SISTIM PERSAMAAN LINIER Agusti Prdjigsih, M.Si. Jurus Mtemtik FMIPA UNEJ gusti.fmip@uej.c.id
DEFINISI : Persm Liier Persm Liier dlm peubh,, ditk dlm betuk b dim,,, b R
Pemech persm liier dits dlh urut dri bil. s, s,, s sehigg persm tersebut dipeuhi bil s, s,, s Himpu semu pemech persm tersebut dimk himpu peelesi. (HP)
Defiisi : Sistim Persm Lier Sistim Persm Liier dlh sebuh himpu berhigg dri m persm liier (i) deg peubh (j) : j i j ij m m m m b b b b tu kostt,,, peubh,,, i b deg
Sistim Persm Liier dri m persm liier deg peubh, dpt ditk dlm betuk mtriks AX B m m m m b b b ;B ;X A deg
Mtriks legkp tu ugmeted mtriks dri Sistim Persm Liier AX B m m m m b b b AB dlh
Terliht jik trsformsi elemeter dilkuk pd (AB) mk sistem persm liier g timbul k ekuivle deg sistem persm liier g diberik. Dlm sistem AX=B, jik mtriks AB dibw ke betuk koik/mtriks eselo bris tereduksi CK mk sistem persm CX=KAX=B. Ii berrti peelesi persm CX=K jug merupk peelesi persm AX=B d seblik
CONTOH Selesik sistim persm liier berikut z z z z
Mtriks legkp dri sistim tersebut AB Ak dibw ke betuk koik
E (-), E (-), E (-) () ), ( ), ( 6 E E E 5 5 5 5 5 6 6 ) ( (), ), ( 5 E E E
Dpt diliht z Vektor peelesi X Mtriks koik/mtriks eselo bris tereduksi
Sebuh sistim persm liier d kemugki pemech : () Tept stu pemech; () Tkterhigg pemech; () Tidk pu pemech Sebuh sistim persm liier g mempui pemech (=kosiste) sedg sistim persm liier g tidk mempui pemech diktk (=tkkosiste).
SIFAT-SIFAT Sistem AX=B terdiri ts m persm liier dlm bilg tk dikethui mempui peelesi kosiste jik d h jik r(a)=r(ab) Sistem AX=B ikosiste h jik r(a)r(ab) jik d
Jik sistem AX=B kosiste deg r(a)< mk (-r) bilg tk dikethui dpt dipilih sedemiki higg mtriks koefisie r bilg tk dikethui g tersis mempui rk r. Jik (-r) bilg tk dikethui sudh dipilih (sebrg) mk r bilg tk dikethui g li tertetu deg tuggl.
Selesik sistim persm liier berikut ( persm liier dlm bilg tk dikethui) CONTOH 5 5 6
E (-) d E (-) E (-), E (8) 6-5 - 5 - - - AB Mtriks legkp dri sistim tersebut 6 - - -8 - E (-), E (-)
- Mtriks koik/mtriks eselo bris tereduksi r(a)=r(ab)= sistem persm liier dits mempui peelesi [(-=) bilg tk dikethui mejdi prmeter]
Terliht Misl = mk d Jdi vektor peelesi dlh R, X
Sistem Persm Lier HOMOGEN j j ij m m m tu Peulis dlm betuk mtriks m m m
Mtriks legkp Sistem tersebut dlh AO m m m r(a)=r(ao), ii meujukk SPL Homoge psti mempui peelesi ol/trivil X Jik r(a)= trivil Jik r(a)< trivil d o trivil
CONTOH Selesik sistim persm liier homoge berikut ( persm dlm bilg tk dikethui) () Peelesi trivil X
Mtriks legkp 7 E (-) E (/), E () r(a)=r(ao)=<
Kre r(a)=r(ao)=<, mk sistem tersebut jug mempui peelesi o trivil. Dri betuk koik terliht 7 Misl = mk d 7 Jdi vektor peelesi dlh 7 7, R X
Sistem Persm Lier NON HOMOGEN j i j ij m m m m b b b b tu Peulis dlm betuk mtriks m m m m b b b
Mtriks legkp Sistem tersebut dlh m m m m b b b AB Sistem persm liier o homoge mempui peelesi/kosiste jik r(a)=r(ab).
Jik sistem persm liier o homoge kosiste mk peelesi bis tuggl bis tk berhigg bk. Khusus utuk m=, peelesi. Tuggl jik det(a). Bk jik det(a)=
CONTOH Selesik sistim persm liier o homoge berikut 8 7
E () d E (-) Mtriks legkp dri sistim tersebut E (-),E (), E (-) 8 7 AB 8 5 7 5 5 7 7) ( (5), ), ( 5 E E E
Mtriks koik/mtriks eselo bris tereduksi r(a)=r(ab)= kosiste. Jdi peelesi dlh X SPL o homoge dits mempui tept stu peelesi tuggl.
CONTOH Selesik sistim persm liier o homoge berikut z w z w w
E () d E (-) Mtriks legkp dri sistim tersebut E (-), E () AB 6 Mtriks koik r(a)=r(ab)= kosiste.
SPL mejdi persm vribel, jdi vribel mejdi prmeter z z d w w Misl w = d z = mk Jdi vektor peelesi dlh & X,, R Bk tk higg peelesi
CONTOH Selesik sistim persm liier o homoge berikut
Mtriks koik r(a)=(ab)= ikosiste. Mtriks legkp dri sistim tersebut AB 8 7 8 ( (\), ( ), ( E E E ) ( ), ( ), ( E E E
Peelesi SPL ATURAN CRAMER MENGHITUNG A - ; X=A - B. ELIMINASI GAUSS DENGAN SUBTITUSI BALIK ELIMINASI GAUSS-JORDAN
. Atur Crmer Jik AX = B sistem persm liier g terdiri dri persm liier dlm peubh d A, mk det( A ) det( A ), det( A) det( A),, det( A ) det( A) A j mtriks g diperoleh deg meggtik etri dlm kolom ke-j dri A deg etri dlm mtriks kolom B.
CONTOH 5 6 z z z Diberik sistim persm liier sbb 8 6-5 6 - A
5 6 8 6-5 6 - A ; A A ; A A ; A A z z z 6 8 8 6 6 A z 6 8 5-5 - A
. Meghitug A - ; X=A - B. Jik A mtriks g ivertible, mk utuk setip mtriks B g berukur, sistem persm liier AX=B mempui tept stu pemech, ki X=A - B
CONTOH 5 6 z z z Diberik sistim persm liier sbb ;B z ;X -5 6 - A
Dihitug A - 7 5 6 ) ( d ) ( E E E ( ) 7
7 ) ( d ) ( E E ) ( E ) ( d ) ( 7 E E 7 7 7
- - 7 - -7 A - - 7 - -7 B A X z
. Elimisi Guss dg Subtitusi Blik Metode ii didsrk pd pereduksi ugmeted mtri mejdi mtriks berbetuk eselo bris.
ugmeted mtri dri sistim tersebut 5 6 CONTOH 5 6 z z z Diberik sistim persm liier sbb
7 7 7 5 6 E (-) d E (-) E ( ) 7 7 7
7 7 E (-) ) ( E Mtriks eselo bris 7 7
Sistim persm liier mejdi z 7 z z 7 diperoleh z
. Elimisi Guss Jord Metode ii didsrk pd pereduksi ugmeted mtri mejdi mtriks berbetuk eselo bris terreduksi
5 6 z z z Diberik sistim persm liier sbb ugmeted mtri dri sistim tersebut 5 6 CONTOH
7 7 7 5 6 E (-) d E (-) E ( ) 7 7 7
7 7 E (-) ) ( E 7 7 E ( 7 )
) ( E ) ( E Mtriks eselo bris tereduksi z 7