OPTIMASI DENGAN METODE DAKIAN TERCURAM

OPTIMASI DENGAN METODE DAKIAN TERCURAM Marwan Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Syiah Kuala, Jln. Syekh Abdur Rauf No. 3 Darussalam, Banda Aceh 23111 email: marwan.ramli@mathusk.org ABSTRACT Response surface methodology is one of the statistical and mathematical techniques is used to analyze case of some independent variables which influence dependent variables or responses, and aim to measure optimum value from the response. Method of the steepest ascent and descent is part of the response surface methodology in determining optimum response also central composite design to measure optimum value. In the first steps, if will be consider the first model and the second one. The case study of this research is an experiment of purify oxygen as response observed, temperature (T) and pressure ratio (R) as variable which are influence respond. At the beginning, the temperature T = 220 o C and pressure ratio R = 1.2 atm, by applying method of steepest ascent and descent will be figured out maximum area at the 6 th sequence and minimum area at the 4 th sequence. At the final process of determining optimum value with central composite design will be known maximum value at the temperature 190.3 o C and pressure ratio 1.417 atm with 87.82 purifying of oxygen response, however the minimum point unappropriate with the minimum condition. Keywords: method of steepest slope, optimization, maximum response ABSTRAK Metode permukaan respon merupakan suatu teknik statistik dan matematika yang digunakan untuk menganalisis permasalahan yang terkait dengan respon serta bertujuan untuk menentukan nilai optimum dari respon itu. Metode dakian tercuram merupakan bagian dari metode permukaan respon dalam menentukan daerah respon optimum serta rancangan komposit pusat untuk menentukan titik optimum. Pada tahap awal akan diduga model orde pertama dan model orde kedua. Contoh kasus pada penelitian ini adalah suatu percobaan pemurnian oksigen sebagai respon yang diamati, suhu (T) dan rasio tekanan (R) sebagai variabelvariabel yang mempengaruhi respon. Kondisi awal percobaan pada suhu T = 220 o C dan rasio tekanan R =1.2 atm, dengan menerapkan metode dakian tercuram diketahui daerah maksimum terjadi pada lintasan ke6, pada proses akhir dalam penentuan titik optimum dengan rancangan komposit pusat dan diketahui titik maksimum berada pada suhu reaksi 190.3 o C dan rasio tekanan sebesar 1.417 atm dengan 87.82 dugaan respon pemurnian oksigen. Kata kunci: metode dakian tercuram, optimasi, respon maksimum 34 Jurnal Mat Stat, Vol. 10 No. 1 Januari 2010: 3444

PENDAHULUAN Salah satu usaha manusia untuk mengembangkan ilmu dan teknologi adalah melalui kegiatan penelitian. Kegiatan penelitian merupakan suatu proses belajar yang terarah mengenai suatu masalah dan dilakukan secara iteratif. Pada sistem nyata, sering terdapat 2 atau lebih elemen pembentuk sistem saling berhubungan. Hal ini disebabkan karena pada dasarnya suatu sistem terdiri dari elemen yang saling bergantung dan bekerja sama untuk mencapai suatu tujuan. Proses bekerjanya berbagai elemen dalam sistem sangat kompleks sehingga untuk melihat hal ini dalam keadaan sebenarnya sangat sulit dan hampir mustahil. Pada umumnya, pada suatu kegiatan penelitian permasalahan yang dikemukakan akan dikaji untuk dijadikan hipotesis. Biasanya, hipotesis berbentuk pernyataan yang dapat diuji dalam tingkatan lebih lanjut berbentuk model matematika. Model matematika ini senantiasa dianggap memenuhi taksiran tertentu yang dapat menyederhanakan permasalahan yang akan diteliti. Metode dakian tercuram merupakan suatu prosedur untuk mencari daerah respon maksimum. Sebaliknya, untuk mencari daerah respon minimum disebut metode turunan tercuram. Pada tulisan akan dipresentasikan pemanfataan metode dakian tercuram pada proses pemurnian oksigen. Dalam hal ini, respon dipengaruhi oleh beberapa faktor, di antaranya adalah suhu( o C) dan rasio tekanan (atm) (Montgomery, 2001). Oleh karena itu, diasumsikan bahwa respon pada kasus ini, respon hanya dipengaruhi oleh 2 faktor sehingga model matematika orde satu dapat dituliskan sebagai, (1) dengan, dan adalah konstanta yang akan ditentukan dan dan berturutturut menyatakan variabel yang mempengaruhi respon. Di sini, prediksi faktor yang menghasilkan nilai respon yang optimum dihitung dengan menggunakan metode permukaan respon (Amago, 2001). Diketahui bahwa metode ini merupakan suatu teknik untuk menganalisis permasalahan respon, yang dipengaruhi beberapa variabel bebas, dengan tujuan mendapatkan nilai optimum respon (Mendenhall, 1996). Akan tetapi, apabila model tersebut tidak cocok, yang ditandai dengan terdapatnya lengkungan dalam sistem, maka analisis dilanjutkan dengan menentukan model respon orde dua, yang dapat duliskan sebagai berikut (Khuri, 2003). (2) METODE PENELITIAN Data Data yang digunakan pada penelitian ini adalah data sekunder (Montgomerry, 2001). Respon yang akan diamati merupakan pemurnian oksigen yang dipengaruhi oleh 2 faktor, yaitu suhu ( o C) dan rasio tekanan (atm). Data ini merupakan data suatu industri kimia yang memproduksi oksigen dengan cara mencairkan udara dan membaginya ke dalam komponenkomponen gasnya, dengan destilasi fraksinasi (destilasi bertingkat). Pemurnian oksigen merupakan fungsi dari perbandingan suhu kondensor dan rasio tekanan antara kolom teratas dan kolom terbawah. Kondisi arus operasi pada suhu T = 220 o C dan rasio tekanan R =1,2 atm. Data dimaksud disajikan pada Tabel 1 berikut ini. Optimasi dengan Metode Dakian... (Marwan) 35

Tabel 1 Data Percobaan Pemurnian Oksigen Suhu Rasio tekanan Pemurnian atm 225 1.1 82.8 225 1.3 83.5 215 1.1 84.7 215 1.3 85.0 220 1.2 84.1 220 1.2 84.5 220 1.2 83.9 220 1.2 84.3 Metode Dakian Tercuram Metode dakian tercuram adalah prosedur yang berisi rangkaian percobaan secara serial sepanjang lintasan terjadinya peningkatan maksimum nilai respon. Metode ini digunakan untuk menentukan daerah percobaan yang memuat nilai maksimum dari respon (Gaspersz, 1992; Khuri, 2001; Montgomery, 2001; Myers, 1971). Prosedur Metode dakian tercuram digunakan untuk menentukan model matematika yang menyatakan hubungan faktor dengan respon. Prosedur yang digunakan dalam menentukan daerah optimum pada awalnya akan diduga model orde pertama dan orde kedua (Aunuddin, 2005). Untuk membangun model orde pertama, terlebih dahulu ditetapkan daaerah eksplorasi pada titiktitik sekitar daerah operasi saat ini, yaitu daerah percobaan awal pada taraf suhu 225 o C sampai dengan 215 o C dan taraf faktor rasio tekanan reaksi 1,1 atm sampai dengan 1,3 atm. Data dikumpulkan dengan menggunakan percobaan faktorial 2x2 atau 2 2 yang diperluas dengan 4 titik pusat, di mana sebagai titik pusatnya adalah pada taraf suhu reaksi T = 220 o C dan taraf rasio tekanan reaksi 1,2 atm. Dengan demikian, titik pusat adalah T = 220 o C dan 1,2 atm, yang dalam variabel kode berturutturut dituliskan 0 dan 0. Pengulangan pengamatan pada titik pusat dimaksudkan untuk menduga galat percobaan serta memeriksa ketepatan model orde pertama (Gaspersz, 1992). Selanjutnya, untuk menduga parameter model orde pertama akan dilakukan transformasi variabel dan ke dalam variabel kode dan yang saling orthogonal dalam bentuk,, (3) (4) Dengan menggunakan (3) dan (4), diperoleh nilai kode dan sebagaimana disajikan pada Tabel 2. 36 Jurnal Mat Stat, Vol. 10 No. 1 Januari 2010: 3444

Tabel 2 Data Hasil Transformasi x 1 x 2 Y 1 1 82.8 1 1 83.5 1 1 84.7 1 1 85.0 0 0 84.1 0 0 84.5 0 0 83.9 0 0 84.3 HASIL DAN PEMBAHASAN Analisis Model Orde Satu Pada percobaan pemurnian oksigen ini, diketahui 2 faktor yang mempengaruhi model, yaitu suhu dan rasio tekanan. Dalam mengkaji hubungan antar faktor dan model, digunakan metode kuadrat terkecil. Untuk kondisi awal akan diduga model orde satu. 84.1 + 0.85 + 0.25 (5) Pengujian model (5) sebagai penduga yang cukup baik akan digunakan uji untuk simpangan (lack of fit). Uji ini bertujuan untuk menguji keberadaan lengkungan dalam model (Walpole, 1995). Tabel 3 Analisis Ragam Model Orde Satu Sumber db JK KT F hit Regresi 2 3.14 1.570 24.53 Residual Error 5 0.32 0.064 Lack of Fit 2 0.12 0.060 0.90 Pure Error 3 0.20 0.067 Total 7 3.46 Berdasarkan Tabel 3, terlihat bahwa nilai uji simpangan = 0,90 <.;, = 9,55. Ini artinya bahwa tidak terdapat lengkungan dalam model. Selain itu, terlihat pula bahwa nilai = 24,53.;; =5,79. Ini memberikan makna bahwa minimal terdapat satu variabel yang mempengaruhi respon. Berdasarkan hasil uji secara individu, diketahui bahwa variabel tidak memberikan pengaruh terhadap respon. Namun demikian, secara umum model (5) dapat digunakan untuk menentukan lintasan dakian tercuram. Optimasi dengan Metode Dakian... (Marwan) 37

Lintasan Dakian Tercuram Penentuan arah lintasan dakian dan turunan tercuram diawali dengan pergerakan titik pusat, 0,0. Dari model 5, diketahui bahwa arah dan bersifat positif (naik), dengan besarnya koefisien masingmasing adalah 0.85 dan 0.25. Dengan demikian, akan terbentuk lintasan dakian dan turunan tercuram, dengan gerakan sebesar 0.85 unit pada arah untuk setiap 0.25 unit pada arah. Pada kasus ini, digunakan jarak (interval) antara taraf variabel sebagai ukuran langkah dasar. Penetapan 5 dari suhu adalah ekivalen dengan langkah sebesar 1. Jadi, langkahlangkah sepanjang lintasan dakian dan turunan tercuram adalah 1 unit dan 0.294 unit. Selanjutnya, dihitung titiktitik sepanjang lintasan serta mengamati hasil pada titik tersebut sampai ditemukan penurunan dalam respon apabila percobaan terus dilakukan (Gaspersz, 1992). Daerah Dakian Tercuram Hasil eksplorasi sepanjang lintasan dakian tercuram dengan menggunakan 1 dan 0.294 disajikan pada Tabel 4. Tabel 4 Percobaan Dakian Tercuram Langkahlangkah x 1 x 2 T R Basis 0.000 0.000 220 1.2 Respon yang diamati ( Y ) (baca:delta) 1.000 0.294 5 0.029 Basis+ 1.000 0.294 215 1.229 78.593 Basis+2 2.000 0.588 210 1.259 79.202 Basis+3 3.000 0.882 205 1.288 80.072 Basis+4 4.000 1.176 200 1.318 82.462 Basis+5 5.000 1.470 195 1.347 87.442 Basis+6 6.000 1.764 190 1.376 87.767 Basis+7 7.000 2.058 185 1.406 84.369 Berdasarkan percobaan dakian tercuram yang disajikan pada Tabel 4, terlihat bahwa peningkatan respon Y terjadi hingga pada lintasan ke6 dan terjadi penurunan pada lintasan ke7. Hasil percobaan respon Y menunjukkan bahwa dalam rentang respon antara 75 dan 90, respon maksimum terjadi di sekitar titik 6 dan 1.764 atau pada suhu 190 dan rasio tekanan 1.376 atm. Gambar 1 menyajikan grafik respon berdasarkan data pada Tabel 4. Selanjutnya akan ditentukan daerah yang berada di sekitar kondisi operasi yang optimum guna membantu dalam merancang percobaan selanjutnya. 38 Jurnal Mat Stat, Vol. 10 No. 1 Januari 2010: 3444

Gambar 1 Grafik Respon Dakian Tercuram Berdasarkan Data pada Tabel 4 Kondisi Operasi Maksimum Pada bagian ini, akan ditentukan operasi optimum pada proses percobaan pemurnian oksigen (Y) yang dipengaruhi oleh suhu (T) dan rasio tekanan (R). Berdasarkan percobaan dakian tercuram di sepanjang lintasan (Tabel 4) diketahui bahwa daerah operasi maksimum terjadi di sekitar titik x 1 = 6 dan x 2 = 1.764 atau berada pada suhu T = 190 o C dan R = 1.376 atm. Dari informasi ini, akan dibangun data percobaan lebih lanjut dengan mengambil titik pusat pada suhu 190 o C dan rasio tekanan 1.376 atm agar ditemukan kondisi operasi maksimum. Pada tahap ini, akan dibangun model orde dua dengan menggunakan rancangan komposit pusat untuk mengumpulkan data percobaan baru tersebut. Diketahui bahwa terdapat 2 variabel diujikan pada percobaan pemurnian oksigen, yaitu x 1 yang mewakili suhu pemurnian (T) dan x 2 yang mewakili rasio tekanan (R) sehingga ditetapkan besaran α = 2 = 1.4141 (Montgomery, 2001). Selanjutnya, agar model orde kedua yang dibangun dapat diperiksa ketetapan modelnya, maka perlu melakukan pengulangan pengamatan, yang dilakukan sebanyak 4 kali pada titik pusat (x 1 = 0 dan x 2 = 0). Dengan demikian, percobaan menggunakan rancangan komposit pusat akan dilakukan pada titiktitik percobaan yang telah didefinisikan di mana pada titik pusat akan dilakukan ulangan, sedangkan pada titiktitik lainnya tidak dilakukan pengulangan pengamatan. Pada kasus pemurnian oksigen ini, titiktitik pusat bersesuaian dengan T = 190 o C dan R = 1.376 atm untuk daerah maksimum. Pada percobaan awal (Tabel 3), ditetapkan titik pusat T = 220 dan R =1.2 atm, maka bentuk hubungan x 1 dengan serta x 2 dengan R dapat dimodifikasi ke dalam persamaan berikut, (6)... (7) Berdasarkan sifat dari rancangan komposit pusat dan pengulangan pengamatan yang dilakukan pada titik pusat, maka dapat dirancang suatu percobaan dengan mengambil titiktitik dan atau titiktitik dan yang bersesuaian. Percobaan dilakukan kembali sehingga memperoleh data seperti Tabel 5. Optimasi dengan Metode Dakian... (Marwan) 39

Tabel 5 Percobaan untuk Daerah Maksimum Variabel Kode Variabel Asli x 1 x 2 T R Respon (Y) 1 1 195 1.276 86.2768 1 1 195 1.476 87.1249 1 1 185 1.276 87.5670 1 1 185 1.476 86.3998 0 0 190 1.376 87.7321 0 0 190 1.376 87.1454 0 0 190 1.376 88.2779 0 0 190 1.376 88.2319 1.414 0 197.07 1.376 86.0129 1.414 0 182.93 1.376 86.1900 0 1.414 190 1.235 87.6819 0 1.414 190 1.517 87.2976 Untuk memudahkan proses komputasi dalam membangun model orde kedua, data pada Tabel 5 disusun kembali sebagaimana disajikan pada Tabel 6. Tabel 6 Dugaan Model Orde Dua Daerah Maksimum x 1 x 2 x 1 2 x 2 2 x 1 x 2 Y 1 1 1 1 1 86.2768 1 1 1 1 1 87.1249 1 1 1 1 1 87.567 1 1 1 1 1 86.3998 0 0 0 0 0 87.7321 0 0 0 0 0 87.1454 0 0 0 0 0 88.2779 0 0 0 0 0 88.2319 1.414 0 1.999 0 0 86.0129 1.414 0 1.999 0 0 86.19 0 1.414 0 1.999 0 87.6819 0 1.414 0 1.999 0 87.2976 Selanjutnya, akan dilakukan pendugaan parameter model orde kedua dengan menggunakan metode kuadrat terkecil. Hasil perhitungan dengan menggunakan software Minitab disajikan pada Tabel 7. 40 Jurnal Mat Stat, Vol. 10 No. 1 Januari 2010: 3444

Tabel 7 Analisis Ragam Model Orde Dua Sumber db JK KT F P Regresi 5 5.57 1.11 4.93 0.04 Linear 2 4.04 2.02 8.94 0.02 Kuadrat 2 1.52 0.76 3.37 0.1 Interaksi 1 0.01 0.01 0.04 0.84 Ressidual Error 6 1.36 0.23 Lack of Fit 3 0.09 0.03 0.07 0.97 Pure Error 3 1.26 0.42 Total 6 6.93 Gambar 2 Permukaan Respon Maksimum Berdasarkan output diketahui bahwa model orde kedua kasus di atas dapat dituliskan sebagai 87,8 0,102 0,108 0,861 0,167 0,504. (8) Pengujian koefisien regresi secara parsial untuk model (8) dapat dilihat pada Tabel 7. Terlihat bahwa nilai P value dengan derajat kepercayaan α = 5% uji koefisien regresi signifikan untuk dan x 1 x 2. Hal ini berarti bahwa kedua suku tersebut berpengaruh pada model. Selanjutnya, akan ditentukan titiktitik x 1 dan x 2 yang memaksimumkan model (8), dengan menerapkan kondisi optimasi. Berdasarkan model (8), diperoleh matriks Hessian yang dituliskan sebagai (Stewart, 2003) 1.722 0.504 0504 0.344 Dapat ditunjukkan bahwa 0.321 merupakan nilai ekstrim yang bersifat definit negatif. Dengan demikian, model orde dua (8) memenuhi syarat cukup untuk kondisi maksimum. Akibatnya, titik stasioner x 1 = 0.06 dan 0.41 adalah titik maksimum. Substitusi dan pada model (8) memberikan nilai dugaan respon maksimum 87.8. Grafik permukan respon maksimum disajikan pada Gambar 2 dan kontur plotnya pada Gambar 3. x 1 = 0.06 Optimasi dengan Metode Dakian... (Marwan) 41

Gambar 3 Kontur Respon Maksimum Jelas bahwa pada suhu 190.3 dan rasio tekanan sebesar 1.417 atm adalah kondisi pemurnian oksigen yang maksimum sebesar 87.8. Uji Orde Model dengan Nilai Duga Galat Pada tahap ini, akan ditinjau nilai galat model orde satu (5) dan model orde dua (8) untuk percobaan yang diduga mengandung titik maksimum. Nilai duga galat model dapat dilihat pada Tabel 8 dan Tabel 9, yaitu nilai galat model orde satu dan galat model orde dua, yang menunjukkan adanya nilai galat yang besar pada titik tertentu untuk model orde kedua (8). Tabel 8 Galat Model Orde Satu ₁ ₂ Ŷ 1 1 82.8 83 0.2 0.04 1 1 83.5 83.5 0 0 1 1 84.7 84.7 0 0 1 1 85 85.2 0.2 0.04 0 0 84.1 84.1 0 0 0 0 84.5 84.1 0.4 0.16 0 0 83.9 84.1 0.2 0.04 0 0 84.3 84.1 0.2 0.04 Jumlah 0.32 Sesuai dengan data pada Tabel 9, apabila koefisien dan variabel yang tidak signifikan dihilangkan dari model karena diduga menjadi penyebab nilai galat yang besar diperoleh Hasil pengujian model (9) dapat dilihat pada Tabel 10. 87.8 0.828 0.504 (9) 42 Jurnal Mat Stat, Vol. 10 No. 1 Januari 2010: 3444

Tabel 9 Galat Model Orde Dua ₁ ₂ Ŷ 1 1 86.276 86.320 0.0438 0.0019 1 1 87.124 87.112 0.0123 0.0002 1 1 87.56 87.532 0.0348 0.0012 1 1 86.399 86.308 0.091 0.0083 0 0 87.732 87.846 0.1147 0.0132 0 0 87.145 87.846 0.701 0.492 0 0 88.277 87.846 0.431 0.186 0 0 88.231 87.846 0.385 0.1483 1.4 0 86.012 85.980 0.032 0.001 1.4 0 86.19 86.269 0.079 0.006 0 1.4 87.681 87.665 0.016 0.0003 0 1.4 87.297 87.360 0.063 0.0039 Jumlah 0.862 Tabel 10 Analisis Ragam Model (9) Sumber db JK KT F hit Regresi 2 2.58 2.79 20.65 Residual Error 9 1.22 0.14 Lack of Fit 1 0.01 0.01 0.08 Pure Error 8 1.20 0.15 Total 11 6.8 Dari model (9) dihitung nilai galat baru pada Tabel 11 yang menunjukkan bahwa nilai ragam galat yang diperoleh lebih besar dari dan. Tabel 11 Nilai Galat Baru ₁ ₂ Ŷ 1 1 86.276 86.381 0.104 0.0109 1 1 87.124 87.389 0.264 0.0698 1 1 87.567 87.389 0.177 0.0316 1 1 86.399 86.381 0.018 0.0003 0 0 87.732 87.713 0.018 0.0003 0 0 87.145 87.713 0.568 0.3226 0 0 88.277 87.713 0.564 0.3187 0 0 88.231 87.713 0.518 0.2688 1.4 0 86.012 86.058 0.045 0.0020 1.4 0 86.19 86.058 0.131 0.0173 0 1.4 87.681 87.713 0.031 0.0009 0 1.4 87.297 87.713 0.415 0.1728 Jumlah 1.2165 Dengan demikian, secara umum model orde dua (9) lebih baik untuk menduga hasil percobaan pemurnian oksigen dibandingkan dengan model orde satu (5) dan model (8). Hal ini juga dapat dilihat pada Gambar 4. Gambar ini menyajikan grafik galat untuk ketiga model. Terlihat bahwa secara umum galat untuk model (9) lebih kecil dibandingkan dengan model (5) dan model (8). Optimasi dengan Metode Dakian... (Marwan) 43

0.8 0.6 0.4 0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ε₁ ε₂ ε₃ Gambar 4 Nilai Galat Model PENUTUP Telah diuraikan penggunaan metode dakian tercuram untuk menentukan nilai optimum. Sebagai studi kasus, diambil data hasil percobaan pemurnian oksigen di suatu industri kimia. Pemurnian dilakukan pada suhu (T) dan rasio tekanan (R) tertentu, dengan kondisi awal percobaan pada suhu T = 220 o C dan rasio tekanan R =1.2 atm. Berdasarkan hasil perhitungan, diperoleh bahwa daerah maksimum terjadi pada lintasan ke6, pada proses akhir dalam penentuan titik optimum dengan rancangan komposit pusat, dan diketahui titik maksimum berada pada suhu reaksi 190.3 o C dan rasio tekanan sebesar 1.417 atm dengan 87.82 dugaan respon pemurnian oksigen. DAFTAR PUSTAKA Amago, T. (2001). Sizing optimization using respond surface method in FOA. Research Report, Japan: Research Domain 14. Aunuddin. (2005). Statistika, rancangan, dan analisis data, Bogor: IPB Press. Gaspersz, V. (1992). Teknik analisis dalam penelitian percobaanm, Bandung: Tarsito. Khuri, A.I. (2003). Advanced calculus with applications in statistics, Canada: Wiley Interscience. Mendenhall, W. (1996). Statistics for management and economics, Boston: Duxbury Press. Montgomery, D.C. (2001). Design and analysis of experiments, 5 th ed., New York: John Wiley & Sons, Inc. Myers, R.H. (1971). Response surface methodology, Boston: Allyn & Bacon, Inc. Stewart, J. (2003). Kalkulus, edisi keempat, jilid kedua, Jakarta: Erlangga. Walpole, R.E., and Myers, R.H. (1995). Ilmu peluang dan statistika untuk insinyur dan ilmuan, Bandung: Institut Teknologi Bandung. 44 Jurnal Mat Stat, Vol. 10 No. 1 Januari 2010: 3444