/7/ Mt Kulih : Mtetik Reks Lnjut Kode MK : TKS 8 Pengpu : Achfs Zcoeb Sesi XIV ERET e-mil : zcoeb@ub.c.id.zcoeb.lecture.ub.c.id Hp. 833978339 Pendhulun eret Fourier diteukn oleh ilun Perncis, Jen Bptiste Joseph Fourier (768-83) ng entkn bh seu bentuk fungsi/sinl periodik dpt direpresentsikn ke dl eret Fourier ng erupkn deret Sinusoidl (sinus & cosinus). Perhtikn gbr sinl berikut :
/7/ Pendhulun (lnjutn) Gelobng = Getrn = Sinl = Fungsi (odel tetikn) engkibtkn teknn olekul udr di sutu derh enjdi tinggi & derh lin rendh. Jik teknn diukur sebgi fungsi dri t, k kn diperoleh fungsi periodik f(t). Cttn :. Jik sutu bentuk sinl/fungsi tertentu kn berulng dengn bentuk ngg s dl setip periode, k sinl tersebut diktkn sebgi sinl periodik.. Gelobng sur erupkn gelobng sinus urni dengn frekensi tertentu. Pendhulun (lnjutn) 3. Frekensi resultn gelobng sur erupkn sejulh nd dengn frekensi, 3,,... kli frekensi dsr.. Frekensi lebih tinggi berrti periode lebih pendek.. Jik sin ωt dn cos ωt = ferkensi dsr, k sin nωt dn sin nωt = nd hronik ng lebih tinggi. 6. Kobinsi ntr frekensi dsr & hronikn ebentuk fungsi periodik dengn periode dsr. 7. Setip sinl periodik dpt dintkn sebgi penjulhn dri sinl-sinl hronik. 8. Penjulhn sinl-sinl hronik dri sutu sinl periodik dintkn dl eret Fourier.
/7/ Fungsi/Sinl Periodik Fungsi f() diktkn pun periodik T tu f() periodik dengn periode T, jik untuk setip berlku : f + T = f T = konstnt positif (T > ), nili terkecil T dinkn periode terkecil tu disingkt f(). Grfik sutu sinl/fungsi dengn periode T didpt dengn enggbrkn grfik fungsi dsrn secr berulng seperti gbr berikut : Fungsi/Sinl Periodik (lnjutn). Periode dri f = cos dlh. Periode dri f = sin dlh 3. Periode dri f = tg dlh 3
/7/ eret Fourier (lnjutn) Andikn f() dlh sebuh fungsi periodik dengn periode T ng terdefinisikn dl selng dsr < < + T, kni f() = f( + T), k fungsi f() dpt diurikn dl deret Fourier sebgi berikut : f = + n cos nπ L + b n sin nπ L n= engn koefisien-koefisien, n, dn b n ng disebut sebgi koefisien-koefisien Fourier, ditentukn oleh fungsi f() ellui hubungn integrl sebgi berikut : eret Fourier (lnjutn) = L n = L +T +T +T f d f cos nπ L d b n = f sin nπ L L d dengn T = periode dn L = ½ periode.
/7/ Contoh ikethui fungsi f() sebgi berikut :, < < f =, < < Periodik dengn periode, sehingg f ± = f(), urikn fungsi tersebut dl deret Fourier! Penelesin : Periode T =, sehingg L = ½ T =, intervl dsrn, jdi =. Ekspnsi f() dl derh kiri dn knn subu dpt diliht pd gbr berikut : Contoh (lnjutn) Koefisien-koefisien Fourier dicri sebgi berikut : +T = = d = L f d f d = ()d = = + ()d
/7/ Contoh (lnjutn) n = L = +T f cos nπ d L f cos nπ d = L cos nπ d + = cos nπ d = sin nπ nπ = sin nπ sin nπ = cos nπ d Contoh (lnjutn) b n = L = +T f sin nπ d L f sin nπ d = sin nπ d + = sin nπ d = cos nπ nπ = cos nπ cos = = nπ nπ, n gnjil, n genp nπ sin nπ d n 6
/7/ Contoh (lnjutn) engn deikin deret Fourier untuk fungsi f() dlh : f = + k= sin nπ dl hl ini n = k nπ = + sin π + sin 3π + sin π + π 3π π = + π sin π + 3 sin 3π + sin π + Srt irichlet Persrtn sebuh fungsi f() gr dpt dintkn dl deret Fourier ditentukn oleh srt irichlet sebgi berikut : Jik () f() periodik dengn periode T (b) bernili tunggl sert kontinu bgin dei bgin dl (c) intervl dsrn : + T, dn +t f() d nilin berhingg, Mk deret Fourier di rus knn konvergen ke nili : 7
/7/ Srt irichlet (lnjutn) f() di seu titik kekontinun f() dn ½ li f + li f + di setip titik ketkkontinun (pd derh loptn). Contoh : Pd contoh sebelun (perhtikn gbr), tentuknlh konvergen ke nili berp deret fourier tersebut di titik-titik kekontinun =, 3, 3, dn di titik-titik ketkkontinun =,,, -3. Srt irichlet (lnjutn) Penelesin : Menurut srt irichlet, k : - i titik-titik kekontinun : = konvergen ke = 3 konvergen ke = 3 konvergen ke = konvergen ke - i titik-titik ketkkontinun : = konvergen ke ½ ( + ) = ½ = konvergen ke ½ ( + ) = ½ = konvergen ke ½ ( + ) = ½ = -3 konvergen ke ½ ( + ) = ½ 8
/7/ Ltihn ikethui fungsi f(t) sebgi berikut : 3, < t < f t =, < t < Periodik sehingg f t + = f(t), urikn fungsi tersebut dl deret Fourier dn gbrkn bentuk gelobngn! Lendutn Pelt Segiept (Rectngulr Slbs eflection) M M M z Persn uu pelt klsik : q PP Tk., linier, non hoogen z M Vribel terikt : (lendutn) Vribel bebs : dn (jrk) Bebn lur : q (dt) Kekkun lentur : (dt) 3 h E 3 9
/7/ Lendutn Pelt Segiept (Metode Kirchhoff Love) Persn uu pelt klsik :. q l bentuk opertor lplce : q Penelesin : (, ) (, ) (, ) h p dengn : h (,) = penelesin hoogen (rus knn = ) p (,) = penelesin khusus/integrl prsil (PP non hoogen) Lendutn Pelt Segiept (Metode Kirchhoff Love) cont d Metode Kirchhoff Love dlh odel tetik ng digunkn untuk enentukn tegngn dn deforsi pd pelt tipis kibt g dn oen. Metode ini erupkn lnjutn dri teori blok Euler- Bernoulli ng dikebngkn oleh Love (Inggris) pd thun 888 dengn enggunkn susi ng diusulkn oleh Kirchhoff seperti berikut : Gris lurus norl ke pertenghn perukn tetp lurus setelh deforsi. Gris lurus norl ke pertenghn perukn tetp norl pd pertenghn perukn setelh deforsi. Ketebln plt tidk berubh sel deforsi.
/7/ Lendutn Pelt Segiept (Metode Kirchhoff Love) cont d Contoh : Pelt segi ept dengn tupun sederhn dn bebn sinusoidl. b b R R Persn bebn : q q sin sin b R R dengn q = intensits bebn di tengh pelt Lendutn Pelt Segiept (Metode Kirchhoff Love) cont d Persn uu pelt enjdi : q sin sin b Kondisi bts untuk = dn = : Lendutn, = Moen ujung, M = Kondisi bts untuk = dn = b : Lendutn, = Moen ujung, M =
/7/ Lendutn Pelt Segiept (Metode Kirchhoff Love) cont d Persn lendutn pelt ng eenuhi kondisi bts : c sin sin b Konstnt c hrus dihitung dengn eperhtikn kondisi bts, sehingg didptkn : q c b Sehingg persn lendutn pelt enjdi : q sin sin b b Lendutn Pelt Segiept (eret Fourier Sinus) Penelesin dengn deret Fourier : Secr prktis di lpngn, bebn sinusoidl tidk d (ng d dlh bebn ert, bebn terpust, dn bebn segitig) hrus diekspnsikn dulu ke dl deret Fourier. bebn ert q bebn sinusoidl bebn terpust bebn segitig
/7/ Lendutn Pelt Segiept (Metode Nvier) Penelesin dengn deret Fourier gnd dikebngkn oleh Nvier (Prncis) pd thun 8. Persn bebn : q z f, Persn bebn dl bentuk deret Fourier gnd (sinus) : n f An sin sin b, n dengn A n dlh koefisien Fourier ng hrus dicri sesui dengn bentuk bebnn. A n b b n f (, )sin sin dd b Lendutn Pelt Segiept (Metode Nvier) cont d Persn lendutn untuk keept sisi tupun berup sendi : An n, sin sin n b b Untuk bebn ert f(,) = P : b n A q dd z n sin sin b b q bebn ert / q b b 6q n n sin sin dd b 3
/7/ Lendutn Pelt Segiept (Metode Nvier) cont d Selnjutn persn lendutn pelt segiept dengn keept sisi tupun berup sendi enjdi : 6q An n, sin.sin 6 n b n b Untuk kondisi pelt segiept dengn keept sisi tupun berup sendi dn kibt bebn ert, lendutn ksiu terjdi di tengh bentng, pd = / dn = b/ : 6q 6 n n n b Lendutn Pelt Segiept (Metode Lev) Penelesin dengn deret Fourier tunggl dikebngkn oleh Lev (Prncis) pd thun 899. Bentuk persn lendutn : (, ) Y sin dengn Y = f(,) sendi sendi b Asusi tupun pd = dn = dlh sendi ng sejjr subu, sehingg diperlukn dn penesuin sisti koordint.
/7/ Persn uu lendutn : Lendutn Pelt Segiept (Metode Lev) cont d q ) ( ), ( ), ( P H P H Cttn : P dlh lendutn pelt ke rh subu sj dengn susi tupun sisi = b/ di, sehingg : q P Proses integrsi dn c dengn kondisi bts di = dn = : Lendutn Pelt Segiept (Metode Lev) cont d 3 3 c q P c c q P 3 3 6 c c c q P 3 3 6 c c c c q P
/7/ 6 engn c, c, c 3, c dihitung untuk kondisi bts pd = dn = : Lendutn Pelt Segiept (Metode Lev) cont d ) ( ) ( 3 3 q P Selnjutn, ekspnsikn dl deret Fourier tunggl : sehingg : sin ) ( P A q d A P )sin ( Mk penelesin P () : Lendutn Pelt Segiept (Metode Lev) cont d q P sin ) ( Penelesin H (,) : H H H sin ), ( H Y sin
/7/ Lendutn Pelt Segiept (Metode Lev) cont d Persn diferensil bis (ordinr differentil eqution) orde, linier, hoogen dengn penelesin uu : dengn : cosh e e dn q ( ) A cosh B sinh C sinh cosh sinh e e Lendutn Pelt Segiept (Metode Lev) cont d z b z Penederhnn persn tersebut ts dsr gris sietris subu z : (,) = (,-) dengn = lendutn Untuk fungsi genp : z (,) = (,-) ungkin ½ b ½ b (,) * Untuk fungsi gnjil : sendi sendi z (,) = -(,-) tidk ungkin (,) * sietri terhdp subu z, tupun terhdp subu sietris (sendi). 7
/7/ Lendutn Pelt Segiept (Metode Lev) cont d Solusi persn hoogen : q ( ) Evlusi: A cosh B sinh C sinh cosh genp genp gnjil gnjil = cos genp = sin gnjil = gnjil = gnjil Lendutn Pelt Segiept (Metode Lev) cont d Kren kondisi bts ng digunkn dlh fungsi genp, k persnn enjdi : q ( ) A cosh B sinh Koefisien A dn B dihitung dengn kondisi bts pd = b/, tupun sietris terhdp subu setelh digbung dengn solusi non hoogen, sehingg persn lendutn totl dlh : q, ) dengn =,3, ( A cosh B sinh sinh 8
/7/ Lendutn Pelt Segiept (Metode Lev) cont d Hn berlku untuk fungsi genp dengn kondisi bts pd +b/ : dn Persn tersebut diturunkn, keudin disubstitusikn ke kondisi bts dn bil perisln : b A cosh sinh B sehingg : A ( A B )cosh B sinh tnh cosh dn B cosh Lendutn Pelt Segiept (Metode Lev) cont d Nili A dn B disubstitusikn ke persn lendutn totl : q,,3, tnh cosh cosh b sinh sin cosh b b Lendutn ksiu pd = / dn = : q,3, ( ) tnh cosh Cttn : untuk desin, nili ng digunkn hn spi suku ke, sedngkn suku ke 7 dn setelhn dpt dibikn pengruhn/nilin kecil 9
/7/ Thnks for our kind ttention!