Mata Kuliah : Analisis Struktur Kode : TSP 202 SKS : 3 SKS Prinsip Dasar Metode Energi Pertemuan - 1
TIU : Mahasiswa dapat menghitung perpindahan/deformasi struktur TIK : Mahasiswa dapat menjelaskan prinsip kerja dan Energi dalam perhitungan deformasi struktur
Sub Pokok Bahasan : Lendutan Kerja dan Energi Prinsip Konservasi Energi Text Book : Hibbeler, R.C. (2010). Structural Analysis. 8th edition. Prentice Hall. ISBN : 978-0-13-257053-4 West, H.H., (2002). Fundamentals of Structural Analysis. John Wiley & Sons, Inc. ISBN : 978-0471355564
Deflections Deflections of structures can occur from various sources, such as loads, temperature, fabrication errors, or settlement. In design, deflections must be limited in order to provide integrity and stability of roofs, and prevent cracking of attached brittle materials such as concrete, plaster or glass.
Before the slope or displacement of a point on a beam or frame is determined, it is often helpful to sketch the deflected shape of the structure when it is loaded in order to partially check the results. This deflection diagram represents the elastic curve of points which defines the displaced position of the centroid of the cross section along the members.
Kerja Prinsip Konservasi Energi (conservation of energy principle) : Kerja akibat seluruh gaya luar yang bekerja pada sebuah struktur (external forces) U e, menyebabkan terjadinya gaya-gaya dalam pada struktur (internal work or strain energy) U i seiring dengan deformasi yang terjadi pada struktur. (1) Apabila tegangan yang terjadi tidak melebihi batas elastis material struktur tersebut, elastic strain energy akan mengembalikan bentuk struktur ke tahap awal sebelum terjadinya pembebanan, jika gayagaya luar yang bekerja dihilangkan.
Gaya Axial luar yang bekerja pada struktur (external workforce) Ketika sebuah gaya F mengakibatkan perpindahan sebesar dx ke arah yang sama dengan arah gaya F tersebut, maka kerja yang dilakukan adalah du e = F d x. Jika total perpindahan adalah x, maka persamaan berubah menjadi : U e = x Fd x 0 (2)
Perhatikan gambar 1.1 berikut Gambar 1.1 Gaya axial F bekerja pada ujung dari sebuah bar. Besar magnitude gaya F meningkat secara perlahan dari 0 hingga P, yang mengakibatkan bar mengalami perpanjangan sebesar. Subsitusikan persamaan gaya tersebut kedalam persamaan 2, dan intergrasikan mulai dari 0 hingga maka akan kita dapatkan : U e = 1 2 P (3)
Gaya Momen luar yang bekerja pada struktur (external work-moment) Gaya momen didefinisikan sebagai produk dari besaran Momen M dan sudut dq sesuai arah putarannya, sehingga du e = M dθ Gambar 1.3 jika total besar sudut putaran adalah sebesar θ radian, maka persamaan kerja menjadi (5) dan seperti halnya dengan gaya axial, apabila magnitude momen diperbesar mulai nol hingga M, maka dengan mengintegralkan persamaan 5 tersebut akan didapat: (6)
Energi Regangan akibat axial force (strain Energy Axial force) Gambar 1.4 Gaya N yang bekerja pada sebuah Bar seperti yang terlihat pada Gambar 1.4, dikonversikan menjadi strain energy yang menyebabkan pertambahan panjang pada bar sebesar dan timbulnya tegangan σ. Jika diasumsikan bahwa material bar adalah linearly elastic, maka berlaku Hooke s Law : σ = Eε. Apabila Bar mempunyai luas area yang sama sepanjang bar sebesar A dan panjang L, maka persamaan defleksi dapat dituliskan menjadi: Subsitusikan persamaan 7 ke dalam persamaan 3 dengan mengganti P = N, maka didapat : (7) (8)
Energi Regangan akibat Bending(strain Energy Bending) Gambar 1.5 Seperti sudah dipelajari dalam mata kuliah Mekanika Bahan, bahwa persamaan rotasi pada balok adalah dθ = (M/EI) dx. Berdasarkan konsekuensi prinsip energi, maka dengan menggunakan persamaan 6, dapat dihasilkan: Total strain energy pada balok bisa didapat dengan mengintegrasikan persamaan ini terhadap seluruh panjang Balok L, sehingga didapat (9) (10)
External Work, Ue Internal Work, Ui Axial Force 1 2 P N 2 L 2AE Bending Moment 1 2 Mθ M 2 dx 2EI
Castigliano Theorem Italian engineer Alberto Castigliano (1847 1884) developed a method of determining deflection of structures by strain energy method. His Theorem of the Derivatives of Internal Work of Deformation extended its application to the calculation of relative rotations and displacements between points in the structure and to the study of beams in flexure.
Castigliano s Theorem for Beam Deflection For linearly elastic structures, the partial derivative of the strain energy with respect to an applied force (or couple) is equal to the displacement (or rotation) of the force (or couple) along its line of action. i U P i i U i or qi (11) M i
Subtitusi persamaan 10 ke persamaan 11 : P L 0 2 M dx 2EI L 0 M M P dx EI (12) Jika sudut rotasi q, yang hendak dicari : q L 0 M M M dx EI (13)
Example 1 Determine the displacement of point B of the beam shown in the Figure. Take E = 200 GPa, I = 500(10 6 ) mm 4.
Example 2 Determine the slope at point B of the beam shown in Figure. Take E = 200 GPa, I = 60(10 6 ) mm 4.
Example 3 Determine the vertical displacement of point C of the beam. Take E = 200 GPa, I = 150(10 6 ) mm 4.
Example 4 Determine the slope at point C of the two member frame shown in figure. The support at A is fixed. Take E = 200 GPa, I = 250(10 6 ) mm 4.