua titik anggota himpunan perfek- ( -perfect) yaitu himpunan tertutup dan semua titiknya adalah titik limit- Definisi 17 (Parvate and Gangal, 2003) Jika adalah himpunan perfek- ( -perfect), maka derivatif- dari fungsi f didefinisikan oleh Jika limit- ada lim f y f x, x D y x f x S y S x 0, x Sebagai konsekuensi dari Definisi 17, mudah ditunjukkan sifat kelinearan pada derivatif-
236 Supriyadi Wibowo Lema 18 (Parvate and Gangal, 2005) Derivatif- dari fungsi S fungsi karakteristik, yaitu D S x x Teorema 19 (Parvate and Gangal, 2003) Diberikan himpunan dan fungsi kontinu f : R R, D f x S a S b Maka terdapat titik c, d D f c f b f a S b S a x adalah R perfek- ada untuk setiap x a, b yang memenuhi dan f b f a S b S a D f d dan Definisi 110 (Wibowo, 2009) ungsi f : R R dikatakan berorder- terhadap derivatif- untuk setiap titik x, jika dengan 0,1 D f x D f x inf :,0 1 sup : 0,0 1 ungsi kontinu f : R dikatakan fungsi kontinu Holder berpangkat, jika terdapat konstanta 0 c yang memenuhi f y f x c y x untuk semua x, y (RossB et al,1994/5) Jika f fungsi kontinu Holder berpangkat satu, maka f adalah fungsi Lipschitz Nilai maksimal yang memenuhi fungsi kontinu Holder berpangkat adalah berhubungan dengan keberadaan derivatif fungsi f pada himpunan (SpurrierKG, 2004) 2 PEMBAHASAN Sedangkan dalam penelitian ini akan diselidiki hubungan antara nilai kritis dari derivatif- dengan dimensi- dari suatu kurva Teorema 21 Diberikan himpunan perfek- dan fungsi kontinu adalah pemetaan yang memenuhuhi untuk suatu konstanta dan, maka untuk setiap s berlaku
Hubungan Antara Nilai Kritis Derivatif 237 Bukti Diberikan partisi dari, oleh karena fungsi kontinu Oleh karena adalah pemetaan yang memenuhuhi maka diperoleh Dibentuk partisi dengan Partisi dari adalah, untuk diperoleh Dengan mengambil limit infimum dari kedua pertaksamaan di atas diperoleh Teorema 22 Diberikan himpunan perfek- dan fungsi kontinu adalah pemetaan yang memenuhuhi untuk suatu konstanta dan, maka berlaku
238 Supriyadi Wibowo Bukti Untuk dengan Teorema 21 diperoleh berakibat untuk Jadi terbukti Teorema 23 Diberikan himpunan R perfek-, fungsi kontinu f : R R dan dengan Jika berorder 0,1, maka berlaku Bukti Diketahui f berorder 0,1, akan dibuktikan f H D berpangkat 0,1 Dari Teorema 19 diperoleh, jika diberikan himpunan R perfek- dan fungsi kontinu f : R R, D f x ada untuk setiap x a, b dan S a S b, maka dengan Teorema terdapat titik yang memenuhi atau dapat dituliskan (21) Oleh karena S H dengan pangkat 0,1, maka dari (21) diperoleh
Hubungan Antara Nilai Kritis Derivatif 239 Dengan mengambil maka terbukti dan, Teorema 24 Diberikan himpunan R perfek- yang berdimensi, fungsi kontinu f : R R dan maka berlaku Bukti dengan Jika berorder, Dengan Teorema 23 diperoleh Pembuktian teorema ini dapat dibagi menjadi dua bagian, yaitu untuk dan (22) Dari (22), berlaku pertidaksamaan Teorema 21 diperoleh (23) Dari (22), juga berlaku pertidaksamaan (24) Dari (23) dan (24) terbukti sehingga dengan diperoleh
240 Supriyadi Wibowo 3 KESIMPULAN himpunan Berdasarkan pada pembahasan di atas diperoleh kesimpulan, diberikan R perfek- yang berdimensi fungsi kontinu f : R R dan dengan Jika berorder, maka berlaku DATAR PUSTAKA ParvateA and GangalAD (2003) Calculus on ractal Subset of Real Line-I: ormulation http://arxivorg/ps_cache/mathph/pdf/0310/0310047v1pdf ParvateA and GangalAD (2005) ractal differential Equations and ractal- Time Dynamical System Pramana Journal of PhysicsVol 64, no, 3 March 2005 pp 389-4009 http://wwwiasacin/pramana/v64/p389/fulltextpdf RossB, SamkoSG and LoveER (1994/5) unctions That Have No irst Order Derivative Migth Have ractional Derivatives Of All Orders Less Than One Real Analysis Exchange Vol20(2), pp 140-147 SpurrierKG (2004) Continuous Nowhere Differentiable unctions Senior Thesis, University of South http://peoplevirginiaedu/~kgs5c/seniorthesispdf WibowoS (2009) Hubungan antara Derivatif- dari ungsi dengan Dimensi- dari Himpunan raktal Prosiding Seminar Nasional Penelitian, Pendidikan dan Penerapan MIPA, akultas MIPA UNY, 16 Mei 2009