Pertemu : 3 Mteri : Sistem Persm Lier : - Teorem Eksistesi - Reduksi ke Betuk Echelo Stdr Kompetesi : Setelh megikuti perkulih ii mhsisw dihrpk dpt. memhmi kemli pegerti mtriks d trsformsi lier. memhmi pegguk mtriks d trsformsi lier dlm meyelesik permslh Kompetesi Dsr: Setelh megikuti perkulih ii mhsisw dihrpk dpt. memuktik secr forml tetg teorem eksistesi. meulisk kemli defiisi rug gi prlel 3. meulisk kemli defiisi rug gi ffie 4. meulisk kemli defiisi etuk mtriks eselo tereduksi 5. meetuk mtriks legkp dri sutu sistem persm lier Uri Mteri : 3. Sistem Persm Lier Sutu sistem persm liier mempuyi etuk, +,, +, + +,, = + +,, = Li) m, +, m + + m, = m.,,, tidk dikethui, d k dicri. m dri i, dim i =,, =,, diseut koefisie dri sistem persm liier Li) d msig-msig iliy tertetu. Solusi dri sistem persm liier Li) dlh -tuple terurut dri s s s ) sehigg persm m 0
+,s + +, s,s,s +,s m, s +, s + +, s, =, = m + + m, s = m, dlh er. Utuk meyelesik sistem Li) errti mecri semu solusi dri Li). 4. Teorem Eksistesi : Perhtik mtriks di wh ii : A =,,,,,,, X =, B = Mtriks A dimk mtriks koefisie dri sistem liier Li), d B mtriks kost dri sistem liier. Kit dpt meulisk sistem persm liier dlm etuk persm mtriks tuggl Mt) Pemech dri persm mtriks ii dpt digmrk secr sederh dlm trsformsi liier. Kit mislk T : R dlh trsformsi liier reltif terhdp sis stdr A. Sehigg R m T,,, ) = i,,,,, Misl B =,,, m ) dlh vektor di R m. Solusi dri Mt) dlh vektor s, s,,...,s ) di R sehigg Ts, s,, s ) =,,, m ). Proposisi 4. : Sistem liier Li) mempuyi solusi ik d hy ik vektor,,, m ) terletk pd imge dri trsformsi T : R R m, yitu, ik d hy ik B ImT).
Defiisi 4. : Jik A = ) seuh mtriks m, vektor kolom dri A dlh vektor i, A ) =,,, ),, A ) =,,, ),, A ) =,,, ),, di R m. Rug kolom A dlh meretg liier dri vektor kolom di R m. Cotohy, ik 0 A = 0 Mk vektor kolom dri A, d du vektor,-,0), 0,-,) di R 3. Teorem 4.3 : Mislk, +, + +,, =, +, m, +, + +,, = m + + m, seuh sistem persm liier. Defiisik mtriks = m. A =,,,,,,, X =, B = Mk sistem liier mempuyi solusi ik d hy ik vektor B =,,, m ) dpt diytk segi komisi liier dri vektor kolom A.
Defiisi 4.4 : Sistem persm liier diktk homoge ik B = 0 = 0. 0 Teorem 4.5 : : Mislk A. X = 0 seuh sistem persm liier homoge. Mk himpu S = { s s s ) } solusi dri sistem liier ii dlh surug dri R. Leih tept ik T : R R m dlh trsformsi liier yg mtriksy reltif terhdp sis stdr A, mk S=kerT). Defiisi 4.6 : Mislk V rug vektor, U surug dri V, d A V. Notsik A = A + U V himpu semu vektor eretuk A + X dim X U. Himpu A + U dimk prllel trslte, sugi prlel, tu prlel U di V. Ii dimk hsil trslsi prlel U oleh vektor A. Prlel dri eerp surug di V dimk surug ffie di V. Gmr. meuukk seuh surug ffie di R. Hsil dri trslsi prlel oleh vektor A = 3,) R dri surug U = { + y + z + y = 0)} diretg oleh vektor,-) R. 3
y U A + U Gmr 3. Proposisi 4.7 : Jik U surug dri vektor V d A V, mk : ) A A + U. ) Jik B A + U mk B + U = A + U. 3) Du prlel U coicide tu tidk mempuyi vektor ersm. 4) Jik B, C A + U mk B C U. Proposisi 4.8 : Mislk T : V W trsformsi liier d C ImT). Mislk A={V V TV) = C}, A himpu vektor di V di m imge di wh T dlh vektor C. Mk A surug ffie di V. Jik A serg vektor di V demiki sehigg TA) = C, mk A = A + kert). Teorem 4.9 : : Mislk dlm otsi mtriks) hw dlh sistem persm liier, mk. himpu semu solusi S = { s s s ) } terhdp sistem liier ii dlh kosog tu surug ffie di R. Leih tept, ik T : R R m trsformsi liier yg mtriksy reltif terhdp sis stdr di A, mk S dlh prllel trslte dri kert) oleh sutu vektor S di S, tu S =. Jdi kit liht hw utuk meetuk solusi dri sistem liier 4
kit hrus meetuk surug ffie tertetu di R. Ii dpt dilkuk deg mecri sis utuk rug solusi dri sistem A. X = 0 d mecri solusi prtikulir tuggl dri persm ik hy stu). 5. Reduksi Betuk Eselo Defiisi 5. : :Seuh mtriks A = ) diktk erd dlm etuk eselo tereduksi ik i, mempuyi sift-sift erikut :. Jik ris tidk terdiri seluruhy dri ol, mk ilg tk ol pertm dlm ris terseut dlh. ilg ii dimk ii utm).. Jik terdpt ris yg seluruhy terdiri dri ol, mk semu ris seperti itu dikelompokk ersm-sm di wh mtriks. 3. Dlm serg du ris yg erurut yg seluruhy tidk terdiri dri ol, mk utm dlm ris yg leih redh terdpt uh ke k dri utm dlm ris yg leih tiggi. 4. Msig-msig kolom yg megdug utm mempuyi ol di tempt li. Seuh mtriks yg mempuyi sift-sift,, d 3 diktk erd dlm etuk mtriks eselo. Defiisi 5. : : Jik dlh sistem persm liier, mk mtriks,,,, dimk mtriks ugmeted dri sistem liier.,, m 5