VIII : idng Rt dn Gris Lurus VIII IDNG RT DN GRIS LURUS 8.. Persmn Vektoris idng Rt Sutu idng rt kn tertentu il dikethui tig uh titik (ng tidk segris) ng terletk pd idng rt terseut. Mislkn dikethui tig titik pd idng rt V: Untuk setip titik semrng X PX PQ PR Titik P Q dn R pd idng rt V erlku Terliht jels pd gmr hw OX = OP + PX PQ PR tu: dlh persmn vektoris idng rt mellui tig titik. Kedu vektor PQ dn PR diseut vektor vektor rh idng (setip du vektor ng tidk segris pd idng merupkn vektor vektor rh idng terseut) sehingg persmn vektoris idng rt dikethui mellui stu titik P dn dikethui kedu vektor rhn dn dlh: () ~ ~ ~ ~ dn persmn dpt ditulis menjdi idng prmeter idng rt: ().. (4) () : Turmudi E-mil : toermoed@hoo.co.id log: www.toermoed.wordpress.com
Geometri nlitik Dtr dn Rung 8.. Persmn Linier idng Rt Klu dn kit eleminsikn dri persmn dn 4 dits diperoleh : dn c di mn...(6) dn mislkn kemudin Klu dn di ts kit sustitusikn ke persmn diperoleh: tu... (7) dn D persmn 7 menjdi.... (8) ng merupkn persmn liner (umum) dri sutu idng rt. 8.. Vektor Norml dri idng Rt V + + + D = terliht hw vektor i + j + k = k j i = jdi merupkn vektor ng tegk lurus pd idng rt ng dientuk oleh dn dlm hl ini idng rt V = + + + D =
VIII : idng Rt dn Gris Lurus n = [ ] diseut vektor norml dri idng rt V = terseut. Vektor norml ini kn memegng pernn penting dlm pemhsn sutu idng rt. titik Dri persmn (7) di ts sutu idng rt ng di kethui mellui stu dengn vektor normln erentuk:. (9) ttn: Hl-hl khusus dri idng rt V = + + + D =. ontoh 8 : il D = mk idng rt kn mellui titik sl O() dn selikn setip idng rt ng mellui titik sl persmnn kn mempuni hrg D =. pil D persmn + + + D = dpt ditulis menjdi / -D + / -D + / -D = dn seut erturut-turut / -D = p / -D= q / -D = r didpt persmn /p + /q + /r = ng mn memotong sumu X di p. p sumu Y di p sumu Z di il = idng rt sejjr sumu X il = idng rt sejjr sumu Y il = idng rt sejjr sumu Z 4 il = = idng rt sejjr idng XOY il = = idng rt sejjr idng XOZ il = = idng rt sejjr idng ZOZ. Persmn vektoris idng rt mellui titik () () dn (7) dlh 7 tu persmn prmetern dlh:... : Turmudi E-mil : toermoed@hoo.co.id log: www.toermoed.wordpress.com
4 Geometri nlitik Dtr dn Rung Untuk menguh kepersmn linier dpt kit lkukn dengn mencri vektor norml segi hsil cross product 4 Kit dpt mengunkn huungn (9): 4 ( ) 4. idng + 4 = dpt ditulis menjdi /6 + /4 + / = kn memotong sumu-sumu di (6) (4) dn (). tu. idng + = kn mellui titik sl (). Untuk menggmrn kit tentukn gris-gris potong dengn idng-idng koordint : Gris potong dengn XOY : = + = Gris potong dengn XOZ : = = Gris potong dengn YOZ : = =
VIII : idng Rt dn Gris Lurus 4. idng = idng ini sejjr sumu Z (hl di mn = ) dn mellui titik sl (hl di mn D = ) errti idng ini mellui sumu Z. gris potonngndengn idng XOY dlh = =.. idng + = 4 idng ini sejjr sumu X (hl ini di mn = ). Gris potongn dengn idng YOZ dlh = + = 4. ttn:. Klu persmn (7) (pd gin ) ng llu : kit tulis dlm entuk dot prudoct kn menjdi :. () tu r r. n = di mn r = vektor posisi serng titik pd idng r vektor posisi sutu titik tertentu pd idng dn n = vektor norml idng. : Turmudi E-mil : toermoed@hoo.co.id log: www.toermoed.wordpress.com
6 Geometri nlitik Dtr dn Rung. Tpi n. di mn dn dlh vektor-vektor pd idng sehingg () dpt ditulis segi r r. = tu: =...() dlh persmn idng mellui titik P dn.. Klu kit mil ertitik wl di P Q R sert titik wln mk entuk () menjdi dengn vektor-vektor rh dn titik ujungn P dn titik ujungn...() dlh persmn idng rt dikethui mellui titik Q dn P R ng ditulis dlm entuk diterminn. 4. Jdi empt uh titik( ) ( ) ( ) ( 4 4 4 ) kn seidng jik dn hn jik : 4 4 4 =... () 8.4. Persmn Norml idng Rt Miskn n dlh vektor norml idng V D erturut- turut sudut ntr n dengn sumnu-sumu koordint (ng rhn ditentukn oleh vektor i j dn k).
VIII : idng Rt dn Gris Lurus 7 Ternt hw : cos = cos = cos = n. i n i n. j n j n. k n k n n n....(4) tu : [cos cos cos ] = cos cos cos n n n...() itu vektor stun ng serh dengn n jug errti hw cos cos cos. n cos cos cos diseut vektor cosinus dri idng V. tu oleh diktkn jug vektor norml ng pnjngn stu. Mislkn P = jrk titik ke idng V = dimn pd idng mk P dlh proek OX cos cos cos tu : cos cos cos P dn X titik serng pd ň itu : P = OX.ň = []. p.....(6) ng diseut persmn norml (HESSE) dri idng V =. untuk meguh entuk V D ke entuk norml mk (dri persmn-persmn 4) diperoleh: n cos cos D cos...(7) kit sellu menghendki hw D/ n = P positif. Jdi klu D negtif mk ming- msing rus persmn (7) kit gi dengn n dn klu D positif msing-msing rus kit gi dengn ontoh 9 : rilh entuk norml dri + 6 + 6 =! Penelesin : n. D = 6 dlh positif sedngkn n = 9 6 4 = 7. jdi persmn normln 9 7 7 6 7 : Turmudi E-mil : toermoed@hoo.co.id log: www.toermoed.wordpress.com
8 Geometri nlitik Dtr dn Rung 8..Sudut ntr Du idng Rt Sudut ntr du idng rt merupkn sudut ntr vektor-vektor normln. Misn sudut ntr D V dn D V dlh sudut ntr norml-norml. n dn n itu : cos n n n n...(8) ontoh : Tentukn esr Sudut ntr + + + = dn + + =! Penelesin : cos () () () cos 9 cos cos r cos96 o 79
VIII : idng Rt dn Gris Lurus 9 ttn: ontoh : Kedudukn sejjr : il V dn V sejjr mk n dn n sm (tu erkeliptn) errti [ ] = [ ] dlh srt idng V dn V sejjr ( serng ) Tentukn persmn idng rt V ng sejjr dengn idng rt V = + + = 9 jik idng rt V mellui titik ()! Penelesin : V = + + = 9 kren V sejjr V mk n = n n = [] mk V kn erentuk + + + D = Sehingg idng rt V mellui titik () mk : V = + + + D = + + () + D = 7 + D = D = -7 Jdi persmn V = + + -7 = ttn: Kedudukn tegk lurus : il V tegk lurus V mk vektor normln kn sling tegk lurus n n tu n n. ontoh : Tentukn persmn idng rt V ng tegk lurus pd idng rt V + + = sert mellui titik () dn ()! : Turmudi E-mil : toermoed@hoo.co.id log: www.toermoed.wordpress.com
Geometri nlitik Dtr dn Rung Penelesin : Mislkn V + + + D = tegk lurus V errti : + + = tu + + = = - () V mellui () errti D = dn mellui () errti : + = tu = - () () dn () = - (- ) = Jdi persmn V : - + + + = tu + = 8.6. Jrk ntr Seuh Titik dn Seuh idng Rt Dn Jrk ntr Du idng Sejjr Pndng idng V = cos + cos + cos = p. kit hendk menentukkn jrk titik R( ) ke idng V. kit ut idng V mellui R ng sejjr V. jdi Vektor norml V dn V sm. Sedngkn jrk titik sl ke V dlh p d (tergntung letk V dn V terhdp titik ) V = cos + cos + cos = p d dn kren R( ) pd V mk terpenuhi cos + cos + cos = p d tu d = cos + cos + cos -p dlh jrk titik R( ) ke idng V = cos + cos + cos = p. Klu V erentuk + + + D = mk : d D Untuk mencri jrk du idng sejjr V kit mil semrng titik pd V llu menghitung jrk titik terseut ke V
VIII : idng Rt dn Gris Lurus ontoh :. Tentukn jrk titik (47) ke idng + 6 =! Penelesin : d 4 6 7 ( ) 6 ( ) d d 8 4 9 4 6 9 8 49 8 d 7 d = 4. Dikethui V = + + = dn V = + + =. jik R pd V hitunglh jrk terseut ke V! Penelesin : Misl kit mil R pd V : = = dn = didpt R (). Mk jrk titik R ke V dlh d d d = 8.7. erks idng Rt idng idng V D dn V D erpotongn menurut seuh gris lurus. Setip titik pd gris potong terseut kn memenuhi persmn V V (dimn dn prmeter). Persmn dits merupkn himpunn idng-idng ng mellui gris potong dn il kit dpt tuliskn menjdi V V tu : Turmudi E-mil : toermoed@hoo.co.id log: www.toermoed.wordpress.com
Geometri nlitik Dtr dn Rung V V dlh persmn erks idng mellui gris potng idng-idng V dn V. Klu V dn V sejjr mk erks idng V V merupkn himpun idngidng V dn V. Dpt kit tulis menjdi : D k k = prmeter ontoh 4 : Tentukn persmn idng rt V ng mellui titik sert mellui gris potong idng-idng : V 4 V Penelesin : V dpt dimislkn erentuk : V V 4...(*) Kren V mellui terpenuhi :.. 4. ng kit susitusikn ke (*) diperoleh V 4 4. idng ng dimint.
VIII : idng Rt dn Gris Lurus 8.8. Jringn idng Rt ontoh : Pndng idng rt V dn V dn V ng terletk dlm seuh erks ng sm (tidk erpotongn pd stu gris ppun sejjr tu sm lin). Persmn V V V merupkn himpunn idng-idng ng mellui titik potong ketig idng dits (pd gmr mellui titik T). Dn himpunn idng-idng rt itu diseut jringn idng. Tentukn persmn idng rt V ng sejjr idng U = + + = sert mellui titik potongn idng V. V 4. V Penelesin : idng rt V erentuk V V V 4 4...(*) Kren sejjr dengn U mk dlh norml dri V tu keliptn dri jdi susitusikn ke (*) menghsilkn V 7. ng dimint. 8.9. Persmn Vektoris Gris Lurus Seuh gris lurus kn tertentu il dikethui du titik pd gris terseut. Mislkn titik P dn Q terletk pd gris lurus g. Mk OP OQ dn PQ setip semrng X pd g. erlku PQ Jels hw PX. OX OP PX...() dlh persmn vektoris gris lurus mellui stu titik P dn Q. untuk : Turmudi E-mil : toermoed@hoo.co.id log: www.toermoed.wordpress.com
4 Geometri nlitik Dtr dn Rung Vektor PQ (tu vektor lin ng terletk pd gris) diseut vektor rh gris lurus jdi il gris lurus mellui stu titik P dn mempuni rh vektor c persmn c...() ontoh 6 : Persmn gris lurus mellui titik () dn dlh = 4 6...(*) sedngkn persmn gris lurus mellui titik () dengn vektor rh c 7...(**) persmn () dpt kit tulis menjdi tig persmn:... () dlh Yng persmn prmetern gris lurus g. ttn : Persmn gris lurus dlm entuk lin. Klu persmn () dieliminsi diperoleh : c tu c... () dlh persmn gris lurus dikethui meleui titik P dengn vektor rh c tu : (il... (4) dlh persmn gris lurus dikethui mellui titik P dn Q.
VIII : idng Rt dn Gris Lurus ttn : Komponren-komponen vektor rh itu.. dn c msing-msing diseut ilngn rh gris dn klu. dn erturut-turut sudut ntr gris lurus (sudut-sudut ntr vektor rhn = [c]) dengn sumu-sumu koordint (vektor-vektor i c =[] j = [] dn k = []. Mk cos cos cos tu cos cos cos. Jdi dlh vektor rh rh gris lurus dengn pnjng = dn diseut vektor cosinus dri gris lurus (sedngkn msing-msing komponen diseut cosinus rh). Jdi persmn gris lurus dpt pul erentuk : cos cos cos... () tu... (6) Di sini t = jrk titik ke ontoh 7 : Persmn gris mellui titik-titik (-) dn (4--) dlh 4 4 Dengn persmn prmetern mengeliminsi diperoleh : 4 Vektor cosinus dri gris dits dlh : 4 4 dn dengn 4 dpt pul erentuk. 8 8 8 8 4 tu errti gris 8 8 8 8.. Hl Khusus dri Gris Lurus Dengn Vektor rh [c]. Gris lurus ng mellui sl () kn erentuk c tu c : Turmudi E-mil : toermoed@hoo.co.id log: www.toermoed.wordpress.com
6 Geometri nlitik Dtr dn Rung. il = vektor c terletk pd idng rt ng sejjr idng YOZ il = gris lurus sejjr idng XOZ il c = gris lurus sejjr idng XOY Dlm hl ini liht slh stu ilngn rh (mislkn. = ) persmn gris c lurus menjdi c dn dengn mengeliminsi diperoleh du persmn :. ng ersm mentkn gris lurus terseut. c. il = = vektorc sejjr dengn rh sumu Z ontoh 8 : itu jdi gris lurus terseut sejjr sumu Z il = c = gris lurus sejjr sumu Y il = c = gris lurus sejjr sumu X Gris lurus 4 6 ersift sejjr dengn idng XY (hl dimn c = ) dn dpt kit tulis segi : =. 4 6 Gris lurus 4 ersipt sejjr sumu Y(hl dimn = c = ) dpt kit tulis segi = = (dimn erlku untuk setip ) 8.. Gris lurus segi Perpotongn Du idng Rt Kit dpt pul mentkn sutu gris lurus segi perpotongn semrng du idng rt ng mellui gris lurus terseut. Misln gris lurus g dlh perpotongn idng rt. V D dn V D mk persmn gris lurus g dpt ditulis : V D g : V D
VIII : idng Rt dn Gris Lurus 7 : Turmudi E-mil : toermoed@hoo.co.id log: www.toermoed.wordpress.com ontoh 9 : Persmn 6 7 dlh persmn-persmn gris lurus ng merupkn perpotongn idngidng 7 dn 6 Untuk menentukn vektor rh dri gris lurus perpotongn du uh idng rt kit perhtikn Gmr erikut: : D V D V g n n Jels hw n n merupkn vektor rh dri gris g. Jdi k j i c Dimn untuk mudh mengingtn kit tulis segi erikut : c... (8) Untuk Menguh entuk Persmn V V menjdi entuk c. Kit hrus menentukn pul koordint. Semrng titik pd gris lurus. Untuk itu (isn) kit mil titik potong dengn idng koordint misln XOY Z diperoleh : D D
8 Geometri nlitik Dtr dn Rung Yng il diselesikn diperoleh : D D dn D D Y ontoh 4 : Gris lurus. 8 mempuni vektor rh : c Dimn 9 ; ; c. tu 9 c mil 8. 8 Titik () pd gris lurus persmn dpt ditulis : 9 9 c 8.. Kedudukn Du Gris Lurus Didlm rung erdimensi tig du gris lurus mungkin sejjr erimpit erpotongn tu ersilngn. Dikethui gris lurus : : c g dn : c g. g sejjr g il rh merik erkeliptn. Jdi il c c ; ilngn tu il c c... (9) Klu dismping sipt dits erlku pul : c mk g dn g erimpit.
VIII : idng Rt dn Gris Lurus 9 ontoh 4 : Gris lurus g : c 4 47 dn : c 8 44 kren 47 erke;iptn dengn 8 44 g sejjr tetpt tidk erimpit kren 4 4 tidk erkeliptn dengn 47 Demikin jug hln h dn h : Sedngkn gris k : dn k : erimpit. Kren rh k : dn rh k : dn slh stu di gris itu vektor k dlh Q() ng sm PQ 7 : slh stu titik di k dlh P() erkeliptn dengn rh. Klu rh g itu c dn rh g itu c tidk erkeliptn mk g dn g erpotongn di stu titik tu ersilngn. mislkn titik potong errti d sehingg sehingg c c. errti : c c dn d tu : c c erdsrkn teori persmn linier nili dn d. il diterminn : c c... () Merupkn du gris lurus perpotongn pd stu titik. Sedngkn persmn idng ng memut gris g dn g terseut : c c... () : Turmudi E-mil : toermoed@hoo.co.id log: www.toermoed.wordpress.com
4 Geometri nlitik Dtr dn Rung ontoh 4 : Tunjukn hw g : 4 erpotongn dengn g : 4 7 g g : : 8 tentuk titik potong sert idng rt ng memut g dn g terseut. 4 47 8 rh merik erkeliptn jdi sejjr tupun erhimpit. Sedngjn diterminn : 4 7 8 4 4 7 8 9 Jdi g dn g erpotongn. Titik potong diperoleh dri persmn : -V du persmn sj.. titik potong diperoleh dengn memsukn kepersmn g. Diperoleh 4 47 76 sehingg titik potong : (-76) (oleh jug dengn memsukn ke persmn g ). idng rt ng memut g dn g mempuni vektor rh [4--] jdi persmn vektorisn : 4 47 8 tu entuk liniern (sesui deng ()) : 4 7 8 4 6 67 ttn: Sudut ntr gris g dn g dlh sudut vektor-vektor rh c itu : cos c. c c c c c c c c dn... () Kedu gris g dn g terseut sling tegk lurus do product vektor merik = tu il. c c... ()
VIII : idng Rt dn Gris Lurus 4 ontoh 4 : Tentukn prsmn gris lurus g ng mellui titik () dn sejjr gris h:! Penelesin rh gris g : Sudut ntr gris h dn gris k : 6 dlh cos..6. 4 44 6 9 4 8.. Kedudukn Gris Lurus dn idng Rt Pndng gris lurus g ng ddengn vektor rh = c dn idng rt V dengn vektor norml n = mk:. Gris lurus g sejjr idng rt V vektor rh gris tegk lurus norml idng tu n. = tu : c... (4) g sejjr deng idng V g terletk pd idng V g tegk lurus idng V. Gris g tegk lurus idng rt V vektor rh gris lurus = vektor norml c idng rt (tu keliptn) tu... (. il gris g terletk seluruhn pd idng rt terpenuhi n tu.n = c... (6) dn semrng P pd gris g hrus terletk pul pd idng V. : Turmudi E-mil : toermoed@hoo.co.id log: www.toermoed.wordpress.com
4 Geometri nlitik Dtr dn Rung ontoh 44 : Gris lurus g : sejjr dengn V = + + + 7 = Kren... tetpi g tidk terletk pd V. Kren sutu titik tidk memenuhi persmn V 7 sedngkn gris : g terletk pd V = + + - = Kren... dn titik V Sedngkn Kren pd g memenuhi persmn g : tegk lurus idn g g : sm dengn vektor norml : g. pd g 8.4. Gris Lurus Memotong Du Gris Lurus Lin Jik g : V V = U mk persmn umum dri gris lurus g ng memotong g dn g dlh V V U U... (7) ontoh 4 : tentukn pesmn grus lurus ng mellui titik dn g : 4 sert g : 4. 8. Penelesin Gris lurus 4. 4 8 memotong g dn g... (*) untuk setip dn kren mellui : (*) dn tu. ng kit susitusikn :. 4 merupkn persmn ng dumint..
VIII : idng Rt dn Gris Lurus 4.. Jrk ntr Du Gris Lurus g dn g. il g dn g sejjr untuk menghitung jrkn dpt dilkukn segi erikut: - Pilihlh semrng titik p pd g - utlh idg rt W mellui P dn tegk lurus g ng dengn sendirin jug tegk lurus g - Tentukn Q titik temus g pd W - Pnjng PQ dlh jrk g dn g. il g dn g ersilngn dpt dilkukn segi erikut: - ut idng rt W ng mellui g dn sejjr g - Pilih semrng titik P pd g - Tentukn jrk P ke idng W merupkn jrk g dn g. ontoh 46 :. Tentukn jrk gris lurus g Penelesin : dn g : 4 8 g // g pilihlh P () pd g persmn idn W mellui P dn tegk lurus g W = + + = + + 6 = (*) : Turmudi E-mil : toermoed@hoo.co.id log: www.toermoed.wordpress.com
44 Geometri nlitik Dtr dn Rung Mencri titik Q itu titik terus g pd W : g dpt ditulis dlm persmn prmeter : = = 4 + = 8 + (**) dn sutitusin ke (*) : ( ) + (4 + ) + (8 + ) 6 = 4 + 4 = Jdi Q(- 7) errti jrk g dn g dlh : PQ + 7 = 4. Tentukn jrk dn persmn gris huung terpendek dri sumu Z kegris lurus g : = - + = - Penelesin : Sumu Z mempuni persmn g : = = dn gris g : + = + = ; idng W mellui titik g erentuk + = dn // g ng rhn : errti [ ]. jdi W = + = ; pilih semrng titik P pd g mil = dn = tu P... jrk ke W = dlh : d = = g dlh gris huung terpendek g dn g ng dpt dicri segi erikut : idng U mellui g dn tegk lurus W :
VIII : idng Rt dn Gris Lurus 4 sert :.. errti U= X Y Z + + = tu Titik temus sumu Z pd U : = = = g mellui R dn vector rhn = norml dri W errti g :. tu = =.6. Jrk Seuh Titik ke Seuh Gris Lurus Jrk p erikut : ke gris g dpt kit cri segi - ut idng W mellui p tegk lurus g - ri titik Q titik temus g pd W. - Gris PQ dlh sutu gris ng tegk lurus g dn mellui titik P sehingg pnjng PQ dlh jrk titik P ke gris g ontoh 47 : Tentukn jrk titik ke gris = = Penelesin: idng W ng mellui dn tegk lurus = = dlh : + (*) Ttik temus gris g pd W dpiperoleh dengn mensusitusikn = = = ke (*) tu titik temus Q jdi PQ =. dlh jrk ng dimint : Turmudi E-mil : toermoed@hoo.co.id log: www.toermoed.wordpress.com
46 Geometri nlitik Dtr dn Rung ttn: Mencri persmn gris h ng mellui titik P sert memotong tegk lurus g dengn persmn = + c Mislkn Q pd gris g errti kordint Q Vector PQ =. c. c merupkn rh gris h h segi contoh kit hendk memechkn contoh dits mil Q pd g vector PQ= PQ tegk lurus rh g itu errti : tu Titik Q ( ) dn jrk P ke gris g = PQ = ( ) ( ) ( ) =.7. Perpotongn Tig idng Rt Pndng tig idng rt : V = + + + D V = + + + D V = + + + D V V dn V tidk d ng sejjr terdpt tig kemungkinn kedudukn ketig idng terseut :. hn mempuni stu titik persekutun ( mementuk jringn idng ). mempuni stu gris lurus persekutun ( mementuk erks idng ). mementuk stu prim segitig
VIII : idng Rt dn Gris Lurus 47 : Turmudi E-mil : toermoed@hoo.co.id log: www.toermoed.wordpress.com pndng hw V dnv tidk sejjr. Gris potong V dn V itu g mempuni rh n n = dn mellui titik P D D D D mk V =. V =. V = mementuk prism sisi tig jik g // V (g tidk terletk pd V ). errti :. n n n tu il : (8) dn mislkn titik P terletk pd V = errti tidk terpenuhi huungn : tu tidk memenuhi: = D D D D D tu tk memenuhi : D D D =.(9)
48 Geometri nlitik Dtr dn Rung Jdi: - Ketig idng rt mementuk sutu erks idng rt jik terpenuhi persmn (8) dn (9) - Ketig idng rt mementuk sutu prism sisi tig jik terpenuhi persmn (8) dn (9) - Dlm hl lin mementuk jringn. ontoh 48 : Tentukn hw idng mementuk prism segitg. Penelesin Persmn (8) terpenuhi itu : dn 4 7 7 4-7 sedngkn persmn (9) 4-7 4 tidk terpenuhi.
VIII : idng Rt dn Gris Lurus 49 8.8. Sol-sol dn Pemechnn. Tentukn persmn idng rt mellui titik P () dn Q (96) sert tegk lurus idng V = + 6 + 6 = 9! Penelesin : Mislkn persmn idng W = + + + D = Mellui titik P() + + + D =..() Mellui titik Q(96) 9 + + 6 + D = () Dn kren tegk lurus V + 6 + 6 =.....() () () : 9 + + 6 + D = + + + D = - 7 + + = (4) Dn (4) () : 7 + + = + 6 + 6 = (6) () 4 + 6 + = + 6 + 6 = - 4 + 4 = = -/ Sustitusikn nili ke persmn (4) : 7(-/) + + = diperoleh = -4/. sustitusikn nili dn ke ke persmn () : (-/) + (-4/) + + D = diperoleh D = 9/. jdi persmn idng ng dimksud dlh : -/ 4/ + + 9/ = = - mk : + 4 9 = : Turmudi E-mil : toermoed@hoo.co.id log: www.toermoed.wordpress.com
Geometri nlitik Dtr dn Rung. Tentukn persmn idng rt ng mellui (-) sert tegk lurus idng-idng V = + + = dn V = + + = 8! Penelesin : idng W ng dimint mellui (-) erentuk ( + ) + ( ) + ( ) = W tegk lurus dengn V mk + + =..() W tegk lurus dengn V mk + + = () () () diperoleh + = tu = -/. -/ ( + ) + ( ) /4 ( ) = tu 6 4 + + 6 =. Tunjukn hw gris lurus ng menghuungkn titik-titik P(---) dn Q(-) sert gris lurus ng menghuungkn R(6-44) dn S(-4) sling erpotongn. Penelesin : jels hw PQ = [4-] tidk sejjr deng RS = [-64-8]. Selnjutn kn ditunjukn hw keempt idng teseut seidng. Q 4 W 7 7 R S P P P Q R S P P P Q R S P P P Jdi PQR dn S terletk pd sutu idng PQ tidk sejjr dengn RS. errti gris mellui PQ erpotongn dengn gris mellui RS. 4. Tentukn persmn idng rt W mellui gris potong idng V 7 dn V sert tegk lurus idng V 7. Penelelsin : W mellui perpotongn V dn V errti erentuk errti 7
VIII : idng Rt dn Gris Lurus : Turmudi E-mil : toermoed@hoo.co.id log: www.toermoed.wordpress.com 7. Dn kren tegk lurus V. Mk dot product : 9 9... Jdi W :. 7..... 9 9 9 9 tu 7 9. Tentukn persmn gris lurus ng memotong kedus gris lurus g : dn 4 : g sert. : g Penelsin : Persmn umum grislurus ng memotoing gris g dn g dlh : g tu 4 V V Kren g sejjr dengn g errti rhn = [] ng tegk lurus norml idng g dn norml idng g errti :.. Dn.. 4 Mk persmn gris lurus ng dimint dlh : 7 4 7. 6 7 4 : g 6. Tentukn persmn vektoris gris lurus hsil proeksi tegk lurus g. [] = [-] pd pd idng rt W = + =. Penelesin : Gris lurus g proeksi P merupkn gris potong ntr W dn V (ng mellui g dn tegk lurus W).
Geometri nlitik Dtr dn Rung g : - + =. = - W erentuk V W 4 V 6 4 Jdi P: 6 4 V W Yng rhn g : 4 9 6 4 7 Untuk menetukn seuh titik pd P kit oleh mengmil titik temus g pd W itu diperoleh dri susitusi : tu titik potong 7. Tentukn persmn gris lurus g ng mellui titik P(--) sejjr idng rt V menilng tegk lurus. 4 : g tentukn pul jrk dri wl sumu ke gris Penelesin vektor rh g : 4 4
VIII : idng Rt dn Gris Lurus Mislkn vektor rh gris g = [c] kren g // idng rt V c. c... (*) Dn tegk lurus g c. 4 4 c... (**) Dengn menelesikn (*) dn (**) diperoleh : = c dn = (--) persmnn : [] = [--] + [ c c. Kren g mellui cc] = Untuk mencri jrk titik O() k g kit dpt ut idng U mellui O() tegk lurus g U :. titik temus U : Titik temus Q(-) Jrk O ke g dlh : OQ.. 8. Tentukn persmn gris lurus g ng mellui titik P(-) terletk pd idng V sert tegk lurus gris g :. Penelesin : Gris g hn mungkin il titik P terletk pd idng W. Ternt terpenuhi +.-=. Jdi P terletk pd idng V. Mislkn vektor rh dri g : = [c] kren g terletk pd V errti tegk lurus vektor norml dri V c. c... () Vektor rh g : 7 7 7 Kren g g errti c. 7 7 7 c... () : Turmudi E-mil : toermoed@hoo.co.id log: www.toermoed.wordpress.com
4 Geometri nlitik Dtr dn Rung Dengn menelesikn persmn () dn () diperoleh c. dn kren gmellui (-) persmnn : c tu c. 9. Tunjukn hw ketig idng rt V V 7 V 4 erpotongn hn pd stu titik (jdi mementuk jringn idng). Kemudin tentukn persmn idng W ng mellui titik potong terseut dn sejjr pd idng V 4. Penelesin : 4 7 76 Jdi titik potong di stu titik. Persmn idng mellui titik potong : V V V tu 7 7... Kren //V 4 errti 7 dimn 4 9 dn 9 W : 4 9 7 9 sert.
VIII : idng Rt dn Gris Lurus 8.9. Sol-Sol Ltihn. Tentukn persmn vektoris dn persmn linier idng rt mellui titik : () (4) (--) (7) () (4) (6) (4) (c) () () (-) Penelesin : () 4 4 64 6 () 4 (c) 4 6. pkh empt titik erikut seidng jik seidng tentukn persmn liniern : () () (4) (--4) () () (4) (--) (4-) (c) () (4--) (4) () Penelesin:. Y. 4. Y. 7 c. Tidk. Tentukn hl-hl istimew pd idng-idng rt erikut sert erikn gmrn : () + = 6 () = (c) = 6 (d) X 6 = (e) + 4 + = (f) + = : Turmudi E-mil : toermoed@hoo.co.id log: www.toermoed.wordpress.com
6 Geometri nlitik Dtr dn Rung 4. Tentukn persmn linier idng rt : () Mellui (--4) ng hotiontl : () Sejjr suu Z memotong sumu X positif seesr memotong sumu Y negtif seesr. (c) Mellui (-4) dn tegk lurus gris [] = (d) Mellui (--) tegk lurus dn gris lurus ng mellui (-4) dn (4) (e) Tegk lurus erpotong gris P(--) dn Q(64) seert mellui tenghtengh PQ Penelesin: () + 4 = () 6 = (c) + + = (d) 8 + = (e) 4 + + 4 =. Tentukn persmn linier idg rt ng : () Mellui (-4) dn sejjr idng rt + 6 = () Sejjr idng rt 6 = dn erjrj dri titik sl () (c) Sejjr idng rt 4 4 + 7 = dn erjrk 4 dri titik (4-) Penelesin : () + 8 = () 6 = (c) 4 4 + 7 + 8 =
VIII : idng Rt dn Gris Lurus 7 6. Tentukn persmn idng rt : () Mellui ( 4) dn tegk lurus idng rt 7 + = dn 4 + 9 = () Mellui (4 ) dn tegk lurus gris potong idng rt + = dn = (c) Yng tegk lurus idng rt + = dn + + = sert erjrk 6 dri titik sl (d) Mellui titik () dn () sert tegl lurus idng rt + = Penelesin: () 4 + + = () +7 + = (c) + 6 = (d) 7 6 7 = 7. Tentukn titik potong ketig idng rt : () =. 4 + + =. 8 + = () + =. + =. 4 + = (c) + + =. + + =. 4 + 8 = Penelesin : () 4 () () (c) : Turmudi E-mil : toermoed@hoo.co.id log: www.toermoed.wordpress.com
8 Geometri nlitik Dtr dn Rung 8. Sutu idng rt memotong sumu-sumu koordint titik dn sedemikin sehingg titik ert segitig dlh titik (c) tunjukn hw persmn idng rt tersut dlh c c 9. Tentukn persmn idng rt : () mellui sumu X dn tegk lurus idng rt = () mellui gris potong idng-idng rt + + = 6 dn + + 4 + + sert titik () (c) mellui gris potong idng-idng rt = dn = sert tegk lurus idng rt 4 + = 8 (d) mellui gris potong idng-idng rt + + c + d = + + c + d = sert tegk lurus idng XOY Penelesin : () = () + +6 9 = (c) 8 7 + 9 - (d) c c c c dc d c. Tentukn persmn idng rt ng : () mellui titik ( ) dn tegk lurus gris lurus mg menghuungkn titik (4- ) dn (-). () memgi du potongn gris lurus ng mellui () (4) dengn sudut siku-siku. Penelesin () + 6 + 8 = () + + = 9 (c)
VIII : idng Rt dn Gris Lurus 9. Tentukn jrk () titik (-) keidn rt + = 4 () titik () ke idng rt 6 7 6 + = (c) idng rt : + + = dn 4 4 + + = (d) idng-idng rt : 6 + = 7 dn 6 + = 9 Penelesin: () 4 () (c) 6 (d) 7. uktikn hw idng-idng rt gi (issectors) dri idng-idng rt : + + + d = dn + + + d = dlh : D D (tnd. Menunjukkn idng gi dlm tu idng gi lur). Tentukn gi dlm idng-idng rt : + + = dn + 4 + + = Pernelesin : + 9 + 8 =. Tunjukn volume idg empt ng ditsi oleh idng-idng rt : + = + = dn + + = Penelesin : : Turmudi E-mil : toermoed@hoo.co.id log: www.toermoed.wordpress.com
6 Geometri nlitik Dtr dn Rung 4. Tunjukn hw idng-idng erikut merupkn sisi-sisi seuh prllel epipedum : + 4 7 = + + = 6 + 8 + = + 6 7 =. Tentukn persmn vektoris dn persmn-persmn linier gris lurus mellui titik () () (-) () (-) (4) (c) () () Penelesin : () []= [] + [-] () []= [-] + [4-] (c) []= [] + [] = 6. Tentuknlh vektor rh kemudin persmn vektoris gris lurus perpotoongn idng-idng rt : () + = + t + + = 7 () + = + 4 = (c) + 6 = = 4 Penelesin : () [] 7 () [] 7 4 96
VIII : idng Rt dn Gris Lurus 6 (c) [] 64 7. Tentukn koordint titik temus : () Gris lurus dn idng rt 4 () Gris lurus + 8 =. + + + = dn idng rt + + = (c) Gris lurus ng mellui (-) (-4-) dn idng rt + + = 7 Penelesin. (-). (-) c. (-7) 8. Tentuknlh () jrk titik temus gris lurus ke titik (---) 4 dn idng rt () tentukn pjng potongn gris dri (-4) ke idng + 6 = 9 ng diukur sepnjng gris lurus dengn vektor rh [-] (c) crilh koordont ngn dri titik (4) pd idng rt + + = Penelesin () () 9 (c) (-) 9. Tentuknlh : Turmudi E-mil : toermoed@hoo.co.id log: www.toermoed.wordpress.com
6 Geometri nlitik Dtr dn Rung () persmn gris lurus mellui titik (-) dn tegk lurus + + = tentukn pul titik temus gris terseut pd idng rt. () Tentukn koordint titik temus gris lurus ng ditrik dri titik sl. Tegk lurus idng rt V = + 6 + 49 = pd V. Tentukn pul ngn titik slpd idng rt V. Penelesin () ( + ) ; () (--6) (-4-6). Tunjukn hw kedu gris lurus erikut erpotongn dn tentukn idng ng memut kedu gris terseut. Sert titik potong kedu gris terseut! () 4 6 () (c) 8 7 dn + + = = + + 4 4 dn ( 4) dn Penelesin () 4 7 + + =. (4-) () 6 67 =. (-76) (c) X + =. 4 7 4 6. Tunjukn hw kedu gris lurus ini sejjr. Hitung jrkn! () + = 6 = dn + = 9 = 7 6 () 6 dn Penelesin : ()
VIII : idng Rt dn Gris Lurus 6 () 6. Tentukn persmn idng rt ng memut gris-gris lurus () 4 dn 4 4 () = = dn ( )= ( +) = Penelesin () - = () X + 4 =. Tentukn jrk : () Titik (4-) ke gris lurus 6 4 8 () Titik (4-) ke gris lurus 9 Penelesin : () 6 () 99 4. Tentukn persmn gris lurus ng mellui P dn memotong tegk lurus g il : () P(4-) g : () P g : 6 4 9 4 (c) P() g : + + + 4 = = + + 4 + = Penelesin () 4 6 : Turmudi E-mil : toermoed@hoo.co.id log: www.toermoed.wordpress.com
64 Geometri nlitik Dtr dn Rung 6 () (c) 4. tentukn persmn gris ng memotong dn 4 4 sert mellui titik (). rilh titik potongn! Penelesin = 6. Tentukn persmn gris lurus ng : () Ditrik dri titik sl dn memotong gris-gris lurus + + 4 = 4 dn 4 6 4 () Mellui (-) dn memotong gris lurus = = sert 4.4 Penelesin () () 4 8 6 9 7. Seuh gris sejjr gris / 7 / 4 / = 7/ sert dn memotong gris-gris ( ) / ( ) / ( ) / 4. tentuknlh titik-titik potong terseut! Penelesin : (7); ()
VIII : idng Rt dn Gris Lurus 6 8. Tentukn persmn gris lurus ng sejjr / / / 4 dn memotong grisgris lurus 9 + + + 4 = = + + sert + = = + +! Penelesin : ( ) / / / 4 9. Tentukn persmn gris lurus ng mellui titik (-4) sejjr + = sert ( _/ ( ) / ( ) tentukn pul tiik potongn! Penelesin ( 4) / ( ) ( ).(). Tentukn persmn gris lurus ng memotong tegk lurus gris = = dn terletk seluruhn pd idng + + 4 = Penelesin: ( ) / ( ) / ( ) / 4. Tentukn persmn gris lurus ng mellui titik (4) tegk lurus sumu X dn memotong gris = =! Penelesin : = =. Tentukn persmn gris lurus ng mellui titik sl dn memotong gris lurus ( ) / ( ) deng sudur 6! Penelesin : / / : Turmudi E-mil : toermoed@hoo.co.id log: www.toermoed.wordpress.com
66 Geometri nlitik Dtr dn Rung. Tentukn jrk dn persmn gris huung terpendik gris-gris lurus : () ( ) / ( 4) / 7 ( 9) / sert ( ) / ( ) / ( 9) /. () ( ) / ( 4) / ( ) / sert ( ) / ( 7) / ) ) / (c) =. + = sert 7 4 =. + = Penelesin : ().4 () ( 4) ( ) / ( ) /. (c) 9 9 8 67. 7 7 4. Tentukn persmn gris lurus ng memotog dengn sudut ng sm gris-gris lurus 4 dn 4 sert tegk lurus = =. Penelesin : ( 8) /.. gimn perpotongn tig idng rt erikut? () 4 4 8 () 4 (c) 7 6 9 7 Penelesin : () prism () titik (jringn idng) (c) gris lurus (erks idng)
VIII : idng Rt dn Gris Lurus 67 Sol-sol Tmhn. Tentukn volume dri idng empt ng ditsi idng-idng rt l + m + n= p l m n. n + l = Penelesin p lmn. idng-idng rt diut sehingg sudutn dengn gris lurus = = dlh 6 dn sudutn dengn grs lurus dlh 4. tujukn hw semu idngidng rt itu memut 6 dengn idng =. Tentukn persmn idng rt ng mellui titik () dn (-) sert gris lurus ng mellui titik (--) dn (-4). Tentukn pul jrk ntr gris lurus dn idng rt. Penelesin 6.9 7 4. Tunjukn hw ngn gris lurus = -9 ( ) = -( + ) pd idng rt + = 6 dlh gris lurus Penelesin ( 4) / 9 ( ) / ( 7) /. Tentukn persmn gris lurus tn mellui titik () memotong gris lurus 4 ( dn sejjr idng rt 4 + + =. Penelesin ( ) / ( ) / ) ) / 6. Gris lurus ( 7) / ( ) / ( 4) / 8 dlh hipotenus (sisi miring) seuh segitig siku-siku sm kki ng titik sudutn (74). Tentukn persmn kedu sisi ng lin! penelesin ( 7) / ( ) / 6 ( 4) / dn ( 7) / ( ) / ( 4) / 6 : Turmudi E-mil : toermoed@hoo.co.id log: www.toermoed.wordpress.com
68 Geometri nlitik Dtr dn Rung 7. Tentukn persmn kedu gris lurus ng ditrik dri titik sl dn memotong gris lurus ( ) / ( ) dengn sudut 6. Penelesin 8. Tentukn gris lurus ng merupkn proeksi tegk lurus gris gris lurus ke idng Penelesin : ( ) / ( ) / 9 ( ) / 9. Tunjukn hw idng-idng rt + + 4 = 6 + 4 + = mementuk prism tentuknlh lus dri perpnjngntegk lurusn Penelesin : 8 6. Segitig dengn titik sudut (-4) (4--) dn (-) diproeksikn tegk lurus ke idng = tentukn koordintdri titi-titik sudut dn lus segitig hsil proksi terseut! Untuk sol-sol smpi dengn 6 kuus D-EFGH dengn rusuk = 4 di temptkn di oktn seperti pd gmr
VIII : idng Rt dn Gris Lurus 69. Tentukn persmn gris lurus ng memotong tegk lurus gris-gris D dn F Penelesin : + = = 4. il P titik tengh rusuk E tentukn persmn gris lurus ng mellui P memotong HF sert tegk lurus F. Penelsin : ( 4) / ( ). Tentukn persmn gris lurus ng ersudut sm esr dengn rusuk-rusuk dn EH tegk lurus G sert memotong EH dn D! Penelesin : ( ) / /. 4. Tentukn persmn gris lurus ng erjrk dri idng DE sert memotong EH dn G! Penelesin : ( ) / / 4 ( 4) / ;( 7) / 7 / 4 ( 4) /. Tentukn persmn gris sejjr G. Memotong E di P dn F di Q. uktikn hw PQ merupkn gris huung ntr E dn F! Penelesin : 8 6. Tentukn pesmn gris ng sejjr dengn idng ls D memotong DE di P dn memotong di Q sedemikin hingg PQm = Penelesin : P() Q(4) ; PQ : ( ) / ; dn P() Q(4); PQ( ) / ; : Turmudi E-mil : toermoed@hoo.co.id log: www.toermoed.wordpress.com