Pge of Kegitn eljr. Tujun Pembeljrn Setelh mempeljri kegitn beljr, dihrpkn sisw dpt :. Menentukn jrk titik dn gris dlm rung b. Menentukn jrk titik dn bidng dlm rung c. Menentukn jrk ntr du gris dlm rung. Urin Mteri Jrk Titik, ris dn idng dlm Rung. Jrk Titik ke Titik Jrk ntr du titik dlh dengn menrik gris hubung terpendek ntr kedu titik tersebut, jdi jrk ntr titik dn dlh pnjng gris Jik titik dlm koordint crtesius mk jrk kedu titik dlh (b, b, b ) (,, ) Pnjng ( ) ( ) ( ) b + b + b Modul Mtemtik dsr isusun oleh Khirul sri, S.Pd
Pge of ontoh :. Tentukn jrk ntr titik P (, 5, ) dengn titik R (, 8, ) Penyelesin Jrk PR ( ) + ( 5 8) + ( ) PR ( ) + ( ) + ( 0) PR + 9 PR 5 Jdi jrk titik P dn R dlh 5 stun pnjng. Kubus memiliki pnjng rusuk cm, titik P merupkn perpotongn digonl bidng ts, hitunglh jrk titik P dn Penyelesin Untuk mencri pnjng gris P mk perhtikn segitig P yng terbentuk, segitig P dlh segitig siku-siku, dengn siku-siku di, Sehingg dengn teorem pythgors pnjng P dlh P + P + 5 + ( ) Jdi jrk titik ke titik P dlh Modul Mtemtik dsr isusun oleh Khirul sri, S.Pd
Pge of b. Jrk titik ke ris Jrk titik ke gris dlh jrk terdekt sebuh titik ke gris, jrk terdekt diperoleh dengn menrik gris yng tegk lurus dengn gris yng dimksud. Jrk titik dengn gris g dlh pnjng gris g ontoh :. Kubus memiliki pnjng rusuk 8 cm, titik P merupkn perpotongn digonl bidng ts, hitunglh jrk titik P dengn gris Penyelesin R Q 8 Jrk ntr titik P dn gris dlh gris PQ, sehingg PQ PR + PQ + 8 + 80 5 Q R P Jdi jrk titik P Ke gris dlh 5 cm. Sebuh kubus. dengn pnjng rusuk cm. tentukn jrk titik ke gris dlh Penyelesin P cm Jrk titik pd gris dlh gris P Modul Mtemtik dsr isusun oleh Khirul sri, S.Pd
Pge of cos ( ) + ( ) ( )( ) 7 + 08 cos 7 mk sin sin P P P cos Jdi jrk titik ke gris dlh c. Jrk Titik dengn bidng Untuk menentukn jrk sebuh titik pd sutu bidng, mk terlebih dhulu ditrik gris lurus yng terdekt dri titik ke bidng, sehingg memotong bidng dn gris tersebut hrus tegk lurus dengn bidng. Mislkn titik terletk di lur bidng α mk jrk titik ke bidng α dpt ditentukn sebgi berikut : Jrk titik ke bidng α dlh pnjng gris α Modul Mtemtik dsr isusun oleh Khirul sri, S.Pd
Pge 5 of ontoh :. Sutu lims segitig berturn, pnjng rusuk tegkny 8 cm dn pnjng rusuk lsny cm. Jrk titik ke bidng dlh. Penyelesin Jrk titik ke bidng dlh pnjng gris 8 O O O O 7 O O O 55 ( ) 8 engn turn cosinus mk ( 55) ( ) + ( 8 ) ( )( 8) 55 7 + 8cos cos 8 cos sin engn definisi sinus mk sin 8 8 cos Jdi jrk titik ke bidng dlh Modul Mtemtik dsr isusun oleh Khirul sri, S.Pd
Pge of. Tentukn jrk titik ke bidng, pd kubus, jik pnjng rusuk kubus dlh cm. Penyelesin Jrk titik ke bidng dlh R sin p ( ) + ( 5) ( )( ) 8 + 5 7 cos p cos p mk cos P cos P engn definisi sinus mk didpt pnjng R sin p R R R R P cm 5 R P Jdi jrk titik ke bidng dlh cm d. Jrk u ris Sejjr Jik d du gris yng sejjr, mk jrk kedu gris dengn menrik gris yng tegk lurus dengn kedu gris tersebut. Seperti tmpk pd gmbr di smping, dimn gris g dn h dlh du gris yng sejjr, mk jrk kedu g k R h gris tersebut dlh gris PR. Modul Mtemtik dsr isusun oleh Khirul sri, S.Pd
Pge 7 of ontoh ikethui sebuh blok., dengn pnjng 8 cm, lebr cm dn tinggi cm, tentukn jrk ntr gris dengn gris Penyelesin R Q 8 R Q Jdi jrk gris ke gris dlh pnjng gris PR P PR PQ + QR 5 5 + Jdi jrk gris ke gris dlh 5 cm e. Jrk ntr u ris yng ersilng u gris diktkn sling bersilng jik kedu gris tersebut tidk sejjr dn terletk pd du bidng yng berbed, seperti tmpk pd gmbr di bwh gris bersilngn dengn gris. Untuk menentukn jrk kedu gris tersebut di ts lkukn lngkh berikut :. utlh bidng α dn β yng sejjr, dengn ketentun gris pd bidng α dn gris pd bidng β seperti pd gmbr di bwh β Q α β α Modul Mtemtik dsr isusun oleh Khirul sri, S.Pd
Pge 8 of b. rilh jrk ntr du bidng dn bidng. Sehingg jrk ntr gris dn dlh gris PQ. β g Q g h α Jdi jrk gris g dn gris h dlh PQ ontoh Sutu kubus. dengn pnjng rusukny cm, tentukn jrk gris dengn dlh. Penyelesin R R Q Jrk ntr dn dlh PR Q P PR ( PQ) + ( QR) + Jdi jrk ntr dn dlh cm. Modul Mtemtik dsr isusun oleh Khirul sri, S.Pd
Pge 9 of f. Jrk ris ke bidng yng sejjr Untuk mengukur jrk gris ke bidng yng sejjr, mk terlebih dhulu kit tentukn titik sembrng pd gris kemudin kit trik gris lurus dri titik tersebut ke bidng sehingg gris yng terbentuk tegk lurus terhdp bidng. Seperti tmpk pd gmbr di bwh. g α Jrk gris g ke bidng α dlh grik PP. ontoh : Sutu kubus. dengn rusuk cm, jrk dengn bidng dlh. Penyelesin Q Jrk ke bidng dlh Pnjng dlh, sehingg ( ) Jdi jrk ke bidng dlh g. Jrk idng ke idng untuk mengukur jrk du bidng, pilihlh sembrng titik pd slh stu bidng kemudin ditrik grik luruh dri titik yng telh ditentukn ke bidng liny, sehingg Modul Mtemtik dsr isusun oleh Khirul sri, S.Pd
Pge 0 of gris yng terbentuk tegk lurus terhdp kedu bidng. Seperti tmpk pd gmbr berikut : β α Jrk ntr bidng β dn α dlh gris. ontoh ikethui kubus. dengn pnjng rusuk cm, tentukn jrk ntr dn. Penyelesin S R Q Jrk bidng dn bidng dlh gris PQ S Q R R Q S S S + ( ) + ( ) Segitig P P sin S S Segitig Q Q sin Modul Mtemtik dsr isusun oleh Khirul sri, S.Pd
Pge of Kren P + PQ + Q Mk PQ P Q dlh digonl rung mk pnjng dlh PQ Sehingg jrk bidng dn dlh cm. Lembr Kerj. ikethui lims segiempt berturn T. dengn cm, dn T 5 cm T P. Jrk T ke dlh Perhtikn gmbr di ts utlh gris tinggi lims ykni dengn menrik gris dri titik. Ke titik Tentukn titik tengh gris dlh Perhtikn gris TP dengn segitig T, kemudin triklh grik dri titik T ke titik, sehingg terbentuk segitig siku-siku dengn siku di titik Jrk titik T ke gris dlh gris. Pnjng TP dpt kit tentukn dengn menggunkn teorem Pythgors, pd segitig TP TP TP (...) + (...)... TP... Pnjng ntr titik P ke dlh (...). Modul Mtemtik dsr isusun oleh Khirul sri, S.Pd
Pge of Jrk titik T dengn gris dpt di tentukn ykni... TP ( ) + (...)...... b. jik dri lims di ts titik dlh titik tengh, mk jrk titik ke bidng T dlh.. Tentukn dluhu titik tengh gris dlh Pnjng T. T utlh segitig T Pd segitig T butlh gris tinggi dri ke gris T, titik potong gris tinggi dengn gris T di titik.. Jrk titik ke bidng T dlh engn menggunkn turn kosinus mk di dpt nili cos ( T )... +... (...)(...)... +...... cos...... cos... ri nili cos tentukn nili sin cos y y y sin.................. mk nili......... cos engn menggunkn definisi sinus mk dpt ditentukn pnjng gris tinggi... sin............... Jdi jrk titik ke bidng T dlh.... Sebuh kubus. dengn pnjng rusuk cm. Modul Mtemtik dsr isusun oleh Khirul sri, S.Pd
Pge of. Jrk gris dn dlh.. Tentukn titik P dlh titik tengh gris, dn titik Q dlh titik tengh gris, mk pnjng gris P dn pnjng gris Q utlh segitig dri titik P, Q dn, sehingg terbentuk segitig siku-siku. engn siku di titik.. Jrk ntr gris dn dlh.. engn teorem Pythgors mk pnjng PQ dpt ditentukn PQ (...) + (... )... +...... jdi jrk ntr gris dn dlh... b. Pd kubus di ts jrk ntr bidng dn dlh... butlh digonl rung Tentukn titik tengh gris dlh R dn titik tengh gris dlh S utlh gris tinggi pd bidng dri titik ke sehingg terbentuk du segitig siku-siku yitu segitig.. dn., begitu jug pd bidng di but gris tinggi dri ke sehingg terbentuk du segitig siku-siku, ykni segitid.. dn. Tentukn titik potong digonl rung dengn R dlh P dn titik potong dengn S dlh Q Jrk ntr bidng dn dlh.. engn teorem Pythgors mk kit tentukn pnjng R dn S R R R ( ) + (... )... +...... engn menggunkn sinus mk kit dpt menentukn pnjng P sin P sin R... R............... S S S ( ) + (...)... +......... Q sin Q sin c S... S............ Modul Mtemtik dsr isusun oleh Khirul sri, S.Pd
Pge of Q +pq+pe +. PQ Jdi jrk ntr bidng dn dlh.... Rngkumn. Jrk ntr du titik dlh jrk terpendek dri kedu titik tersebut.. Jrk ntr du titik pd bidng, untuk (x, y, z ) dn (x, y, z ) dlh ( x x ) + ( y y ) + ( z ) z. Tugs. Pd kubus. yng mempunyi pnjng rusuk 5 cm, jrk ntr dn dlh.... ikethui kubus memiliki pnjng rusuk 8 cm. Mislkn titik T terletk diperpnjngn sehingg T. Tentukn jrk titik terhdp bidng T Modul Mtemtik dsr isusun oleh Khirul sri, S.Pd
Pge 5 of. Sebuh prism segitig sm kki di bwh, dn merupkn segitig sm kki. Jik 8 cm, tinggi segitig cm dn pnjng dlh 5 kli pnjng, tentukn jrk titik ke. Modul Mtemtik dsr isusun oleh Khirul sri, S.Pd
Pge of. Sebuh kmr berbentuk blok seperti gmbr di bwh. Sebuh lmpu terletk ditengh-tengh tp kmr, sedngkn sklrny terletk di pojok dinding. Jik pnjng kmr dlh m, lebrny 8 m, sedngkn ketinggin sklr dri lnti dlh,5 m. pbil seuts kbel dipsng untuk menghubungkn lmpu dn sklr dengn rh dri (lmpu) kemudin ke dn selnjutny ke (sklr), perkirkn pnjng kbel tersebut (lmpu) (Sklr). Tes ormtif. ikethui kubus. dengn pnjng rusuk 8 cm, K dlh titik tengh rusuk. Jrk titik K ke gris dlh.... cm d. 9 cm b. cm e. 5 cm c. 5 cm. ikethui kubus. dengn pnjng rusuk cm, jik titik Q dlh titik potong digonl bidng, jrk ke Q dlh.... cm d. cm Modul Mtemtik dsr isusun oleh Khirul sri, S.Pd
Pge 7 of b. 7 cm e. cm c. cm. Lims segitig T. dengn pnjng rusuk cm dn rusuk T cm. jrk titik ke gris T dlh.. cm d. cm 7 b. cm 8 c. cm 5 e. cm. Pd kubus. dengn pnjng rusuk cm, jik titik K, L dn M berturut-turut merupkn titik tengh, dn, jrk ntr bidng dn KLM dlh.... cm d. cm b. cm e. 7 cm c. 5 cm 5. Pd kubus. dengn pnjng rusuk, jrk ke dlh.... b. c. d. 5 e.. Pd kubus. dengn pnjng rusuk cm jrk titik ke bidng dlh.... d. b. e. 8 c. Modul Mtemtik dsr isusun oleh Khirul sri, S.Pd
Pge 8 of 7. Pd kubus. dengn pnjng rusuk, jik S merupkn proyeksi titik pd bidng, jrk titik S ke dlh... d. b. e. c. 8. PQRS dlh sebuh bidng empt berturn yng pnjng rusukny cm. jrk titik Q ke bidng PRS dlh. d. b. e. c. 9. Pd kubus. dengn pnjng rusuk cm, jrk dn dlh.... d. b. e. c. 0. Pd kubus. dengn pnjng rusuk, jrk pd dlh.. d. b. e. c.. ikethui bidng empt berturn. dengn rusuk 7 jrk ke dlh. 7 d. Modul Mtemtik dsr isusun oleh Khirul sri, S.Pd
Pge 9 of 7 b. 7 e. 7 c.. ikethui kubus. dengn rusuk cm. Titik P dn Q msing-msing terletk pd pertenghn dn. dlh. d.,5 Jrk titik dengn bidng PQ 8 b c e.. Perhtikn gmbr kubus.. Jrk titik ke bidng dlh cm.. 8 b. c. 8 d. e. cm. ikethui lims segienm berturn T., cm dn T 8 cm. Jrk T ke bidng ls cm.. d. 5 b. 5 e. c. 7 5. ikethui kubus., P titik tengh, Q titik tengh, dn Q cm. Jrk P ke bidng sm dengn.. cm d. cm Modul Mtemtik dsr isusun oleh Khirul sri, S.Pd
Pge 0 of b. cm e. 8 cm c. cm. ikethui Kubus. dengn rusuk cm. M dlh titik tengnh jrk titik M dengn gris dlh... cm d. cm b. 5 cm e. cm c. cm 7. ikethui Kubus. dengn rusuk cm. Jrk titik ke bidng dlh cm.. 8 d. 8 b. e. c. 8. ikethui prism segiempt berturn. dengn pnjng rusuk cm dn cm. Jik P titik tengh bidng ls, mk jrk titik ke gris P dlh cm. 0. d. b. e. c. 9. ikethui bidng empt berturn T. dengn pnjng rusuk cm. jrk titik T ke bidng dlh. cm d. cm b. cm e. cm c. cm 0. Lims segiempt berturn T. memiliki pnjng rusuk ls cm dn rusuk tegk cm. jrk titik ke gris T dlh. Modul Mtemtik dsr isusun oleh Khirul sri, S.Pd
Pge of. cm d. cm b. cm e. cm c. cm Modul Mtemtik dsr isusun oleh Khirul sri, S.Pd