BAB 1 PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Teori bilangan merupakan salah satu cabang matematika yang telah lama dipelajari. Pada awalnya, keindahan sifat bilangan atau sistem bilangan merupakan suatu daya tarik tersendiri bagi pakar-pakar matematika dalam mengembangkan konsepkonsep dalam teori bilangan. Salah satu bagian penting dari teori bilangan yang memiliki keindahan ini adalah konsep bilangan prima. Suatu bilangan bulat, n > 1, disebut bilangan prima bila n hanya punya pembagi 1 dan n sendiri. Bilangan prima memiliki keunikan karena sifat-sifatnya yang khas dalam teori bilangan. Sebagai contoh, Teori Fundamental Aritmatika menunjukkan bahwa bilangan-bilangan prima adalah faktor penyusun bilangan-bilangan bulat positif. Setiap bilangan bulat positif dapat dinyatakan secara tunggal sebagai bilangan prima atau hasil perkalian dari bilangan-bilangan prima tanpa memperhatikan urutannya. Semenjak Rivest, Shamir & Adleman (1978) mengenalkan skema kriptografi kunci publik untuk menjaga kerahasiaan dan mengamankan pengiriman pesan, maka pengetahuan dan konsep teori bilangan semakin meluas dimanfaatkan dalam menunjang perkembangan teknologi informasi. Skema kriptografi kunci publik ini bekerja berdasarkan pada sifat-sifat bilangan prima. Kehandalan skema ini bergantung pada kemampuan kita untuk menemukan bilangan-bilangan prima yang sangat besar. Sedangkan tingkat keamanannya bergantung pada ketidakmampuan kita memfaktorkan
2 suatu bilangan bulat positif sebagai hasil perkalian bilangan-bilangan prima yang besar. Sehingga dapat disimpulkan bahwa semakin besar suatu bilangan prima, maka semakin unik pula sifatnya dan akan semakin besar manfaatnya. Oleh karena itu, orang kemudian berlomba-lomba untuk menemukan bilangan prima yang lebih besar daripada yang ditemukan sebelumnya. Metode Lucas-Lehmer merupakan suatu metode uji primalitas yang telah banyak dipergunakan orang untuk mencari bilangan prima yang besar. Sampai saat ini, metode ini masih dipercaya kehandalannya untuk mengenali bilangan prima yang besar tanpa harus memfaktorkan bilangan tersebut. Metode ini menggunakan bilangan Mersenne sehingga lebih cepat dalam prosesnya dibandingkan dengan metode lainnya, seperti metode Pocklington. Bahkan bilangan prima yang terbesar yang berhasil ditemukan pada Februari 2005 kemarin merupakan hasil uji algoritma Lucas-Lehmer. 1.2. Penelitian yang Relevan Penelitian yang relevan dengan skripsi ini adalah skripsi dengan judul Perancangan Program Aplikasi Uji Primalitas Berdasarkan Teorema Pocklington yang nerupakan hasil karya dari Andy Sumantri Harsono. Penelitian tersebut menghasilkan sebuah algoritma pengujian primalitas berdasarkan teorema Pocklington. Penelitian penulis adalah membandingkan penelitian Teorema Pocklington tersebut dengan Teorema Lucas-Lehmer dalam uji primalitas dan menghasilkan sebuah algoritma yang akan membandingkan kedua teorema dari segi waktu dan ketepatan. 1.3. Ruang Lingkup
3 Dalam skripsi ini, penulis akan merancang suatu program uji primalitas yang akan menguji bilangan 1 < n < 1000000000 dan sekaligus membandingkan metode Lucas-Lehmer dengan metode Pocklington dari segi kecepatan dan ketepatan dalam menguji bilangan prima, tapi tidak menghitung error dari masing-masing algoritma. 1.4. Tujuan dan Manfaat Tujuan pembuatan skripsi ini, antara lain: Merancang suatu program uji primalitas dengan metode Lucas-Lehmer. Membandingkan mana yang lebih efisien dan lebih akurat antara metode Lucas-Lehmer dan metode Pocklington dalam hal uji primalitas. Manfaat dari penulisan skripsi ini, antara lain: Bagi mahasiswa matematika: menambah pengetahuan tentang teori bilangan dasar dan tentang teori uji primalitas Lucas-Lehmer. Bagi Universitas Bina Nusantara: menambah bahan kepustakaan tentang teori bilangan, Teorema Lucas-Lehmer dan Teorema Pocklington. Bagi penulis: menambah pengetahuan tentang teori bilangan dan teori uji primalitas serta aplikasi dari teori-teori bilangan, serta merupakan suatu syarat kelulusan jenjang Strata 1 untuk mendapatkan gelar Sarjana dari Universitas Bina Nusantara jurusan Teknik Informatika dan Matematika Bagi masyarakat awam: menambah pengetahuan tentang teori bilangan prima, primalitas, dan aplikasinya. 1.5. Metodologi
4 Metodologi yang digunakan dalam perancangan ini meliputi : 1. Studi Pustaka Metode ini dilakukan untuk memperkuat dasar-dasar teori dan perancangan aplikasi ini. Studi Pustaka dilakukan dengan mencari bahan melalui: a. Buku Buku dijadikan sebagai landasan teori untuk pembuatan aplikasi. Buku yang digunakan dapat ditemukan pada Perpustakaan Universitas Bina Nusantara. b. Internet Internet digunakan untuk mencari teorema-teorema uji primalitas baru, yang digunakan untuk membuat algoritma aplikasi, serta mencari informasi terbaru perkembangan teori bilangan prima. 2. Metode Perancangan Aplikasi Penulis merancang suatu program aplikasi uji primalitas. 3. Metode Analisis Penulis menguji hasil algoritma yang dibuat serta membandingkan dengan algoritma Pocklington. 1.6. Sistematika Penulisan BAB I berisi latar belakang uji primalitas, batasan aplikasi yang akan dibuat, tujuan dan manfaat, serta metodologi.
5 BAB II berisi landasan teori yang digunakan penulis dalam penelitian dan perancangan. BAB III berisi pengembangan teori uji primalitas dan pembuktiannya, serta perancangan algoritma aplikasi. BAB IV berisi perancangan aplikasi serta hasil analisis. BAB V berisi kesimpulan tentang apa yang telah penulis lakukan sebelumnya dan penulis memberi saran-saran kepada pembaca dan peneliti lainnya.