Bab 2 Tinjauan Pustaka 2.1 Penelitian Terdahulu Penelitian yang pernah dilakukan sebelumnya Stabilitas Global Model SEIR Pada Penyakit Mewabah. Penelitian ini membahas tentang pembentukan model Epidemis SEIR yang digunakan untuk memodelkan penyebaran suatu penyakit epidemic yang dapat menimbulkan kematian dalam suatu populasi tertutup berdasarkan asumsi-asumsi tertentu. Epidemis atau wabah adalah timbulnya suatu penyakit yang menimpa sekelompok masyarakat atau suatu wilayah dengan angka kejadian yang melebihi angka normal dari kejadian penyakit tersebut. Selanjutnya, dari model tersebut dapat diperoleh dua titik kesetimbangan. Dari titik kesetimbangan dapat diperoleh suatu interpetasi dalam kehidupan nyata, khususnya yang berkaitan dengan eksistensi atau keberadaan penyakit dalam populasi, yaitu titik kesetimbangan bebas penyakit dan titik kesetimbangan endemis [8]. Penelitian yang lain yaitu Rumus Matematika Model Tuberkulosis Dengan Dua Infektivitas Diferensial dan Kelas N Laten yang melengkapi analisis stabilitas untuk tuberkulosis model dengan dua infektivitas diferensial, n klas dari individual laten infected (terinfeksi) dan keseimbangan insiden massa. Dengan melakulan analisis tersebut, ditemukan asimtotik global stabil dan hanya dapat memproses status ekuilibrium global yang stabil. Stabilitas global pada status ekuilibrium dari bebas infeksi menyiratkan bahwa pada tingkat awal infeksi wabah akhirnya akan hilang dari populasi ketika 8
9 kondisi untuk stabilitas tersebut adalah R 0 1. Kondisi R 0 > 1 berarti bahwa wabah akan terus ada dalam sebuah populasi [6]. Selanjutnya Tracy Atkins (2008) membahas 2 Model Matematika yaitu model untuk Tuberculosis yaitu SIR (Suscept, Infected, Recovered) dan SEIR (Suscept, Exposed, Infected, Recovered) dimana pada metode SIR hanya membahas perhitungan penyakit yang menyebabkan individu untuk dapat menginfeksi orang lain segera setelah mereka terinfeksi. Banyak penyakit memiliki fase laten atau terjangkit, di mana individu dikatakan terinfeksi tetapi tidak menular. Dalam hal tersebut model SEIR memasukkan angka kelahiran dan kematian dan akan dijelaskan bersama dengan eksplorasi persamaan diferensial yang menggambarkan aliran dari satu perbandingan kepada perbandingan yang lain. Aliran model ini dapat dipertimbangkan dalam diagram di bawah ini [9]. Birth S E I R Death Gambar 2.1 Diagram alir SEIR Tracy Atkins Dalam model ini populasi (N) ini dibagi menjadi : susceptible (rentan), exposed (terjangkit), infectious (terinfeksi), recovered (sembuh) dengan jumlah individu dalam perbandingan, atau jumlah tersebut dilambangkan oleh masing-masing S (t), E (t), I (t), R (t), dimana:
10 N = S (t) + E (t) + I (t) + R (t) (1.a) Pada awalnya, S (t) dianggap seluruh penduduk sedang dipelajari (N). Di kasus seperti penduduk S (t) meningkat dengan tingkat kelahiran (b), tetapi menurun dengan kematian individu. Tingkat di mana individu mati adalah sama dengan tingkat kematian (μ) kali jumlah individu yang rentan. Setelah kontak dengan individu menular, sebagian kecil dari S (t) bergerak dari kelas rentan terhadap kelas terbuka [10]. Menurut Aminah Ekawati (2005), parameter yang digunakan pada model ini adalah b menyatakan laju kelahiran, µ menyatakan laju kematian alami, menyatakan laju kontak, menyatakan laju kesembuhan, dan menyatakan laju individu kelas E masuk ke kelas I, dengan nilai b, µ,,, > 0 [5]. Jumlah individu pada kelas susceptible (S ) menurun oleh penularan penyakit,, dan kematian alami, dan meningkat akibat adanya kelahiran, bn. Jumlah Individu pada kelas menurun oleh kematian alami µe, dan individu kelas E masuk ke kelas infected (I),, dan meningkat akibat adanya penularan penyakit. Jumlah individu pada kelas infected menurun karena adanya kematian alami, dan individu yang sembuh, µi, dan meningkat akibat adanya individu yang masuk dari kelas exposed (E),. Jumlah individu pada kelas recovered (R) menurun akibat kematian alami, µr dan meningkat karena individu telah sembuh,. Berdasarkan hal di atas, dibuat diagram transfer sebagai berikut:
11 S E I R 2.2 Surveilans Gambar 2.1 Diagram Transfer SEIR Aminah Ekawati Surveilans penyakit TB adalah pengamatan penyakit TB di Dinas Kesehatan Kota Salatiga dan 6 Puskesmas yang ada di Salatiga meliputi kegiatan pengumpulan data, pencatatan, pengolahan dan penyajian data laboratorium suspek Tuberculosis tahun 2007-2011. Data surveilans yang menjadi acuan dalam pembuatan pemodelan sistem yaitu data populasi penduduk, data kelahiran, data kematian, data statistik kota Salatiga selama rentang tahun 2005-2011. Datadata tersebut didapatkan dari 6 Puskesmas Induk di Salatiga, Dinas Kesehatan Kota Salatiga, BAPEDA Kota Salatiga, dan BPS Kota Salatiga. Data surveilans digunakan dalam pemodelan endemis SEIR yang dimasukkan ke dalam basisdata terlebih dahulu, kemudian data yang telah disimpan tersebut diolah dengan menggunakan model endemis SEIR. 2.3 Konsep Susceptible, Infected, Exposed, Recovered (SEIR) Pada model SEIR, populasi dibagi menjadi 4 subkelas, yaitu kelas populasi rentan Susceptible (S), kelas populasi terjangkit Exposed (E), kelas populasi terinfeksi Infected (I), dan kelas populasi sembuh Recovered (R). Kemudian S(t) menyatakan proporsi individu
12 rentan pada saat t, E(t) menyatkan proporsi terjangkit pada saat t, R(t) menyatakan proporsi individu sembuh pada saat t, dan N(t) menyatakan proporsi total indvidu. Selanjutnya S(t), E(t), I(t), I(t), N(t) ditulis S, E, I, R, N (Ekawati,2005). 2.4 Pemodelan Model adalah pola dari sesuatu yang akan dibuat atau dihasilkan (Departemen P dan K, 1984). Pemodelan matematis digunakan untuk mempelajari dinamika suatu sistem yang memiliki kompleksitas tinggi dalam berbagai bidang seperti biologi, kimia, fisika, kedokteran, ekonomi dan sebagainya. Dalam bidang epidemiologi, pemodelan digunakan untuk mengetahui pola persebaran penyakit yang diidentifikasi melalui kontak fisik di sepanjang mobilitas individu antar lokasi spesifik. Secara kuantitas, individu yang telah terinfeksi dapat disimulasikan secara grafis menggunakan data sensus, data pola perubahan tata guna lahan dan data mobilitas penduduk (Eubank, 2004)[11]. Bentuk penerapan lainnya adalah simulasi penularan penyakit yang disebarkan oleh hewan,seperti penyakit tangan, kaki dan mulut (Harvey, 2007)[12]. Saat ini pemanfaatan model matematis dan analisis statistik dalam epidemiologi difokuskan untuk membuat prediksi faktor-faktor yang menjadi parameter terhadap transmisi penyakit dalam populasi (vektor maupun manusia) (Maiti, 2004)[13]. Model matematis persebaran penyakit yang memiliki validitas dan akurasi tinggi merupakan konsep dasar untuk memahami dampak penyakit dan menyusun strategi pengendaliannya. Dalam perumusan strategi pengendalian, model harus sudah memiliki parameter kunci seperti struktur sosiodemografi dalam populasi, konektivitas individu dalam
13 populasi dan struktur geografi dimana populasi berada (Barthelemy, 2005)[14]. Pemodelan epidemiologi terdiri dari tiga kategori, pertama berbasis persamaan (model analisis), kedua berbasis agen (populasi direpresentasikan sebagai suatu sistem yang dapat berinteraksi) dan ketiga berbasis jaringan (interaksi sosial didasarkan pada teori jaringan). Pemodelan epidemiologi SEIR oleh JL Aron dan IB Schwartz, 1984 di mana populasi terdiri dari empat kelompok yaitu S = adalah sebagian kecil dari individu yang rentan (orang yang mampu terjangkit penyakit), E = adalah sebagian kecil dari individu terpapar (orang-orang yang telah terinfeksi tetapi belum menular), I = adalah sebagian kecil dari individu infektif (yang mampu menularkan penyakit), R = adalah sebagian kecil dari individu pulih, dengan catatan variabel terbagi menjadi sebagian kecil dari individu dan telah dinormalisasikan menjadi: Selanjutnya, misalkan (1.b) Ada kelahiran sama dan tingkat kematian, 1 adalah periode laten rata-rata untuk penyakit ini, 1 adalah periode menular rata-rata, Recovered adalah individu pulih secara permanen kekebalan tubuh, Tingkat kontak menjadi fungsi waktu. Hal tersebut mengarahkan kita pada model berikut:
14 (1.c) (1.d) (1.e)