Analisis Deret Waktu Keuangan

Khreshna Syuhada 1 Catatan Kuliah Analisis Deret Waktu Keuangan

Khreshna Syuhada 2 Bab 1: Return dan Sifat-sifat Return Misalkan PP tt menyatakan harga aset pada waktu tt. Return atau imbal hasil didefinisikan sebagai RR tt = (PP tt PP tt 1 )/PP tt 1, yang disebut return sederhana, atau RR tt = ln PP tt ln PP tt 1, return majemuk, dimana keduanya dapat ditunjukkan sama. Apa yang dapat anda katakan tentang return yang didefinisikan sebagai RR tt = PP tt PP tt 1? RR tt = PP tt /PP tt 1? Return memiliki sifat-sifat empiris (empirical facts) antara lain (Cont, 2001; Engle dan Patton, 2001): Return tidak berautokorelasi; return kuadrat dan return absolut berautokorelasi Untuk menguji sifat ada/tidak ada autokorelasi, dapat digunakan statistik uji Box-Pierce (BP) atau Box-Ljung (BL) atau yang lain dengan mengikuti prosedur standar uji hipotesis. - HH 0 : Return tidak berautokorelasi; HH 1 : HH 0 salah - αα - Statistik Uji: BP, BL - Daerah kritis; p-value - Kesimpulan Distribusi return adalah distribusi ekor tebal (heavy-tailed distribution) Beberapa distribusi ekor tebal antara lain distribusi Student s tt dan generalized error distribution (GED) (Liesenfeld dan Jung, 2000). Kenormalan distribusi return dapat diuji dengan normal probability plot (NPP) atau stastistik uji lain seperti Andersen-Darling. Misalkan RR tt return aset pada waktu tt. Distribusi (tak bersyarat) RR tt, distribusi bersyarat RR tt RR tt 1 dan distribusi bersama/bivariat (RR tt, RR tt 1 ) merupakan kajian yang menarik. Telah kita kenal/ketahui sebelumnya tentang FF RRtt, FF RRtt RR tt 1, FF RRtt,RR tt 1 = CC(FF RRtt, FF RRtt 1 ), yang disebut Copula Sifat momen (pusat) yang penting dari return adalah EE RR tt μμ RR tt kk, dimana momen pusat pertama bernilai nol. Momen pusat kedua, ketiga dan keempat berkaitan dengan variansi, kemencengan (skewness) dan kelancipan (kurtosis).

Khreshna Syuhada 3 Bab 2: Model Deret Waktu Linier Misalkan RR tt return. Proses stokastik {RR tt } adalah barisan return acak dengan distribusi peluang ditentukan oleh vektor parameter θθ. Model stokastik untuk return adalah RR tt = σσ tt εε tt, dimana σσ tt menyatakan volatilitas (volatility atau variansi bersyarat) dan {εε tt } adalah proses white noise berdistribusi normal baku. Diasumsikan σσ tt dan εε tt saling bebas. σσ 2 2 tt = αα 0 + αα 1 RR tt 1 - model Autoregressive Conditional Heterscedastic orde satu atau ARCH(1) - fungsi volatilitas terobservasi - distribusi RR tt RR tt 1 dapat ditentukan - memiliki bentuk fungsi likelihood eksplisit ln σσ 2 2 tt = γγ + δδ ln σσ tt 1 + ηη tt - model Stochastic Volatility atau SV - fungsi volatilitas bersifat laten (latent atau tidak terobservasi) - tidak ada distribusi bersyarat RR tt, diberikan observasi/informasi sebelumnya - tidak memiliki bentuk eksplisit untuk fungsi likelihood Kedua model stokastik diatas adalah model/proses dengan sifat heteroscedastic, yaitu variansi berubah sejalan dengan waktu (time-varying volatility). Model stokastik untuk return yang bersifat homoscedastic adalah model Autoregressive atau AR. Model AR(1) didefiniskan sebagai berikut: RR tt = aa 0 + aa 1 RR tt 1 + εε tt, dimana εε tt NN(0, σσ 2 ). Diasumsikan bahwa εε tt dan RR tt 1 saling bebas. Sifat-sifat distribusi dan momen untuk model AR(1) adalah RR tt RR tt RR tt 1 EE RR kk tt = EE RR kk tt RR tt 1 = Catatan: Distribusi tak bersyarat dari RR tt sering dikatakan sebagai distribusi stasioner dari RR tt. Kestasioneran merupakan sifat penting dari deret waktu.

Khreshna Syuhada 4 Kestasioneran (stationarity) Terdapat 2 jenis kestasioneran: 1) stasioner kuat (strictly stationary), 2) stasioner lemah (weakly stationary). Deret waktu {RR tt } dikatakan stasioner kuat jika distribusi bersama dari (RR tt1,, RR ttkk ) identik dengan distribusi bersama dari (RR tt1 +tt,, RR ttkk +tt) untuk semua tt, dimana kk sebarang integer positif dan (tt 1,, tt kk ) koleksi dari kk integer positif. Sedangkan stasioner lemah akan dipenuhi oleh deret waktu {RR tt } apabila EE(RR tt ) dan CCCCCC(RR tt, RR tt ττ ) tidak berubah menurut waktu (time-invariant), dimana ττ sebarang integer. Jika{RR tt } bersifat stasioner kuat dan dua momen pertamanya hingga maka {RR tt } bersifat stasioner lemah (namun tidak berlaku sebaliknya). Kestasioneran lemah sering juga disebut second-order stationary atau covariance stationary. Sebagai ilustrasi untuk melihat kestasioneran deret waktu, pandang model AR(1): RR tt = aa 1 RR tt 1 + εε tt atau sering disebut a zero-mean Gaussian AR(1) model. Model tersebut akan memiliki kestasioneran lemah jika aa 1 < 1 (Buktikan!). Untuk model AR(2): RR tt = aa 1 RR tt 1 + aa 2 RR tt 2 + εε tt, kestasioneran lemah akan dipenuhi jika aa 1, aa 2 (Buktikan!) Proses AR(pp), untuk pp = 1 misalnya, dapat dibangkitkan dengan kode berikut function AR(a1,sigma); % this function generate AR(1) process R(t) = a1*r(t-1) + epsilon(t); where epsilon(t) ~ N(0,sigma^2) % created by K Syuhada Demikian pula halnya dengan proses AR(2) dst. Catatan: Proses AR(1) yang kita bahas adalah proses dengan bentuk forward representation. Kita dapat memiliki backward representation RR tt = aa 1 RR tt+1 + ηη tt apabila proses AR(1) memiliki galat berdistribusi normal. Jika dipunyai data riil, kita dapat menentukan apakah data tersebut mengikuti proses AR(1) atau AR(2) dengan melihat fungsi autokorelasi parsial (partial autocorrelation function PACF). Perhatikan juga kriteria AIC dan BIC.

Khreshna Syuhada 5 Fungsi autokorelasi untuk proses AR(1) adalah dengan perilaku sbb... ρρ(ττ) =, Bagaimana pengaruh aa 1 (positif atau negatif) terhadap perilaku fungsi autokorelasi? Lakukan hal diatas untuk proses AR(2)! Contoh 2.1 (hal. 38). Pandang data laju pertumbuhan setiap kuartal dari GNP di Amerika Serikat dari tahun 1974-1991. Model yang dibangun adalah AR(3): RR tt = 0.0047 + 0.35 RR tt 1 + 0.18 RR tt 2 0.14 RR tt 3 + εε tt, dan σσ εε = 0.0098. Persamaan beda orde tiga (third-order difference equation) yang berkorespondensi adalah... Prediksi (prediction, forecasting) Prediktor terbaik adalah mean (bersyarat). Untuk proses AR(1) dengan mean nol, prediktornya adalah dimana aa 1 penaksir untuk aa 1. XX nn+1 = EE(XX nn+1 XX nn ) = aa 1 XX nn,

Khreshna Syuhada 6 Tugas 1. Jenis return; return sederhana = log return; plot harga dan return; distribusi ekor tebal (termasuk uji kenormalan); uji autokorelasi; tima-varying volatility, skewness and kurtosis; 2. Generating data from AR(1) process; plot kestasioneran; orde proses AR untuk data riil; syarat kestasioneran untuk AR(pp);