TEKNIK KOMPUTASI TEI 116/A Jurusan Teknik Elektro dan Teknologi Informasi Universitas Gadjah Mada 2011
Why teknik komputasi? Komputasi or computation comes from the word compute that is make a mathematical calculation Komputasi adalah kegiatan mendapatkan penyelesaian atau solusi atas persoalan yang dinyatakan dalam model matematis. Teknik komputasi adalah perangkat ilmu tentang alat (biasanya sebuah komputer), metode (yang disebut algoritma) dan teori (bukti matematis bahwa komputasi memberi hasil yang benar) yang diperlukan untuk melaksanakan komputasi tersebut.
The process of approximating the real world using numerical methods Example: Airbus A380 was modeled entirely on a computer before it was built The Vortex lattice method, (VLM) models the lifting surfaces, such as a wing of an aircraft, to compute lift and induced drag. SPICE to simulate a circuit on a PC
The model What is model? A simplified representation of a reality Categorized into iconic, analogue, or mathematical model Reality (natural phenomenon) is described by a mathematical model, usually by a differential equation. Example: An engineer must use the most appropriate model, not the best model Einstein's general theory of relativity is the best model to describe motion, but for some cases, Newton's laws of motion are more than sufficient, no employer will pay for a solution which has unnecessary precision.
The implementation An engineer uses various algorithms to implement a model on a computer. This class covers many of the introductory algorithms used at this stage.
Simulation The executions of our simulations take measurements from the real world and produce an approximation of the real world. If we make judicious choices of the model, the algorithms used, and appropriate measurements, the approximation of the real world will be sufficiently good to satisfy the stated requirements. Errors in any of these steps can easily produce an invalid or poor representation of the real world which does not satisfy the given requirements.
Sources of Error There are a number of sources of error which may result in a poor approximation: Modeling Error: A wrong or inappropriate choice of model. Measurement Error: Incorrect or poor measurements. Implementation Error: Incorrect or poor choice of algorithms. Simulation Error: Error accumulated due to the execution of our model. Hence, we will discuss appropriate algorithms which can be used to properly approximate our chosen models.
Contoh 1 Diketahui fungsi f(x)=4 2x 2 Carilah luas wilayah yang dibatasi f(x), sumbu x, dan garis x= 1 dan x=1.
Jawab: Solusi untuk contoh 1 Jika luas wilayah yang akan dicari dinyatakan dengan g(x), maka Sehingga g( x) ( 2 ) 3 1 = 4x x 3 1 2 g( x) = 4 2x dx 1 ( 2 ) = 4(1 ( 1)) (1 ( 1)) 3 = 4(2) 2 (2) 3 = 8 4/3 = 24/3 4/3 = 20/3 1 Dengan menerapkan teknik pengintegralan, diperoleh solusi analitik dalam bentuk fungsi matematik Nilai numerik (numerik=angka) yang merupakan solusi sejati (exact solution)
Bagaimana komputer memberikan solusi atas problem di atas? Metode analitik (analytical method)= metode sejati = metode yang memberikan solusi sejati/solusi sesungguhnya (exact solution), yaitu solusi yang memiliki galat (error)=0. Ketika metode analitik sudah tidak mampu lagi menyelesaikan permasalahan, digunakan metode numerik (numerical method) yang memberikan solusi hampiran/pendekatan (approximate solution) dimana galat 0. Galat solusi hampiran ini dibuat sekecil mungkin hingga mendekati nol sehingga solusi hampiran akan makin mendekati solusi sejatinya dan mempunyai ketelitian yang tinggi
Perbedaan Metode Analitik dan Metode Numerik Metode Analitik Solusi dapat berbentuk fungsi matematik yang evaluasinya dapat menghasilkan angka Solusinya berupa nilai sejati (tidak mengandung galat) Metode Numerik Solusi selalu berbentuk angka Solusinya berupa nilai hampiran/nilai pendekatan (mengandung galat)
Metode numerik yang digunakan komputer untuk contoh 1 Komputer menggunakan metode numerik untuk memberikan solusi hampiran. Untuk permasalahan pada contoh sebelumnya: Diketahui fungsi y(x)=4 2x 2, carilah luas daerah yang dibatasi y(x) pada range x=[ 1,1]. Solusi numerik dapat dicari dengan mencari luasan dibawah kurva y(x) terhadap sumbu x (atau y(x)=0) dengan aturan trapesium.
Metode numerik yang digunakan komputer a b c d untuk contoh 1 (lanjt.) a,b,c,d adalah luasan trapesium. Hasil integral adalah jumlah luasan trapesium, L. Contoh: a = jumlah dua sisi sejajar x ½ lebar trapesium = (y( 1)+y( 0.5)) x ½ (0.5) = (2+3.5) x 0.25 = 1.375 Bagaimana dengan b,c,d? Berapa nilai L yang diperoleh? Bandingkan dengan solusi sejatinya, berapa galat yang terjadi?
Kesimpulan tentang teknik komputasi Solusi hampiran untuk masalah ini dapat ditingkatkan ketelitiannya dengan memperbanyak jumlah trapesium yang berarti lebar trapesium diperkecil. Cobalah dengan 8 trapesium. Bagaimana pengaruhnya terhadap galat yang terbentuk? Bagaimana jika 100 atau bahkan 1000 trapesium? Jadi, yang harus diusahakan dalam teknik komputasi adalah menghindari terjadinya kesalahan karena galat yang terlampau besar.
Next, we will study about computer arithmetic and error analysis About the references of this lecture Chapra, Steven C. Numerical Methods for Engineers 5 th Edition. An on line resource at https://ece.uwaterloo.ca/~dwharder/numericalanalysis/ Other resources
Assessment As usual, there will be some components, i.e. Final exam Mid term exam Quiz and individual assignments