TEORI ANTRIAN MATA KULIAH RISET OPERASIONAL Pertemuan Ke-12 Riani Lubi Juruan Teknik Informatika Univerita Komputer Indoneia
Pendahuluan (1) Pertamakali dipublikaikan pada tahun 1909 oleh Agner Kraup Erlang yang mengamati maalah kepadatan penggunaan telepon di Copenhagen Telephone. Ciri dari antrian : Kelambatan pelayanan pada aat-aat tertentu karena tingkat permintaan pelayanan yang melampaui dalam ebuah item. Antrian ialah uatu gari tunggu dari pelanggan yang memerlukan layanan dari atu atau lebih pelayan (failita layanan). Antrian tidak perlu hadir ecara fiik di depan truktur fiik failita pelayanan. Anggota antrian dapat terebar di beberapa tempat, ambil menunggu pelayan datang di tempat mereka maing-maing. 2
Pendahuluan (2) Antrian timbul diebabkan karena kebutuhan akan layanan melebihi kemampuan (kapaita) pelayanan atau failita layanan, ehingga pengguna failita yang tiba tidak bia egera mendapat layanan diebabkan keibukan layanan. Tambahan failita pelayanan dapat diberikan untuk mengurangi g antrian atau untuk mencegah timbulnya antrian. Akan tetapi biaya karena memberikan pelayanan tambahan, akan menimbulkan pengurangan keuntungan. Sebaliknya ering timbul antrian yang panjang akan mengakibatkan hilangnya pelanggan/naabah. 3
Pendahuluan (3) Klaifikai antrian menurut Hillier & Lieberman : 1. Sitem pelayanan komerial ; merupakan aplikai yang angat lua dari model-model antrian, eperti retoran, kafetaria, toko-toko, alon, butik, upermarket, dll. 2. Sitem pelayanan bini-indutri; mencakup lini produki, item material-handling, item pergudangan, g dan item-item informai komputer. 3. Sitem pelayanan tranportai 4. Sitem pelayanan oial; merupakan item-item pelayanan yang dikelola oleh kantor-kantor & jawatan- jawatan lokal maupun naional, eperti kantor regitrai SIM & STNK, kantor po, rumah akit, pukema, dll. 4
Contoh Sitem Antrian Sitem Antrian/Gari Tunggu Failita Pelayanan Lapangan terbang Peawat menunggu di landaan Landaan pacu Bank Naabah (orang) Kai/teller Pencucian mobil Mobil Tempat pencucian mobil Bongkar muat barang Kapal dan truk Failita bongkar muat Sitem komputer Program komputer CPU, printer, dll Bantuan pengobatan darurat Orang Ambulance Perputakaan Member Pegawai perputakaan Regitrai i mahaiwa Mahaiwa Puat regitrai i Skedul idang pengadilan Kau yang diidangkan Pengadilan
Struktur Sitem Antrian Sitem antrian Sumber Maukan 1 2 Pelanggan mauk ke dalam item te antrian Antrian n Mekanime pelayanan Pelanggan yang udah dilayani
7 Komponen Daar Proe Antrian (1) 1. Sumber Maukan Diebut juga ebagai Populai Sumber (Calling Population) atau kedatangan atau ering dinamakan proe input. Setiap maalah antrian melibatkan kedatangan (mial : orang, mobil, panggilan telepon untuk dilayani, i dll). Karakteritiknya : ukuran, yaitu jumlah pelanggan yang mungkin membutuhkan pelayanan dari waktu ke waktu (jumlah pelanggan potenial). Umumnya merupakan variabel acak dan pola tatitik untuk pembangkitnya adalah ditribui Poion. Aumi yang etara adalah waktu antara dua kedatangan yang berurutan, adalah terditribui Ekponenial.
Komponen Daar Proe Antrian (2) 2. Antrian Antrian merupakan tempat pelanggan menunggu ebelum dilayani. Karakteritik : jumlah makimum pelanggan yang diizinkan berada di dalamnya. Timbulnya antrian terutama tergantung g dari ifat kedatangan dan proe pelayanan. Jika tidak ada antrian berarti terdapat pelayan yang menganggur atau kelebihan failita pelayanan. 3. Pelayanan Pelayanan diebut juga ebagai mekanime pelayanan Dapat terdiri dari atu atau lebih pelayan (atu atau lebih failita pelayanan). Tiap-tiap failita pelayanan, kadang-kadang diebut ebagai aluran (channel) 8
Tingkat Kedatangan (1) Tingkatkan kedatangan merupakan ditribui kedatangan pelanggan dan interval waktu tetap dalam uatu kurun waktu. 06.00 07.00 08.00 09.00 10.00 Mial pola permintaan pelanggan telepon yang meminta ambungan dalam kurun waktu yang tidak terputu (continuou of time) dapat dibagi ke dalam beberapa interval waktu yang ama (fixed interval) 9
Tingkat Kedatangan (2) Permintaan pelanggan terditribui ecara acak pada maing-maing interval waktu tetap dalam kurun waktu yang tidak terputu proe poion Mial ada 10 pelanggan yang datang dalam kurun waktu 06.00 10.00 dan jumlah pelanggan yang datang pada etiap interval berbeda. Aumi : Kedatangan pelanggan berifat acak Kedatangan pelanggan antar interval waktu aling tidak mempengaruhi 10
Diiplin Antrian Diiplin antri adalah aturan keputuan yang menjelakan cara melayani pengantri. Ada 5 bentuk diiplin antrian yang biaa digunakan : 1. Firt-Come Firt-Served (FCFS) atau Firt-In Firt-Out (FIFO) ; artinya lebih dulu datang (ampai), lebih dulu dilayani (keluar). 2. Lat-Come Firt-Served (LCFS) atau Lat-In Firt-Out t (LIFO); artinya yang tiba terakhir yang lebih dulu keluar. 3. Service In Random Order (SIRO); artinya panggilan layanan didaarkan pada peluang ecara random, tidak oal iapa yang lebih dulu tiba. 4. Priority Service (PS) ; artinya priorita pelayanan diberikan kepada pelanggan yang mempunyai priorita lebih tinggi dibandingkan dengan pelanggan yang mempunyai priorita lebih rendah, mekipun yang terakhir ini kemungkinan udah lebih dulu tiba dalam gari tunggu. 11
Mekanime Pelayanan 1. Single Channel Single Phae/Single Server Single Phae 2. Multi Channel Single Phae/ Multi Server Single Phae 3. Single Channel Multi Phae/Single Server Multi Phae 4. Multi Channel Single Phae/Multi Server Single Phae 12
Single Server Single Phae Failita Pelayanan Kedatangan konumen Konumen antri menunggu pelayanan 1 Pelayan Konumen Keluar SISTEM ANTRIAN 13
Multi Server Single Phae Failita Pelayanan Kedatangan konumen Konumen antri menunggu pelayanan 3 Pelayanan Konumen keluar SISTEM ANTRIAN 14
Single Server Multi Phae Subitem Antrian 1 Subitem Antrian 2 SISTEM ANTRIAN 15
Multi Server Single Phae SISTEM ANTRIAN 16
Notai dan Terminologi (1) n = jumlah pelanggan dalam item P n = probabilita kepatian n pelanggan dalam item λ = jumlah rata-rata pelanggan yang datang peratuan waktu µ = jumlah rata-rata pelanggan yang dilayani per atuan waktu P o = probabilita tidak ada pelanggan dalam item P = tingkat intenita failita pelayanan L = jumlah rata-rata pelanggan dlm item Lq = jumlah pelanggan yang menunggu dalam antrian
Notai dan Terminologi (2) W = waktu rata-rata aa aadalama item e Wq = waktu rata-rata elama menunggu dalam antrian 1/µ = waktu rata-rata pelayanan 1/λ = waktu rata-rata antar kedatangan S = jumlah failita pelayanan
Notai Umum Model Antrian ( A / B / C );( D / E/ F ) 19 Dimana : A = ditribui waktu antar kedatangan (arrival ditribution) B = ditribui waktu pelayanan C = jumlah alruran pelayanan/failita pelayanan dalam item ( = 1, 2, 3,, ) D = diiplin antrian E = ukuran populai atau umber F = jumlah konumen makimum yang diperkenankan dalam item (dalam pelayanan ditambah gari tunggu)
20 Keterangan : 1. Untuk A dan B, dapat digunakan kode-kode berikut : M = Ditribui Poion atau ditribui ekponenial (Markovian) D = Ditribui Degenerai (waktu kontan) E k = Ditribui Erlang G = Ditribui umum 2. Untuk C, dipergunakan bilangan bulat poitif yang menyatakan jumlah pelayanan. 3. Untuk D, gunakan kode-kode pengganti FIFO, LIFO, atau SIRO. 4. Untuk E dan F, digunakan kode : N = Jumlah terbata = Tak berhingga
21 Contoh : model l(m/m/1) (M/M/1);(FIFO//)(FIFO/ / ) artinya : Model menyatakan waktu antar kedatangan diditribuikan ecara poion, waktu pelayanan diditribuikan ib ik ecara ekponenial, jumlah pelayan adalah atu, diiplin antrian adalah Firt-In Firt-Out, tidak berhingga jumlah langganan yang boleh mauk dalam item antrian, dan ukuran populai maukkan adalah tak berhingga. model (M/G/1) artinya : Model menyatakan waktu antar kedatangan diditribuikan ecara ekponenial, waktu pelayanan tidak ada bataan, dan jumlah pelayan adalah 1.
Model (M / M / 1 ) Karakteritik : 1. Tingkat Intenita Failita Pelayanan Diebut juga tingkat kegunaan failita (P), adalah hail bagi antara laju kedatangan dan laju pelayanan. Makin bear harga P maka makin panjang antrian dan ebaliknya. P 22
2. Probabilita Kepatian n Pelanggan dalam Sitem Jika P adalah peluang bahwa item antrian ibuk, maka 1-P adalah ebaliknya (artinya peluang bahwa item antrian tidak mempunyai pelanggan) P 1 P, n 0 P n P n P, n 0 0 0 maka : n P n P 1 P 1 n 23
3. Jumlah Rata-Rata Pelanggan dalam Sitem Mial L merupakan jumlah rata-rata pelanggan dalam item yang mencakup pelanggan yang menunggu dan yang edang dilayani. L S P 1 P 24 4. Jumlah Rata-Rata Pelanggan dalam Antrian Mial Lq merupakan jumlah rata-rata pelanggan dalam antrian. L q 2 ( ) P 2 1 P
5. Waktu Rata-Rata dalam Sitem Mial W S merupakan waktu rata-rata bahwa eorang pelanggan akan menghabikan waktunya dalam item. W S 1 6. Waktu Rata-Rata dalam Antrian Mial Wq merupakan waktu rata-rata yang diperlukan eorang gpelanggan untuk menerima pelayanan. W q 25
Contoh PT CIARD mengoperaikan atu buah pompa benin dengan atu operator. Rata-rata tingkat kedatangan kendaraan mengikuti ditribui poion yaitu 20 kendaraan per jam. Operator dapat melayani rata-rata 25 kendaraan per jam, dengan waktu pelayanan etiap kendaraan mengikuti ditribui probabilita ekponenial. Failita Pelayanan Kedatangan Mobil blantri menunggu Mobil bl Keluar mobil, 15 per pelayanan jam SPBU CIARD 1 pompa benin melayani 20 mobil per jam
Jika diaumikan model item antrian yang digunakan operator terebut (M/M/1), hitunglah : 1. Tingkat intenita (kegunaan) pelayanan (p) 2. Jumlah rata-rata kendaraan yang diharapkan dalam item 3. Jumlah kendaraan yang diharapkan menunggu dalam antrian 4. Waktu yang diharapkan oleh etiap kendaraan elama dalam item (menunggu pelayanan) 5. Waktu yang diharapkan oleh etiap kendaraan untuk menunggu dalam antrian
Penyeleaian λ = 20 dan µ = 25 1. Tingkat intenita (kegunaan) pelayanan atau P P λ μ 20 25 0,80 Angka terebut menunjukkan bahwa operator akan ibuk melayani kendaraan elama 80% dari waktunya. Sedangkan 20% dari waktunya (1 P) yang ering diebut idle time akan digunakan operator untuk itirahat, dll.
λ 20 2 L S 4, atau μ - λ 25 20 L S p 0,80 4 1- p 1 0,80 Angka terebut menunjukkan bahwa operator dapat mengharapkan 4 mobil yang berada dalam item 2 2 λ (20) 400 3 Lq 3, 20 μ(μ - λ) 25(25 20) 125 Angka terebut t menunjukkan bahwa mobil yang menunggu untuk dilayani dalam antrian ebanyak 3,20 kendaraan
4 1 1 1 W S μ - λ 25 20 25 0,20 jam atau 12 menit Angka terebut menunjukkan bahwa waktu rata-rata kendaraan aa menunggu dalam a item te elama a 12 menit 5 Wq λ μ(μ - λ) 20 25(25 20) 20 125 0,16 jam atau 96 9,6 menit Angka terebut menunjukkan bahwa waktu rata-rata kendaraan menunggu dalam antrian elama 9,6 menit
Model (M / M / ) Merupakan model antrian failita pelayanan (erver) ganda. Diaumikan rata-rata tingkat kedatangan lebih kecil daripada tingkat pelayanan keeluruhan (agregat) atau penjumlahan egenap rata-rata tingkat pelayanan di tiap jalur. Syarat & kondii lain ama dengan Model Server Tunggal Karakteritik : 1. Tingkat Intenita Failita Pelayanan 31 P
2. Probabilita Kepatian n Pelanggan dalam Sitem gg 0 1 n P 1 n 0 1!! n n n n jika P 0 n jika P n P n O n 0,! n jika P O n,! 32 n!
3. Jumlah Rata-Rata Pelanggan dalam Sitem 3. Jumlah Rata Rata Pelanggan dalam Sitem S S 0 0 P P P 2 2 1! 1! P L 1! λ L λw L μ Lq λw L 33
4. Jumlah Rata-Rata Pelanggan dalam Antrian Lq P 0 S! 1 2 S P0! 1 P P 2 5. Waktu Rata-Rata dalam Sitem W Wq 1 μ 6. Waktu Rata-Rata dalam Antrian Lq Wq 34 λ
Contoh Calon penumpang kereta api datang pada 3 loket dengan mengikuti ditribui Poion dengan rata-rata 75 calon pelanggan per jam. Jika waktu pelayanan diaumikan mengikuti ditribui ekponenial dengan rata-rata 2 menit. Carilah operating characteritic etelah item diaumikan teady tate! Calon Penumpang KA (rata-rata 75 calon penumpang per jam) Calon penumpang KA menunggu ddalam antrian untuk membeli tiket Model Penjualan Tiket KA 3 aluran pelayanan Penjualan tiket (rata-rata waktu pelayanan 2 menit) Calon penumpang pergi etelah membeli tiket
Penyeleaian Diketahui λ = 75 calon pelanggan per jam µ = 30 calon pelanggan per jam = 3 loket 1. Probabilita tidak ada pelanggan dalam item P O 1 2 75 0 75 75 75 30 0! 30 1! 1 6,6625 15,625 0,0449 1 30 2! 3 30 75 3! 1 330
2. Jumlah rata-rata calon penumpang dalam antrian Lq 3 75 0,0449 30 75 3! 1 3.3030 3,5 4 calon 75 3.30 2 penumpang menunggu 3. Jumlah rata-rata calon penumpang dalam item L 3,5 6 75 30 calon penumpang dalam item
4. Waktu menunggu etiap calon penumpang elama dalam antrian 3,5 Wq 0,0467 jam 2, 8 75 menit 5. Waktu etiap calon penumpang berada dalam item W 0,0467 jam 1 30 jam 4, 8 menit