39 BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA 2.1. Teori Graf 2.1.1 Definisi Graf Teori graf merupakan salah satu cabang matematika yang paling banyak aplikasinya dalam kehidupan sehari hari. Salah satu bentuk dari graf adalah Flow-network, yaitu graf berarah yang tiap sisinya mempunyai kapasitas tertentu. Flow-network ini memiliki banyak aplikasi dalam kehidupan sehari-hari. Flow-network sering digunakan untuk memodelkan sistem lalu lintas, sebuah sistem yang sering menjadi masalah utama dalam kehidupan, terutama di kota besar, serta sistem pipa air. Salah satu masalah yang sering muncul dalam Flow-network adalah Maximum-flow Problem. Secara sederhana graf didefinisikan sebagai kumpulan titik yang di hubungkan oleh garis. Secara matematis, graf adalah pasangan himpunan (V, E) dimana V adalah himpunan tak kosong yang memiliki elemen disebut simpul (vertices) dan E adalah kumpulan dari dua elemen subsets V yang disebut busur (edges). Simpul direpresentasikan dengan titik dan busur direpresentasikan dengan garis. Dapat dilihat pada gambar 2.1 contoh graf (V.E) dimana:
4 Gambar 2.1. Graf (V,E) (Farizal, 213). V ={A,B,C,D,E,F, G,H,I}. dan E ={{A,B},{A,C},{B,D},{C,D},{C,E},{E,F},{E,G},{H,I}} Dalam teori graf, Network- flow adalah graf terarah dimana setiap edge-nya memiliki kapasitas dan setiap edge memiliki aliran. Nilai dari aliran dalam suatu edge tidak dapat melampaui kapasitas dari edge tersebut. Sering kali dalam research operasi, graf terarah disebut jaringan, vertices-nya disebut dengan nodes dan edge-nya disebut arcs. Diberikan G (V,E) adalah graf terarah tertutup di mana disetiap edge-nya c(u,v) E E, dimana E adalah bilangan positif, nilai kapasitas sebenarnya c(u,v) (Syahdatina, 27). Graf G adalah pasangan (V(G),E(G)) dengan (V(G)) adalah himpunan tidak kosong dan berhingga dari objek-objek yang disebut titik, (E(G)) adalah himpunan (mungkin kosong) pasangan tak berurutan dari titik- titik berbeda di (V(G)) yang disebut sisi. Banyaknya unsur di V(G) disebut order dari G dan dilambangkan dengan p(g), dan banyaknya unsur di E(G) disebut ukuran dari G dan di lambangkan dengan q(g). Jika graf yang dibicarakan hanya graf G, maka order dan ukuran dari G masingmasing cukup ditulis p dan q. Graf dengan order p dan q di sebut graf-(p,q). Nama Graf diberikan karena graf dapat disajikan secara grafik atau gambar, dan justru dengan bentuk gambar inilah sifat-sifat graf dapat dikenali secara detail. Titik disajikan dalam bentuk noktah atau lingkaran kecil dan sisi disajikan dalam bentuk garis atau kurva yang memasangkan dua titik.
41 Perhatikan graf G yang memuat himpunan titik V(G) dan himpunan sisi E(G) seperti berikut ini: V(G) = {a,b,c,d,e} E(G) = {(a, b), (a, c), (a, d), (b, d), (b, c), (d, e)} Graf G tersebut secara lebih jelas dapat di gambar sebagai berikut: a e 2 c G : e 1 e 3 e b e 4 e 6 d Gambar 2.2 Graf G (Sanjaya, 214). Graf G mempunyai titik sehingga order G adalah p =. Graf G mempunyai 6 sisi sehingga ukuran graf G adalah 6. Graf G dengan himpunan titik dan sisi masing-masing V(G) = {a, b, c, d, e} E(G) = {(a, b), (a, c), (a, d), (b, d), (b, c), (d, e)} Dapat juga ditulis dengan V(G) = {a, b, c, d, e} E(G) = {e 1, e 2, e 3, e 4, e, e 6 } Dengan
42 e 1 = (a, b) e 2 = (a, c) e 3 = (a, d) e 4 = (b, d) e = (b, c) e 6 = (d, e) Sisi e = (a, b) di katakan menghubungkan titik a dan b. Jika e = (a, b) adalah sisi graf G, maka a dan b disebut terhubung langsung (adjacent), a dan e serta b dan e disebut terkait langsung (incident), dan titik a dan b disebut ujung dari e. Dua sisi berbeda e 1 dan e 2 di sebut terhubung langsung (adjacent), jika terkait langsung pada satu titik yang sama. Untuk selanjutnya, sisi e = (a, b) akan ditulis e = ab (sanjaya, 214). 2.1.2 Graf Berbobot Graf berbobot adalah graf yang setiap sisinya diberi sebuah nilai atau bobot. Bobot pada setiap sisi graf dapat berbeda-beda bergantung pada masalah yang dimodelkan. Bobot dapat menyatakan jarak antara dua buah kota, biaya perjalanan antara dua buah kota, waktu tempuh antara dua buah kota, waktu tempuh pesan antara simpul komunikasi dengan simpul komunikasi lainya, ongkos produksi dan sebagainya. Graf berbobot juga sering dikaitkan dengan istilah graf berlabel. Untuk membuat label, masing-masing vertex diberi sebuah label dan setiap edge diberikan sebuah nilai atau bobot. Tampilan graf berlabel dapat dilihat pada Gambar 2.3 P 9 Q 6 7 12 6 T R 9 S
43 Gambar 2.3 Graf Berbobot (Sanjaya, 214). 2.1.3 Representasi Graf Pada Komputer Meskipun menggambar merupakan cara yang mudah untuk menjelaskan suatu graf, cara ini tentunya mempunyai kelemahan ketika akan menyimpan data tentang graf dalam komputer, atau ketika akan mengkaji sifat-sifat suatu graf melalui hitungan matematis. Mepresentasikan graf dalam bentuk matriks akan memberikan kemudahan bagi sesorang yang senang menggunakan komputer ketika mengkaji informasi atau menyelesaikan permasalahan yang melibatkan graf. Matriks keterhubungan suatu graf G adalah matriks simetri dengan unsur dan 1 dan memuat nilai pada diagonal utamanya. Hal ini karena graf tidak memuat loop dan tidak memuat sisi paralel. Perhatikan contoh berikut. Misalkan graf G dengan himpunan titik V(G) = {v 1, v 2, v 3, v 4 } dan himpunan sisi E(G) = {v 1 v 2, v 1 v 4, v 2 v 3, v 2 v 4, v 3 v 4 } Maka, diagram dan matriks keterhubungan graf G sebagai berikut: V 1 V 2 v 1 v 2 v 3 v 4 V 4 V 3 v 1 v 2 v 3 v 4
44 Gambar 2.4 Diagram dan Matriks Keterhubungan Graf G (Sanjaya, 214). Derajat suatu simpul deg(v) adalah banyaknya ruas yang menghubungkan suatu simpul. Secara umum, jika graf G dengan order p (p 1) dengan himpunan titik V(G) = {v 1,v 2, v p } dan A (G) = [a ij ], 1 i, j p adalah matriks keterhubungan dari G, maka: deg (v i ) = Hal yang sama juga berlaku jika menghitung derajat titik melalui kolom, yaitu: deg (v i ) = Dengan melihat matriks keterhubungan dari graf G dapat diperoleh bahwa: a 11 + a 12 + a 13 + a 14 = + 1 + + 1 = 2 = deg(v 1 ), a 21 + a 22 + a 23 + a 24 = 1 + + 1 + 1 = 3 = deg(v 2 ), a 31 + a 32 + a 33 + a 34 = + 1 + + 1 = 2 = deg(v 3 ), dan a 41 + a 42 + a 43 + a 44 = 1 + 1 + 1 + = 3 = deg(v 4 ). Dari diagram terlihat bahwa: deg(v 1 ) = 2, deg(v 2 ) = 3, deg(v 3 ) = 2, dan deg(v 4 ) = 3. 2.2 Jenis-Jenis Graf 1. Berdasarkan ada tidaknya gelang atau sisi ganda pada suatu graf, maka graf digolongkan menjadi dua jenis: Graf sederhana (simple graf).
4 Graf yang tidak mengandung gelang maupun sisi-ganda dinamakan graf sederhana. Graf tak-sederhana (unsimple-graf / multigraf). Graf yang mengandung ruas ganda atau gelung dinamakan graf taksederhana (unsimple graf atau multigraf). 2. Berdasarkan jumlah simpul pada suatu graf, maka secara umum graf dapat digolongkan menjadi dua jenis: Graf berhingga (limited graf) Graf berhingga adalah graf yang jumlah simpulnya, N, berhingga. Graf tak-berhingga (Unlimited graf) Graf yang jumlah simpulnya, n, tidak berhingga banyaknya disebut graf tak Berhingga. 3. Berdasarkan orientasi arah pada sisi, maka secara umum graf di bedakan atas 2 jenis: Graf tak-berarah (undirected graf) Graf yang sisinya tidak mempunyai orientasi arah disebut Graf tak-berarah. Graf berarah (Directed Graf atau di graf) Graf yang setiap sisinya diberikan orientasi arah disebut sebagai graf berarah (a) G Dua buah graf pada Gambar 2. adalah graf berarah. Gambar 2.. graf berarah, (b) Graf-ganda berarah (Farizal, 213).
46 2.3 Network-Flow Jaringan transportasi adalah sebuah graf berarah yang sederhana dengan setiap sisi mempunyai kapasitas dengan sejumlah syarat sebagai berikut: 1. Terdapat satu simpul didalam graf itu yang tidak mempunyai sisi masuk disebut dengan sumber. 2. Terdapat satu simpul didalam graf itu yang tidak mempunyai sisi keluar disebut dengan tujuan. 3. Pembobot setiap sisi C i j dari suatu sisi berarah (i, j) merupakan sebuah bilangan real non negatif disebut dengan kapasitas sisi (i, j) (Johnsonbaugh, 1986). Gambar : aliran setiap sisi (farizal, 213). Gambaran aliran setiap sisi CAB = 6,CAD = 8, CAC = 3, CBC = 9, CCD =, CCE = 7, CDE = 1. Flow-network adalah sebuah graf berarah yang tiap sisinya memiliki kapasitas/bobot dan pada tiap sisi tersebut terdapat arus (flow) yang mengalir antara 2 simpul yang mengapit sisi tersebut. Jumlah arus yang mengalir pada tiap sisi harus lebih kecil atau sama dengan kapasitas sisi tersebut. Pada aplikasinya, sebuah graf berarah sering disebut dengan Network. Jumlah arus yang mengalir pada tiap sisi harus lebih kecil atau sama dengan kapasitas sisi tersebut. Pada aplikasinya, sebuah graf berarah sering disebut dengan network. Setiap arus (flow) yang ada dalam network, harus memenuhi sebuah batasanya itu arus yang masuk pada suatu simpul harus sama dengan arus yang keluar pada simpul tersebut, kecuali pada source, yang keluarnya lebih besar dari arus masuk, dan sink, yang arus masuknya lebih besar dari arus keluar sebuah network biasanya digunakan untuk memodelkan sistem lalu lintas, saluran pipa, sirkuit elektrik dapat dilihat pada gambar 2.6 Network-flow
47 Gambar 2.6. Network-Flow. (Septiana, 21) 4. Arus (flow) pada network, harus: Arus yg mengalir kapasitas sisi yg dialiri. Arus masuk ke node = arus keluar dari node, kecuali pada source. Sedangkan pada sink, arus masuk > arus keluar. Biasa digunakan untuk memodelkan sistem lalu lintas. Saluran pipa, sirkuit elektrik, dsb (Shella, 21). Network banyak dipakai dalam banyak hal untuk kegunaan yang berbeda-beda. Jaringan transportasi, jaringan listrik dan jaringan telekomunikasi adalah contohcontoh dimana network ditemukan dalam kehidupan sehari-hari. Representasi network juga dipakai dalam produksi, distribusi, project planning, penempatan fasilitas, manajemen resource dan financial planning suatu network diperlukan karena memberi gambaran visual dan bantuan konseptual yang lebih jelas untuk memotret hubungan antar komponen dalam sistem yang sering dijumpai dalam banyak kasus. Dalam konteks optimasi, perkembangan metodologi maupun aplikasi network termasuk yang cepat. Banyak temuan baru dalam hal algoritma yang berkenaan dengan permasalahan network flow membawa pengaruh besar dalam struktur data dan manipulasi data dalam Bidang Ilmu Komputer. Dengan berkembangnya ilmu komputer, memungkinkan penyelesaian problem Network-Flow dengan bantuan software terutama untuk masalah-masalah besar yang beberapa tahun
48 sebelumnya tidak terpecahkan. Banyak permasalahan Network flow yang sebenarnya berbentuk linear programming. Sebagai contoh, masalah transportasi atau assignment yang kita bahas sebelumnya. Dalam bab ini akan kita bahas beberapa aplikasi Network flow. Macam-macam Aplikasi Network-Flow antara lain: 1. Shortest-Path Problem. 2. Minimum Spanning Tree Problem. 3. Maximum Flow Problem. 4. Minimum Cost Flow Problem (Habibi, 28). 2.4 Maximum-Flow Problem Secara sederhana, Maximum-flow problem dapat dideskripsikan sebagai masalah pencarian untuk mencari arus maksimum yang dapat mengalir pada sebuah network yang hanya memiliki sebuah source dan sebuah sink. model aliran Maximum (Maximum flow), sesuai dengan namanya adalah sebuah model yang dapat digunakan untuk mengetahui nilai maximum seluruh arus di dalam sebuah sistem jaringan. Contoh aliran maximum pada sebuah jaringan adalah jaringan listrik, pipa saluran, dan jalur lalu lintas dalam sebuah sistem jaringan yang tertutup. Kapasitas pada setiap jaringan akan membatasi jumlah arus atau aliran yang melewatinya. model aliran maximum mempunyai tujuan untuk memaksimalkan jumlah arus yang melewati jaringan dalam sebuah sistem jaringan. Hal ini tentunya sangat umum terjadi pada bidang transportasi, produksi, komunikasi, dan distribusi (Fakhri, 28). Aplikasi dari Maximum-flow problem ini adalah sebagai berikut: Terdapat pipa-pipa yang berhubungan, dengan kapasitas / daya tampung yang berbeda beda. Pipa pipa ini terhubung dengan sebuah keran, berapa volume maximum air yang dapat dialirkan dari penampungan air sampai dengan keran di rumah kita. Merujuk pada teori graf, pada Maximum -flow problem kita diberikan sebuah Network-Graf berbobot dan berarah. Dan di setiap sisinya terdapat kapasitas c yang di asosiasikan dengannya, simpul awal kita sebut sebagai source, dan simpul akhir sink. Kita disuruh mencari nilai f yang
49 memenuhi persyaratan f c untuk setiap sisi selain source dan sink, dan jumlah nilai f yang masuk kedalam suatu sisi pasti sama dengan jumlah nilai yang meningalkannya. Kemudian kita akan mencari nilai maximum f yang memenuhi persyaratan di atas. Gambar di bawah ini menunjukkan solusi optimal untuk salah satu permasalahan di atas, setiap sisi di labeli dengan sebuah nilai f/c yang dia sosiasikan dengannya: Gambar 2.7 Maximum-Flow pada sebuah Flow-Network (fackhry,28). Pada gambar di atas, kita di minta untuk mencari arus maksimal yang dapat mengalir dari simpul s (source) ke simpul t (sink) melalui beberapa sisi yang masing masing memilik kapasitas tertentu. Dengan melihat gambar di atas maka dapat disimpulkan bahwa arus maksimal yang dapat mengalir pada Network di atas adalah satuan (Sedgewick, 22). Mencari penugasan suatu aliran pada suatu jaringan kerja sehingga aliran yang sampai ke tujuan maksimal. Dan menentukan aliraan aliran maximum yang dapat mengalir dalam suatu graf ( misal : air, bandwidth). Secara formal : bagaimana mengotimalkan material dalam sebuah graf dari source ke sink, tanpa melanggar melaggar konstrain (Rosyida, 26). Pada Maximum Flow Problem, sering dijumpai istilah sebagai berikut: Network N Network N adalah di graph berbobot yang memiliki suatu titik sumber dan satu titik tujuan. Pada titik sumber, tidak terdapat sisi masuk, sedangkan pada titik tujuan tidak terdapat sisi keluar, bobot tiap sisi pada suatu network adalah kapasitas (C) sisi tersebut.
Walk (jalan) Misalkan titik U dan V (tidak harus berbeda ) pada suatu graf G. Jalan (walk) (u, v) di G adalah titik. Flow (f) Flow (f) merupakan suatu bilangan tak negatif yang di definisikan pada tiap sisi pada suatu network yang memenuhi Fij < Cij untuk sebarang sisi (i,j) pada network tersebut. Setiap arus (flow) yang ada dalam Network, harus memenuhi sebuah batasan yaitu arus yang masuk pada suatu simpul harus sama dengan arus yang keluar pada simpul tersebut, kecuali pada source, yang arus keluarnya lebih besar dari arus masuk, soure dan sink, yang arus masuknya lebih besar dari arus keluar. Residual Network Residual Network merupakan Network dengan ketentuan pelabelan sisinya adalah sebagai berikut: C (i,j) = C(i,j) F(i,j), C (j,i) = F(i,j). Secara umum Maximum-flow bisa dijelaskan sebagai berikut: 1. Semua aliran barang melalui suatu network yang berarah dan tersambung dari node awal ke node akhir. Node awal disebut sumber dan node akhir disebut tujuan. 2. Node sisa yang lain dinamakan node antara. 3. Aliran dalam satu cabang hanya di perbolehkan ke arah yang ditunjukkan oleh anak panah dimana jumlah maximum di berikan sebagai kapasitas cabang tersebut. Pada node sumber, semua cabang mengarah meninggalkan node. Pada node tujuan semua cabang mengarah masuk ke node. 4. Tujuannya adalah memaximumkan jumlah total yang bisa diangkut dari sumber ke tujuan. Jumlah yang diangkut ini bisa dikatakan jumlah yang meninggalkan sumber atau jumlah yang sampai pada tujuan.
1 2. Contoh Aplikasi Maximum-Flow Problem 1. Maksimasi aliran dalam jaringan distribusi suatu perusahaan dari pabrik ke pelanggan. 2. Maksimasi aliran dalam jaringan suplai suatu perusahaan dari vendor ke pabrik-pabriknya. 3. Maksimasi aliran minyak dalam sistem perpipaan. 4. Maksimasi aliran air dalam distribusi air PDAM.. Maksimasi aliran kendaraan dalam jaringan transportasi. 6. Maksimasi pesan dalam suatu jaringan telekomunikasi. Meskipun Maximum-flow bisa diformulasikan sebagai linear programming, namun ada algoritma yang cukup efisien untuk menyelesaikannya. Suatu network diperlukan karena memberi gambaran visual dan bantuan konseptual yang lebih jelas untuk memotret hubungan antar, komponen dalam sistem yang sering dijumpai dalam banyak kasus. Dalam konteks optimasi, perkembangan metodologi maupun aplikasi Network termasuk yang cepat. Banyak temuan baru dalam hal algoritma yang berkenaan dengan permasalahan Network- flow membawa pengaruh besar dalam struktur data dan manipulasi data dalam bidang ilmu komputer. Dengan berkembangnya Ilmu Komputer, memungkinkan penyelesaian problem Network -flow dengan bantuan software terutama untuk masalah-masalah besar yang beberapa tahun sebelumnya tidak terpecahkan. Banyak permsalahan Network-flow yang sebenarnya berbentuk linear programming. 2.7 Model Aliran Maksimum ( Maximal Flow ) Model Aliran Maximum ( Maximal-flow ), sesuai dengan namanya adalah sebuah model yang dapat digunakan untuk mengetahui nilai maksimum seluruh arus di dalam sebuah system jaringan. Jaringan listrik, pipa saluran dan jalur lalu lintas dalam sebuah system jaringan yang tertutup. adalah contoh contohnya. Kapasitas pada setiap jaringan hubungan akan membatasi jumlah arus atau aliran yang melewatinya. Sebagai contoh, sebuah kabel listrik dengan kapasitas 1 ampere akan segera terbakar
2 apabila kita memaksa kabel itu dilewati oleh arus ampere pada tingkat tegangan yang sama. Contoh lain, lalu lintas pada sebuah arus jalan searah akan macet apabila kemampuannya untuk menampung jumlah kendaraan terlampaui. Situasi yang telah dijelaskan oleh kedua contoh di atas merupakan pusat perhatian model aliran maximum yang mempunyai tujuan untuk memaksimumkan jumlah arus yang melewati jaringan hubungan dalam sebuah sistem jaringan. Hal ini tentunya sangat umum terjadi pada bidang bidang transportas, produksi/operasi, komunikasi dan distribusi (veriyen, 212). 2.8 Prosedur Maximal Flow 1. Cari dan temukan path dari titik sumber ke titik lokasi tujuan yang memiliki arah dengan aliran kapasitas yang lebih besar dari nol untuk seluruh segitiga di dalam path. Jika tidak ada path yang tersedia, berarti optimal solution telah tercapai 2. Cari di aliran kapasitas yang paling kecil (S f ) di dalam path yang terpilih di Step 1. Lakukan perubahan di dalam aliran di dalam jaringan dengan mengirimkan sejumlah (S f ). 3. Untuk path yang terpilih di Step 1, kurangkan seluruh arus kapasitas dengan (Sf) di node arah masuk dan tambahkan di arus balik node sebesar (Sf) 4. Ulangi Step 1.
3. Hentikan algoritma, ketika di node arah lebih kecil dari nol. Contoh : Aliran Maximum Iteration 1 : 1 1 2 1 1 2 3 sourse 3 2 1 4 4 1 1 4 7 1 sink 1 3 6 2 2 1 2-7 1 < 3 < 4 Minimum = 1 Kemudian nilai yang ada pada iterasi pada 1, 2,, 7 di kurangi dengan nilai minimum atau dari nilai terkecil yang telah didapat sebelumnya, sehingga mendapatkan hasil.
4 1 3 1 1 3 1 2 7 Iteration 2 : 2 1 1 1 2 1 1 2 2 3 Source 4 1 1 2 1 2 1 1 4 7 1 sink 1 3 6 2 2 1 2-4 - 7 1 < 2 < 2 < 3 Minimum = 1 liter air
Kemudian nilai yang ada pada iterasi pada 1, 2, 4,, 7 di kurangi dengan nilai minimum yang telah di dapat sebelumnya, sehingga mendapatkan hasil. 2 1 2 2 1 1 1 1 2 4 7 Iteration 3 : 2 2 1 1 1 1 2 2 Source 1 1 4 1 7 sink 1 3 1 2 1 1 3 6 2 2 1 3-4 - 7 1 < 1 < 1 < 4 Minimum = 1 liter air Kemudian nilai yang ada pada iterasi pada 1, 3, 4,, 7 di kurangi dengan nilai minimum yang telah di dapat sebelumnya, sehingga mendapatkan hasil.
6 1 3 1 4 1 3 7 3 1 Iteration 4: 2 2 1 1 1 1 2 Source 1 1 1 3 1 2 1 4 7 2 sink 1 1 3 6 2 2
7 1-3 - 4-7 < 1 < 3 Minimum = liter air Kemudian nilai yang ada pada iterasi pada 1, 3, 4, 7 di kurangi dengan nilai minimum yang telah di dapat sebelumnya, sehingga mendapatkan hasil. 1 4 7 2 1 3 1 Iteration :
8 2 2 1 1 2 Source 2 1 1 2 1 4 7 1 2 1 Sink 3 1 3 6 2 2 2 1 3-6 - 7 2 < 2 < 2 Minimum = 2 liter air Kemudian nilai yang ada pada iterasi pada 1, 3,6,7 di kurangi dengan nilai minimum yang telah di dapat sebelumnya, sehingga mendapatkan hasil. 1 7 3 3 6 2 2