Modul II Limit Kosep it merupk sutu kosep dsr yg petig utuk memhmi klkulus dieresil d itegrl Oleh kre itu seelum kit mempeljri leih ljut tetg klkulus diresil d itegrl, mk kit terleih dhulu hrus mempeljri d memhmi kosep it secr ik Limit Fugsi Sutu ugsi riil y=) diktk mempuyi it l pd = il utuk semrg ilg > gim pu kecily) terdpt ilg >, sedemiki rup sehigg ) l < utuk - < Secr ilmu ukur dpt digmrk segi erikut: Y=) l+e l-e y l X -d +d X ) dideiisik pd << - < -<<+ y-l < l-<y<l+ Deiisi dits deg sigkt ditulis ) Limit 7
Berrti ) il Dlm klkulus d pegguy kit serig tertrik k ili-ili ) jik dekt sekli deg sutu ilg, tetpi tidk perlu sm deg pd keyty serig dijumpi hw ilg tidk terdeiisi Secr sigkt kit peljri gim pergi ) jik medekti tetpi pkh ugsi ) medekti sutu ili l Jik jwy y, mk dpt ditulis : ) Pedekt Istilh-istilh medekti, didekti d pedekt kit tiju dri du rh yitu dri kiri d dri k Misl : didekti dri dri kiri) didekti dri dri k) Jdi ditiju dri itervl/selg tertutup, dim mewkili slh stu ili R didekti - dri kiri didekti + dri k Bil ditiju dri itervl teruk -<<+ dim dimil ilg positi yg kecil Titik-titik pd sumu disekitr yg ditsi -)<<+) itu diseut derh : { -<<<+, R} Derh itu dlh itervl dri domi sutu ugsi/wilyh ugsi Jug msih dpt diedk Derh kiri deg itervl -< Derh k deg itervl <+ Secr Umum kit ytk Derh dri ) sekitr = ilh Limit 8
{ -<<+; R} Derh kiri ilh { -<; R} Derh k ilh { <+; R} Klu dierik ugsi )=, mk utuk medekti, ugsi k erili ) = = = 8 Klu dikethui ), mk utuk medekti, ugsi k erili: 7 peryt megdug rti Utuk mejelsk kosep it ugsi dri sutu ugsi d empt eleme yg hrus diperhtik: Vriel es Fugsi, ) tu vriel terikt y=) Kostt l Kostt Dri ke empt eleme itu kit igi mecri erp ili yg medekti vriel terikt y=) il vriel es medekti ili tertetu, ktk Peryt vriel es medekti ili tertetu kostt ) merupk sutu it, il ili vriel eruh-uh sedemiki rup sehigg selisih solut d - ) mejdi leih kecil dripd ilg yg positi yg telh ditetuk terleih dhulu Peryt medekti dilmgk deg Jdi, jik ili l, ketik medekti, tetpi, mk l dlh it dri ), ketik medekti Hl ii dpt ditulis: ) = l tu ) l ketik Limit 9
Dlm cotoh dits 8, ii errti ) medekti 8, ketik medekti, tetpi tidk mecpi Limit Kiri d Limit K Jik medekti dri kiri, mk ditulis Jik medekti dri k, mk ditulis +, Secr it kedu peryt ditulis segi erikut: Lim ) d, errti ugsi memiliki it kiri - Lim ) d, errti ugsi memiliki it k + Lim ) d, errti ugsi memiliki it kiri d it k d d sm Cotoh: Dikethui : ) = ; jik ; jik > Tijulh ) disekitr titik = Peyelesi: ) = = - - ) = = + + ++ ) tidk d, kre it kiri it k Teori Tetg Limit Teori tu sutu sit dri sutu it dpt memtu kepd kit dlm pecri ili it dri sutu ugsi, jik d Berikut ii k disjik sit-sit it ersert cotoh-cotohy: Limit dri sutu kostt k dlh k itu sediri, jik )=k; k=kostt ) = k ; R Limit
Cotoh: = Sutu kostt dpt dipidhk kemli diseelh kiri td it k ) = k ) Cotoh: = = ) = Limit dri sutu pejumlh tu pegurg dlh pejumlh tu pegurg dri it-it terseut [)g)] = ) g) Jik )=A d g)=b mk [) g)] = ) g) = A B Cotoh: ++) = + + = +)+ = 9++ = Limit dri sutu hsil kli dlh perkli dri it-it terseut [)g)] = ) g) Jik )=A d g)=b mk [) g)] = ) g) = AB Cotoh: +)-) = +) + -) = +)-) Limit
= ) = Limit dri sutu hsil gi dlh hsil gi dri it-it terseut, il pemgiy tu peyeuty uk ol Jik mk Cotoh : g ) g ) ) ) ) A,d ) \ g ) ) g ) ) ) g ) A, jikb B ) ) 7 B, 7 Limit dri sutu pgkt dri ) dlh pgkt dri it ) itu Jik Cotoh : ) ) ) ) A,mk ) ) ) A 9 7 Limit kr dri sutu ) dlh kr pgkt dri it ugsi terseut Bil ) ) ) A,dlh ilg ) A,mk ) Reel A, jik Limit
) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) : 9 9) ) 9 : 9 Beerp cotoh Cotoh 7) ) ) ) ) ) ) ) ) 9 ) ) ) 8 ) ) ) 7 8 ) ) ) Perlus teori d utuk it dri sejumlh erhigg ugsi dierik pd rumus erikut: Jik i ) = Li, i =,,,, mk: Limit
L ) Khususy, L L L ) ) ) L L L ) ) ) Ltih Sol Hituglh it ugsi erikut ii: 7 9 9 8 7 9 Limit Tk Higg d Limit Di Tk Terhigg Limit tk higg Jik dlh sutu ugsi yg tk terdeiisi pd selg itervl teruk yg memut keculi mugki pd sediri, dpt terjdi ksus dim ili ugsi, ) memesr tp ts tu megecil tp ts utuk iliili yg cukup dekt ke Cotoh: Perhtik ) = yg gmr griky segi erikut: X Y Limit
) - - - - Nili ) k semki esr tp ts ilm mki dekt ke dri rh positi seelh k ) Dlm ksus ii kit ktk hw: ) Nili ) k semki megecil ilm medekti ke dri rh egti dri seelh kiri) Dlm ksus ii kit ktk hw: ) Deg demiki secr umum: Fugsi y=) diktk memesr tp ts +), ilm medekti d ditulis ) ),tu :,utuk : jik utuk setip > terdpt > Fugsi y = ) diktk megecil tp ts, ilm medekti d ditulis : ) ),tu :,utuk : Jik utuk setip > terdpt > sedemiki rup sehigg < - < Ctt: Ad, mk it kiri d it k d, sehigg it kiri=it k Tidk Ad - Limit kiri d, it k d, tetpi it kiri it k - Limit kiri tu it k dlh it tk erhigg Limit
Rumus diwh ii merupk dsr utuk meghitug it tk higg Jik ilg sli, mk: ilm gep, ilm gjil Dri kedu rumus terseut dpt disimpulk,ilm gep Limit Di Tk Terhigg Jik dlh sutu ugsi yg terdeiisi pd selg [,+ ] dpt terjdi sutu ksus dim ili-ili ) k medekti sutu ili tertetu l ilm vriel memesr tp ts +) Ksus yg sm dpt jug terjdi pd ugsi yg terdeiisi pd selg itervl [-,] yitu ili-ili ) k medekti sutu ili tertetu l, ilm vriel megecil tp ts -) Kedu ksus dits erturut-turut kit ytk deg simol ),d ) Teorem Limit Di Tk Higg Bil d g msig-msig dlh ugsi yg terdeisi pd itervl teruk [,+] deg ) A,d g ) B Limit
, :, :, ) ) ) : t, ) :, ) ) ) ) X d X mk Jik sutu ilg sli deg digti jug ilm Rumus dits erlku B il B A g ka k mk kos k k g ilm Khususy AB g B A g B A Beerp Cotoh: 9 9 9 7 7 7 7 7 7 Limit 7
Sol Ltih Beerp Limit Fugsi Yg Istimew e e e l l ilg riil k, 8 7 seelh k di hy d l grik it k, hy d Disii l k e X ) Beerp Cotoh: Limit 8
misl : y,tu :,mk : y,il : y e e e y y y y l e y y Limit Trigoometri Limit trigoometri merupk it yg megdug etuk trigoometri, seperti sius, cosius d tge Stu rumus yg plig dsr dlm it trigoometri dlh: si, d si tg, d tg Dri rumus ii dpt dituruk sejumlh rumus dlm it trigoometri si si tg tg si si tg tg si si tg si si tg c si d c d Limit 9
Beerp Cotoh: si si si ) tg tg tg si Jik t tg si cos misl t mkt si t t tg tg sec sec 8 8 tg tg tg 8 tg Sol Ltih Si tg sec si 7 cos cos si si 7 Kotiuits Fugsi Deiisi: Seuh ugsi y=) diktk kotiu pd =, jik utuk sutu ilg > gimpu kecily), dpt ditemuk ilg > sedemiki rup sehigg )-)< utuk - < Deg perkt li ) kotiu pd = il ketig syrt-syrt diwh ii dipeuhi: ) terdeiisi Limit
) d ) = ) Y ε ) δ X Persyrt ii megdug rti hw seuh ugsi hy mugki kotiu pd titik yg terkdug dlm derh deiisiy Seuh ugsi yg kotiu di setip titik dlm sutu itervl/selg diseut kotiu dlm itervl terseut Artiy sutu ugsi ) diseut kotiu didlm sutu itervl, jik ugsi terseut kotiu disetip titik dri itervl terseut Apil seuh ugsi yg ggl memeuhi slh stu dri tig syrt terseut dits dlh sutu ugsi yg diskotiu Jik ) = ), mk ) diseut kotiu di seelh k pd = + Jik ) = ), mk ) diseut kotiu di seelh kiri pd = - Deg demiki dpt diktk ) kotiu, il kotiu diseelh kiri d kotiu diseelh k Sit-Sit Fugsi Kotiu Jik ) d g) kotiu di titik = mk )g); ) g) d ) g ) kotiu pul utuk g) Poliom dlm kotiu utuk semu hrg Fugsi rsiol dri kotiu utuk semu hrg, keculi utuk yg memerik hrg ol pd peyeut Jik ) kotiu dlm itervl d jik ) ), mk utuk semrg ilg c tr ) d ) k terdpt plig sedikit stu hrg mislk = o yg memerik o )=c Limit
Y ) c ) Y ) X X ) Jik ) kotiu dlm itervl, mk ) k mempuyi ili teredh m d ili tertiggi M dlm itervl terseut Y M Y M m m X X Beerp Cotoh Jik ugsi mempuyi persm ) = ; jik ; jik =- Selidikilh kotiuits ugsi terseut Peyelesi: ) = - ) -) ) - Limit
Berrti ) tidk kotiu diskotiu) pd =- Dierik ugsi g dierik deg persm g)= - + Si Apkh ugsi g) kotiu di titik = Peyelesi: g) = ) - + )) = + = Lim ) = - + Si = ) + = g) = ) Berrti ugsi g) kotiu pd = Dierik ugsi mempuyi persm erikut: ) = - ; Jik ; Jik = Selidikilh kotiuits ugsi terseut d gmrk griky Peyelesi: ) = - = - ) = - = + ) ) ) diskotiu di titik = Limit
Sol Ltih Dierik ugsi deg persm ) = +) ; utuk < -) ; Jik Tetuk ) d ) - + Apkh ) d Selidikilh pkh ) kotiu di = ) Dierik ugsi deg persm ) = ; Jik -) ; Jik Perikslh kotiuits ugsi terseut Selidikilh kotiuits ugsi erikut: 9 ; Jik ) = ; Jik = Selidikilh kotiuits ugsi y Utuk = d gmrk griky! Dierik ugsi deg persm ; Jik ) = ; Jik Selidikilh kotiuits ugsi terseut d gmrk griky! 8 Betuk Tk Tetu d Atur L Hospitl Limit deg etuk tk tetu dlh it deg etuk meghitug it terseut diguk tur L Hospitl ; ~ ~ Utuk Limit
Betuk deg tur L Hospitl, il dlh sutu ilg ) g ), mk ) d g) dideeresilk de g) utuk setip pd selg < - < d g, mk g L Ad tu Tk erhigg) Cotoh : 8 8 ) 7 Betuk Bil L Ad) g g Cotoh: 8 l Betuk di ts sutu etuk ) Limit