Kombinatorial Oleh: Panca Mudjirahardjo Definisi dan tujuan Kombinatorial adalah cabang matematika yang mempelajari pengaturan objek-objek Menentukan jumlah cara pengaturan objek tersebut 1
Ilustrasi 1 Misalkan nomor plat mobil di negara X terdiri atas 5 digit angka diikuti dengan 2 huruf. Huruf pertama tidak boleh 0. Berapa banyak nomor plat mobil yang dapat dibuat? 12345AA, 12345AB, 12345AC,, 12345DF,12345DG, Ilustrasi 2 Password sistem komputer panjangnya enam sampai delapan karakter. Tiap karakter boleh berupa huruf atau angka; huruf besar dan kecil tidak dibedakan. Berapa banyak password yang dapat dibuat? 2
1. Percobaan Kombinatorial didasarkan pada hasil yang diperoleh dari suatu percobaan (experiment) atau kejadian (event). Percobaan adalah proses fisik yang hasilnya dapat diamati. Contoh percobaan dan hasilnya Melempar dadu, enam hasil percobaan yang mungkin yaitu muka dadu 1,2,3,4,5 atau 6. Melempar koin uang Rp 100, dua hasil percobaan yang mungkin yaitu muka koin gambar rumah gadang atau gambar wayang. 3
2. Kaidah Dasar Menghitung Kaidah perkalian (rule of product) Bila percobaan 1 mempunyai p hasil percobaan yang mungkin terjadi, percobaan 2 mempunyai q hasil percobaan yang mungkin terjadi, maka bila percobaan 1 dan percobaan 2 dilakukan, maka terdapat p q hasil percobaan. 2. Kaidah Dasar Menghitung Kaidah penjumlahan (rule of sum) Bila percobaan 1 mempunyai p hasil percobaan yang mungkin terjadi, percobaan 2 mempunyai q hasil percobaan yang mungkin terjadi, maka bila percobaan 1 atau percobaan 2 dilakukan, maka terdapat p + q hasil percobaan. 4
Contoh 1: Kualitas gambar suatu TV dapat diatur pada intensitas COLOR dan BRIGHTNESS-nya. Masingmasing memiliki intensitas low, middle & high. Berapakah banyak kemungkinan kualitas yang diperoleh: a) Bila intensitas COLOR dan BRIGTHNESS diatur? b) Bila intensitas COLOR atau BRIGTHNESS yang diatur? 3. Perluasan Kaidah Jika n buah percobaan masingmasing mempunyai p 1, p 2,, p n, hasil pecobaan yang mungkin terjadi, maka jumlah hasil percobaan yang mungkin terjadi adalah: p1 p2 pn kaidahperkalian p1 + p2 + + pn kaidah penjumlahan 5
Contoh 2: Kualitas gambar suatu TV dapat diatur pada intensitas COLOR, BRIGHTNESS, SHARPNESS, PICTURE, yang masingmasing memiliki intensitas low, middle & high. Berapakah banyak kemungkinan kualitas yang diperoleh: a) Bila semua intensitas diatur? b) Bila hanya satu intensitas diatur? 4. Prinsip Inklusi-Eksklusi Contoh penggunaan prinsip inklusi-eksklusi untuk menghitung kombinatorial: Misalkan seorang mahasiswa hendak menyusun jadwal untuk periode tujuh hari. Selama periode ini ia akan belajar satu mata kuliah setiap hari. Ia mengambil empat mata kuliah matematika, fisika, kimia dan ekonomi. Kita ingin tahu banyaknya jadwal yang menyediakan setidaknya satu hari kepada setiap mata kuliah. (sumber: C.L.Liu, 1995:73) 6
4. Prinsip Inklusi-Eksklusi Contoh: Setiap byte disusun oleh 8-bit. Berapa banyak jumlah byte yang dimulai dengan 101 atau berakhir dengan 101? 5. Permutasi Definisi : Permutasi adalah jumlah urutan berbeda dari pengaturan objek-objek. Permutasi dari n objek adalah: n(n-1)(n-2) (2)(1) = n! Jumlah susunan berbeda dari pemilihan r objek yang diambil dari n objek, dengan r n, disebut permutasi-r, dinyatakan: P(n,r) = n(n-1)(n-2) (n-(r-1)) = n!/(n-r)! 7
6. Kombinasi Pada kombinasi urutan kemunculan diabaikan. Urutan acb, bca, dan abc dianggap sama dan dihitung sekali. Kombinasi r elemen dari n elemen adalah jumlah pemilihan yang tidak terurut r elemen yang diambil dari n buah elemen. C( n, r) = n! r!( n r)! r n 7. Permutasi dan Kombinasi Bentuk Umum Diterapkan untuk menghitung pengaturan (atau pengurutan) n buah objek dari himpunan ganda S (himpunan S terdiri dari n buah objek yang tidak perlu semuanya berbeda). P ( n; n, n,..., n ) = C( n; n, n,..., n ) = 1 2 k 1 2 k n! n! n!... n 1 2 k! 8
8. Kombinasi dengan Pengulangan Kombinasi yang membolehkan adanya pengulangan elemen, yaitu dari n buah objek kita akan mengambil r buah objek, dengan pengulangan diperbolehkan C( n + r 1, r) 9