BAHAN AJAR PERKULIAHAN KALKULUS PROGRAM KOMPETENSI GANDA DEPAG S1 KEDUA PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

Transkripsi

1 BAHAN AJAR PERKULIAHAN KALKULUS PROGRAM KOMPETENSI GANDA DEPAG S KEDUA PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA Oleh: Drs. Ed Ded, M.Si. Dr. Ed Ch, M.Si. JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA 8

2 Miu ke Mteri : I :. Sistem Bil Rel. Pertidksm. Sistem Bil Rel URAIAN POKOK PERKULIAHAN Lm-lm ku utuk himpu-himpu il, itu: R il rel Sit Lp N Z Q il sli il ult il rsiol,,3, 4,......,-, -,,,,3, 4,... Opersi pejumlh d perkli pd R memeuhi sit lp tu sit med il rel. Adpu sit lp il rel dlh sei erikut: Utuk setip,,z R, erlku. Sit komutti + = +. =.. Sit sositi + ( + z) = ( + ) + z (z) = ()z 3. Sit distriuti kli terhdp tmh ( + z) = + z 4. Usur kestu Terdpt usur (usur kestu tmh tu usur ol) d (usur kestu kli tu usur stu) memeuhi + = + = d. =. = 5. Usur lik (ivers) (i) Utuk setip R, terdpt - R sehi + (-) = (- lw dri ) (ii) Utuk setip R, terdpt R sehi. - = ( - kelik dri ) Deiisi (Peur d Pemi Bil Rel): Mislk, R. () Peur dri il rel de ditulis dideiisik de = + (-)

3 () Pemi dri il rel oleh ditulis : dideiisik de : Teorem ( Sit-sit Aljr Elemeter Bil Rel): Mislk,, dlh il rel. () Jik =, mk + = + d = () Jik + = +, mk = () Jik = d, mk = (d) (-) = (e) ( ) =, () ( ) = (). =. = (h) (-) = (-) = -, khusus (-) = - (i) (-)(-) = (j) Jik =, mk = tu = (k) Jik, mk d =,, d (l) d. d d, d, d Sit Urut pd Bil Rel Deiisi: Dierik, R. () < errti positi tu > errti tu 3 errti tu positi Aksiom(Aksiom urut): () Jik R, mk slh stu dri pert-pet erikut erlku: =, positi, tu eti. () Jumlh du il rel positi dlh il positi (3) Perkli du il rel posit dlh il positi Teorem (Sit-sit Urut) : Dierik,, z, R. () Jik < d < z, mk < z (Sit Trsiti) () Jik <, mk + < + (Sit Pemh) (3) Jik < d >, mk < (Sit Perkli) (4) Jik < d <, mk > (Sit Perkli)

4 . Pertidksm Pertidksm dlh huu mtemtik medu td slh stu dri <, >,,, d sutu vriel. Semu himpu il rel memeuhi pertidksm dimk himpu peelesi. Himpu peelesi sutu pertidksm dpt ditulisk dlm etuk otsi himpu tu dlm otsi itervl. Deiisi (Itervl Terts):, R ( ), R [ ], R ( ], R [ ) Deiisi (Itervl Tk Terts):, R (, R [, R ), R ], R R Perlu diit hw lm errti memesr tp ts d lm errti meeil tp ts Atur Umum Meetuk Td Pertidksm Utuk pertidksm terdiri dri sejumlh erhi ktor lier di rus kiri de rus k ol, td dpt ditetuk de r erikut: Tetpk td dri sutu itervl i. Bil melitsi ili ts ersl dri ktor lier erpkt il jil, mk td itervl i erikut eruh. Bil melitsi ili ts ersl dri ktor lier erpkt il ep, mk td itervl i erikut tetp.

5 Miu ke Mteri : II :. Nili Mutlk 3. Fusi d Opersi URAIAN POKOK PERKULIAHAN. Nili Mutlk Deiisi (Nili Mutlk): Nili mutlk dri il rel, ditulis, dideiisik sei Arti eometri dlh jrk dri ke pd ris il diperlihtk pd mr erikut ii.. < = - = -,, Teorem (Sit-sit Nili Mutlk) :. Utuk setip il rel d erlku jik d h jik d. Jik, mk. jik d h ji k d. jik d h j ik tu, d 3. Utuk setip il rel d erlku Utuk setip il rel d erlku ( ). ( ), d.

6 . Fusi d Opersi Deiisi (Fusi sei ps terurut): Mislk A d B himpu-himpu tidk koso. Sutu usi dri A ke B ditulis : A B dlh himpu ps terurut A B sehi (i) utuk setip A, d B erlku (, ) (ii) Jik, d,z, mk z Deiisi (Fusi sei pemet): Mislk A d B himpu-himpu tidk koso. Sutu usi dri A ke B ditulis : A B dlh sutu tur memsk setip A de tept stu ot B. Deiisi : Dierik, dlh usi d suitu kostt. Fusi-usi +, -,,., d utuk setip D D dideiisik sei i ii iii iv. v, vi Deiisi (Pet d Prpet): Dierik = () sutu usi. (ii) Jik D, mk () diseut pet dri (ii) jik R, mk himpu D diseut prpet dri, ditulis Deiisi (Pet d Prpet Sutu Himpu): Mislk sutu usi. (i) Jik A D, mk himpu ( A ) ( ) A diseut pet dri himpu A. (ii) Jik B R, mk himpu ( B ) D ( ) B diseut prpet dri himpu B.

7 Deiisi (Fusi Komposisi o ): Mislk d dlh usi de R D. Terdpt usi dri himpu i D ke himpu i R. Fusi ii diseut komposisi dri d, ditulis o (di udr ) d persm ditetuk oleh ( o ) () = ( () ) Derh sl o dlh prpet D o Derh ili o dlh pet R o R D R D terhdp, ditulis R D D R D terhdp, ditulis ( ) R R D D o Deiisi (Fusi Idetits): Dierik i sutu usi dri A ke B. Jik i() = utuk setip usi i diseut usi idetits di A. A, mk Deiisi ( Fusi Ivers ): Mislk sutu usi dri A ke B. Jik terdpt usi dri R ke A sehi (()) = i() = utuk semu A, mk diseut usi ivers utuk d ditulis = -. Perlu diperhtik hw: () Peulis - metk usi ivers utuk, uk errti () Jik usi ivers utuk, mk D = R, se dideiisik oleh Teorem (Keerd Fusi Ivers) : Jik usi stu-stu, mk (i) usi ivers - d, d (ii) R D

8 Miu ke Mteri : III :. Limit Fusi. Sit-sit Limit Fusi. Limit Fusi URAIAN POKOK PERKULIAHAN Deiisi ( Limit Fusi di Stu Titik ): Mislk usi terdeiisi pd sutu sel teruk I memut = keuli muki di sediri. Limit usi utuk medekti dlh L,, L R ditulis ( ) L jik utuk setip il > terdpt sutu il > sehi erlku ( ) L ε slk δ tu. Sit-sit Limit Fusi ( ) L > > δ ( ) L ε Teorem : Dikethui il ult positi, k sutu kostt, d usi d msi-msi mempui it di, mk () Jik ( ) L d ( ) M mk L = M ( Ketul it usi ) () k k (3) (4) k. ( ) k ( ) (5) [ ( ) ( )] ( ) ( ) (6) [ ( ) ( )] ( ) ( ) (7) ( ). ( ) ( ). ( ) (8) (9) ( ) ( ) ( ) slk ( ) ( ) [ ( )] ( ) () ( ) ( ) slk ( ) utuk ep (). Jik ( ) L mk ( ) L. Jik ( ) mk ( )

9 Teorem ( Teorem Peti ): Jik sutu usi poliom tu usi rsiol mk ( ) ( ) ili peeut di tidk ol utuk usi rsiol. slk Deiisi (Deiisi Limit Sepihk): Dierik usi terdeiisi pd sel uk I = (,). () Limit usi utuk medekti dri seelh kiri dlh L, ditulis ( ) L il utuk setip il > terdpt il > sehi jik δ erlku ( ) L () Limit usi utuk medekti dri seelh k dlh L, ditulis ( ) L il utuk setip il > terdpt il > sehi jik δ erlku ( ) L ε Teorem (Huu Limit Fusi de Limit Sepihk): Fusi terdeiisi pd sel uk I memut =, keuli muki di sediri. Fusi diktk mempui it di = jik (i) ( ) d ( erhi ); (ii) ( ) d ( erhi ); d (iii) ( ) = ( ) Miu ke Mteri : IV :. Limit Tkhi d di Tkhi. Kekotiu Fusi URAIAN POKOK PERKULIAHAN. Limit Tk Hi d Limit di Tk Hi Limit Tk Hi Deiisi: Dierik usi terdeiisi pd sel teruk I memut keuli muki di sediri. Limit usi utuk medekti sm de, ditulis ( ) jik utuk setip il esr M > terdpt sutu il > sehi il δ erlku () > M, tu ditulis de meuk lm sei erikut M > > δ () > M.

10 Deiisi: Derik usi terdeiisi pd sel teruk I memut keuli muki di sediri. Limit usi utuk medekti sm de -, ditulis ( ) jik utuk setip il keil N < terdpt sutu il > sehi il δ erlku () < N, tu ditulis de meuk lm sei erikut N < > δ () < N. Deiisi : () Limit Kiri ( ) ( ) M N δ δ δ δ ( ) ( ) M N () Limit K ( ) ( ) M N δ δ δ δ ( ) ( ) M N Teorem : () () () r r r r utuk r il sli utuk r il ep positi, d utuk r il jil positi utuk r il ep positi Teorem : Dikethui usi h terdeiisi pd sel teruk I memut keuli muki di sediri, de ( ) L d ( ). () Bil L > d () > mk h( ) () Bil L > d () < mk h( ) () Bil L < d () > mk h( ) (d) Bil L < d () < mk h( )

11 Limit di Tk Hi Deiisi : Dikethui usi terdeiisi pd sel (, ). Jik () medekti sutu ili L R utuk memesr tp ts, ditk de lm ( ) L Arti, jrk () ke L dpt diut sekeil muki de r memil ukup esr itu leih esr dri sutu il positi tertetu, tu ε M M ( ) L ε Ser sm, dideiisik pul usi terdeiisi pd sel (-, ) sei erikut ( ) L jik utuk setip > terdpt sutu N < sehi il < N erlku ( ) L ε tu ε N N ( ) L ε Teorem : () r, r il sli () r, r il sli Asimtot Deiisi : () Gris = diktk simtot dtr dri rik usi il ( ) d ( ) () Gris = diktk simtot tek rik usi il pli sedikit stu dri srt erikut dipeuhi.. ( ). ( ) 3. ( ) 4. ( ). Kekotiu Fusi di Stu Titik Deiisi :. Dikethui usi terdeiisi pd sel teruk I memut. Fusi diktk kotiu di jik ( ) ( ). Dierik usi terdeiisi pd sel tertutup I = [,]. () Fusi diktk kotiu kiri di il ( ) ( ) () Fusi diktk kotiu k di il ( ) ( )

12 Kekotiu Fusi pd Sutu Sel Deiisi:. Fusi diktk kotiu pd sel teruk (,) jik usi kotiu di setip titik pd sel (,).. Fusi diktk kotiu pd sel seteh teruk tu seteh tertutup (,] jik usi kotiu pd sel teruk (,) d kotiu kiri di. 3. Fusi diktk kotiu pd sel seteh teruk tu seteh tertutup [,) jik usi kotiu pd sel teruk (,) d kotiu k di. 4. Fusi diktk kotiu pd sel terutup [,], jik usi kotiu k di,kotiu pd sel teruk (,), d kotiu kiri di. Teorem : () Jik usi d kotiu di, mk usi +,,., d de () kotiu di () Jik usi d kotiu pd sutu sel I, mk usi +,,., d de () kotiu di utuk semu I () Fusi suku k, usi poliom, usi rsiol, d usi trioometri kotiu pd derh deiisi. (d) Jik usi kotiu di d usi kotiu di () mk usi komposisi o kotiu di Miu ke Mteri : V :. Turu d Atur. Turu d Atur URAIAN POKOK PERKULIAHAN Mslh Grdie Gris Siu Deiisi :. Adik usi terdeiisi pd sel teruk I memut, rdie (kemiri) ris siu pd kurv di titik (, ()) dlh: m ( h) ( ) h h sl it ii d

13 . Mislk m dlh rdie ris siu pd kurv di titik (, ()) mk persm ris siu pd kurv di titik terseut dlh: ( ) m( ) 3. Mislk terdeiisi pd sel teruk I memut, jik m dlh rdie ris siu pd kurv di titik (, ()) dim m m t m d l dlh ris siu di titik P. h se Mslh Keept Sest l horizotl jik d h jik l vertikl jik d h jik m m m t m h m t m h se se = d Deiisi : Mislk seuh ed ererk sepj ris lurus, jik posisi ed pd st t ditetuk oleh S= (t) mk keept rt-rt ed selm sel wktu t=, smpi t= +h dlh Keept rt - rt V rt rt ( h) h ( ) = d keept sest ed pd st t= dlh ( V V h rt rt h h) h ( ) Peerti Turu Deiisi : Mislk usi terdeiisi pd sel teruk I memut. Turu pertm usi di = ditulis () dideiisik de: '( ) ( h) ( ) h h slk it ii d. diseut usi turu pertm dri usi sl, ili dri utuk ser dlm I dlh () de '( ) ( h) ( ) h h sl it ii d. Domi dri usi dlh semu ili dim it dits d Turu Sepihk Deiisi :. Mislk usi terdeiisi pd sel seteh teruk (t,], ili turu kiri usi di = ditulis ' ( ) dideiisik de ( h) ( ) ' ( ) slk it ii d h h

14 . Mislk usi terdeiisi pd sel seteh teruk [,t), ili turu k usi di = ditulis ' ( ) dideiisik de ( h) ( ) ' ( ) slk it ii d h h Huu Keterdieresil de Kekotiu Teorem (Keterdieresil mekitk kekotiu): Mislk usi terdeiisi di sekitr, jik () d, mk kotiu di Fusi Turu pd Sel Tertutup Deiisi: Fusi diktk mempui turu pd sel tertutup I=[,], jik d h jik () d utuk setip (,), + () d d - () d Rumus-rumus Turu Teorem :. Jik ( ) (sutu kostt) utuk semu, mk '( ) utuk semu, itu: D ().. Jik ( ),, mk '( ), itu D ( ) 3. Jik il ult positi d D ( ) ) ( mk '( ) tu 4. Jik d dlh usi terdeeresilk, d dlh kostt rel, mk D ( ) ( ) D ( ) D ( ). 5. Jik d msi-msi dlh usi terdeeresilk di mk dlh terdeeresilkm di, d D ( ). ( ) '( ). ( ) ( ). '( ) ( ) D ( ) ( ) D( ) Jik u () d v () hsil kli di ts eretuk: D ( uv) udv vdu tu ( uv )' u' v uv' 6. Jik terdeeresilk di d () mk D '( ) ( ) ( ) tu D D 7. Jik d terdeeresil di d () mk / terdeeresil ( ) D( ( )). ( ) ( ). D( ( )) di, d D, tu ( ) ( ) u u' v uv' Bil u () d v () mk v v '

15 Miu ke Mteri : VI :. Atur Rri. Turu Tikt Tii 3. Peuru Implisit URAIAN POKOK PERKULIAHAN. Atur Rti d d du Persm. ii dimk tur rti, erlku utuk du d du d usi terdeeresil (u) d u (). Betuk li dri peulis tur rti utuk kedu usi di ts dlh sei erikut D D D u u. Teorem: Adik hw terdeeresilk di d terdeeresilk di (), mk usi komposisi h dideiisik de h ( ) ( ) terdeeresilk di d turu dlh h '( ) D ( ) ' ( ). '( ) Atur Pkt Diperumum Teorem : r r Jik r dlh il rsiol, mk D ( ) r ( ). '( ) dim terdeiisi d terdieresil.. Turu Tikt Tii Mislk usi terdeiisi pd sel teruk I d I * ={ I / '( ) d}. Kre '( ) dideiisik mellui proses it tul, mk utuk setip I * terdpt tept stu ili '( ). Ii mekitk peit tr I * k de '( ) R merupk sutu usi. Jik d utuk k,,...,, mk usi turu kedu, keti, d seterus dideiisik de r sm seperti usi turu pertm mellui proses it. Yki: ' h ' "( ) h il it ii d h "( h) "( ) '''( ) h il it ii d h

16 ( ) ( h) ( ) ( ) h h il it ii d Lm diuk: "( ) d '( ) d rti turu ke dri usi '''( ) d "( ) d rti turu ke 3 dri usi d ( ) ( ) d rti turu ke dri usi Lm turu ke dri sutu usi () dpt ditulis dlm etuk: ( ) tu ( ) ( ) tu d d tu D D ( ) tu 3. Peuru Implisit Fusi diotsik de =() metk sei peuh es d sei peuh tk es, tu de kt li peuh ditk dlm ser eksplisit, itu sei usi dri. Beerp usi tidk ditk ser eksplisit t t Persm-persm seperti otoh di ts dlh usi ditk ser implisit. Miu ke Mteri : VII :. Dieresil. Mksimum d Miimum Mutlk 3. Mksimum d Miimum Mutlk Relti URAIAN POKOK PERKULIAHAN. Dieresil Deiisi: Mislk usi mempui persm = () mempui turu d '( ). Dieresil dri diotsik de d d dieresil dri d diotsik de d, dideiisik sei d '( ) d d dim metk pertmh ser dri.

17 De kosep dieresil ii kit dpt meederhk etuk-etuk rumus turu. Mislk u d v dlh du usi terdieresil mk erlku: Fusi =k =ku =u+v =u.v u v u d d Derivtive d d d d d d d d v( du dk d k du d Dieresil d ( ku) d(k)= k du du dv d ( u v) du dv d d dv dv d ( u. v) udv vdu u v d d / d) u( dv/ d) d ( u) vdu udv v v v d( u ) u du d( u ) u du d d. Mksimum d Miimum Mutlk (Glol) Deiisi (Nili Miimum d Mksimum):. Jik dlm itervl tertutup [,], mk () diktk ili miimum dri () pd [.] jik ( ) ( ) utuk semu dlm [,].. Jik d dlm itervl tertutup [,], mk (d) diktk ili mksimum dri () pd [.] jik ( ) ( d) utuk semu dlm [,]. Teorem (Sit Nili Miimum d Mksimum): Jik usi kotiu pd itervl tertutup [,], mk terdpt ili d d dlm [, ] sehi () dlh ili miimum d (d) ili mksimum dri pd [,]. Deiisi: Mislk sutu usi de domi D. () diktk ili mksimum mutlk tu ili mksimum lol dri pd D jik ( ) ( ) utuk semu dlm D. Ser sikt, () merupk ili teresr dri pd D.

18 Teorem (Mksimum d Miimum Mutlk): Mislk hw () dlh ili mksimum mutlk (tu miimum mutlk) dri usi kotiu pd itervl tertutup [,]. Mk dlh titik kritis dri tu slh stu dri titik-titik uju d. Cr meri ili mksimum d miimum (mutlk) dri usi pd itervl tertutup [,] sei erikut.. Meri titik-titik kritis dri : titik-titik itu diperoleh dri '( ) d '( ) tidk d.. Dtrk ili-ili dri mehsilk ekstrim dri muki: kedu titik uju d d titik-titik kritis terletk dlm [,]. 3. Evlusi () di msi-msi titik dlm dtr diperoleh (). 4. Tetuk ili terkeil d teresr. 3. Mksimum d Miimum Lokl (Relti) Deiisi : () Nili () dlh ili mksimum lokl dri usi jik ( ) ( ) utuk semu ukup dekt ke. () ili () dlh ili miimum lokl dri usi jik ( ) ( ) utuk semu ukup dekt ke. Nili mksimum lokl tu ili miimum lokl dri is diseut ekstrim lokl dri. Teorem (Mksimum d miimum lokl): Jik terdieresilk di d terdeiisi pd sutu itervl uk memut d jik () ili mksimum lokl tu ili miimum lokl dri, mk '( ) Miu ke Mteri : VIII :. Kemooto. Keeku d Titik Belok URAIAN POKOK PERKULIAHAN. Kemooto Deiisi (Fusi ik d turu): Fusi ik pd itervl I = (, ) jik ( ) < ( ) utuk semu ps il d dlm I de <. Fusi turu pd I jik ( ) < ( ) utuk semu ps il d dlm I de <.

19 Teorem (Teorem Rolle): Mislk usi kotiu pd itervl tertutup [, ] d terdieresilk dlm iterior-iterior I = (, ). Jik () = = (), mk d sutu ili dlm (, ) sehi '( ) Teorem (Teorem Nili Rt-rt) Mislk usi kotiu pd itervl tertutup [, ] d terdieresilk dlm itervl uk (, ). Jik () = = (), mk () () = '( ) ( ) utuk sutu il dlm (, ) Teorem (Teorem Fusi Nik d Fusi Turu) Jik '( ) > utuk semu dlm (, ), mk merupk usi ik pd [, ]. Jik '( ) < utuk semu dlm (, ), mk merupk usi turu pd [, ] Uji Turu Pertm utuk titik Ekstrim Teorem (Uji Turu Pertm utuk Ekstrim Lokl): Mislk usi kotiu pd itervl I d terdieresilk di s keuli muki di titik iterior dri I.. Jik '( ) < di seelh kiri dri d '( ) > di seelh k dri, mk () merupk ili miimum lokl dri () pd I.. Jik '( ) > di seelh kiri dri d '( ) < di seelh k dri, mk () merupk ili mksimum lokl dri () pd I. 3. Jik '( ) > di seelh kiri d k dri, tu '( ) < di seelh kiri d k dri, mk () uk merupk ili miimum tu ili mksimum dri () pd I.. Keeku Sekr kit k meelidiki mk dri td turu kedu. Jik "( ) > pd itervl I, mk turu pertm ' dlh usi ik pd I, se turu "( ) dlh positi. De demiki, jik kit memr rik = () dri kiri ke k, kit liht hw ris siu di titik-titik pd kurv itu k ererk erlw rh de perputr jrum jm (Gmr ). Kit memrk situsi ii de metk hw kurv = () eku ke ts. =() =() G. Grik eku ke ts G. Grik eku ke wh

20 Jik "( ) < pd itervl I, mk turu pertm ' turu pd I, sehi ris siu k ererk serh de perputr jrum jm jik ertmh esr. Kit ktk hl ii hw kurv = () eku ke wh. Gmr memperlihtk im posisi ris siu pd kurv de "( ) <. Kedu ksus di ts dirkum ser sikt dlm tel pd Gmr 3. "( ) = () Positi Neti Ceku ke ts Ceku ke wh G. 3 Peti td "( ) pd itervl Teorem (Uji Turu Kedu): Mislk hw usi dpt dituruk du kli pd itervl uk I memut titik kritis di m '( ). Mk () Jik "( ) > pd I, mk () merupk ili miimum dri () pd I. () Jik "( ) < pd I, mk () merupk ili mksimum dri () pd I. Teorem (Uji Titik Belok): Mislk usi kotiu pd itervl uk memut titik. Jik "( ) < pd stu sisi dri d "( ) > pd sisi li, mk diktk hw dlh titik elok dri. Miu ke Mteri Miu ke Mteri : IX : Uji Teh Semester : X :. Grik Fusi. Iterl Tk tetu 3. Petr per-sm diere-sil URAIAN POKOK PERKULIAHAN. Grik Fusi Lkh-lkh meskets rik sutu usi dlh sei erikut:. Meetuk perpoto rik usi de sumu koordit. Perpoto rik de sumu diperoleh de mesustitusik = pd usi dierik. Sedk perpoto rik de sumu- diperoleh de mesustitusik =.

21 . Meetuk itervl di m rik itu ik d di m rik itu turu. Itervl ii diperoleh de meelesik pertidksm ' > utuk rik ik, d ' < utuk rik turu. Peruh ik turu rik dpt meetuk titik ekstrim dri usi dierik. 3. Meetuk itervl di m rik eku ke ts, d di m rik itu eku ke wh. Itervl ii diperoleh de meelesik pertidksm " > utuk rik seku ke ts, d " < utuk rik eku ke wh. Titik elok dri rik ditetuk dri peruh keeku di sutu titik. 4. Memut skets rik erdsrk dt-dt diperoleh pd lkh smpi de lkh 3.. Iterrl Tk Tetu Deiisi: Dierik usi terdiiisi pd sel teruk S. Fusi F memeuhi F '( ) ( ) utuk setip S dimk usi ti turu tu usi rimiti dri pd S. Deiisi: Dierik usi terdiiisi pd sel teruk S. = F() + C de C kostt ser diktk ti dieresil dri pd S il = () utuk setip S. Deiisi: Dierik usi terdiiisi pd sel teruk S d F usi ti turu dri pd S. Proses meetuk ti dieresil dri usi pd S dimk iterl tk tetu dri pd S d ditulis de lm ( ) d F( ) C, C kostt ser. Teorem Dsr Iterl Tk Tetu: r r. d C, r Q, r r d ( ). d d ( ) ( ) C d 3. k ( ) d k ( ) d, kostt 4. ( ) ( ) d ( ) d ( ) d 5. ( ) ( ) d ( ) d ( ) d 6. si d os C 7. os d si C

22 8. se d t C 9. s d ot C. se t d se C. s otd s C d. si C os C d 3. t C ot C d 4. se C s C Miu ke Mteri : XI :. Notsi Sim. Iterl Tetu 3. Petr per-sm diere-sil URAIAN POKOK PERKULIAHAN. Notsi Sim Deiisi:. Dierik,, 3,, R. Pejumlh dri erhi il,, 3,, dpt disikt de meuk lmi Teorem: dideiisik de i.... i. Jik,, 3,, R d,, 3,, R, mk ( i i i ) i i i i. Jik,, 3,, R d k kostt rel, mk 3. i ( ) i i i 6 4. ( )( ) ki i k i i

23 . Iterl Tetu Mislk sutu usi terdeiisi pd sel [,]. Deiisi iterl tetu dpt diu de r sei erikut: () Butlh prtisi P ={,,,..., } pd sel [,] de = < < <...< i-i < i <...< =. Sel i ke-i dri prtisi P dlh [ i-, i ] d pj sel dlh i = i i-. Pj prtisi P ditulis P d dideiisik sei P mks i i () Pilih i [ i-, i ] utuk i =,, 3,...,. (3) Deiisik etuk jumlh ( i ) i dimk jumlh Riem dri usi pd sel [,]. (4) Perhtik etuk it jumlh Riem i ( i ) P i () Jik it ii d, mk usi teriterlk pd sel [,] d ditulis ( ) d ( i ) i P i () Jik it iitidk d, mk usi tidk teriterlk pd sel [,] i DEFNISI: Iterl tetu (iterl Riem) dri usi pd sel tertutup [,] ditulis de lm ( ) d d ddeiisik se Teorem: P ( ) d ( ) il t ii d. i i i. Teorem Keteriterl. Jik terts d kotiu pd sel [,] keuli pd sejumlh terhi titik, mk teriterlk pd [,]. Khusus jik kotiu pd sel [,], mk teriterlk pd [,].. Teorem Dsr Klkulus. Jik kotiu pd [,] d F ti turu dri, mk ( ) d F( ) F( ) F( ) 3. Teorem Kelier () k ( ) d k ( ) d

24 () () ( ( ) ( )) d ( ) d ( ) d ( ( ) ( )) d ( ) d ( ) d 4. Teorem Pemh Sel. Jik F teriterlk pd sutu sel memut ti titik,, d, mk ( ) d ( ) d ( ) d 5. Teorem Pemdi. Jik d teriterlk pd [,] d ( ) ( ) utuk setip,, mk 6. Teorem Keterts. Jik teriterlk pd [,] d m ( ) M utuk setip ( ) d ( ) d,, mk m( ) ( ) d M ( ) 7. Teorem Nili Rt-rt utuk Iterl. Jik usi kotiu pd sel [,], mk terdpt sutu, sehi ( ) d ( )( ) Deiisi: Jik usi teriterlk pd sel [,], mk ili rt-rt dri pd sel [,] dideiisik de ( ) ( ) d Teorem (Pedieresil Iterl Tetu): Mislk usi kotiu pd sel [,]. Jik usi de vriel, dideiisik de G ( ) ( t) dt, mk G' ( ) d d ( t) dt ( ). Miu ke : XII Mteri:. Peiterl d Sustitusi. Peiterl Prsil 3. Peiterl Fusi Rsiol

25 . Peiterl de Sustitusi URAIAN POKOK PERKULIAHAN Teorem: Dierik usi = () mempui turu pd D d R termut pd sel S. Jik usi = () terdeiisi pd sel S d F () = () pd S, mk de peti u = () diperoleh ( ( )) '( ) d ( u) du F( u) C F( ( )) C. Peiterl Prsil Teorem: Jik u d vdlh sutu us de vriel, mk. udv uv vdu. udv uv vdu 3. Peiterl Fusi Rsiol P( ) Peiterl usi rsiol eretuk d, dim P d Q Q( ) merupk sutu poliom de derjt P kur dri Q. Peelesi P( ) ddlh sei erikut: Q( ). Fktor Q() lier d ered Bil derjt Q()=, mk Q()=(- )(- )...(- ) de,,..., P( ) semu ered. Lkh peeles dlh ditulis dlm etuk Q( ) P( ) A A A peh i eretuk... Q( ). Fktor Q() lier d d erul Jik ktor lier k erul r kli, mk peh i eretuk P( ) A A Ar... r Q( ) ( ) ( ) 3. Fktor Q() memut etuk kudrt tk erul Jik ktor kudrt dlh p +q +r, mk peh i utku ktor ii A B dlh p q r k

26 5. Fktor Q() memut etuk kudrt erul Jik ktor kudrt dlh p +q +r terul m kli, mk peh i utuk ktor ii dlh A B A B Am Bm... p q r ( p q r) ( p q r) m Miu ke : XIII Mteri:. Lus derh id dtr. Volume ed-ed lempe. Lus Derh Bid Dtr URAIAN POKOK PERKULIAHAN DEFINISI. Mislk D dlh sutu derh ditsi oleh kurv kotiu pd, de utuk setip,, sumu X, ris, d ris. Lus derh D dlh P i d. Misk D dlh sutu derh ditsi oleh kurv kotiu pd, de utuk setip,, sumu X, ris, d ris. Lus derh D dlh P i d 3. Mislk usi kotiu pd sel tertutup,. Lus derh ditsi oleh rik usi, sumu X, ris, d ris dlh P i d 4. Mislk kotiu pd sel tertutup,. Mk Lus derh ditsi rik usi, sumu Y, ris, d ris dlh P i d

27 . Lus Derh Bid Dtr Atr Du Kurv DEFINISI Mislk usi d kotiu pd, d pd,. Lus derh L ditsi oleh rik usi,, ris, d ris dlh L d 3. Volume Bed Lempe Deiisi: Mislk sutu ed pdt terletk ditr du id tek lurus sumu X dri = ke =. Jik lus pemp iris tr id tek lurus sumu X de ed pdt itu dlh L(), << de L kotiu pd [,],mk volume ed pdt itu dlh V L( i ) i L( ) d P i Miu ke : XIV Mteri:. Volume ed de metod krm. Volume ed de metode ii 3. Volume ed de metode kulit tu URAIAN POKOK PERKULIAHAN. Volume Bed de Metode Ckrm Deiisi: Mislk usi kotiu pd sel tertutup [,] de () utuk setip [,]. Volume ed putr terjdi jik derh ditsi oleh rik usi =(), sumu X, ris =,d ris = diputr meelilii sumu X dlh V π ( i ) i π ( ) d P i

28 . Volume Bed de Metode Cii Deiisi: Mislk d usi kotiu pd sel tertutup [,] de () () utuk setip [,]. Volume ed putr terjdi jik derh ditsi oleh rik usi =(), = (), ris =, d ris = diputr meelilii sumu X dlh V π ( i ) ( i ) i π ( ) ( ) d P i 3. Volume Bed de Metode Kulit Tu Deiisi: Mislk usi kotiu pd sel tertutup [,]. Derh R dlh derh di kudr I ditsi oleh oleh rik usi =(), sumu X, ris =,d ris =. Jik R diputr meelilii diputr meelilii sumu Y, mk volume ed putr terjdi dlh dlh V π i ( i ) i π ( ) d P i Miu ke Mteri : XV : Uji Akhir Semester DAFTAR PUSTAKA Purell, E.J. (995). Klkulus d Geometri Alitik (terjemh I.N. Susil, dkk). Jilid I, edisi V, Jkrt: Erl Leithold, L. (989). Klkulus d Ilmu Ukur Alitik (terjemh Huthe, dkk). Jilid I, edisi V, Jkrt: Erl Edwrd Ad Vee (994). Clulus With Alti Geometr Pretie-Hill I.