DEFINISI LP PENGANTAR LINEAR PROGRAMMING Linear Programming/LP (Program Linear) merupakan salah satu teknik dalam Riset Operasional (Operation Research) yang paling luas digunakan dan dikenal dengan baik. LP merupakan metode matematika untuk mengalokasikan sumber daya untuk mencapai tujuan tunggal seperti memaksimumkan keuntungan atau meminimumkan biaya. 2 MODEL LINEAR PROGRAMMING Adalah sebuah model matematis yang bersifat umum yang digunakan untuk mengalokasikan faktor produksi atau sumber daya yang jumlahnya terbatas secara optimal, sehingga dapat menghasilkan laba maksimal atau biaya minimal FUNGSI-FUNGSI DALAM PL 1. Variabel Keputusan Variabel persoalan yang akan mempengaruhi nilai tujuan yang hendak dicapai. 2. Tujuan (objective function) Di mana tujuan yang hendak dicapai harus diwujudkan ke dalam sebuah fungsi matematika linear, yang kemudian fungsi itu dimaksimumkan atau diminimumkan terhadap kendala-kendala yang ada. 3 4 1
FUNGSI-FUNGSI DALAM PL 3. Kendala (contrains or subject to) Kendala dalam hal ini dapat diumpamakan sebagai suatu pembatas terhadap kumpulan keputusan yang mungkin dibuat dan harus dituangkan ke dalam fungsi matematika linear yang dihadapi oleh manajemen. 4. Status (status function) yang menyatakan bahwa setiap variabel yang terdapat di dalam model programasi linear tidak boleh negatif. ASUMSI DASAR 1. Certainty Angka yang diasumsikan dalam f.tujuan dan f.kendala secara pasti diketahui dan tidak berubah selama waktu dipelajari. 2. Proporsionality Alokasi sumber daya dengan goal yang ingin dicapai harus proporsional 3. Additivity Total dari semua aktivitas adalah sama dengan jumlah dari aktivitas individual 5 6 ASUMSI DASAR FORMULASI MODEL 4. Divisibility Jumlah produk yang akhirnya direkomendasikan dalam kondisi optimum, dapat berupa pecahan bukan bilangan bulat 5. Non-negatif variable Semua variabel bukan negatif, bisa nol atau positif (negatif dalam kuantitas fisik a/d mustahil) Permasalahan: mencari nilai-nilai optimal (maksimum atau minimum) dari fungsi linear dengan kendala-kendala tertentu Tujuan: linear yang dioptimumkan Kendala: -fungsi linear (lebih dari satu) yang harus dipenuhi dalam optimalisasi fungsi tujuan. Bentuk fungsi tujuan: persamaan atau pertidaksamaan 7 8 2
Linear Programming FUNGSI MATEMATIKA LP FORMULASI MODEL 1. Formulasi model matematika, yang meliputi 3 tahap: Tujuan Max/Min 1. Tentukan variable keputusan dan nyatakan dalam simbol matematika 2. Kendala 2. Membentuk suatu fungsi tujuan yang ditunjukkan sebagai suatu hubungan linear dari variable keputusan. 3. Menentukan semua kendala masalah dan mengekspresikan dalam persamaan atau pertidaksamaan yang juga merupakan suatu hubungan linear dari variable keputusan. a12x2 a21x1 a22x2 am1x1 3. a1nxn < b1 a2nxn < b2 < bn am2x2 amnxn Status x1 ; x2.. Xn > 0 10 Karakteristik Formulasi Masalah Grafis Simpleks Simpleks Big M Jumlah Variabel 2 >2 >2 Simpleks M-Besar Jenis fungsi tujuan maksimisasi & minimisasi maksimisasi & minimisasi maksimisasi & minimisasi Simpleks Dua Fase Jenis fungsi kendala semua bentuk Pertidaksamaan bertanda < Pertidaksamaan bertanda > atau persamaan = Metode Aljabar PERBEDAAN METODE SOLUSI Metode Linear Programming Simpleks Dual a11x1 9 METODE-METODE DALAM LP Simpleks Primal Z = c1x1 c2x2 cnxn Metode Grafik 11 12 3
CONTOH 1 (PEMBUATAN MODEL) Sebuah perusahaan memperkerjakan pengrajin untuk memproduksi mangkok dan cangkir. Sumber daya utama yang digunakan perusahaan adalah tanah liat dan tenaga kerja. Tersedia 40 jam tenaga kerja dan 120 kg tanah liat setiap hari untuk produksi. Dengan keterbatasan sumber daya, perusahaan ingin mengetahui berapa banyak mangkok dan cangkir yang akan diproduksi tiap hari dalam rangka memaksimalkan laba. Parameter kedua produk adalah sebagai berikut: Produk Tenaga Kerja (jam/unit) Kebutuhan Sumber Daya Tanah Liat (kg/unit) Laba ($/unit) Mangkok 1 4 40 Cangkir 2 3 50 13 MODEL CONTOH 1 Variabel Keputusan Tujuan Kendala X 1 = jumlah mangkok yang diproduksi X 2 = jumlah cangkir yang diproduksi Maksimalkan Z = 40X 1 50X 2 Z = total laba per hari 40X 1 = laba dari mangkok 50X 2 = laba dari cangkir 1X 1 2X 2 40 4X 1 3X 2 120 X 1 0 ; X 2 0 (kendala tenaga kerja) (kendala tanah liat) (kendala non negatif) 14 CONTOH 2 (PEMBUATAN MODEL) Seorang petani menyiapkan lahan untuk menanam dan membutuhkan pemupukan. Terdapat dua merek pupuk, Super-grow dan Crop-quick. Setiap merek menghasilkan jumlah nitrogen dan fosfat tertentu, sebagai berikut: MODEL CONTOH 2 Variabel Keputusan X 1 = jumlah pupuk SG yang dibeli X 2 = jumlah pupuk CQ yang dibeli Merek Nitorgen (kg/kantong) Kontribusi Kimia Fosfat (kg/kantong) Super-grow 2 4 Crop-quick 4 3 Tujuan Minimalkan Z = 6X 1 3X 2 Z = total biaya pemupukan 6X 1 = harga/biaya dari SG 3X 2 = harga/biaya dari CQ Lahan petani memerlukan paling sedikit 16 kg nitrogen dan 24 kg fosfat. Harga Super-grow $6 per kantong, dan Crop-quick berharga $3. Petani tersebut ingin mengetahui berapa banyak kantong dari setiap merek yang akan dibeli dalam rangka meminimalkan total biaya pemupukan. Kendala 2X 1 4X 2 16 4X 1 3X 2 24 X 1 ; X 2 0 (kendala nitrogen) (kendala fosfat) (kendala non-negatif) 15 16 4
PEMBUATAN MODEL: ANALISA TITIK IMPAS Bagian ini merupakan proses pengembangan dan pemecahan model sains manajemen melalui analisa break even atau analisa titik impas. Tujuan analisa titik impas adalah untuk menentukan jumlah unit produk (atau volume produksi) yang akan dijual dan diproduksi sehingga pendapatan total akan sama dengan biaya total. Titik dimana pendapatan total menyamai biaya total disebut titik impas atau titik break even, dan pada titik ini keuntungan sama dengan nol. KOMPONEN ANLISA TITIK IMPAS 1. Volume (V) Tingkat pendapatan atau produksi perusahaan. Dapat dinyatak sebagai: Jumlah unit (atau kuantitas) yang diproduksi dan dijual. Volume penjulan dalam satuan mata uang. Persentase dari kapasitas yang tersedia. 2. Biaya (TC) Biaya tetap (fixed cost), biaya yang tidak tergantung dengan volume produksi atau penjualan. Biaya variabel (variabel cost), biaya yang tergantung dengan volume produksi atau penjualan. 3. Keuntungan (Z) Perbedaan antara pendapatan total dan baiaya total. Pendapatan total merupakan volume dikali dengan harga per unit. 17 18 PERSAMAAN MATEMATIS ANALISA TITIK IMPAS TC c f vc v Dimana : Z = keuntungan total v = volumen (jumlah unit yang dijual) p = harga per unit TC = biaya total Z Dimana : TC = biaya total c f = biaya tetap total v = volumen (jumlah unit yang dijual) c v = biaya variabel per unit vp TC 19 CONTOH ANALISA TITIK IMPAS Kasus: Sebuah perusahaan memproduksi baju, dengan biaya tetap sebesar $10.000 dan biaya variabel $8 per unit baju. Dalam satu bulan perusahaan dapat menjual 400 unit dengan harga $23. Berapa keuntungan total yang didapat perusahaan? Jawaban: Z = vp (c f vc v ) = (400)(23) {10.000 (400)(8)} = 9.200 13.200 = $4.000 Perusahaan Rugi Bagaimana agar untung (minimal keuntungan nol)??? 20 5
MENGHITUNG TITIK IMPAS Dengan menggunakan contoh perusahaan baju, dan jika diasumsikan harga statis, serta biaya tetap dan biaya variabel tidak berubah, maka satu-satunya yang dapat diubah ada volume pendapatan. Sehingga, berapa jumlah volume pendapatan yang dapat menghasilkan keuntungan nol? Pada titik impas, dimana pendapatan total sama dengan biaya total, maka keuntungan akan sama dengan nol. Sehingga, jika angka nol dimasukkan pada Z, maka volume dapat ditentukan, yaitu: Z = vp (c f vc v ) 0 = (23) {10.000 v(8)} 0 = 23v 10.000 8v Titik impas (break even 15v = 10.000 point) ) perusahaan v = 666,7 unit baju 21 22 6