Teorema Bayes
Teori Probabilitas
probabilitas Misalkan sebuah peristiwa E dapat terjadi sebanyak n kali diantara N peristiwa yang saling eksklusif (saling asing/terjadinya peristiwa yang satu mencegah terjadinya peristiwa yang lain) dan masing-masing terjadi dengan kesempatan yang sama, maka probabilitas terjadinya peristiwa E adalah : Jika P(E) = 0, maka diartikan peristiwa E pasti tidak terjadi, sedangkan P(E)=1, dapat diartikan peristiwa E pasti terjadi, apabila Ê menyatakan bukan peristiwa E, maka diperoleh : Atau berlaku hubungan : P(E) + P(Ê) = 1
Probabilitas bersyarat Jika P(A) menyatakan probabilitas kejadian A, P(B) menyatakan probabilitas kejadian B, probabilitas A terjadi jika B (B A) disimbolkan P(A B), dan besarnya adalah : Dengan cara yang sama, probabilitas bahwa kejadian B terjadi jika kejadian A terjadi terlebih dahulu adalah : Karena maka diperoleh :
Contoh : P(Dila terkena cacar Dila mempunyai bintik-bintik di wajah) adalah 0,8 Ini sama dengan rule berikut : IF Dila mempunyai bintik-bintik di wajah THEN Dila terkena cacar (0,8) Rule ini mempunyai arti sbb : Jika Dila mempunyai bintik-bintik diwajah, maka probabilitas (kemungkinan) Dila terkena cacar adalah 0,8
6 Konsep Dasar Probabilitas KONSEP DASAR HUKUM PROBABILITAS A. Hukum Penjumlahan P(A ATAU B) = P(A) + P(B) Contoh : P(A) = 0,35, P(B) 0,40 DAN P (C) 0,25 Maka P(A ATAU C ) = 0,35 + 0,25 = 0,60 Peristiwa atau Kejadian Bersama A AB B P(A ATAU B) = P(A) + P(B) P (AB) Apabila P(AB) = 0,2, maka, P(A ATAU B) = 0,35 + 0, 40 0,2 = 0,55
7 Konsep Dasar Probabilitas KONSEP DASAR HUKUM PROBABILITAS Peristiwa Saling Lepas P(AB) = 0 Maka P(A ATAU B) = P (A) + P(B) + 0 = P(A) + P(B) A B Hukum Perkalian P( A DAN B) = P(A) X P(B) Apabila P(A) 0,35 DAN P(B) = 0,25 Maka P(A DAN B) = 0,35 X 0,25 = 0,0875 Kejadian Bersyarat P(B A) P(B A) = P(AB)/P(A)
8 Konsep Dasar Probabilitas KONSEP DASAR HUKUM PROBABILITAS Hukum Perkalian P( A DAN B) = P(A) X P(B) Apabila P(A) 0,35 DAN P(B) = 0,25 Maka P(A DAN B) = 0,35 X 0,25 = 0,0875 Kejadian Bersyarat P(B A) P(B A) = P(AB)/P(A) Peristiwa Pelengkap (Complementary Event) P(A) + P(B) = 1 atau P(A) = 1 P(B)
9 Konsep Dasar Probabilitas DIAGRAM POHON Keputusan Jual atau Beli Jenis Saham Probabilitas bersama Diagram Pohon Suatu diagram berbentuk pohon yang membantu mempermudah mengetahui probabilitas suatu peristiwa 1 Probabilitas Bersyarat Jua l 0, 6 Beli BC A BL P BNI BC A BL P BNI 0,35 0,40 0,25 0,3 5 0,4 0 0,25 1 x 0,6 x 0,35 = 0,21 1 x 0,6 x 0,40 = 0,24 1 x 0,6 x 0,25 = 0,15 1 x 0,4 x 0,35 = 0,14 1 x 0,4 x 0,40 = 0,16 1 x 0,4 x 0,25 = 0,10 Jumlah Harus = 1.0 0,21+0,24+0,15+0,14 +0,16+0,10 =1,0
10 Konsep Dasar Probabilitas BEBERAPA PRINSIP MENGHITUNG Factorial (berapa banyak cara yang mungkin dalam mengatur sesuatu dalam kelompok). Factorial = n! Permutasi (sejumlah kemungkinan susunan jika terdapat satu kelompok objek). Kombinasi ncr = n!/r! (n-r)! Kombinasi (berapa cara sesuatu diambil dari keseluruhan objek tanpa memperhatikan urutannya. Permutasi npr = n!/ (n-r)!
11 LATIHAN Berdasarkan hasil penelitian ternyata bahwa mahasiswa pria hanya 40% dari total jumlah mahasiswa di Jakarta. Berdasarkan pada tingkat kelulusan ternyata mahasiswa wanita 90% lulus tepat waktu, dan 80% mencapai IPK di atas 3,0. Sedang mahasiswa pria yang lulus tepat waktu hanya 40% dan IPK di atas 3,0 hanya 50%. Hitunglah: Berapa persen, mahasiswa pria lulus tepat waktu dan IPK di bawah 3,0? Berapa peluang mahasiswi lulus tepat waktu dan IPK di atas 3,0?
Teorema Bayes Ditemukan oleh Reverend Thomas Bayes abad ke 18. Dikembangkan secara luas dalam statistik inferensia. Aplikasi banyak untuk : DSS
Brntuk teorema Bayes untuk evidence tunggal E dan hipotesis tunggal H adalah : Dengan p(h E) = probabilitas hipotesis H terjadi jika evidence E terjadi P(E H) = probabilitas munculnya evidence E, jika hipotesis H terjadi P(H) = probabilitas hipotesis H tanpa memandang evidence apapun P(E) = probabilitas evidence E tanpa memandang apa pun
Contoh : Diketahui p(demam)=0,4. p(muntah)=0,3. p(demam muntah)=0,75. Pertanyaan : a. Berapa nilai dari p(muntah demam)? b. Berapa nilai dari p(muntah demam) jika p(demam)=0,1
JAWAB SOAL A : p(muntah demam)= p(demam muntah) x p(muntah) p(demam) = 0,75 x 0,3 0,4 = 0,56
JAWAB SOAL B p(muntah demam) = p(demam muntah)xp(muntah) = (0,75 x 0,3)/0,1 = 2,25 p(demam) Jawaban di atas salah. Mengapa? Karena nilai probabilitas haruslah antara 0 dan 1. lalu apa yang salah? Perhatikan : p(demam) harus lebih besar atau sama dengan p(demam n muntah). untuk menghitung p(demam n muntah) rumusnya adalah p(demam n muntah) = p(demam muntah) x p (muntah) Jadi, p(demam) 0,225 = 0,75 x 0,3 = 0,225 Untuk nilai p(demam) = 0,1 tidak memenuhi syarat sehingga menghasilkan perhitungan yang salah.
Bentuk Teorema Bayes untuk evidence tunggal E dan hipotesis ganda H1, H2,. Hn dengan: p(hi E) = probabilitas hiposesis Hi benar jika diberikan evidence E. p(e Hi) = probabilitas munculnya evidence E, jika diketahui hipotesis Hi benar. p(hi) = probabilitas hipotesis Hi (menurut hasil sebelumnya) tanpa memandang evidence apapun. n = jumlah hipotesis yang mungkin.
Untuk evidence ganda E1, E2,., Em dan hipotesis ganda H1, H2,., Hn adalah : untuk mengaplikasikan persamaan di atas, maka harus diketahui probabilitas bersyarat dari semua kombinasi yang mungkin dari evidence-evidence untuk seluruh hipotesis. Secara praktis, ini tidak mungkin. Oleh karena itu, persamaan di atas, diganti dengan persamaan :
Contoh kasus Tabel berikut menunjukkan tabel probabilitas bersyarat evidence E 1 E 2 E 3 dan hipotesis H 1 H 2 H 3. Misalkan pertama kali kita hanya mengamati evidence E 3, hitung probabilitas terjadinya hipotesis : a. H 1 jika semula hanya evidence E 3 yang teramati b. H 2 jika semula hanya evidence E 3 yang teramati c. H 3 jika semula hanya evidence E 3 yang teramati
Persoalan ini adalah persoalan teorema bayes untuk evidence tunggal E dan hipotesis ganda H 1 H 2 H 3 dengan persamaan berikut : Jadi,
tampak bahwa setelah evidence E 3 teramati, kepercayaan terhadap hipotesis H i berkurang dan menjadi sama dengan kepercayaan terhadap H 2. kepercayaan terhadap hipotesis H 3 bertambah bahkan hampir sama dengan H 1 dan H 2.
Misalkan setelah kita mengamati evidence E 3 kemudian teramati pula adanya evidence E 1 hitung probabilitas terjadinya hipotesis: a. H 1 jika kemudian teramati pula adanya evidence E 1 b. H 2 jika kemudian teramati pula adanya evidence E 1 c. H 3 jika kemudian teramati pula adanya evidence E 1
Persoalan ini adalah persoalan teorema bayes untuk evidence ganda E 1 E 3 dan hipotesis ganda H 1, H 2, H 3 dengan persamaan
Misalkan setelah kita mengamati evidence E 1 teramati pula adanya evidence E 2, hitung probabilitas terjadinya hipotesis : a. H 1 jika kemudian teramati pula adanya evidence E 2 b. H 2 jika kemudian teramati pula adanya evidence E 2 c. H 3 jika kemudian teramati pula adanya evidence E 2
Jawab :
Contoh soal lainnya : Si Ani mengalami gejala ada bintik-bintik di wajahnya. Dokter menduga bahwa Si Ani terkena: 1. Cacar, dengan: Probabilitas munculnya bintik-bintik di wajah, jika Si Ani terkena cacar; p(bintik2 Cacar) = 0,8. Probabilitas Si Ani terkena cacar tanpa memandang gejala apapun; p(cacar) = 0,4 2. Alergi, dengan : Probabilitas munculnya bintik-bintik di wajah, jika Si Ani alergi; p(bintik2 Alergi) = 0,3. Probabilitas Si Ani terkena alergi tanpa memandang gejala apapun; p(alergi) = 0,7.
3. Jerawat, dengan Probabilitas munculnya bintik-bintik di wajah, jika Si Ani jerawatan; p(bintik2 Jerawatan) = 0,9. Probabilitas Si Ani jerawatan tanpa memandang gejala apapun; p(jerawatan) = 0,5.
SOAL LATIHAN 1 Tabel berikut menunjukkan tabel probabilitas bersyarat dari gejala penyakit kulit.
Pertanyaan : A. Bila ada seorang yang menderita gejala gatal-gatal, demam. Tentukan penyakit yang diderita oleh orang tersebut menggunakan teorema bayes!!!! B. Bila beberapa hari kemudian muncul gejala lainnya yaitu muncul peradangan folikuler kecil & merah yang membesar. Tentukan penyakit yang diderita oleh orang tersebut menggunakan teorema bayes!