HANDS-OUT ANALISIS NUMERIK

HANDS-OUT ANALISIS NUMERIK Oleh : Drs Her Sutro, M T Dew Rchmt, SS, MS JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA 8

Pertemu ke : Peusu : Dew Rchmt d Her Sutro Mter : Pedhulu Agk Be, Pemult, d Glt URAIAN POKOK-POKOK PERKULIAHAN Pedhulu Metode umerk merupk tekk-tekk g dguk utuk merumusk mslh-mslh mtemtk gr dpt dselesk deg opers-opers rtmtk htug s tmh, kurg, kl, d g Slh stu ls megp mempeljr metode umerk, dlh metode umerk merupk lt utuk memechk mslh mtemtk g sgt hdl Bk permslh tekk g musthl dpt dselesk secr ltk dpt dselesk deg metode umerk Ad du mcm peeles mslh mtemtk, tu: Secr lss, deg megguk kdh-kdh opers mtemtk deg cr g orml Secr umers, tu deg megguk metode umerk utuk memperoleh l solus hmpr dr solus eksk Agk Be, Pemult, d Glt Agk e sgct gure sutu lg c dlh serg gk g derk oleh c, kecul utuk ol-ol d kr gk tk ol pertm g h ertdk utuk mecocokk poss ttk kom desml Kek komputer dgtl mempu du cr utuk metk lg, tu: Sstem ttk kmg lotg pot Blg ttk kmg dtuls seg = m p

deg : m = mts rl; = ss sstem lg g dpk, 8,, 6, d seg; d p = pgkt erup lg ult tk egt Cotoh :,68 dlm sstem ttk kmg deg ss Sstem ttk tetp ed-pot Sutu lg dtk deg sejumlh tetp poss desml d ujug k, tetp sstem lg ttk tetp tdk prkts dlm pekerj lmh kre keterts retg, cotoh : 6,58 Solus g dperoleh secr umerk merupk l hmpr dr solus eksk I errt terdpt glt error pd solus hmpr terseut Glt umerk dlh esr g merupk selsh tr l hmpr deg l eksk Huug drumusk mejd : E = - tu = + E dm E dlh glt solut glt mutlk, l eksk, d hmpr Glt mutlk dpt ddesk seg l E = - Glt relt dtk seg glt solut E e r = l eksk Seljut glt solut dtk deg E, d glt relt dtk deg e Ad du jes glt dlm komputs, tu: Glt w heret error dlh glt dr dt g derk, msl kre keslh pegukur tu ketdktelt lt ukur Glt proses dlh glt g terjd kre proses komputs, glt dedk mejd du mcm,tu: Glt pemult roud-o error Cotoh : = / =, d =, Glt pemult E =, Glt pemotog tructo error

Cotoh : Hmpr ugs s deg tu deret Tlor d sektr = dlh 5 7 = s =! 5! 7! Deret terseut dpotog smp suku orde = sehgg glt 5 7 pemotog mejd E = + 5! 7! 4

Pertemu ke : Peusu : Dew Rchmt d Her Sutro Mter : Metode Grk Tuggl d Metode Grk Gd Atur Td Descrtes Metode Tuls 4 Metode Bgdu URAIAN POKOK-POKOK PERKULIAHAN Metode Grk Tuggl d Metode Grk Gd Utuk ugs-ugs g sederh dm grk ugs dpt dgmrk deg mudh, d du metode grk g dpt dlkuk utuk medptk tek wl dr kr persm, tu metode grk tuggl d metode grk gd Pd metode grk tuggl, tek wl dplh g dekt deg ss dr ttk perpotog tu kr persm Cotoh : Tetuk loks kr d tek wl utuk kr persm ugs :,5,46,96 Peeles : Y = X Grk ugs,5,46, 96 5

Ttk potog g pertm terletk pd selg -,- sedg ttk potog g kedu dlh, d ttk potog g ketg terletk pd selg, tu medekt l,8 Sehgg tek wl utuk kr persm dpt dplh eerp ttk g cukup dekt deg kr persm sepert : -, -, tu Metode grk gd dguk utuk persm ugs g pejr ugs dpt ddekomposs mejd pegurg du uh ugs tu Tek wl dplh cukup dekt deg ss ttk perpotog kedu ugs tu d Atur Td Descrtes Utuk meetuk loks kr polom tu kr dr persm erkut : p perhtk ur erkut Mslk u dlh k pergt td koese erlku : dr polom p d p dlh k kr rl post, mk p u u - p =,, 4, Sedgk utuk meetuk komposs kr rl egt, mslk v dlh k pergt td koese k kr rl egt, mk erlku : g v v g =,, 4, Peetu ts selg kr dtetuk oleh tur erkut : k r mks k Sehgg selg kr g dcr dlh [-r,r] dr polom p d g dlh 6

Metode Tuls Mslk pjg selg tuls :, m d m dlh ttk-ttk ujug selg dm l-l ugs dtulsk, d dlh lg ult terdekt utuk - m /, mk prosedur utuk memut tuls l-l dlh seg erkut : Algortm Memut Tuls Nl-l Msuk :,,, utuk setp =,,, Kelur : utuk setp =,,, Lgkh : Utuk =,,, lkuk : htug cetk, 4 Metode Bgdu Metode gdu memul sklus ters deg memlh du tek wl msl d g cukup dekt deg kr, deg l d l erlw td Kemud selg, dg du d ttk tegh dmk, sehgg / Jk, mk tek wl tdk cocok Sedgk jk mk tukr deg, jk tdk tukr deg Kemud jk dr du ters g erurut glt relt kurg dr tu sm deg glt g dtetpk errt sudh dperoleh hmpr kr 7

Pertemu ke : Peusu : Dew Rchmt d Her Sutro Mter : Metode Poss Plsu Metode Newto Rphso Metode Sect 4 Metode Iters Ttk Tetp URAIAN POKOK-POKOK PERKULIAHAN Metode Poss Plsu Metode poss plsu dut utuk memperk metode gdu tu utuk mempercept kekoverge metode gdu Prosedur metode poss plsu mul deg memlh du tek wl tu d dm l ugs pd kedu tek wl ered td, seljut perhtk gmr erkut Gmr Metode Poss Plsu Huugk kedu ttk tu, d, deg grs lurus, d tetuk ttk perpotog grs deg sumu X Seut ss ttk 8

perpotog deg Tge merupk kemrg grs g meghuugk, d, sehgg : Jk d erlw td mk gtk deg, selk gtk deg Kemud gmrk seuh grs lurus g meghuugk ttk, deg, utuk meetuk ttk perpotog g ru Lju kekoverge metode k leh cept ddgk deg metode gdu Metode Newto Rphso Prosedur metode Newto-Rphso metode N-R mul dr serg ttk g cukup dekt deg kr Pertm tetuk kemrg dr ugs pd, mk Llu tetuk deg rumus Utuk setp ters ke htug : Hetk ters l du hmpr kr g erurut cukup dekt Ddgk deg kedu metode seelum tu metode gdu d metode poss plsu tert metode N-R leh cept koverge Metode Sect Dlm setp ters utuk metode N-R dlkuk peghtug turu pertm ugs tu Pd eerp ksus pert utuk pjg d memutuhk ush komputs g cukup lm utuk meghtug Metode sect meghmpr turu pertm ugs tu deg : dm d dlh du hmpr kr utuk ters ke- d ters ke-- 9

Nl hmpr kr pd ters ke-+ dperoleh dr du l hmpr kr seelum tu d g dterpk pd persm terseut : deg dlh ss ttk perpotog grs lurus g meghuugk du ttk tu, deg, 4 Metode Iters Ttk Tetp Persm secr ljr dpt dtrsorms ke etuk g Sehgg prosedur ters g erpd deg etuk terseut dlh g Cotoh : Tetuk kr persm erkut : 8 Fugs terseut dpt dtuls : g = 4 Sehgg g = 4 Persm d ts jug dpt dtuls seg : g 8 g 8 d g 8 Seljut tersk 4 uh ugs d 4 cek kekoverge Kekoverge metode ergtug pd ket hw d sektr kr, kurv g kurg curm drpd grs lurus = tu kods g merupk srt cukup utuk kekoverge

Pertemu ke : 4 Peusu : Dew Rchmt d Her Sutro Mter : Bed Hgg Iterpols Ler Iterpols Kudrt 4 Iterpols Bed-Mju d Bed-Mudur Newto URAIAN POKOK-POKOK PERKULIAHAN 4 Bed Hgg Adk derk sutu tel l-l umers dr sutu ugs pd ttk - ttk g erjrk sm:, = + h, = + h, = + h,, deg h > tetp Mslk,,,,,, dlh ll dr j msg-msg utuk,,,,, 4 Bed - ed Mju Forwrd Derece Nots g dpk dlm ed-ed mju dlh seg erkut: ; d seterus, dseut ed-ed mju pertm j j Secr umum dtuls: m m m Deg cr g sm dpt dotsk ed-ed mju ketg, keempt, d seterus Betuk umum: + m = m+ - m utuk =,,, Tel erkut meujukk ed-ed mju dr semu tgkt g dpt detuk X 4 4

4 Bed - ed Mudur Bckwrd Derece Betuk umum ed-ed mudur dlh seg erkut: + m = m - m- utuk =,,, Tel erkut meujukk ed-ed mudur dr semu tgkt g dpt detuk: 4 X 4 4 Bed - ed Pust Betuk umum ed-ed pust dlh seg erkut: m m m- Tel Bed-Bed Pust F 4 X / / / 4 / / /

4 Iterpols Ler Betuk terpols g plg sederh dlh meghuugk du ttk dt deg grs lurus, lht gmr erkut = C P E D = B A rh Kre segtg DEC segu deg segtg ABC, mk erlku: p = Akt : P = + r 4 Iterpols Kudrt Mslk tersed tg ttk dt,,,, d,, terpols dpt dlksk deg polom orde kedu polom kudrt Betuk secr khs g cocok utuk mksud dlh: Atu p = + + deg r r r p = + r +

44 Iterpols Bed-Mju d Bed-Mudur Newto Polom terpols derjt derk dlm rumus terpols edmju Newto : deg = + rh, r = r s P = s s r r = + r +! + + r r r -!, r h Sutu rumus g serup deg rumus td tetp meltk ed- mudur dlh rumus terpols ed-mudur Newto : P = + r + + r r r! r r +! deg = + rh, r = /h, r 4

Pertemu ke : 5 Peusu : Dew Rchmt d Her Sutro Mter : Polom Iterpols Bed Terg Newto Polom Iterpols Lgrge URAIAN POKOK-POKOK PERKULIAHAN 5 Polom Iterpols Bed Terg Newto Seelum smp kepd ormul terpols, ddesk terleh dhulu ed-ed terg, g secr tert dtk oleh huug: [, ] = - [,, ] = [, Tel Bed-Bed Terg ] - [, ] k k [ k, k+ ] [,, ] [,,, ] [, ] [, ] [, ] [,, ] [,, ] [,,, ] Formul Iterpols Ordo dlh P = + - [, ] Formul Iterpols Ordo dlh P = + - [, ] + - - [,, ] 5

6 Secr umum smp deg ordo k dperoleh rumus seg erkut: = P = + - [, ] + - - [,, ] + + - - - - [,,, ] Formul terpols ed terg Newto terseut d ts dpt dtuls seg erkut: = + ],, [ j - j - 5 Polom Iterpols Lgrge Polom terpols Lgrge dpt dturuk lgsug dr polom terpols Newto Utuk meuruk etuk Lgrge, ed-ed terg drumusk ulg seg erkut : [, ] = Dr terkhr dsusttusk sehgg dperoleh rumus terpols Lgrge ordo : P = = j - j j j Rumus terpols Lgrge ordo dlh : P = j - j j j

7 Secr umum smp deg ordo, dperoleh ormul terpols Lgrge seg erkut : P = j L j - j j

Pertemu ke : 6 Peusu : Dew Rchmt d Her Sutro Mter : Pedhulu Sstem Persm Ler Segtg Ats Sstem Persm Ler Segtg Bwh 4 Metode Elms Guss d Pvotg URAIAN POKOK-POKOK PERKULIAHAN 6 Pedhulu Perhtklh sstem persm ler tdk homoge dlm peuh,,, erkut + + + l = + + + = + + + = Sstem persm ler terseut dpt dtuls seg perkl mtrks erkut : tu dsmolk seg persm mtrks AX = B deg: A = j dlh mtrks dr koese g mempu rs d j kolom; X = dlh mtrks dr peuh g tk dkethu; d B = dlh mtrks dr lg tetp Mtrks legkp dr persm mtrks AX = B terseut lh: [A,B] = 8

6 Sstem Persm Ler Segtg Ats Sstem persm ler g mempu mtrks koese erup mtrks segtg ts, dseut sstem persm ler segtg ts Sstem persm ler sepert tu dpt dtulsk dlm etuk: -,- Deg sums eleme-eleme dgol tk ol, kk utuk k =,,,, mk terdpt sutu solus tuggl dr sstem persm ler d ts Kods kk sgt petg kre persm terseut meltk pemg oleh kk Jk persrt tdk terpeuh mk solus tdk d tu terdpt tkhgg k solus Peeles sstem persm ler segtg ts mudh dcr deg memperguk susttus mudur ckwrd susttuto Persm g terkhr h meltk, d lh g pertm dcr sehgg dperoleh: c Setelh d, dpk utuk mecr - pd persm seelum seg c, erkut: - =, Sekrg d - dpk utuk mecr - seg erkut: c,, - =, Proses dterusk utuk mecr l peuh g l Lgkh umum dr proses terseut dlh:, c c c c k = ck kj j jk kk utuk k = -, -,, 9

6 Sstem Persm Ler Segtg Bwh Sstem persm ler g mempu mtrks koese erup mtrks segtg wh dseut sstem persm ler segtg wh Sstem persm ler sepert tu dpt dtulsk dlm etuk: c Peeles sstem persm ler dcr deg susttus mju Persm pertm h meltk, d lh g pertm dcr ru kemud Proses dterusk sehgg dr persm terkhr dperoleh l Lgkh umum dr proses terseut lh: c c k = ck k k kk Utuk setp k =,,, 64 Metode Elms Guss d Pvotg Dlm psl dkemgk cr g ese utuk meelesk sstem persm ler AX = C deg persm d peuh It dlh memgu sutu sstem persm segtg ts UX = Y g setr kemud solus X dselesk memk metode susttus mudur Sstem AX = C deg mtrks legkp [ A, C ] dpt dselesk deg melkuk opers-opers rs elemeter OBE Deg OBE tulh dhslk sstem g setr g eretuk sstem persm ler segtg ts Betuk terkhr dselesk deg susttus mudur ckwrd susttuto Proses lh g dseut elms Guss Pd elms Guss, lg kk pd poss k,k g dpk utuk megelms k dlm rsrs k+, k+,, dmk eleme tumpu pvot ke-k, d k dseut

rs tumpu Pd su erkut k dhs tg mcm metode Elms Guss 64 Metode Elms Guss N Metode erkut dseut metode elms Guss kre metode tdk meghdr kemugk pemg oleh ol Elms Guss termsuk htug lgsug sehgg glt tdk dpt dtur permt glt sult dhdr Sel tu jug, eleme tumpu g ol sult dhdr Utuk tulh dperk deg strteg pvotg, tu : jk kk =, perlu mecr rs r, deg rk d r > k, kemud mempertukrk rs k deg rs r sehgg dperoleh eleme tumpu tk ol 64 Metode Elms Guss Pvotg Prsl Pvotg prsl dsrk utuk memerks esr semu eleme d kolom k g terletk pd tu d wh dgol, d meloksk rs r g mempu eleme deg l mutlk teresr, k: rk mks kk,,,, k,k,k k d kemud meukrk rs r d rs k jk r > k Deg dml eleme deg l mutlk teresr seg eleme tumpu, k meghslk permt glt g kecl 64 Elms Guss Pvotg Prsl Terskl Lgkh-lgkh g dperluk utuk meelesk sstem persm ler deg elms Guss pvotg prsl terskl lh: Tetuk ukur msg-msg rs mtrks koese, tu: mksmum d = j j Tetuk eleme tumpu, tu: j = mksmum j - j j d

Pertemu ke : 7 Peusu : Dew Rchmt d Her Sutro Mter : Metode Dekomposs/Fktorss Segtg Metode Iters Jco d Iters Guss-Sedel URAIAN POKOK-POKOK PERKULIAHAN 7 Metode Dekomposs/Fktorss Segtg Sutu mtrks A tksgulr dpt dktork mejd hslkl sutu mtrks segtg wh L d mtrks segtg ts U Metode dkel deg m metode dekomposs LU tu metode ktorss segtg 7 Pemktor Doolttle, mesrtk eleme dgol L semu d eleme dgol U tkol Mslk utuk mtrks A dpt dtuls seg l l l u 7 Pemktor Crout, mesrtk eleme dgol L tkol d semu eleme dgol U erl Mslk utuk mtrks A dpt dtuls seg l l l l u u u u u u u l l Utuk meusu lgortm pemktor Doolttle perhtk ur erkut l l l u u u u u u u u lu lu l l u u u u l u l u l u u l u u u

7 Metode Iters Jco d Guss-Sedel Sstem Persm Ler AX = C dpt dselesk deg metode ters Jco d metode ters Guss-Sedel sehgg koverge, pl mtrks koese A memeuh srt cukup tu dom secr dgol: j j, j, utuk setp =,,,, Pdg Sstem Persm Ler erkut : + + + = + + + = + + + = deg mtrks koese dom secr dgol Mslk derk l wl,,,, persm ters Jco dlh seg erkut : Pd ters :, Kemud ljutk deg ters kedu d ketg Secr umum proses tert ke k+ dlh : k k k k k k k k

k k k k, Jd etuk umum proses tert Jco dlh ; k j j j k j utuk,,, d k,,, m Kekoverge metode ters Jco gk lmt Kekoverge dpt dpercept l setp hrg g ru dhslk seger dpk pd persm erkut utuk meetuk hrg + g l Tekk lh g dpk pd metode ters Guss-Sedel Secr umum proses tert Guss-Sedel dlh k k j j j j k j j utuk setp =,,, d k =,,, mt mksmum ters t Pertemu ke : 8 Peusu : Dew Rchmt d Her Sutro Mter : Mter pertemu smp deg 7 Ur : UTS 4

Pertemu ke : 9 Peusu : Dew Rchmt d Her Sutro Mter : Peghmpr Fugs deg Metode Kudrt Terkecl Regres Ler d Polom URAIAN POKOK-POKOK PERKULIAHAN 9 Peghmpr Fugs deg Metode Kudrt Terkecl Adk,,, dlh l-l dr seuh peuh es X d,,, dlh l-l dr peuh tk es terkt Y g ersesu deg X Mslk ˆ ˆ dlh l hmpr tu tksr utuk seuh ugs Glt tr ŷ l-l hmpr utuk ugs deg ll seer g dtulsk dlh d ˆ Fugs dplh deg sutu cr gr Y d,,, d d kecl d d ŷ d d 4 Gmr pecocok kurv Ak dpeljr pd pertemu keseml, mslh mecocokk seuh ugs ˆ pd l-l g dtulsk deg memmumk jumlh kudrt smpg Metode dseut pecocokk kudrt terkecl tu lest squres t X 5

9 Regres Ler Derk dt seg erkut : Plot dt terseut : 4 5 6 7 8 9,5,8,4,,5,9 4,4 4,8 5, 4,8 5,7 7, 8,,9,4,,6 5, Sctterplot o vs 5 5 75 5 4 5 Dlht dr ttk-ttk dt g dplot pd tel d ts, jk ertmh esr mk ertmh esr Oleh kre dt g dplot megumpul d sektr seuh grs lurus sehgg dpt dktk hw seuh grs lurus meggmrk stus g cukup msuk kl Sehgg dpt dtk ˆ seg persm g meggmrk seuh grs lurus Seljut dmmumk S jumlh kudrt glt g derk oleh : M S = M ˆ = M S dlh ugs dr du peuh g tdk dkethu tu d Mk utuk memmumk S dml turu prsl dr S terhdp d kemud smk deg ol Mk : 6

7 S * S ** Sehgg persm * mejd : Persm ** mejd : Deg pegtur keml kedu persm terseut dperoleh persm smult ler utuk d erkut g dseut persm orml : Peeles dlh : Koese-koese dr grs regres ler metode kudrt terkecl pd kedu persm terseut dseut koese regres 9 Regres Polom Mslk psg koordt, g derk k dhmpr oleh seuh ugs kudrt g dtk oleh : ˆ Sehgg jumlh kudrt glt derk oleh : ˆ S

8 Turuk S terhdp,, d smk msg-msg turu terhdp koese-koese deg ol, mk k dperoleh : 4

Pertemu ke : Peusu : Dew Rchmt d Her Sutro Mter : Peghmpr Fugs deg Metode Kudrt Terkecl Fugs Ekspoesl, Hperol, Trgoometr, d Geometr URAIAN POKOK-POKOK PERKULIAHAN Pecocok Fugs Ekspoesl d Fugs Trgoometr Beerp tpe dr dstrus ttk-ttk perco dtujukk pd gmr erkut : meerup seuh kurv ekspoesl g meuru, sedg gmr meerup seuh kurv sus d gmr c meerup seuh kurv geometr Y X Y X Y c X 9

Pecocok Seuh Kurv Ekspoesl Mslk ˆ dlh kurv g k dcocokk Trsorms e g dguk dlh zˆ log ˆ Guk trsorms pd persm seelum sehgg dperoleh : zˆ log ˆ log e log Mslk log d Akt : zˆ Persm terseut merupk persm ler d dpt megguk persm orml utuk regres ler sehgg dperoleh : z z Dr d dperoleh l d : e d Pecocok Seuh Kurv Hperol Asumsk persm pd ksus dlh ˆ Jk dtuls zˆ mk dperoleh zˆ g merupk persm ler ˆ Pecocok Seuh Fugs Trgoometr Asumsk persm kurv : ˆ A s Persm mempu tg prmeter g tdk dkethu tu A, d Dsumsk hw dkethu Perlus persm terseut dperoleh ˆ A s cos cos s Acos s As cos = s cos Mmumk jumlh kudrt glt erkut : S s cos sehgg

Smk deg ol turu prsl dr S terhdp d gr dperoleh s s cos s s cos cos cos Selesk du persm ler smult utuk d d ts gr dperoleh A d t 4 Kurv Geometr Mslk kurv g dcocokk dtk oleh persm : ˆ c Asumsk prmeter d tdk dkethu sedgk c dkethu sehgg ˆ c Aml logrtm pd kedu rus persm terseut sehgg dperoleh : zˆ log zˆ t deg log, d t log Akt : ˆ c log log log log log logˆ c log log log log logˆ c

Pertemu ke : Peusu : Dew Rchmt d Her Sutro Mter : Peghmpr Fugs deg Deret Tlor Peghmpr Fugs deg Deret Cheshev URAIAN POKOK-POKOK PERKULIAHAN Peghmpr Fugs deg Deret Tlor Jk sutu ugs mempu turu smp turu ke dlm selg [, ] mk ugs terseut dpt dtk d sektr pd selg [, ] seg : + +! s! '''!! Pd persm d ts d dlh turu pertm d kedu dr g devlus pd Suku s! dseut suku ss deg s dlh lg g terletk tr d Suku ss memerk glt pemotog jk h uh suku pertm pd deret Tlor g dguk utuk metk ugs Glt pemotog dlh : s Glt pemotog =! T M E! dm M = m s utuk pd selg [, ]

Deret Cheshev Polom Cheshev g ddesk oleh T = Cos dm = Cos Mk T = Cos rc cos Polom-polom terseut dlh : T = Cos = T = Cos = T = Cos = Cos - S = - = Sel pemetuk suku-suku megguk rels trgoometr sepert d ts, dpt detuk rels g medesk T + dlm T d T - T + = Cos + = Cos Cos - S S T - = Cos - = Cos Cos + S S Deg memhk du persm d ts dperoleh : T + + T - = Cos Cos = T Mk T + = T - T - Sehgg dperoleh : T = 4 T 4 = 8 4 8 + T 5 = 6 5 + 5 Fugs e - dtk dlm polom Cheshev seg erkut : e - =,6666 T,8 T +,7495 T,447 T +,5474 T 4,54 T 5 Jk pert utuk T, T, T, T, T 4, d T 5 dgtk ke dlm persm terseut dperoleh : e - =,45, +,49999 -,66488 +,4794 4,8687 5

Pertemu ke : Peusu : Dew Rchmt d Her Sutro Mter : Itegrl Numerk Atur Trpesum, Atur Komposs Trpesum d Atur Smpso URAIAN POKOK-POKOK PERKULIAHAN Atur Trpesum Megevlus sutu tegrl tertetu I = d utuk serg ugs g kotu pd selg [,], deg metode ltk s sult hk d g tk dpt devlus Megts persol d persol tegrs g leh umum g h mempu eerp l dr deg rgume =, =,,,, dutuhk eerp pedekt Plh dlh mecr seuh ugs, msl g g sesu utuk megts kedu persol tu merupk pedekt dr g mudh utuk dtegrlk secr ltk Derk du uh ttk dt, d, Kre mellu du uh ttk, d,, mk dpk terpols erorde stu P Y h = = Itegrl deg Atur Trpesum, h = - Meurut terpols ed terg Newto orde stu : P = + [, ] - Deg memk P terseut dperoleh : d P d [, ] [ ]d 4

5 d o o o o Dpt dtujukk hw etuk terkhr sm deg o tu Jd tur trpesum dlh h d deg h = - Atur Komposs Trpesum Selg [,] dg mejd selg g deg ler selg : h = Berdsrk tur trpesum dperoleh d d d d h h h h Jd, h d

Atur Smpso Atur Smpso mrp deg tur trpesum tu kedu memg derh g k dtegrlk dlm tervl g g kecl d kemud mejumlhk semu tegrl dr derh g dts oleh sumu g kecl terseut H dlm tur Smpso pedekt ugs dperoleh dr terpols poloml derjt du prol g mellu tg ordt dr du selg g erdmpg Jd tur Smpso k tept utuk ugs derjt du tu leh kecl Perhtk gmr erkut Y Y = O h h O = c=+/ = = X = X Atur Smpso / Deg poloml Lgrge g mellu ttk-ttk,, c,c, d, dperoleh: c c P c c c c c Susttusk ke dlm I d k dperoleh I - - c - - c c d c c c - - c Jk sumu dtrslsk sehgg ermpt deg ttk, mk dpt dtujukk : I h h h o h o h o h h oh h o h 4 c o h c d h o h h Jd, I h o 4 6

Pertemu ke : Peusu : Dew Rchmt d Her Sutro Mter : Itegrl Numerk Atur Komposs Smpso, d Kudrtur Guss-Legedre URAIAN POKOK-POKOK PERKULIAHAN Atur Komposs Smpso Selg [,] dprts mejd M+ ttk deg M gep, deg ler selg g h = M o = h h h h 4 M- h M- h M = Berdsrk tur Smpso dperoleh I d d d 4 M d 4 4 4 4 4 4 M 4 M I 4 M M 4 7

Kudrtur Guss - Legedre Kt g meghtug lus derh d wh kurv Y = pd tu I d deg tur trpesum glt Y Y = - X h I d deg h = -- = Persm I + - dpt dtuls seg I W + W deg = -, =, W = W = h = = Deg cr koese tk tetu, d duj deg mooml,,, d, kre I d eksk utuk empt ugs terseut, dperoleh: I d W W Jd I d Persm dmk metode Guss-Legedre ttk Deg metode, meghtug tegrl dlm selg [-, ] cukup h deg megevlus ugs d = / d d = - Metode Guss-Legedre ttk dpt dtuls seg I d W W W 8

Prmeter,,, W,W, d W dpt dcr deg ugs =, =, =, =, = 4, d = 5, kre kudrtur Guss erl eksk utuk ugs-ugs terseut Deg cr g sm sepert utuk metode Guss-Legedre ttk k dperoleh : 5 8 5 I d 9 5 9 9 5 Atur Guss-Legedre umum -ttk eksk utuk polom erderjt kurg dr tu sm deg - Peuru metode Guss-Legedre -ttk d -ttk dpt djdk pol utuk meghslk metode Guss-Legedre -ttk d W W W Tel Nl-l w, d glt pemotog utuk Kudrtur Guss-Legedre 6 ttk N Boot W Ass Glt pemotog,,,55555556,88888889,55555556 4,4785485,65455,65455,4785485 5,69689,4786867,56888889,4786867,69689 6,7449,67657,46799,46799,67657,7449 -,57757,57757 -,77459667,77459667 -,866 -,9984,9984,866 -,967985 -,58469,58469,967985 -,94695 -,6699 -,8699,8699,6699,94695 4 c 6 c 8 c c c 9

Utuk meghtug tegrs selg [,] ke dlm [-,] peuh ke dlm peuh z c deresl d ke dlm dz Dr trsorms z = p+q tu z = = z I d hrus dlkuk trsorms: sehgg d = dz k dperoleh : Susttusk d d ke I d, mk k dperoleh I d z dz 4

Pertemu ke : 4 Peusu : Dew Rchmt d Her Sutro Mter : Solus Persm Deresl Bs Metode Euler URAIAN POKOK-POKOK PERKULIAHAN 4 Solus Persm Deresl Bs Betuk ku PDB orde stu deg l wl dtuls seg ' = deg l wl = PDB orde stu g tdk megkut etuk ku terseut hrus dtuls ulg mejd etuk persm sepert d ts, gr dpt dselesk secr umerk Peeles PDB secr umerk errt meghtug l ugs d r+ = r + h deg h dlh ukur lgkh setp ters Pd metode ltk, l wl erugs utuk memperoleh solus g uk, sedgk pd metode umerk l wl erugs utuk memul ters 4 Metode Euler Derk PDB orde stu, ' = d/d =, d = Mslk r = r dlh hmpr l d r g dhtug deg metode Euler Dlm hl r = + rh, deg r =,,, Metod Euler dturuk deg megurk r+ d sektr r ke dlm deret Tlor : r+ = r + r r! ' r + r r! " r + Du suku pertm persm terseut dlh r+ r + h r, r ; r =,,,, 4

metk persm metode Euler tu metode Euler-Cuch Metode Euler dseut jug metode orde-pertm Metode Euler memerk hmpr solus g uruk, sehgg dlm mslh prktek metode kurg dsuk, mu metode memtu utuk memhm ggs dsr metode peeles PDB deg orde g leh tgg 4

Pertemu ke : 5 Peusu : Dew Rchmt d Her Sutro Mter : Solus PDB deg Metode Heu URAIAN POKOK-POKOK PERKULIAHAN 5 Metode Heu Metode Euler mempu ketelt g redh kre glt esr sedg deg h Buruk glt dpt dkurg deg megguk metode Heu, g merupk perk metode Euler moded Euler s method Pd metode Heu, solus dr metode Euler djdk seg solus perkr wl predctor Metode Heu dlh seg erkut : h r+ = r + [r, r + r+, r+ ] g merupk metode Heu, tu metode Euler-Cuch g dperk Metode Heu dpt dterpk utuk mecr solus PDB erkut : d/d = + ; = Htug deg metode Heu h = Pertemu ke : 6 Peusu : Dew Rchmt d Her Sutro Mter : Mter pertemu 9 smp deg 5 Ur : UAS 4