UJIAN AKHIR SEMESTER STATISTIKA DAN PROBABILITAS

UJIAN AKHIR SEMESTER STATISTIKA DAN PROBABILITAS AMN IST ISI Rabu, 15 Juni 016 100 menit [ Boleh membuka buku Tidak boleh memakai komputer ] SOAL 1 [30%] Hasil sigi (survei) lalu lintas di suatu kawasan, yang dibagi menjadi delapan zona, menghasilkan data jumlah perjalanan dan jumlah mobil setiap hari seperti disajikan pada tabel di bawah ini. zona jumlah mobil jumlah perjalanan 1 40 780 00 40 3 90 100 4 500 1340 5 1100 6 10 7 1000 8 330 900 (a) Temukanlah hubungan antara kedua variabel (jumlah perjalanan sebagai fungsi jumlah mobil) dengan teknik regresi linear, metode kuadrat terkecil. [Bobot 15%] Catatan: kedua variabel adalah variabel diskrit, jumlah perjalanan dan jumlah mobil adalah bilangan bulat positif. (b) Berapakah koefisien korelasi hubungan linear kedua variabel tersebut? [Bobot 15%] PENYELESAIAN (a) Regresi linear [bobot 15%] Jika jumlah perjalanan dinyatakan sebagai variabel Y dan jumlah mobil dalam perjalanan tersebut dinyatakan sebagai variabel X, maka hubungan antara kedua variabel, yang diperoleh dari regresi linear, dapat dinyatakan dalam persamaan di bawah ini: Y a + a X Variabel Y atau sering pula disimbolkan dengan Y adalah jumlah perjalanan sebagai fungsi jumlah mobil. Nilai a 0 dan a 1 dalam persamaan regresi dicari dengan persamaan berikut: a n x y x n x x y dan a Y a X Dalam persamaan di atas, n adalah ukuran sampel atau jumlah data, Y dan X adalah jumlah perjalanan rata-rata dan jumlah mobil rata-rata. Hitungan regresi linear dengan metode kuadrat terkecil disajikan pada Tabel 1 pada halaman setelah halaman ini. Dari Tabel 1, diperoleh informasi sebagai berikut: jumlah data, n 8; jumlah perjalanan rata-rata, Y y n 6.080 8 760; jumlah mobil rata-rata, X x n.30 8 90. Koefisien a dan a pada persamaan garis regresi dihitung sebagai berikut: Penyelesaian Soal UAS Statistika dan Probabilitas 016.docx hlm 1 dari 6

𝑎 𝑥 𝑦 𝑥 𝑦 𝑥 𝑥 8.184.000.30 6.080.6333. 8 83.600.30 𝑎 𝑌 𝑎 𝑋 760.6333 90 3.6546. Dengan demikian, hubungan antara jumlah perjalanan dan jumlah mobil yang diperoleh dari regresi linear antara kedua variabel adalah: 𝑌 3.6546 +.6333 𝑋 atau 𝑦.6333 𝑥 3.6446. Istiarto Departemen Teknik Sipil dan Lingkungan FT UGM http://istiarto.staff.ugm.ac.id/ TABEL 1 HITUNGAN REGRESI LINEAR HUBUNGAN ANTARA JUMLAH PERJALANAN DAN JUMLAH MOBIL DENGAN METODE KUADRAT TERKECIL i 1 3 4 5 6 7 8 Σ 𝒙𝒊 40 00 90 500 10 330.30 𝒚𝒊 780 40 100 1.340 1.100 1.000 900 6.080 𝒙𝒊 𝟐 57.600 40.000 8.100 50.000 193.600 14. 160.000 108.900 83.600 𝒙𝒊 𝒚𝒊 187.00 84.000 9.000 670.000 484.000 5.800.000 97.000.184.000 (b) Koefisien korelasi [bobot 15%} Koefisien korelasi, r, dinyatakan dalam persamaan berikut: 𝑟 𝑟 𝑆 𝑆 𝑆 𝑦 𝑌 𝑦 𝑌 𝑦 𝑌 𝑥 𝑦 𝑥 𝑦 𝑦 𝑥 𝑥 atau 𝑦 Hitungan untuk mendapatkan nilai St dan nilai Sr dilakukan secara tabulasi dalam Tabel bawah ini. Hitungan mengacu kepada persamaan r di atas yang di sebelah kiri. TABEL HITUNGAN KOEFISIEN KORELASI ANTARA JUMLAH PERJALANAN DAN JUMLAH MOBIL i 𝒙𝒊 1 3 4 5 6 7 8 40 00 90 500 10 330 𝒚𝒊 𝒚𝒊 𝒀 𝟐 𝒚𝒊 𝒚𝒊 𝒚𝒊 𝟐 780 68 3.104 40 115.600 53 10.609 100 435.600 33 17.689 1.340 3. 1.313 79 1.100 115.600 1.155 3.05 10. 31 16.384 1.000 57.600 1.050.500 900 19.600 865 1.5 𝑺𝒕 1.183.00 𝑺𝒓 75.65 Catatan: 𝑦 adalah jumlah perjalanan, variabel diskrit, bilangan bulat. Koefisien korelasi: 𝑟 𝑆 𝑆 𝑆 1.183.00 75.65 0.9677. 1.183.00 Akar kuadrat dapat bernilai positif atau negatif. Koefisien korelasi dapat bernilai positif atau negatif. Karena gradien garis regresi, 𝑎, bernilai positif, atau dengan kata lain jumlah perjalanan Penyelesaian Soal UAS Statistika dan Probabilitas 016.docx hlm dari 6

berbanding lurus dengan jumlah mobil, maka koefisien korelasi pun bernilai positif, r 0.9677. Gambar 1 menyajikan data secara grafis. Gambar ini tidak wajib dibuat karena soal tidak memintanya. 1600 Jumlah perjalanan, Y 1 100 1000 800 600 00 0 GAMBAR 1 HUBUNGAN LINEAR ANTARA JUMLAH PERJALANAN DAN JUMLAH MOBIL SOAL [70%] Angka-angka di bawah ini adalah kuat desak beton dalam satuan MPa yang diperoleh dari uji laboratorium terhadap buah sampel. 8 6 30 8 9 3 34 6 8 34 31 8 33 3 30 30 30 3 6 8 30 30 6 4 34 8 3 3 8 30 34 3 37 30 30 3 y.6333x - 3.6546 r² 0.95 0 100 00 300 500 600 Jumlah mobil, X (a) Buatlah tabel frekuensi dengan rentang kelas MPa, batas bawah rentang kelas pertama adalah 3 MPa (rentang kelas pertama 3-5 MPa). [Bobot 15%] (b) Hitunglah nilai rata-rata, median, dan modus (mode) kuat desak beton dengan memakai tabel frekuensi. [Bobot 15%] (c) Hitunglah nilai simpangan baku kuat desak beton dengan memakai tabel frekuensi. [Bobot 10%] (d) Hitunglah rentang keyakinan kuat desak rata-rata dengan tingkat keyakinan 90%. [Bobot 15%] (e) Ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kuat desak rata-rata beton tersebut adalah 3 MPa dengan tingkat keyakinan 95%. [Bobot 15%] Penyelesaian Soal UAS Statistika dan Probabilitas 016.docx hlm 3 dari 6

PENYELESAIAN (a) Tabel frekuensi [bobot 15%] Tabel frekuensi adalah salah satu cara penyajian data. Kuat desak beton adalah variabel random kontinu. Data di atas diperoleh dari uji laboratorium. Data kuat desak tersebut adalah data sampel, bukan data populasi. Tabel frekuensi disajikan pada Tabel 3 di bawah ini. TABEL 3 KUAT DESAK BETON HASIL UJI LABORATORIUM i Kuat desak, X [MPa] Frekuensi Kelas x i f i f i x i f i x i 1 3-5 4 1 4 576 5-7 6 4 104 704 3 7-9 8 8 4 67 4 9-31 30 10 300 9000 5 31-33 3 8 56 819 6 33-35 34 4 1 464 7 35-37 1 196 Σ 1080 64 Ukuran sampel atau jumlah data dalam sampel uji kuat desak beton adalah f. Operator penjumlahan f dibaca f. Indeks pada operator penjumlahan tidak dituliskan untuk menyederhanakan penulisan. Data dapat pula disajikan dalam bentuk grafik batang atau histogram seperti disajikan pada Gambar. Grafik ini tidak wajib dibuat karena soal tidak memintanya. Perhatikan bentuk kurva pada gambar tersebut. Tampak jelas bahwa bentuk kurva mengindikasikan bahwa sampel kuat desak beton berdistribusi normal. Frekuensi 1 10 8 6 4 0 3-5 5-7 7-9 9-31 31-33 33-35 35-37 Kuat desak beton dalam satuan MPa GAMBAR KUAT DESAK BETON HASIL UJI LABORATORIUM (b) Nilai rata-rata, median, modus [bobot 15%] Nilai rata-rata dihitung dengan bantuan tabel frekuensi, yaitu dengan menambahkan satu kolom yang berisi nilai frekuensi dikalikan dengan nilai data, f x. Kuat desak rata-rata adalah: Penyelesaian Soal UAS Statistika dan Probabilitas 016.docx hlm 4 dari 6

𝑓 𝑥 1080 30 MPa. 𝑓 𝑋 Nilai median dan nilai modus dapat dilihat langsung pada tabel frekuensi di atas: median kuat desak adalah 30 MPa atau 9-31 MPa, modus kuat desak adalah 30 MPa atau 9-31 MPa. (c) Simpangan baku [bobot 10%] Simpangan baku kuat desak beton dihitung dengan bantuan tabel frekuensi, yaitu dengan menambahkan kolom yang berisi 𝑓 𝑥. Nilai simpangan baku adalah: 𝑠 Istiarto Departemen Teknik Sipil dan Lingkungan FT UGM http://istiarto.staff.ugm.ac.id/ 𝑓 𝑥 𝑓 𝑋 𝑓 1 𝑥 𝑋 𝑓 1 64 30.7464 MPa. 1 (d) Rentang keyakinan kuat desak rata-rata [bobot 15%] Rentang keyakinan kuat desak rata-rata, dengan asumsi bahwa kuat desak beton tersebut berdistribusi normal, dinyatakan dengan persamaan berikut: prob 𝑙 𝜇 𝑢 1 𝛼 Dalam persamaan di atas, l adalah batas bawah rentang keyakinan, u adalah batas atas rentang keyakinan, dan 1 𝛼 adalah tingkat keyakinan. Batas bawah dan batas atas rentang keyakinan kuat desak beton rata-rata dinyatakan dengan persamaan berikut: 𝑙𝑋 𝑠 𝑡 dan 𝑢 𝑋 +, 𝑠 𝑡, Nilai 𝑡, adalah nilai t pada pdf distribusi t sedemikian hingga prob 𝑇 < 𝑡 1 𝛼 pada nilai derajat kebebasan 𝜈 1, n ukuran sampel (jumlah data). Karena tingkat keyakinan telah ditetapkan, yaitu 1 𝛼 90%, maka 1 𝛼 95%. Nilai 𝑡, 𝑡."," dibaca pada tabel distribusi t. Bacaan tabel menjadi mudah dilakukan dengan cara membuat sketsa pdf distribusi t. Dari tabel distribusi t, diperoleh: 𝑡."," 1.6896 1 𝛼 0.90 𝛼 0.05 𝛼 0.05 𝑡."," 𝑡."," 𝑢 30 + 1.6896.7464 𝑡."," Dengan demikian, batas bawah dan batas atas rentang adalah: 𝑙 30 1.6896.7464 9.3 MPa. 30.77 MPa. Dengan demikian, rentang keyakinan 90% kuat desak rata-rata adalah: prob 9.33 MPa 𝜇 30.77 MPa 0.90. (e) Uji hipotesis kuat desak rata-rata [bobot 15%] H0 : 𝜇 3 MPa H1 : 𝜇 3 MPa Karena varians populasi tidak diketahui (𝜎 tidak diketahui), maka statistika uji adalah: Penyelesaian Soal UAS Statistika dan Probabilitas 016.docx hlm 5 dari 6

T n s X μ.7464 30 3 4.93. Batas-batas penerimaan atau penolakan statistika uji dengan tingkat keyakinan 1 α 95% dan jumlah sampel n adalah: t, t."#," dan t, t."#,". Dari tabel distribusi t, diperoleh: t."#,".0301 t."#,".0301 α 0.05 t."#,".0301 1 α 0.95 t."#,".0301 Dengan demikian, statistika uji T 4.93 berada di luar rentang penerimaan hipotesis H 0 ( T > t."#," ), sehingga hipotesis yang menyatakan bahwa kuat desak ratarata adalah 3 MPa tidak diterima atau ditolak. α 0.05 -o0o- Penyelesaian Soal UAS Statistika dan Probabilitas 016.docx hlm 6 dari 6