Oleh: Isna Kamalia Al Hamzany 1207 100 055 Dosen Pembimbing : Dra. Laksmi Prita W, M.Si. Dra. Nur Asiyah, M.Si Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya 2011
LATAR BELAKANG Permasalahan dalam Antrian Jumlah pelayan terbatas Jumlah pelanggan semakin banyak Kondisi pelayanan yang semakin lambat dari sebelumnya 1 Jalur Pelayan (Server) Sistem pelayanan yang lambat Sistem tidak segera diubah ke kondisi normal sebelum pewaktu individu habis Pelanggan Meninggalkan Antrian Ketidak sabaran pelanggan terjadi
RUMUSAN MASALAH 1. 2. Bagaimana karakteristik khusus sistem antrian tipe M/M/1 dengan sistem pelayanan fase lambat dan cepat sehingga dapat mengoptimalkan antrian tersebut Bagaimana mensimulasikan bentuk kinerja sistem antrian pada rumusan masalah nomor 1. BATASAN MASALAH Model M/M/c untuk c=1 atau disebut kasus single server Sistem berjalan dalam dua fase yaitu kondisi normal /fase cepat (dinotasikan = 1) dan fase lambat (dinotasikan = 0) Kedatangan pelanggan diasumsikan mengikuti proses Poisson Sistem diasumsikan dalam kondisi tunak (steady state) Tiap pelanggan yang meninggalkan sistem ini, tidak akan kembali lagi Karakteristik khusus dari teori antrian yang diasumsikan terdiri dari jumlah pelanggan dalam sistem, probabilitas (proporsi waktu) server menganggur pada fase cepat dan probabilitas (proporsi waktu) server menganggur pada fase lambat.
TUJUAN 1. Menganalisis dan mendapatkan karakteristik antrian tipe M/M/1 dengan sistem pelayanan fase lambat dan cepat 2. Mensimulasikan bentuk antrian yang didapatkan. MANFAAT Untuk memperoleh pengalokasian waktu pelayanan yang optimal dan memprediksi jumlah pelanggan dalam sistem sehingga dapat meningkatkan pelayanan antrian dan memberikan metode pendukung keputusan, termasuk penetapan biaya dan juga untuk jasa perencanaan di dalam perusahaan.
TINJAUAN PUSTAKA Sistem Antrian Sistem Antrian Teori antrian Disiplin Antrian Struktur Antrian Notasi Kendall First Come First Served Disiplin antrian Last Come First Served Service In Random Order Priority Service
Proses Stokastik Proses stokastik adalah suatu kumpulan/himpunan dari peubah acak dengan T adalah himpunan indeks disebut parameter Space, dan nilai-nilai yang diasumsikan oleh peubah acak X(t) disebut state, dan S adalah ruang sample dari peubah acak, disebut state space.
Proses Poisson Suatu proses stokastik (counting process) jika terjadi sampai pada waktu disebut sebagai proses hitung menunjukkan jumlah banyaknya kejadian yang Maka harus memenuhi :
Sistem persamaan beda diferensial menjelaskan dinamika probabilitas proses input output yaitu : Apabila sistem steady state (t ) maka berlaku, dan Definisi stabilitas Sistem antrian jalur tunggal dengan kapasitas yang tak terbatas disebut stabil jika
Balance Equation Jika antrian kondisi steady state dengan jumlah pelanggan >0 maka terjadi persamaan keseimbangan yaitu : Probability Generating Function
Sifat-sifat Probability Generating Function:
Metode Penelitian Metode yang digunakan pada tugas akhir dalam menyelesaikan permasalahan adalah : 1. Studi literatur 2. Analisis model antrian 3. Penyelesaian karakteristik khusus sistem antrian 4. Simulasi numerik 5. Penarikan kesimpulan
ANALISIS DAN PEMBAHASAN Analisis Model State Space dan Diagram Transisi 1. Keadaan sistem antrian dapat dinyatakan pada proses stokastik dengan parameter waktu kontinu, dan state space bersifat diskrit yaitu 2. Keadaan state pada dua fase lingkungan tersebut dapat ditentukan oleh kondisi berikut ini [8]: 3. Untuk,,laju kedatangannya poisson, laju pelayanannya eksponensial menurun daripada kondisi j=1 dan waktu acak fase cepat ini juga berdistribusi eksponensial( γ) ditambahkan pewaktu individu pelanggan ( ) 4. Untuk,,laju kedatangannya poisson, laju pelayanannya eksponensial a dan waktu acak fase cepat ini juga berdistribusi eksponensial( 5. Sistem antrian berjalan pada kondisi fase yang berpindah-pindah dari fase lambat (j=0) ke fase cepat (j=1) atau dari fase 1 ke 0. 6. Pada saat lingkungan berada fase 0 pelanggan menjadi tidak sabar.
Diagram Transisi Gabungan untuk Antrian Tipe M/M/1 dengan Dua Fase Keadaan:
Analisis Input Output Sistem persamaan beda diferensial yang didapatkan yaitu dan. 1. Sistem persamaan beda diferensial untuk fase lambat (j=0) 2. Sistem persamaan beda diferensial untuk fase cepat (j=1)
, Balance Equation Didefinisikan probabilitas steady state dari proses random (j,l), maka persamaan keseimbangannya Persamaan keseimbangan pada antrian steady state dapat didapatkan dengan dua cara yaitu : a. Dari persamaan beda diferen sial input output dengan dan lim P ( t) P t n n b. Menyusun arus yang masuk dan keluar dari diagram transisi Kedua Cara tersebut menghasilkan persamaan keseimbangan yang sama yaitu sebagai berikut : 1. Persamaan keseimbangan fase lambat untuk n P P P n 1 P untuk n 1 0 0 0n 0 0, n 1 1n 0 0, n 1
2. Persamaan keseimbangan fase cepat untuk P P P P untuk n 1 1 1, 1 1, 1 0 n n n n Didefinisikan sifat persamaan normalisasi(normalization equation) syarat kestabilan sistem antrian jalur tunggal (single server) Dengan menjumlahkan persamaan keseimbangan fase cepat sampai n didapat:
Probability Generation Function untuk fase Lambat
Selanjutnya dengan cara yang sama untuk fase cepat didapat : dengan Dengan mendefinisikan maka PD Linier Tingkat 1
Sebelum menyelesaikan persamaan differensial dari PGF, Maka akan diuji terlebih dahulu. Menentukan faktor pengintegral persamaan difrensial linier tingkat 1 dengan
Lanjutan Maka PGF fase lambat adalah:
Penyelesaian Probabilitas server menganggur pada fase lambat dan cepat Probability generating function pada fase lambat tergantung pada dan Mendapatkan Poo dihasilkan
Jika z=z1 disubtitusikan ke pers. PGf didapatkan: maka Didefinisikan Sehingga didapat :
Dari hasil sebelumnya Karena sudah memenuhi syarat kestabilan dan PGF tergatung pada dan lalu dihasilkan keduanya positif maka sistem telah stabil
. Mendapatkan ekspektasi Pelanggan Diagram Transisi Perpotongan Vertikal Didapatkan persamaan keseimbangan Diketahui sifat PGF
Mendapatkan P10 Jadi Ekspektasi Jumlah Pelanggan dalam Sistem adalah
KESIMPULAN 1. Pada penyelesaian karakteristik khusus sistem antrian dapat diketahui bahwa proporsi waktu server menganggur adalah Pada fase lingkungan lambat (j=0) Pada fase lingkungan cepat/normal (j=1) Ekspektasi jumlah pelanggan dalam sistem
2. Hasil analisa simulasi menunjukkan bahwa semakin besar laju kedatangan, semakin kecil probabilitas server menganggur karena server sibuk melayani pelanggan yang ekspektasi rata-ratanya semakin besar. Akan tetapi apabila semakin besar laju pelayanan, semakin kecil probabilitas server menganggur karena server telah melayani pelanggan dengan cepat sehingga ekspektasi jumlah pelanggan dalam sistem semakin kecil atau berkurang.
DAFTAR PUSTAKA [1]. Abadi, Risky. 2010. Simulasi Antrian Pelayanan Bongkar Muat Kapal Kontainer. Jurusan Matematika ITS, Surabaya [2]. Adan, Ivo dan Resing, Jacques. 2002. Queueing Theory. Departement of Mathematics and computing science Eindhoven University of Technology. The Netherland [3]. Allen, L.J.S. 2003. an Introduction to Stochastic Processes with Applications to Biology. New Jersey: Pearson Education, Inc [4]. Haryono, dkk. 2007. Laporan Modul Ajar: Proses Stokastik. Jurusan Statistika ITS, Surabaya [5]. Hiller, Frederick dkk. 2004. Pengantar Riset Operasi. Erlangga:Jakarta. [6]. Lasono, Eka S. 2009. Model Antrean Perencanaan dan Pengaturan Fasilitas Rawat Inap (Tempat Tidur) di Rumah Sakit. Jurusan Matematika ITS, Surabaya [7]. Nugroho, Reza D. 2009. Analisis Waktu Pelayanan Bongkar Muat dalam Menghadapi Peningkatan Arus Muatan. Jurusan Matematika ITS, Surabaya [8]. Perel, Nir dan Yechiali, U. February. 2009. Queues with slow servers and impatient customers. European Journal of the Operational Research 201 (2010) 247-258