BAB 2 LANDASAN TEORI

BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Populasi dan Sampel Populasi adalah kelompok besar individu yang mempunyai karakteristik umum yang sama atau kumpulan dari individu dengan kualitas serta ciri-ciri yang telah ditetapkan. Untuk mempermudah suatu penelitian sering kali peneliti tidak mengambil seluruh anggota dari populasi untuk diteliti, namun hanya sebagian subjek dari populasi yang diteliti. Sebagian dari anggota populasi yang diambil untuk diteliti itulah yang disebut sebagai sampel. Akan tetapi dalam pengambilannya, sampel tersebut harus bisa mewakili ciri dari suatu populasi, sehingga sampel tersebut dapat menggambarkan keadaan secara keseluruhan dan objektif. Sampel adalah sebagian atau wakil dari populasi. Sampel terdiri dari sekelompok individu yang dipilih dari kelompok yang lebih besar di mana pemahaman dari hasil penelitian akan diberlakuakan. 2.2 Jenis Data dan Variabel 2.2.1 Data Kualitatif (nonmetric) 1. Skala Nominal Skala nominal adalah suatu himpunan yang terdiri dari anggota anggota yang mempunyai kesamaan tiap anggotanya, dan memiliki perbedaan dari anggota

himpunan yang lain. Contoh skala nominal diantaranya yaitu: jenis kelamin (lakilaki dan perempuan), golongan darah (A, B, O, AB). 2. Skala Ordinal Skala ordinal adalah juga data kualitatif namun dengan level yang lebih tinggi daripada skala nominal. Jika pada skala nominal, semua data kategori dianggap sama, maka pada data ordinal, ada tingkatan data. Misalnya pada data Jenis Kelamin di atas, Lelaki dianggap setara dengan Wanita, atau dalam data Tempat Kelahiran, data Jakarta dianggap sama dengan data Yogyakarta, Surabaya, Boyolali, dan seterusnya. Pada data ordinal, ada data dengan urutan lebih tinggi dan urutan lebih rendah. 2.2.2 Data Kuantitatif (metric) 1. Skala Rasio Skala rasio adalah tingkatan data yang paling tinggi. Skala rasio memiliki jarak antara nilai yang pasti dan memiliki nilai nol mutlak yang tidak dimiliki oleh jenis-jenis data lainnya. Contoh dari data rasio diantaranya: berat badan, panjang benda, jumlah satuan benda. 2. Skala Interval Skala interval mempunyai tingkatan lebih rendah dari data rasio. Contoh dari Skala interval ialah temperatur suhu ruangan, yang dapat dinyatakan dalam derajat Celcius ( 0 C), derajat Fahrenheit ( 0 F) dan derajat Reamur ( 0 R). Tidak ada ukuran temperatur yang mutlak, tergantung pada ukuran yang digunakan.

2.3 Variabel Variabel adalah karakter dari unit observasi yang mempunyai variasi. Dengan mengetahui variabel penelitian, maka peneliti akan mudah mengumpulkan data yang diperlukan dalam rangka untuk mencapai tujuan. Dalam penelitian ini terdapat dua variabel yaitu variabel independen dan variabel dependen : a. Variabel independen atau variabel bebas yang juga sering disebut sebgai prediktor yaitu variabel bebas yang akan diukur pengaruhnya atau variabel yang mempengaruhi variabel lainnya. b. Variabel dependen yaitu variabel terikat yang keberadaannya tergantung atau dipengaruhi variabel lainnya. Hubungan kedua variabel tersebut dapat digambarkan sebagai berikut : X Y Variabel bebas variabel Terikat

2.4 Percobaan Faktorial Pola atau tata cara penerapan perlakuan-perlakuan dalam suatu percobaan pada lingkungan tertentu yang kemudian menjadi dasar penataan dan metode analisis statistik terhadap data hasilnya disebut rancangan percobaan. Penelitian eksperimen merupakan kegiatan penelitian yang bertujuan untuk menilai pengaruh suatu perlakuan terhadap suatu gejala yang menjadi objek penelitian atau menguji hipotesis tentang ada-tidaknya pengaruh suatu perlakuan bila dibandingkan dengan perlakuan lain. Berdasarkan hal tersebut maka tujuan umum penelitian eksperimen adalah untuk meneliti pengaruh dari suatu perlakuan tertentu terhadap gejala suatu kelompok tertentu dibanding dengan kelompok lain yang menggunakan perlakuan yang berbeda. Rancangan-rancangan percobaan disusun berdasarkan dua hal berikut : 1. Tingkat heterogenitas dan jumlah faktor yang menyebabkan keragaman lingkungan tempat percobaan dilaksanakan (galat), rancangan-rancangan hasilnya disebut Rancangan Lingkungan (Ecological Design). 2. Jumlah faktor dan metode pelaksanaan perlakuan pada unit percobaan, rancangan-rancangan hasilnya disebut Rancangan Perlakuan (Treatmental Design). Karena semakin besarnya galat (eksperimental error) menunjukkan semakin besarnya keragaman data yang disebabkan oleh adanya pengaruh nonperlakuan, padahal yang ingin diselidiki adalah bagaimana pengaruh perlakuan, maka Rancangan Lingkungan ditata untuk memperkecil galat tersebut agar dapat digunakan sebagai indikator signifikansi pengaruh perlakuan yang berpengaruh terhadap objek penelitian.

Tiga prinsip penting yang harus dimiliki oleh semua rancangan percobaan agar hasil dari suatu percobaan objektif, yaitu : 1. Ulangan Ulangan berarti bahwa suatu perlakuan dalam suatu percobaan terdapat lebih dari satu kali. Fungsi ulangan adalah menaksir galat percobaan dan mempertinggi kecepatan pengukuran pengaruh perlakuan. Banyaknya ulangan yang diperlukan bagi suatu percobaan tergantung dari besarnya perbedaan yang ingin dideteksi dan varibilitas data yang sedang dikerjakan. Makin homogen bahan percobaan ulangan makin sedikit, bahkan bila bahan percobaan 100% homogen tanpa ulangan pun pembandingan antar-perlakuan dapat dilakukan. 2. Pengacakan (Randomization) Menempatkan perlakuan ke dalam unit percobaan (experimental unit) secara acak, sehingga semua unit percobaan mendapat kesempatan yang sama untuk menerima suatu perlakuan. Demikian juga memilih tanaman contoh untuk diamati sifat-sifatnya harus secara acak. Fungsi pengacakan ini untuk memperoleh penaksiran yang tidak berbias dari rata-rata perlakuan dan galat percobaan. 3. Pengawasan setempat (Local Control) Pengawasan setempat bertujuan untuk memperkecil galat percobaan. Untuk percobaan lapangan perlu diadakan pengelompokan blok (ulangan). Sehingga dalam satu blok atau satu ulangan mempunyai kesuburan yang sama. Blok atau ulangan dibagi ke dalam unit percobaan atau petak. Kemudian menempatkan perlakuan ke dalam unit percobaan dalam satu blok. Dengan cara ini pengaruh blok sudah dikeluarkan dari keragaman total atau pengaruh blok terhadap efek perlakuan ditiadakan.

Nilai-nilai dalam suatu percobaan meliputi dua hal berikut : 1. Nilai-nilai tidak bebas yang terjadi secara rambang dengan besaran yang tergantung pada pengamatan disebut peubah terikat. Yang dalam hubungan kausatifnya disebut sebagai faktor sebab. 2. Nilai-nilai bebas yang terjadi secara rambang dengan besaran yang tergantung pada pengamatan disebut peubah bebas. Yang dalam hubungan kausatifnya disebut sebagai faktor akibat adanya. Analisa digunakan untuk menyelidiki apakah terdapat perbedaan yang berarti mengenai rata-rata efek tiap taraf atau tidak. Akan tetapi sering terjadi bahwa akan diselidiki secara bersamaan efek dari beberapa faktor yang berlainan. Apabila faktor terdiri dari beberapa taraf, maka kombinasi tertentu dari taraf tiap faktor menentukan sebuah kombinasi perlakuan. Jika semua kombinasi antara taraf setiap faktor diperhatikan, maka eksperimen yang terjadi diantaranya disebut percobaan faktorial. Percobaan faktorial bukan merupakan suatu rancangan, melainkan suatu pola melakukan percobaan untuk mencoba secara serentak dari beberapa faktor dalam suatu percobaan. Adapun rancangan yang dipergunakan dalam percobaan faktorial, tergantung kepada keadaan lingkungan percobaan dan tujuan percobaan faktorial mempelajari pengaruh dari dua faktor atau lebih. Masing-masing faktor terdiri dari dua taraf atau lebih, dimana semua taraf setiap faktor dikombinasikan menjadi kombinasi perlakuan. Kombinasi perlakuan ini merupakan satu kesatuan perlakuan yang dicoba dengan suatu rancangan tertentu. Penempatan kombinasi perlakuan pada unit percobaan diacak menurut aturan rancangan dasar yang digunakan. Perhatikan suatu penelitian yang meneliti tiga faktor (A, B, dan C) yang masingmasing dicobakan dalam berbagai tingkatan. Faktor A dalam a tingkatan, faktor B dalam b tingkatan dan faktor C dalam c tingkatan. Percobaan demikian disebut percobaan faktorial a x b x c. Dengan demikian banyak perlakuan yang dicobakan

adalah t = abc. Andaikan bahwa tiap perlakuan diulang dengan ulangan yang sama sebanyak n. Pada percobaan yang demikian, data yang diperoleh akan beragam yang dapat dikaitkan dengan tingkatan masing-masing faktornya. Dengan demikian dapat ditulis sebagai berikut : Dengan : = pengamatan ke-l (l = 1, 2,..,n) untuk faktor A ke-i (i = 1,2,...,a), faktor B ke-j (j 1,2,...,b) dan faktor C ke-k (k = 1,2,...,c) = rata- rata = pengaruh faktor A ke-i = pengaruh faktor B ke-j = pengaruh faktor C ke-k = interaksi faktor A ke-i terhadap faktor B ke-j = interaksi faktor A ke-i terhadap faktor C ke-k = interaksi faktor B ke-j terhadap faktor C ke-k = interaksi faktor A ke-i, faktor B ke-j, terhadap faktor C ke-k = sesatan pengamatan yang bersangkutan Beberapa kelebihan Percobaan Faktorial : 1. Oleh karena tingkat faktor A diterapkan terhadap setiap tingkat faktor B dan sebaliknya, maka setiap tingkat faktor A atau B akan terulang pada semua tingkat faktor lainnya (A atau B) yang disebut dengan ulangan tersembunyi, sehingga dalam percobaan faktorial, semua tingkat faktor A atau B akan diulang sebanyak r ulangan dan n ulangan tersembunyi. Hal ini akan meningkatkan derajat ketelitian pengmatan terhadap pengaruh faktor perlakuan dalam percobaan. 2. Dapat mengetahui pengaruh bersama (interaksi) terhadap data hasil percobaan.

Definisi Sebuah k-tupel bilangan real disusun dalam sebuah kolom disebut vektor. Dapat ditulis sebagai atau 2.5 Eigenvalue, Eigenvektor dan Matriks Varias-Kovarians 2.5.1 Eigenvalue dan Eigenvektor Definisi 2.5.1 Andaikan A merupakan matriks kuadrat k x k dan matriks identitas maka memenuhi persamaan polinomial disebut eigenvalue dari matriks A. Persamaan merupakan fungsi disebut persamaan karakteristik. Definisi 2.5.2 Andaikan A merupakan matriks k x k dan merupakan eigenvalue A. Jika x merupakan vektor tak nol sedemikian hingga, maka x disebut eigenvektor dari A yang sesuai dengan eigenvalue. Jika matriks merupakan matriks non singular, maka dapat dikalikan dengan inversnya dan satu-satunya penyelesaian ialah. Sehingga akan ada suatu penyelesaian dimana jika matriks adalah singular, yaitu. Biasanya eigenvektor dinormalkan dengan membuat jumlah kuadrat elemen-elemennya mempunyai nilai sedemikian hingga, dan untuk menunjukkan eigenvalue normal dinotasikan dengan e. 2.5.2 Matriks Varians-Kovarians Matriks varians-kovarians dinotasikan dengan merupakan matriks kuadrat dan simetrik yang terdiri dari p varians dan p(p-1)/2 kovarians yang berbeda. Elemen-elemen diagonal utama dari harus tidak negatif, merupakan varians dari

setiap variabel dan elemen-elemen diluar diagonal utama merupakan kovarians antara variabel yang berbeda. Varians merupakan pengurangan kuadrat dari setiap variabel dengan rata-ratanya, sedangkan kovarians merupakan perkalian silang atau deviasi antara satu variabel dengan rata-ratanya dikalikan dengan deviasi antara variabel kedua dengan rataratanya.pandang vektor acak mempunyai rata-rata, maka matriks kovarians dari X adalah : Dimana elemen ke-i,j dari yaitu meripakan kovarians antara dan, dan elemen ke-i,i dari yaitu merupakan varians antara. Demikian matriks varians kovarians dapat ditulis sebagai 2.6 Eror Tipe I dan Tipe II Dalam menolak hipotesis ketika seharusnya hipotesis tersebut diterima, maka dikatakan bahwa terjadi eror tipe I. Sebaliknya, jika menerima hipotesis ketika seharusnya hipotesis tersebut ditolak, maka dikatakan dengan eror tipe II. Dalam setiap kasus tersebut telah diambil keputusan yang salah.

Tabel 2.1 Kemungkinan Hasil Pengujian Hipotesis Keputusan Terima H 0 (tolak H 1 ) Tolak H 0 (terima H 1 ) Terima H 0 (tolak H 1 ) (Taraf Keyakinan) (keliru tipe II) Tolak H 0 (terima H 1 ) (keliru tipe I) (kekuatan Pengujian) Dalam menguji suatu hipotesis, probabilitas maksimum bersedia menerima resiko terjadinya eror tipe I disebut sebagai tingkat signifikan dari pengujian tersebut, yang disimbolkan dengan. Dalam prakteknya, tingkat signifikan 0.05 dan 0.01 adalah tingkat signifikan yang umum, meskipun nilai yang lain dapat digunakan. 2.7 Asumsi-asumsi pada data Multivariat Analisis Varians 2.7.1 Adanya Independensi Hal yang sangat penting adalah ketika terjadi suatu pelanggaran, yaitu tidak adanya kebebasan antar pengamatan. Dalam kebanyakan pengamatan atau perlakuan, mempunyai akibat yang akan mempengaruhi hasil observasi. 2.7.2 Uji Data Outlier Data outlier adalah data yang secara nyata berbeda dengan data yang lain. Outlier adalah kasus dengan nilai ekstrem pada kombinasi variabel yang koefisien korelasinya terlalu berpengaruh, nilai rata-rata dari kelompok. Outlier dapat ditemukan antara situasi univariat dan multivariat, diantara dikotomus dan variabel kontinue, antara variabel dependen dan variabel independen, dan antara input dan output dari analisis.

Multivariat analisis cukup sensitif terhadap keberadaan data yang bernilai sangat ekstrem (outlier). Oleh karena itu, data terlebih dahulu perlu dideteksi pakah mengandung outluer atau tidak. Memasukkan outlier pada kasus multivariat analisis akan membuat uji statistik menjadi lebih sulit ditafsirkan. Terutama adalah suatu outlier dapat memperlihatkan kesalahan tipe I atau kesalahan tipe II. Data outlier bisa terjadi karena beberapa faktor : 1. Kesalahan dalam pemasukan data. 2. Kesalahan pada pengambilan sampel. 3. Terdapat data-data ekstrem yang tidak bisa dihindarkan keberadaannya. Langkah-langkah menemukan outlier : 1. Membuat titik pencar untuk setiap variabel 2. Membuat diagram pencar untuk setiap pasangan variabel 3. Hitung nilai standar untuk j = 1,2,...,n dan setiap kolom k = 1,2,...,p. Periksa standarisasi ini untuk nilai besar atau nilai kecil. Sebuah data dikatakan outlier, jika nilai z lebih besar dari +2.5 atau lebih kecil sama dengan -2.5 Menangani Data Outlier 1. Memeriksa ketepatan data Kasus yang menyebabkan adanya outlier adalah karena data yang dimasukkan tidak tepat. Periksa nilai untuk suatu penelitian agar nilai yang dimasukkan tepat. 2. Menghapus kasus outlier Alternative kedua adalah dengan mengeluarkan kasus yang dikenal sebagai outlier dari analisis. Kekurangan cara ini adalah sampel ditukar dengan mengeluarkannya dari kasus.

2.7.3 Uji Multivariat Normal Tujuan dari uji normalitas adalah untuk mengetahui apakah distribusi sebuah data mengikuti atau mendekati distribusi normal, yakni distribusi data dengan bentuk lonceng. Data yang baik adalah data yang mempunyai pola seperti distribusi normal. Pada dasarnya, distribusi utama dan permasalahan yang muncul dalam analisis multivariat adalah distribusi normal multivariat. Distribusi normal multivariat digunakan karena dua alasan, pertama, banyak kasus penelitian multivariat kurang lebih mendekati distribusi normal, karena rata-rata sampel dan matriks kovarian digunakan dalam prosedur inferensial, mewajibkan efek teorema central limit. Ini juga disebabkan, ketika penelitian dapat dianggap sebagai jumlah dari vektor acak independen, model yang layak dalam berbagai situasi. Kedua, distribusi multivariat normal dan distribuai sampling untuk memberi kemudahan. Beberapa teknik analisis multivariat yang digunakan mengasumsikan bahwa data dihasilkan dari distribusi multivariat normal. Meski pun pada dasarnya data yang digunakan tidak selalu berdistribusi normal, distribusi normal digunakan sebagai pendekatan untuk mencapai distribusi populasi yang mendekati benar. Multivariat normal adalah perluasan dari univariat normal. Sebuah variabel kontinu x dikatakan mengikuti distribusi normal dengan parameter lokasi pemusatan dan parameter penyebaran (variansi) jika mengikuti fungsi kemungkinan berikut : Dengan dan (bilangan natural).

Tepat untuk menentukan fungsi kepadatan normal dengan rata-rata oleh. dan varians Dalam eksponen dari fungsi kepadatan normal univariat ukuran kuadrat jarak dari x ke adalah deviasi standard. Ini dapat diperluas untuk vektor x p x 1 dari penelitian pada beberapa variabel sebagai Vektor p x 1 menunujukkan nilai ekspektasi dari vektor acak X, dan matriks Sp x p adalah matriks varians-covarians dari X. Kepadatan multivariat normal diperoleh dari menukarkan jarak univariat pada persamaan (2.4) dengan persamaan (2.5) dalam fungsi kepadatan dari (2.3). ketika dilakukan pertukaran, nilai konstant univariat normal ditukar kebentuk konstanta yang lebih luas, yang memperlihatkan fungsi kepdatan multivariat untuk p. Ini diperlukan karena, dalam kasus multivariat, probabilitas digambarkan oleh volume yang berada dibawah daerah batas ketentuan yang didefinisikan oleh interval dari nilai. Ini dapat ditunjukkan probabilitas standard normal yang konstant adalah, sebagai akibat, p-dimensi kepadatan normal untuk vektor acak mempunyai bentuk berdistribusi normal multivariat dengan parameter dan Dimana. Sifat khusus dari distribusi normal akan membutuhkan penjelasan secara berulang kali dari model dan metode statiostika. Sifat ini memungkinkan untuk memanipulasi distribusi normal menjadi lebih mudah.

Pernyataan dibawah ini benar untuk vektor acak berdistribusi normal multivariat : 1. Kombinasi linear dari komponen-komponen X adalah distribusi normal multivariat. 2. Semua himpunan bagian dari komponen-komponen dari X memiliki distribusi normal multivariat. 3. Kovarians nol menakibatkan komponen-komponen yang bersangkutan independen 4. Distribusi bersyarat dari komponen-komponen adalah multivariat normal Untuk melakukan pemeriksaan data normal multivariat, dapat dilakukan dengan cara mengkonstruksikan plot chi-kuadrat dengan langkah-langkah sebagai berikut : a. Menghitung jarak tergeneralisasi : b. Mengurutkan c. Membuat plot dimana adalah persentil untuk distribusi Chi-kuadrat dengan derajat kebebasan p. d. Plot ini merupakan garis lurus bila data berdistribusi normal multivariat. Kelengkungan menunjukkan penyimpangan dari normalitas. Kriteria Pengujian : Angka signifikansi, maka data berdistribusi normal Angka signifikansi, maka data tidak berdistribusi normal

Jika sebuah variabel mempunyai sebaran data yang tidak normal, maka perlakuan yang memungkinkan agar menjadi normal : 1. Menambah jumlah data 2. Menghilangkan data yang menjadi penyebab tidak normalnya data 3. Dilakukan transformasi data 2.7.4 Uji Homoskedastisitas data Asumsi selanjutnya yang harus dipenuhi dalam Manova adalah kesamaan matriks kovariansi antar grup variabel dependen sehingga dapat dikatakan ada homoskedastisitas data. Namun jika variansi diantara anggota ditiap-tiap grup tidak sama, dapat dikatakan bahwa terjadi heteroskedastisitas. Penyamarataan multivariat untuk homogeneitas varians untuk setiap variabel dependen adalah homogeneitas matriks varians-kovarians. Asumsinya adalah matriks varians-kovarians dalam setiap sel rancangannya adalah contoh dari populasi matriks varians-kovarians yang sama. Jika tidak homogen, kumpulan matriks adalah sesat atau tidak benar sebagai suatu estimasi dari varians error. Syarat ini akan jadi berbeda dari asumsi kesamaan kovarians yang dibutuhkan oleh pengulangan pada varians analisis univariat. Asumsi berikutnya, tidak dibutuhkan dalam multivariat analisis varians, karena semua kovarians dalam kumpulan matriks adalah equivalent. Pelanggaran dari homogeneitas dari kovarians adalah dasar kebenaran untuk pengambilan keputusan dalam multivariat analisis varians daripada pengulangan analisis varians. Pengujian homoskedastisitas ini dapat menggunakan nilai Box,s M. a. Hipotesis terdapat dua matriks kovarians populasi yang tidak sama. b. Nilai signifikan

c. ditolak jika d. Statistik Uji : Dimana : : ukuran contoh (sampel size) ke-l S i : penduga tak bias : penduga sampel matriks kovarians Dimana : p : banyaknya variabel respon yang diamati g : banyaknya matriks peragam yang diuji Mendekati distribusi chi-square dengan derajat bebas 1 k 1 p p 1 bila M besar. Statistik penguji M merupakan generalisasi 2 uji Barlett untuk homogenitas variansi. Distribusi statistik M sangat tergantung pada anggapan multinormalitas. Uji hipotesis dapat dilihat dari pengolahan SPSS yaitu Box s M yang menyatakan bahwa diterima untuk nilai signifikan yang berarti populasi sama atau homogeneitas matriks varian-kovarian, dan sebaliknya jika ditolak maka ada variansi dari populasi yang berbeda.

Jika ada variabel yang mengalami heterokedastisitas maka dapat dilakukan transformasi data, seperti dengan mengubah data kedalam bentuk logaritma atau logaritma natural (ln).