MODEL MATEMATIKA UNTUK PERUBAHAN SUHU DAN KONSENTRASI DOPANT PADA PEMBENTUKAN SERAT OPTIK MIFTAHUL JANNAH

MODEL MATEMATIKA UNTUK PERUBAHAN SUHU DAN KONSENTRASI DOPANT PADA PEMBENTUKAN SERAT OPTIK MIFTAHUL JANNAH SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 009

PERYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis dengan judul Model Matematika untuk Perubahan Suhu dan Konsentrasi Dopant pada Pembentukan Serat Optik adalah karya saya sendiri dengan arahan dari komisi pembimbing, dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir tesis ini. Bogor, Agustus 009 Miftahul Jannah NIM G5507068

ABSTRACT MIFTAHUL JANNAH. Mathematical Model for Temperature Changes and Dopant Concentration Changes on the Optical Fiber Drawing. Under supervision of JAHARUDDIN and SISWANDI Optical fibers are made of transparent material (glass) with different refractive indices in the inner core and the outer cladding regions. This refractive index difference is achieved normally by adding a dopant to the inner core region. The objective of this thesis is to analyze a mathematical model for the temperature changes and dopant concentration changes during the fiber drawing process. Using a long-wave approximation, the governing equations can be reduced to a simple diffusion equation. As a result, we are able to identify key dimensionless parameters that contribute to the diffusion process. We also derive solutions for the temperature and dopant concentration. Temperature and dopant concentration depend on the viscosity and the diffusion coefficient. Some numerical simulations using Maple software are carried out to explain the attitude of the solution with respect to temperature changes and dopant concentration changes during the fiber drawing. Keywords : dopant diffusion, optical fiber drawing, long-wave approximation

RINGKASAN MIFTAHUL JANNAH. Model Matematika untuk Perubahan Suhu dan Konsentrasi Dopant pada Pembentukan Serat Optik. Dibimbing oleh JAHARUDDIN dan SISWANDI Serat optik merupakan serat yang terbuat dari bahan bening (transparan) yang terdiri atas teras dan selubung. Teras adalah bagian sebelah dalam dan selubung adalah lapisan di luarnya yang memiliki indeks bias, yang dapat memandu perambatan cahaya dengan pemantulan internal pada antarmuka terasselubungnya. Indeks bias ini diperoleh dengan menambahkan sesuatu yang bersifat penghalus (dopant) di dalam teras. Masalah dalam peneitian ini adalah bagaimana menentukan hubungan antara konsentrasi dopant, suhu, dan jari-jari turbulen pada tungku pembakaran. Tujuan penelitian ini adalah mengkaji model matematika untuk suhu, jarijari turbulen, dan konsentrasi dopant selama pembentukan serat optik dengan menggunakan asumsi gelombang panjang. Berdasarkan solusi yang diperoleh akan ditentukan keterkaitan suhu, jari-jari turbulen dan konsentrasi dopant terhadap jarak dari input nozzle sepanjang sumbu fiber. Hasilnya disajikan dalam suatu simulasi numerik. Model persamaan untuk suhu dan konsentrasi dopant diturunkan berdasarkan persamaan dasar fluida. Persamaan dasar fluida diturunkan dengan menggunakan hukum kekekalan massa, kekekalan momentum, kekekalan energi dan konsentrasi dopant. Model persamaan untuk suhu dan konsentrasi dopant disederhanakan dengan menggunakan asumsi gelombang panjang, rapat massa fluida yang cukup kecil, dan konduktivitas panas yang hingga, maka diperoleh persamaan difusi yang sederhana. Kajian terhadap persamaan difusi yang telah diperoleh dilakukan dengan meninjau dua proses fisis, yaitu proses sebelum melalui pendinginan dan proses dalam keadaan pendinginan. Dari kedua proses tersebut di atas diperoleh suhu dan jari-jari turbulen. Selain kedua proses fisis tersebut, ditentukan pula konsentrasi dopant. Konsentrasi dopant diperoleh berdasarkan koefisien difusi yang bentuknya berupa fungsi Green. Karakteristik solusi dari persamaan difusi ditentukan berdasarkan suatu simulasi numerik. Simulasi numerik dilakukan dengan bantuan software Maple. Hasil simulasi numerik untuk proses sebelum melalui pendinginan, diperoleh bahwa semakin besar jarak dari input nozzle sepanjang sumbu fiber, maka suhunya akan semakin besar dan jari-jari turbulennya semakin mengecil. Dalam proses pendinginan diperoleh bahwa semakin besar jarak dari input nozzle sepanjang sumbu fiber, maka suhu dan jari-jari turbulennya akan semakin mengecil. Untuk perubahan konsentrasi dopant diperoleh bahwa semakin besar jarak dari input nozzle sepanjang sumbu fiber, maka konsentrasi dopant akan semakin mengecil.

Pengetahuan mengenai besaran-besaran yang mempengaruhi pembentukan serat optik sangat diperlukan agar hasil yang didapatkan optimal dan akurat. Hal ini perlu dilakukan karena serat optik mempunyai banyak kegunaan di berbagai bidang, seperti di bidang kedokteran. Pada bidang kedokteran, salah satu contoh alat yang terbuat dari serat optik adalah cystoscope. Alat lain yang sangat bermanfaat dalam kehidupan sehari-hari adalah kacamata, kaca pembesar, mikroskop, kamera dan lain sebagainya. Dengan demikian hasil dari tesis ini memiliki manfaat yang cukup besar. Kata kunci : difusi dopant, pembentukan serat optik, gelombang panjang.

PRAKATA Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala karunia- Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Tema yang dipilih dalam penelitian yang dilaksanakan sejak bulan Desember 008 ini adalah serat optik, dengan judul Model Matematika untuk Perubahan Suhu dan Konsentrasi Dopant pada Pembentukan Serat Optik. Terima kasih penulis ucapkan kepada Bapak Dr. Jaharuddin, M.S. dan Bapak Drs. Siswandi, M.Si. selaku pembimbing, serta Drs. Ali Kusnanto, M.Si. selaku penguji luar komisi yang telah membimbing dan banyak memberikan saran. Ucapan terima kasih juga disampaikan kepada Departemen Agama Republik Indonesia yang telah memberikan beasiswa kepada penulis selama menempuh pendidikan di IPB. Ucapan terima kasih yang tiada hingga kepada abeh, mamah, suami, serta seluruh keluarga, atas segala do a dan kasih sayangnya. Semoga karya ilmiah ini bermanfaat. Bogor, Agustus 009 Miftahul Jannah

RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Jakarta pada tanggal 0 Oktober 98 dari ayah Sobur dan ibu Aminah. Penulis merupakan anak kedua dari tiga bersaudara. Tahun 000 penulis lulus MAN 8 jurusan Ilmu Pengetahuan Alam dan pada tahun yang sama lulus seleksi masuk Universitas Islam Negeri Syarif Hidayatullah Jakarta. Penulis memilih jurusan Pendidikan Matematika pada Fakultas Ilmu Tarbiyah dan Keguruan dan selesai pada tahun 004. Tahun 005 penulis menjadi staf pengajar di MAN 8 Jakarta. Pada tahun 007 penulis lulus seleksi masuk Program Magister Program Studi Matematika Terapan di Institut Pertanian Bogor melalui jalur Beasiswa Utusan Daerah Departemen Agama Republik Indonesia.

@ Hak Cipta Milik IPB, tahun 009 Hak Cipta dilindungi Undang-undang. Dilarang mengutip sebagian seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan menyebutkan sumber a. Pengutipan hanya boleh untuk kepentingan pendidikan penelitian, penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik tinjauan suatu masalah, b. Pengutipan tidak merugikan kepentingan yang wajar IPB. Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian seluruh karya tulis dalam bentuk laporan apapun tanpa izin IPB

Judul Tesis Nama NIM : Model Matematika untuk Perubahan Suhu dan Konsentrasi Dopant pada Pembentukan Serat Optik : Miftahul Jannah : G5507068 Disetujui Komisi Pembimbing Dr. Jaharuddin, M.S. Ketua Drs. Siswandi, M.Si. Anggota Diketahui Ketua Program Studi Matematika Terapan Dekan Sekolah Pascasarjana Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, M.S. Prof. Dr. Ir. Khairil A. Notodiputro, M.S. Tanggal Ujian: 4 Agustus 009 Tanggal Lulus:

Penguji Luar Komisi pada Ujian Tesis: Drs. Ali Kusnanto, M. Si.

DAFTAR ISI Halaman DAFTAR GAMBAR... ix DAFTAR LAMPIRAN... x I PENDAHULUAN. Latar Belakang.... Tujuan Penelitian... II LANDASAN TEORI. Persamaan Dasar... 3. Syarat Batas... 4.3 Penyederhanaan Model... 5 III PEMBAHASAN DAN HASIL 3. Suhu dan Jari-jari turbulen... 0 3.. Proses Sebelum Melalui Pendinginan... 0 3.. Proses Dalam Keadaan Pendinginan... 3 3. Difusi Dopant... 8 IV KESIMPULAN DAN SARAN 4. Kesimpulan... 4. Saran... DAFTAR PUSTAKA... 3 LAMPIRAN... 4

DAFTAR GAMBAR Halaman. Skema Pemanasan dan Pendinginan... 4. Grafik fungsi θ dan s untuk H f = 00, α μ = 30, dan D r = 0 4... 3 3. Grafik fungsi θ dan s dengan A =,7 dan H c = 350... 7 4. Grafik fungsi θ dan s dengan A = 0,78 dan H c =... 8 5. Grafik Konsentrasi Dopant dengan α D = 0, = 0,5, P = 3. 0 3, H f = 350, α μ = 40, dan D r = 0 4...

DAFTAR LAMPIRAN Halaman. Penurunan Persamaan (.4) (.8)... 4. Penurunan Persamaan (3.) (3.5)... 33 3. Penurunan Persamaan (3.6) (3.7)... 37 4. Penurunan Persamaan (3.8) dan (3.9)... 45 5. Penurunan Persamaan (3.4) dan (3.5)... 47 6. Penurunan Persamaan (3.8) dan (3.9)... 50 7. Penurunan Persamaan (3.33) dan (3.34)... 5 8. Penurunan Persamaan (3.35) (3.39)... 53 9. Penurunan Persamaan (3.4) dan (3.4)... 56 0. Penurunan Persamaan (3.44) (3.46)... 57. Penurunan Persamaan (3.49) (3.5)... 58. Penurunan Persamaan (3.56)... 6 3. Penurunan Persamaan (3.60)... 63 4. Penurunan Persamaan (3.63)... 63 5. Penurunan Persamaan (3.65) dan (3.66)... 64 6. Nilai Parameter Fisis... 65

I PENDAHULUAN. Latar Belakang Serat optik merupakan serat yang terbuat dari bahan bening (transparan) yang terdiri atas teras dan selubung. Teras adalah bagian sebelah dalam dan selubung adalah lapisan diluarnya yang memiliki indeks bias, yang dapat memandu perambatan cahaya dengan pemantulan internal pada antarmuka terasselubungnya. Serat optik mempunyai banyak kegunaan di berbagai bidang, seperti di bidang kedokteran. Pada bidang kedokteran, salah satu contoh alat yang terbuat dari serat optik adalah cystoscope. Alat cystoscope dipakai oleh ahli bedah untuk mengamati dan melakukan operasi dengan kendali jarak jauh. Alat lain yang sangat bermanfaat dalam kehidupan sehari-hari adalah kacamata, kaca pembesar, mikroskop, kamera dan lain sebagainya. Serat optik tersebut terbuat dari kaca yang dilelehkan kemudian direntangkan dengan menggunakan penarik mekanis. Kaca setengah jadi tersebut dibuat sebuah komponen peranti sehingga terjadi perbedaan antara indeks bias di bagian dalam inti dengan bagian lapis terluarnya. Indeks bias ini diperoleh dengan menambahkan sesuatu yang bersifat penghalus (dopant) di bagian dalam inti [3]. Umumnya material penghalus yang digunakan adalah germanium dioksida (GeO ), fosfor pentoksida (P O 5 ), dan boron (B) yang tersedia dalam bentuk silika (SiO ). Selama perentangan, pemotongan, dan penggabungan, indeks bias tersebut dapat berubah dikarenakan adanya material penghalus tersebut [6,9]. Perubahan konsentrasi material penghalus tersebut diakibatkan oleh pemotongan dan penggabungan dari serat optik. Proses perubahan konsentrasi akan menjadi lebih rumit karena adanya penyatuan material penghalus tersebut. Penyatuan material tersebut tidak hanya bergantung pada suhu, akan tetapi banyak faktor lainnya termasuk proses mekanisnya. Beberapa peneliti telah melakukan suatu simulasi yang mengkhususkan pada pembentukan serat optik [4]. Dalam penelitiannya tersebut, suatu perentangan yang relatif perlahan, diperlihatkan bahwa semakin besar kecepatan perentangan tersebut, dan semakin rendahnya suhu material penghalus, maka akan mengurangi penyatuan material penghalus tersebut. Pada literatur lain, Yan dan

Pitchumani [9] melakukan simulasi numerik pada proses pembentukan, termasuk difusi dopant. Mereka menyederhanakan perhitungan dengan menggunakan batas permukaan fiber yang bebas. Penelitian mereka merupakan perluasan dari kajian numerik pada proses pembentukan yang diamati oleh Lee dan Jaluria [5]. Dalam tesis ini, akan dikaji model matematika untuk perubahan konsentrasi dopant selama pembentukan serat optik. Berdasarkan asumsi gelombang panjang, akan diturunkan persamaan difusi yang bergantung pada kecepatan, jari-jari turbulen, suhu dan konsentrasi dopant. Bentuk sederhana untuk koefisien dari persamaan akan diperhatikan untuk mengetahui kebergantungan semua parameter yang terlibat dalam proses difusi.. Tujuan Penelitian Berdasarkan latar belakang di atas, maka tujuan penelitian ini adalah:. Mengkaji model matematika untuk perubahan suhu, jari-jari turbulen, dan konsentrasi dopant selama pembentukan serat optik.. Menentukan penyelesaian dari model matematika bagi perubahan suhu dan jari-jari turbulen, serta konsentrasi dopant yang telah diperoleh dengan menggunakan asumsi gelombang panjang. 3. Menentukan keterkaitan suhu, jari-jari turbulen, dan konsentrasi dopant selama pembentukan serat optik terhadap jarak dari input nozzle sepanjang sumbu fiber. 4. Melakukan simulasi numerik untuk mengetahui perilaku penyelesaian dari perubahan suhu, jari-jari turbulen, dan konsentrasi dopant selama pembentukan serat optik dengan menggunakan bantuan software Maple.

3 II LANDASAN TEORI. Persamaan Dasar Persamaan dasar fluida yang digunakan dalam penelitian ini, diturunkan dengan menggunakan hukum kekekalan massa, kekekalan momentum, kekekalan energi dan konsentrasi dopant seperti dalam [9,0]. Misalkan gerak partikel fluida dinyatakan dalam dua dimensi dengan kecepatan partikel dalam arah horizontal dan arah vertikal berturut-turut adalah u dan v. Fluida mempunyai rapat massa ρ(z,r) dengan z dan r, masing-masing menyatakan jarak dari input nozzle sepanjang sumbu fiber dan jari-jari turbulen. Berdasarkan hukum kekekalan massa, kekekalan momentum, kekekalan energi dan konsentrasi dopant diperoleh persamaan dasar sebagai berikut: ρu z (ρu ) z (ρuv) z + r + r + r rρv (rρuv) (rρv ) (ρc p ut) + (rρc p vt) = z r z uc z + r rvc = 0 (.) = z = p z + z µ u z + r = p + z µ u + v z k T z c D z + r + r + r rk T u rµ + v z rµ v. µv r (.3) (.4) rd c, (.5) dengan p tekanan, T suhu, c konsentrasi dopant, µ koefisien kekentalan, c p konstanta pemanasan, k = k T + k R konduktivitas, dan D variabel difusi dari dopant [9].

4. Syarat Batas Tinjau domain fluida yang disajikan dalam Gambar. u 0 u d Pemanasan Pendinginan z = 0 z = L f z = L Gambar. Skema Pemanasan dan Pendinginan Syarat batas diberikan pada furnace (di z = 0 dan z = L) dan permukaan fiber (di r = R(z)). Syarat batas pada furnace adalah r = R 0, u = u 0, v = 0, T = T o, c = c o (r) pada z = 0 (.6) dan u = u d pada z = L. (.7) Syarat batas pada permukaan fiber di r = R(z) mengikuti syarat batas dinamik dan kinematik dari fluida dengan bentuk umum sebagai berikut: n T ς n = Гk, t T ς t = 0, v = R u, di r = R(z) (.8) dengan σ tegangan tensor, n vektor normal, t vektor ortogonal terhadap n, k lengkungan rata-rata, dan Г koefisien tegangan permukaan. Syarat batas untuk suhu di permukaan fiber ditentukan berdasarkan Hukum Pendinginan Newton [0] yang diberikan oleh: k T n = q h f T f T, 0 z < L f, (.9) h c T T c, L f z L, dengan T f suhu pada furnace, T c suhu sekitarnya, h f koefisien penghantar panas, dan h c koefisien penghantar dingin.

5 Syarat batas untuk konsentrasi dopant pada permukaan fiber [8,] di r = R(z) adalah dan D c n c = 0, di r = R(z) (.0) = 0 di r = 0 (.) Selanjutnya, koefisien kekentalan didasarkan pada rumus Arrhenius [] yang dinyatakan oleh μ T = μ 0 exp ( G μ T T 0 ), (.) dengan µ 0 kekentalan dari T 0 dan G µ konstan. Kemudian koefisien difusi untuk dopant Arrhenuis [7,] yang dinyatakan oleh didasarkan pada rumus D T = D exp ( G D T ), (.3) dengan G D penjumlahan antara D koefisien difusi pada suhu tinggi dan suatu konstanta..3 Penyederhanaan Model Pada bagian ini akan diawali dengan menyederhanakan model untuk perubahan suhu, jari-jari turbulen dan konsentrasi dopant selama pembentukan serat optik fiber. Persamaan dasar (.) - (.5) dinondimensionalkan dengan menggunakan pengskalaan berikut: z = z L, r = r, R = R, u = u, v = Lv, p = R 0 R 0 R 0 u 0 R 0 u 0 μ 0 u 0 L μ = μ μ 0, θ = T T 0 T f T 0, C 0 = c 0 c 0 (0), D = D D. Satuan dari variabel-variabel fisis yang muncul dalam pembahasan di atas diberikan dalam Lampiran 6. Jika pengskalaan di atas disubstitusikan ke dalam persamaan dasar (.) sampai (.5), maka diperoleh z ρu + r r ρv = 0, (.4) p

6 R e λl f z α μ α D H f ρu z z + r ρuv + r r ρuv = ρ p 3δ z + ρ 3δ r r ρv + ρ 3 r μ u z = Γ p l + L 3δ3 f z u μ z + ρ 3 r u μ r μ + l z v z v μ z, (.5) v + l r μ L f μ v r (.6) u θ + + r r v θ + = π B i δ z z θ + + α μ α D δ r r θ +, (.7) P z uc + r r vc = δ z D c z + r r D c (.8) dengan syarat batas pada furnace adalah dan r =, u =, v = 0, T = T 0, c = c 0 (r) pada z = 0 (.9) u = D r pada z =. (.0) Penurunan persamaan (.4) (.8) dapat dilihat pada Lampiran. Beberapa notasi yang muncul dalam persamaan (.4) (.0) diberikan sebagai berikut: D r = u d u 0, δ = R 0 L, R e = ρu 0L ΓL, λ =, 3μ 0 3μ 0 u 0 R 0 α μ = G μ T f T 0, α D = G D, = T 0, P = u 0R 0 T f T 0 T f T 0 LD H f = πh fl ρc p u 0 R 0, H c = πh cl ρc p u 0 R 0, l = L f L, B i = h fr 0 k.

7 Selanjutnya dengan menggunakan pendekatan gelombang panjang δ dan asumsi λ, R e dan B i, pada persamaan (.4) (.8) dengan menggunakan syarat batas (.9) dan (.0), kemudian membuang tanda topinya sebagai penyederhanaan penulisan, maka diperoleh Z s z us = 0, (.) μs u z = 0, (.) u θ z = H f θ H l z H c θh(z l) s /, (.3) P u c z r u c z = r rd c, (.4) dengan syarat batas dimana s =, u =, θ = 0 di z = 0, (.5) u = D r di z =, (.6) c = c 0 di z = 0, (.7) c r = 0 di r = 0 dan r = s, (.8) s = R, μ = e α μ θ, D = e α D θ+. (.9) Persamaan (.) - (.3) dengan syarat batas (.5) dan (.6) merupakan model persamaan bagi perubahan suhu dan jari-jari turbulen. Persamaan (.4) dengan syarat batas (.7) dan (.8) merupakan model persamaan bagi perubahan konsentrasi dopant. Selanjutnya persamaan (.) - (.4) dengan syarat batas (.5) - (.8) akan disederhanakan menjadi suatu sistem persamaan yang mudah ditentukan penyelesaiannya.

8 (.6) adalah dengan F = Penyelesaian persamaan (.) dan (.) dengan syarat batas (.5) dan su = dan μsu z = F (.30) ln D r 0 μ dz merupakan gaya efektif yang ditentukan dengan menggunakan syarat batas pada z =. Jika persamaan (.30) digunakan untuk mengeliminasi u dan u z yang muncul, maka dari persamaan (.) dan (.), dan syarat batas (.5) dan (.6) diperoleh masalah nilai batas untuk s dan θ berikut: s z = Fs μ, (.3) θ z = s / H f θ H l z H c θh z l, (.3) dengan syarat batas dan s =, θ = 0 di z = 0 s = D r di z =. (.33) Selanjutnya untuk menyederhanakan persamaan bagi perubahan konsentrasi dopant, didefinisikan variabel berikut: z φ(z) Dθ z dz 0 dan transformasi koordinat berikut Besaran ξ = r R, dan φ φ(), (.34) φ(z) τ = φ. (.35) D = φ P (.36) merupakan koefisien difusi dan P bilangan peclet untuk dopant. Dengan demikian masalah nilai batas untuk konsentrasi dopant diberikan sebagai berikut: c τ = D ξ ξ dengan syarat batas dan ξ c ξ, (.37) c = c 0 ξ di τ = 0 c ξ = 0 di ξ = 0 dan ξ =. (.38)

9 Solusi untuk konsentrasi dopant [] yang diberikan pada persamaan (.37) dengan syarat batas (.38) adalah sebagai berikut c τ, ξ = π G τ, ξ; η c 0 η ηdη, (.39) 0 dengan G fungsi Green yang diberikan sebagai berikut G τ, ξ; η = 4πDτ exp ξ + η 4Dτ I 0 ξη Dτ dimana I 0 adalah fungsi Bessel jenis pertama [5]. (.40)

0 III PEMBAHASAN DAN HASIL Dalam bagian ini akan dibahas perilaku penyelesaian dari model persamaan bagi perubahan suhu dan jari-jari turbulen selama pembentukan serat optik berdasarkan alur yang diberikan dalam pustaka []. Selain itu, juga akan dibahas perubahan konsentrasi dopant selama pembentukan serat optik. 3. Suhu dan Jari-jari turbulen Untuk menentukan solusi bagi suhu θ dan jari-jari turbulen s pada pembentukan serat optik, maka ditinjau dua proses, yaitu proses sebelum melalui pendinginan (l = ) dan proses dalam keadaan pendinginan (l < ). 3.. Proses Sebelum Melalui Pendinginan (l = ) Persamaan (.3) dan (.3) dapat ditulis menjadi s z = se α μ ( θ), (3.) θ z = H f s θ, (3.) dengan F = Fe α μ ln D r. Berdasarkan persamaan (3.) dan (3.) diperoleh ds dθ = H f se αμ ( θ) θ, (3.3) sedangkan syarat batas (.33) memberikan s 0 = dan θ 0 = 0. (3.4) Jika persamaan (3.3) diintegralkan terhadap θ dan syarat batas (3.4) digunakan, maka diperoleh s = H f E α μ ( θ) E α μ (3.5) dengan E z = z e x x dx.

Fungsi E z memenuhi e z E z ~ z z, dan E z ~ ln z γ z 0. Penurunan persamaan (3.) (3.5) dapat dilihat pada Lampiran. Selanjutnya, jika persamaan (3.5) disubstitusikan ke dalam persamaan (3.), maka diperoleh θ z = H f H f E α μ θ E α μ ( θ). (3.6) Jika α μ, maka E [α μ ] kecil, sehingga E α μ θ juga kecil, jika θ α μ. Jadi dari persamaan (3.6) diperoleh θ z = H f θ. (3.7) Jika persamaan (3.7) diintegralkan tarhadap z, maka diperoleh θ = e H fz. (3.8) Apabila z meningkat ke untuk H f, maka θ 0, sehingga untuk z H f, diperoleh θ z = H f + H f ln α μ θ + γ ( θ). (3.9) Untuk menentukan penyelesaian θ, maka diperkenalkan variabel θ sebagai berikut α μ θ = e H f F ln Dr θ. Dengan variabel baru ini, maka persamaan (3.9) menjadi θ z = ln θ + γ θ. (3.0) Jika persamaan (3.0) diintegralkan terhadap z, maka diperoleh ln θ = γ + C e z, (3.) dengan C adalah konstanta pengintegralan yang ditentukan berikut ini. Karena untuk z = 0, diperoleh θ = 0 dari persamaan (3.8), maka dari persamaan (3.) diperoleh C = γ + ln α μ + H f. (3.)

Jika nilai C pada persamaan (3.) disubstitusikan ke dalam persamaan (3.), maka diperoleh θ = exp γ + γ + ln α μ + H f Kembalikan ke variabel awal, diperoleh e F ln Dr z. (3.3) θ = exp γ + ln α μ + H f e F ln Dr z. (3.4) Selanjutnya fungsi s diperoleh dengan menggunakan persamaan (3.5), dengan θ memenuhi persamaan (3.4). Jika z = disubstitusikan ke dalam persamaan (3.4) dan (3.5) dan menggunakan syarat s = D r, maka diperoleh nilai F berikut F = + ln D r ln + F(ln α μ +γ) ln D r H f, (3.5) asalkan α μ. Secara analitik nilai F sulit ditentukan dari persamaan (3.5), karena F dinyatakan dalam persamaan implisit. Tetapi karena (ln α μ +γ) ln D r H f ~0, (3.6) maka nilai F dapat dihampiri oleh F = + ln α μ +γ H f. (3.7) Penurunan persamaan (3.6) (3.7) dapat dilihat pada Lampiran 3. Dengan demikian fungsi s dapat ditentukan berdasarkan persamaan (3.5) dengan F diberikan oleh persamaan (3.7). Berikut ini akan dijelaskan karakteristik dari fungsi θ dan s, masingmasing berdasarkan persamaan (3.4) dan (3.5). Untuk itu, dimisalkan H f = 00, α μ = 30, dan D r = 0 4, sedangkan F =,039783974 diperoleh berdasarkan persamaan (3.7)

3 s Gambar. Grafik fungsi θ dan s untuk H f = 00, α μ = 30, dan D r = 0 4 Berdasarkan Gambar diperoleh bahwa peningkatan nilai z menyebabkan nilai θ semakin besar dan nilai s semakin mengecil. 3.. Proses Dalam Keadaan Pendinginan (l < ) Kasus ini terjadi pada z > l, persamaan (.3) dan (.3) dapat ditulis menjadi s z = e α μ (θ ) s, (3.8) θ z = H c s θ, (3.9) dengan syarat batas s l = s l dan θ l = θ l. (3.0) Penurunan persamaan (3.8) dan (3.9) dapat dilihat pada Lampiran 4. Untuk menentukan penyelesaian masalah nilai batas (3.8) (3.0), maka diperkenalkan variabel berikut: θ = α μ (θ l θ), (3.) s = s s l, (3.) Y = e α μ (θ l ) z l. (3.3) Dengan demikian berdasarkan persamaan (3.8) (3.0) diperoleh masalah nilai batas berikut: s Y = s e θ, (3.4) θ Y = A s θ (3.5)

4 dan syarat batas dimana θ 0 = 0 dan s 0 = (3.6) A = s l H c α μ θ l e α μ ( θ l ) dan = α μ θ l, (3.7) A adalah konstanta laju penurunan suhu. Penurunan persamaan (3.4) dan (3.5) dapat dilihat pada Lampiran 5. Dari persamaan (3.4) dan (3.5), diperoleh dθ ds = A θ eθ. (3.8) Jika persamaan (3.8) diintegralkan terhadap s dan syarat batas (3.6) digunakan, maka diperoleh Karena s = + A θ s = + A e θ θ A θ 0 e w dw w, maka persamaan (3.9) dapat dihampiri oleh e θ. (3.9) θ. (3.30) Penurunan persamaan (3.8) dan (3.9) dapat dilihat pada Lampiran 6. Nilai A akan mempengaruhi solusi s. Dalam hal ini akan ditinjau nilai A dalam 3 kasus yang berbeda, yaitu: A =, A <, dan A >. Kasus. A =. Berdasarkan persamaan (3.30) dan (3.5), untuk diperoleh hampiran untuk s dan θ Y masing-masing sebagai berikut: s = e θ (3.3) θ Y = e θ. (3.3) Jika persamaan (3.3) diintegralkan terhadap Y dengan syarat batas θ 0 = 0 digunakan, maka diperoleh θ = ln Y +. (3.33) Selanjutnya, jika persamaan (3.33) disubstitusikan ke dalam persamaan (3.3), maka diperoleh s = Y+. (3.34) Penurunan persamaan (3.33) dan (3.34) dapat dilihat pada Lampiran 7.

5 Kasus. A <. Karena A < dan suhu terbatas di bawah oleh A =, maka dengan menggunakan kasus di atas diperoleh bahwa θ maks = ln e α μ (θ l ) l +. (3.35) Karena θ maks berorde satu bila ln ln D r, maka θ juga berorde satu θ = O, sehingga dari persamaan (3.30) diperoleh hampiran sebagai berikut s = + A e θ. (3.36) Hal yang sama, diperoleh pula hampiran θ Y sebagai berikut θ Y = A s, sehingga menurut persamaan (3.36) diperoleh θ Y = e θ + A. (3.37) Jika persamaan (3.37) diintegralkan terhadap Y dan syarat batas θ 0 = 0 digunakan, maka diperoleh θ = ln Ae A Y. (3.38) A Jika persamaan (3.36) disubstitusikan ke dalam lim A s, maka diperoleh s = A e A A Y. (3.39) Penurunan persamaan (3.35) (3.39) dapat dilihat pada Lampiran 8. Kasus 3. A >. Pada kasus ini, ditinjau dua kemungkinan, yaitu θ = O dan θ besar. Jika θ = O, maka hasil yang diperoleh sama dengan kasus A <, sehingga diperoleh persamaan (3.38) dan (3.39). Selanjutnya θ besar, misalkan θ, maka berdasarkan persamaan (3.30) dengan mengabaikan bentuk eksponensial, diperoleh hampiran s berikut s =. (3.40) A Jika persamaan (3.40) disubstitusikan ke dalam persamaan (3.5), maka diperoleh θ Y = A θ. (3.4)

6 Selanjutnya, jika persamaan (3.4) diintegralkan terhadap Y, maka diperoleh θ = C A Y e dimana C adalah konstan pengintegralan yang ditentukan berikut ini. Penurunan persamaan (3.40) (3.4) dapat dilihat pada Lampiran 9. (3.4) Karena θ besar, maka syarat batas θ 0 = 0 tidak bisa digunakan. Oleh karena itu, untuk menentukan C, dibutuhkan bentuk θ yang diberikan oleh persamaan (3.38) dan θ besar oleh (3.4). Untuk θ 0 dari persamaan (3.4), diperoleh θ~ C A Y. (3.43) Untuk θ besar, dipilih Y 0, maka persamaan (3.38) memberikan θ~ A Y + ln A A. (3.44) Bandingkan persamaan (3.43) dan (3.44), diperoleh C = ln A A. (3.45) Dengan demikian persamaan (3.4) menjadi θ = e A Y + ln A A e A Y. (3.46) Jika A dan C ~, maka θ dapat dihampiri oleh θ = e A Y. (3.47) Penurunan persamaan (3.44) (3.46) dapat dilihat pada Lampiran 0. Penyelesaian θ ditentukan dengan cara mengkombinasikan nilai θ kecil dan θ besar, yaitu θ = ln Ae A Y A + e A Y + ln A A A Y e A Y ln A A. (3.48) Berikut ini akan ditentukan bentuk s berdasarkan solusi untuk s yang diberikan oleh persamaan (3.30). Dengan menggunakan variabel awal θ = θ l α μ θ, maka untuk A diperoleh θ = θ l ln Ae A β z l α μ A (3.49) dan untuk A >, diperoleh

7 θ = θ l ln Ae A β z l θ α μ A l α μ ln A A A β e αμ θ l z l + α μ A β z l, (3.50) dengan β = e α μ (θ l ). Dengan demikian solusi untuk s diperoleh dari persamaan (3.30) adalah s = s l A + θ l e α μ θ θ l Jika syarat batas s = D r Aθ D r = s l A + θ l e α μ θ θ l Aθ. (3.5) dan z = digunakan, maka diperoleh Penurunan persamaan (3.49) (3.5) dapat dilihat pada Lampiran. (3.5) Berikut ini akan dijelaskan karakteristik dari fungsi θ dan s. Persamaan (3.50) adalah solusi θ untuk A >, dan persamaan (3.5) adalah solusi untuk s. Untuk itu dimisalkan H f = 350, D r = 0 4, α μ = 40, l = 0,, A =,7 dan H c = 350, sedangkan F =,088798 diperoleh berdasarkan persamaan (3.7) θ s Gambar 3. Grafik fungsi θ dan s untuk A =,7 dan H c = 350 Berdasarkan Gambar 3 diperoleh bahwa peningkatan nilai z menyebabkan nilai θ dan s semakin mengecil. Persamaan (3.49) adalah solusi θ untuk A, dan persamaan (3.5) adalah solusi untuk s. Untuk itu dimisalkan H f = 350, D r = 0 4, α μ = 40, l = 0,, A = 0,78 dan H c =, sedangkan F =,088798 diperoleh berdasarkan persamaan (3.7).

8 θ s Gambar 4. Grafik fungsi θ dan s untuk A = 0,78 dan H c = Berdasarkan Gambar 4 diperoleh bahwa peningkatan nilai z menyebabkan nilai θ dan s semakin mengecil. 3. Difusi Dopant dalam bentuk Berikut ini akan ditentukan nilai D. Untuk itu tuliskan persamaan (3.4) θ = e C e F ln Dr z, (3.53) dengan C diberikan oleh (3.). Selanjutnya, diperkenalkan variabel ζ sebagai berikut ζ = e dan dinotasikan z (3.54) φ ζ φ z. (3.55) Jika persamaan (3.54) dan (3.55) diturunkan terhadap z, maka diperoleh dan dζ = ζ dz φζ = α D e + e C ζ ζ φ 0 = 0, (3.56) Penurunan persamaan (3.56) dapat dilihat pada Lampiran.

9 Karena C, maka persamaan (3.56) akan ditinjau dalam dua kasus, yaitu ζ~c dan ζ~. Kasus. ζ~c. Pada kasus ini, diperkenalkan variabel baru ζ = C ζ, sehingga persamaan (3.56) menjadi φ ζ i = e α D + e ζ ζ, φ i 0 = 0 (3.57) dengan solusi φ dinotasikan dengan φ i yang diberikan sebagai berikut: φ i ζ = C α D E x e + E x α D + x= x= α D α D + e ζ. (3.58) Kasus. ζ~. Pada kasus ini, persamaan (3.56) dapat menjadi solusi outer dinotasikan dengan φ 0 yang memenuhi φ ζ 0 = e α D + ζ, (3.59) dengan solusi φ dinotasikan dengan φ 0 yang diberikan sebagai berikut φ 0 ζ = e α D + ln ζ + C 3 (3.60) dengan C 3 adalah konstanta pengintegralan yang akan ditentukan berikut ini. Penurunan persamaan (3.60) dapat dilihat pada Lampiran 3. Solusi φ i dan φ 0 harus memenuhi lim ζ φ i ζ = lim ζ 0 φ 0 ζ. (3.6) Untuk ζ 0, diperoleh φ 0 ζ ~ C 3 + e α D +θ Selanjutnya, untuk z yang kecil diperoleh E z ~ γ ln z. ζ. (3.6)

0 Berdasarkan persamaan (3.58) diperoleh bahwa untuk ζ, φ i ζ C E α D + E α D α D e + E γ ln α D + ln + + e α D + E α D + + e α D + Penurunan persamaan (3.63) dapat dilihat pada Lampiran 4. Dengan demikian berdasarkan persamaan (3.6) dan (3.63) diperoleh ζ C. (3.63) C 3 = C E α D + E α D α D e + E γ ln α D + ln + + e α D + E α D + Dengan mengembalikan ke variabel awal, diperoleh. (3.64) φ 0 z = e α D + z + C 3, (3.65) Jadi dari persamaan (.3) diperoleh D = e α D + + C 3 P. (3.66) Penurunan persamaan (3.65) dan (3.66) dapat dilihat pada Lampiran 5. Berikut ini akan dijelaskan tentang koefisien difusi efektif. Berdasarkan persamaan (.36) dapat disimpulkan bahwa D pada persamaan (3.66) adalah koefisien difusi efektif untuk θ = untuk semua z. Untuk itu dimisalkan α D = 0, = 0,5, P = 3. 0 3, H f = 350, α μ = 40, dan D r = 0 4, untuk menentukan nilai D. Kemudian persamaan (.35) dan (3.66) disubstitusikan ke persamaan (.39).

c Gambar 5. Grafik Konsentrasi Dopant dengan α D = 0, = 0,5, P = 3. 0 3, H f = 350, α μ = 40, dan D r = 0 4 Berdasarkan Gambar 5 diperoleh bahwa peningkatan nilai z menyebabkan nilai c semakin mengecil.

IV KESIMPULAN DAN SARAN 4. Kesimpulan Model persamaan untuk suhu dan konsentrasi dopant diturunkan berdasarkan persamaan dasar fluida. Persamaan dasar fluida diturunkan dengan menggunakan hukum kekekalan massa, kekekalan momentum, kekekalan energi dan konsentrasi dopant. Kemudian model tersebut disederhanakan dengan menggunakan asumsi gelombang panjang, rapat masa yang yang cukup kecil, dan konduktivitas panas yang hingga, sehingga diperoleh persamaan difusi yang sederhana dan lebih mudah ditentukan solusinya. Berdasarkan persamaan difusi yang diperoleh, maka ditinjau dua proses fisis yaitu proses sebelum melalui pendingnan dan proses dalam keadaan pendingnan. Dari kedua proses tersebut diperoleh solusi untuk suhu dan jari-jari turbulen. Selain kedua proses fisis tersebut, ditentukan pula konsentrasi dopant yang diperoleh berdasarkan koefisien difusi yang bentuknya berupa fungsi Green. Perilaku solusi dari persamaan difusi ditentukan berdasarkan suatu simulasi numerik dengan menggunakan bantuan software Maple. Hasil simulasi numerik untuk proses sebelum melalui pendinginan, diperoleh bahwa semakin besar jarak dari input nozzle sepanjang sumbu fiber, maka suhunya akan semakin besar dan jari-jari turbulennya semakin mengecil. Dalam proses pendinginan diperoleh bahwa semakin besar jarak dari input nozzle sepanjang sumbu fiber, maka suhu dan jari-jari turbulennya akan semakin mengecil. Untuk konsentrasi dopant diperoleh bahwa semakin besar jarak dari input nozzle sepanjang sumbu fiber, maka konsentrasi dopant akan semakin mengecil. 4. Saran Untuk menentukan persamaan suhu, jari-jari turbulen dan konsentrasi dopant dapat digunakan pendekatan asimtotik, sehingga dapat dengan mudah ditentukan solusinya. Pendekatan asimtotik dapat dikaji dalam sistem lain, misalkan bioteknologi.

3 DAFTAR PUSTAKA [] Huang H, Miura RM, Ireland WP, and Puil E. 003. Heat-induced stretching of a glass tube under tension. SIAM J. Appl. Math. 63:499-59 [] Huang H, Miura RM, and Wylie JJ. 00. Optical fiber drawing and dopant transport. http://www.math.yorku.ca.pdf. html [ November 008]. [3] Izawa T. 000. Early days of VAD process. IEEE J. Selected Topics Quantum Electronics, 6:0-7. [4] Lyytikainen K, Hungtington ST, Carter ALG, McNamara P, Fleming S, Abramczyk J, Kaplin I, Schotz G. 004. Dopant diffusion during optical fiber drawing. Optical Express, :97-977. [5] Lee and Jaluria Y. 996. Effects of variable properties and viscosity dissipation during optical fiber drawing. Trans. ASME, 8:350-358. [6] Pone E, Daxhelet X, and Lacroix S. 004. Refractive index profile of fusedfiber couplers cross-section. Optical Express, :036-044. [7] Rodney B. 008. Arrhenius hukum-arrhenius equation-van t Hoff Hukum. http://translate.google.co.id. html [5 Januari 009]. [8] Suchecka M, Borisovich A, and Serbinski W. Green s functions methods for mathematical modeling of unidirectional diffusion process in isothermal metal bonding process. http://www.pg.gda.pl.pdf. html [0 Maret 009]. [9] Yan Y and Pitchumani R. 004. Numerical study on the dopant consentration and refractive index profile evolution in an optical fiber manufacturing process. Int. J. Heat Mass Transfer, 49:097-. [0] Yunus A. 003. Heat transfer a practical approach. Mc. Graw Hill companies. p. -335. [] Diffusion. p. -9. http://personal.cityu.edu.hk.pdf. Html [6 Maret 009]. [] Persamaan bessel dan fungsi-fungsi bessel jenis pertama. http://www. rbaryans.files.wordpress.com. html [7 April 009].

LAMPIRAN

4 Lampiran Misalkan diberikan pengskalaan berikut: z = z L, r = r, R = R, u = u, v = Lv, p = R 0 R 0 R 0 u 0 R 0 u 0 μ 0 u 0 L Penurunan Persamaan (.4) μ = μ μ 0, θ = T T 0 T f T 0, C 0 = c 0 c 0 (0), D = D D. Substitusikan pengskalaan di atas ke dalam persamaan (.) diperoleh bentuk berikut: z u 0 u 0 L z z ρu 0 u z z + R 0 r z z ρu L + R 0 u 0 R 0 r L ρu + u 0 L ρu + r ρu + r r r ρv = 0 r ρv = 0 R 0 r ρ R 0u 0 L r ρv = 0 v = 0 r ρv R 0 = 0 p Penurunan Persamaan (.5) Substitusikan pengskalaan di atas ke dalam ruas kiri persamaan (.) diperoleh bentuk berikut: z u 0 z u 0 L ρu 0 u z z + R 0 r z ρu L + R 0 u 0 R 0 r L ρu + u 0 L r R 0 r ρu 0 u R 0u 0 L r ρuv r ρuv R 0 v

5 u 0 L z ρu + r r ρuv Selanjutnya substitusikan pengskalaan di atas ke ruas kanan persamaan (.) diperoleh bentuk berikut: z μ 0u 0 L R 0 μ 0u 0 R 0 μ 0u 0 R 0 μ 0 u 0 L R 0 p z z + z + R 0 r p z L + z p + μ 0u 0 z L p + μ 0u 0 z L μ 0 μ z R 0 r μ 0 μ μ 0 u 0 μ + R R 0 r 0 μ 0 z z u μ z u μ z u z L L u 0 u z z r μ u 0 u + μ 0 R 0 r + μ 0u 0 R 0 r z z u 0 u + z + R 0u 0 R 0 L u 0 r μ r μ R 0 u 0 L v z L z v z R 0 u + R 0 v R 0 L z u + R 0 v R 0 L z μ 0 u 0 p + R 0 z L z u μ z + R 0 r r μ u + R 0 v R 0 L z

6 Jika ruas kiri sama dengan ruas kanan persamaan (.), maka diperoleh persamaan berikut: u 0 L z ρu + r r ρuv = μ 0 u 0 p + R 0 z L z u μ z + R 0 r r μ u + R 0 v R 0 L z u 0 L z ρu + r r ρuv = μ 0 p + R 0 z L z u μ z + R 0 r r μ u + R 0 v R 0 L z ρu 0 L 3μ 0 z ρu + r r ρuv = ρl 3 p + R 0 z L z u μ z + R 0 r r μ u + R 0 v R 0 L z R e z ρu + r r ρuv = ρl p + ρ 3R 0 z 3 z u μ z + ρl 3R 0 r r μ u + R 0 v R 0 L z R e z ρu + r r ρuv = ρ 3δ p z + ρ 3 z u μ z + ρl 3R 0 r r μ u + ρρ 3 r r μ v z

7 R e z ρu + r r ρuv = ρ 3δ p z + ρ 3 + ρ 3 r r μ v z z u μ z + ρ 3δ r r μ u Penurunan Persamaan (.6) Substitusikan pengskalaan di atas ke dalam ruas kiri persamaan (.3) diperoleh bentuk berikut: z u 0 R 0 L u 0 R 0 L ρu 0 u R 0u 0 L z z z v z + R 0 r ρuv L + R 0 r ρuv + u 0 R 0 L r R 0 3 u 0 R 0 r ρ R 0 u 0 L L r ρv R 0 r ρv v u 0 R 0 L z ρuv + r r ρv Selanjutnya substitusikan pengskalaan di atas ke ruas kanan persamaan (.3) diperoleh bentuk berikut: μ 0 u 0 L R 0 p + z + R 0 r μ 0u 0 L p + R 0 R 0 z + R 0 r μ 0 μ μ 0 u 0 μ u 0 u + R 0 u 0 z L v z z R 0 r μ 0 μ R 0 u 0 L v u + R 0 v R 0 L z R 0 u 0 μ 0 L L z z μ R 0 u 0 0μ L v R 0 r v r μ μ 0u 0 R 0 μ v R 0 R 0 R 0 r

8 μ 0u 0 L p 3 + μ 0u 0 R 0 L z μ u + R 0 v R 0 L z + μ 0u 0 R 0 L r v r μ μ 0u 0 R 0 μ v r μ 0 u 0 L p 3 + R 0 L z μ u + R 0 v R 0 L z + R 0 L r v r μ R 0 μ v r Jika ruas kiri sama dengan ruas kanan persamaan (.3), maka diperoleh persamaan berikut: u 0 R 0 L z ρuv + r r ρv = μ 0 u 0 L p 3 + R 0 L z μ u + R 0 v R 0 L z + R 0 L r v r μ R 0 μ v r ΓL μ 0 u 0 R 0 z ρuv + r r ρv = ΓL3 3R L p 3 + 0 R 0 L z μ u + R 0 v R 0 L z + R 0 L r v r μ R 0 μ v r λ z ρuv + r r ρv = ΓL 3δ L p 3 + R 0 L z μ u + R 0 v R 0 L z + R 0 L r v r μ R 0 μ v r

9 λ z ρuv + r r ρv = δ 3 Γ p + Γ 3L 3 z Γ μ v 3 r u μ + Γ 3L z v μ z + Γ 3L r v r μ λl f z ρuv + r r ρv = Γ p l + L 3δ3 f z L f μ v r u μ + l z v μ z + l r v r μ Penurunan persamaan (.7) Substitusikan pengskalaan di atas ke dalam ruas kiri persamaan (.4) diperoleh bentuk berikut: z z L z ρc p u 0 u T f T 0 θ + T 0 z z + R 0 r R 0 r ρc p R 0 u 0 L ρc p u 0 u T f T 0 θ + ρc p u 0 ut 0 L + R 0 r R 0 u 0 L ρc p u 0 u T f T 0 θ + ρc p u 0 ut 0 + r v T f T 0 θ + T 0 r ρc p v T f T 0 θ + R 0 u 0 L T f T 0 ρc p u 0 r vθ + T 0 ρc p u 0 r vt 0 r ρc p vt 0 R 0

30 Selanjutnya substitusikan pengskalaan di atas ke ruas kanan persamaan (.4) diperoleh bentuk berikut: z k z T f T 0 θ + T 0 z z z z + R 0 r R 0 r k T f T 0 θ + T 0 L z T f T 0 k θ + T z 0 k z + R 0 r T f T 0 kr θ + T 0 kr Jika ruas kiri sama dengan ruas kanan persamaan (.4), maka diperoleh persamaan berikut: L z ρc p u 0 u T f T 0 θ + ρc p u 0 ut 0 + r T f T 0 ρc p u 0 r vθ + T 0 ρc p u 0 r vt 0 = L z T f T 0 k θ + T z 0 k z + R 0 r T f T 0 kr θ + T 0 kr L z ρc p u 0 uθ + T 0 T f T 0 ρc pu 0 u + r ρc p u 0 r vθ + T 0 T f T 0 ρc pu 0 r vt 0 = L z k z θ + T 0 T f T 0 k z + R 0 r kr θ + T 0 T f T kr 0

3 L z ρc p u 0 R 0 πh f L H f z α μ α D H f ρc p u 0 uθ + ρc p u 0 u + r z = L z uθ + u + r = R 0k πh f L z uθ + u + r z k θ + k z z k = πh f L δ z u θ + + r ρc p u 0 r vθ + ρc p u 0 r vt 0 r vθ + r v θ z + z r vθ + r v θ z + z r v θ + + R 0 r + R 0k πh f R 0 r + π B i r kr θ + kr θ r θ r + r + r = π B i δ z z θ + + α μ α D δ r r θ + Penurunan persamaan (.8) Substitusikan pengskalaan di atas ke dalam ruas kiri persamaan (.5) diperoleh bentuk berikut: z u 0 c 0 0 L u 0 uc 0 0 c z z z + R 0 r uc + u 0c 0 0 L r R 0 u 0 R 0 r L vc 0 0 c r vc

3 Selanjutnya substitusikan pengskalaan di atas ke ruas kanan persamaan (.5) diperoleh bentuk berikut: z D c 0 0 L D D z c z 0 0 c z z D c z z z + R 0 r + D c 0 0 R 0 r R 0 r D D r D c c 0 0 c Jika ruas kiri sama dengan ruas kanan persamaan (.5), maka diperoleh persamaan berikut: u 0 c 0 0 L u 0 L z u 0 R 0 LD P z z uc + r z uc + r uc + u 0c 0 0 L = D c 0 0 L uc + r r vc r vc r z r vc D c z = D L z r vc = R 0 = δ z L + D c 0 0 R 0 D c z z D c z r + D R 0 r D c z + r + r r D c r D c r D c r D c

33 Lampiran Penurunan persamaan (3.) Tinjau persamaan (.3) berikut: s z = F s μ. Karena μ = e α μ θ, maka persamaan (.3) menjadi s z = F s e α μ θ s z = F s e α μ θ s z = F s e α μ θ s z = F s e α μ θ e α μ e α μ s z = F s e α μ e α μ ( θ) s z = F eα μ ln D r ln D r s e α μ ( θ) s z = s e α μ ( θ). Penurunan persamaan (3.) Tinjau persamaan (.3) berikut θ z = s [ H f θ H l z H c θh z l ], θ z = s [ H f θ H l z H c θh z l ] Karena l =, maka H c = 0 sehingga diperoleh θ z = s [ H f θ. 0. θ. ] θ z = H f s θ.

34 Penurunan persamaan (3.3) Karena s z θ z = ds dz dθ dz = ds dθ, maka dengan menggunakan persamaan (3.) dan (3.) diperoleh ds dθ = s e αμ ( θ) H f s θ ds dθ = H f s e αμ θ ( θ) Penurunan persamaan (3.5) Tinjau persamaan (3.3) berikut ds dθ = H f ds s = H f s e αμ θ ( θ) e αμ θ θ dθ Jika kedua ruas persamaan di atas diintegralkan terhadap θ, maka diperoleh ds s = H f s = H f e αμ θ θ e x θ dθ dx α μ Selanjutnya misalkan x = α μ θ, maka dx = α μ dθ sehingga diperoleh s = H f e x x dx s = H f x e x + c

35 4s = H f x e x + c 4s = H f (α μ θ ) e α μ θ + c s θ = H f α μ θ e α μ θ + c Jika syarat batas s (0) = digunakan, maka memberikan sehingga s 0 = H f α μ e α μ + c c = + H f α μ e α μ = s = H f α μ θ e α μ θ + + H f α μ e α μ s = H f α μ θ e α μ θ H f α μ e α μ s = e αμ θ H f α μ θ d α μ θ e α μ α μ d α μ

36 s = e x H f x α μ θ dx s = H f E α μ θ E α μ α μ e x x dx dengan E z = z e x x dx

37 Lampiran 3 Penurunan persamaan (3.6) Dengan mensubstitusikan persamaan (3.5) ke dalam persamaan (3.) berikut diperoleh θ z = H f s θ θ z = H f H f E α μ θ E α μ θ Penurunan persamaan (3.8) Tinjau persamaan (3.7) berikut θ z = H f θ dθ dz = H f θ dθ θ = H f dz Jika kedua ruas persamaan di atas diintegralkan terhadap z, maka diperoleh ln θ = H f z ln θ = H f z θ = e H f z θ = e H f z Penurunan persamaan (3.9) Tinjau persamaan (3.6) berikut θ z = H f H f E α μ θ E α μ θ Karena E z ~ ln z γ, maka persamaan (3.6) menjadi θ z = H f H f ln α μ θ γ ( ln α μ γ) θ

38 θ z = H f + H f ln α μ θ + γ ln α μ γ θ θ z = H f + H f ln α μ θ + γ θ Penurunan persamaan (3.0) Karena α μ θ = e H f F ln Dr θ, maka persamaan (3.9) menjadi α μ θ = α μ e H f θ θ = e H f θ α μ Jika persamaan di atas diturunkan terhadap z pada kedua ruas, maka diperoleh H f e α μ θ z = θ z Jika persamaan (3.9) digunakan, maka diperoleh e H f α μ θ z = H f + H f ln α μ θ + γ θ H f e α μ H f θ z = H f + ln e θ + γ H f e H f α μ θ θ z = H f θ z = H f H f + ln e θ + γ θ H f H f + ln e + ln θ + γ θ H f

39 θ z = H f θ z = H f + H f H f + ln θ + γ θ + H f ln θ + γ θ θ z = H f H f ln θ + γ θ θ z = ( ln θ + γ)θ Penurunan persamaan (3.) Tinjau persamaan (3.0) berikut dθ dz = ( ln θ + γ)θ dθ ( ln θ + γ)θ = dz Jika kedua ruas persamaan di atas diintegralkan terhadap z, maka diperoleh ln ln θ + γ = ( z + C ) ln θ + γ = C e z ln θ = γ + C e z

40 Penurunan persamaan (3.) Dengan mensubstitusikan z = 0 ke dalam persamaan (3.8) berikut θ = e H f z, maka diperoleh θ = 0 sehingga persamaan berikut α μ θ = e H f F ln Dr θ memberikan α μ 0 = e H f θ α μ = e H f θ H f θ = ef ln Dr α μ. Berdasarkan bentuk ln θ = γ + C e maka untuk z = 0, diperoleh z, ln θ = γ + C ln H f e α μ = γ + C. Jadi bentuk C diperoleh berikut: C = γ + ln e H f α μ C = γ + ln α μ + ln e H f H f C = γ + ln α μ +

4 Penurunan persamaan (3.3) Dengan mensubstitusikan persamaan (3.) ke dalam persamaan (3.) berikut diperoleh ln θ = γ + C e z θ = e γ + C e z θ = e γ + γ+ln α μ + H f e z Penurunan persamaan (3.4) Tinjau persamaan (3.3) berikut α μ θ = e H f θ θ = α μ e H f θ θ = α μ e H f θ Kembalikan ke variabel awal, diperoleh θ = α μ e H f e γ + γ+ln α H f μ + e z θ = α μ e H f e γ+ln α H f μ + e z e γ θ = e γ+ln α μ + α μ H f e ze γ+ H f θ = e ln α μ e α μ z e γ+ H f e ze γ+ H f θ = e ln α μ e ln α μ e z e γ+ H f e z θ = e ln α μ e ln α μ e z e γ+ H f F ln Dr e z

4 θ = e ln α μ e F ln Dr z e γ+ H f e z θ = e γ+ln α μ + H f e z Penurunan persamaan (3.5) Dengan mensubstitusikan z = ke dalam persamaan (3.4) diperoleh θ = e γ+ln α μ + H f F ln Dr e Substitusikan persamaan (3.4) ke dalam persamaan berikut diperoleh E α μ θ = ln α μ θ γ E α μ θ = ln α μ e γ+ln α μ + H f e z γ E α μ θ = ln α μ e γ+ln α μ + H f e z γ E α μ θ = ln α μ + ln e γ+ln α μ + H f e z γ E α μ θ = ln α μ γ + γ + ln α μ + Karena E α μ = e α μ sehingga persamaan (3.4) berikut menjadi H f α μ, untuk α μ, maka E α μ, s = H f E α μ θ E α μ s = H f ln α μ γ + γ + ln α μ + H f Dengan menggunakan syarat batas s = D r diperoleh e z e z H f ln α μ γ + γ + ln α μ + H f e = D r

43 H f H f γ + ln α μ + H f e = D r + F ln α μ + γ ln D r e = D H r f + F ln α μ + γ ln D r e = D H r f ln + F ln α μ + γ ln D r e = ln D H r f ln + F ln α μ + γ ln D r + ln e = ln D H r f ln + F ln α μ + γ ln D r H f = ln D r = ln D r + ln + F ln α μ + γ ln D r H f Jadi bentuk F diperoleh berikut: F = + ln D r + ln + F ln α μ + γ ln D r H f Penurunan persamaan (3.7) Diketahui bahwa Misal ε = ln α μ + γ ln D r H f ~0 ln α μ +γ ln D r H f f ε = ln + ε F, dengan ε. Dengan menggunakan deret Taylor dari fungsi f di sekitar ε = 0, diperoleh f ε f 0 ε f(ε) Fε. Jadi persamaan (3.5) berikut F = + ln D r dapat dinyatakan berikut F ln α μ + γ ln D r H f

44 ln D r F = F = ln D r ln α μ + γ H f ln α μ + γ ln D r H f F = ln α μ + γ ln D r H f Karena β = ln α μ +γ H f diperoleh F = + β F = + ln α μ + γ H f. cukup kecil, maka dengan deret Taylor dari F terhadap β

45 Lampiran 4 Penurunan persamaan (3.8) Dengan menggunakan persamaan (.3) berikut F s s z = μ dan μ = e α μ θ, diperoleh s z = F s e α μ θ s z = F s e α μ θ s z = F s e α μ θ s z = F s e α μ θ e α μ e α μ s z = F s e α μ e α μ ( θ) s z = F s e α μ e α μ θ ln D r ln D r s z = F eα μ ln D r ln D r s e α μ ( θ) s z = s e α μ ( θ) s z = e α μ (θ ) s

46 Penurunan persamaan (3.9) Tinjau persamaan (.3) berikut θ z = s [ H f θ H l z H c θh z l ] θ z = s [ H f θ H l z H c θh z l ] Karena l < memberikan H f = 0, maka diperoleh θ z = s [ 0. θ. H c θ. ] θ z = H c s θ

47 Lampiran 5 Penurunan persamaan (3.4) Misalkan Karena θ = α μ (θ l θ), s = s s l, Y = e α μ (θ l ) s z = ds dz z l, maka diperoleh persamaan berikut sehingga e α μ (θ ) s = ds ds ds dy dy dz e α μ (θ ) s = s l s s Y e α μ (θ l ) e α μ (θ ) s = s l s s Y e α μ (θ l ) s = s l s s Y e α μ (θ l ) e α μ (θ ) s = s l s s Y e α μ (θ l θ) s Y = s s l s e α μ (θ l θ) s Y = s s l s e θ s Y = s s l s s l e θ

48 s Y = s s l s l s e θ s Y = s s l s l s e θ s Y = s s l e θ s Y = s e θ. Penurunan persamaan (3.5) Misakan s = s s l dan θ = α μ θ l θ, maka θ = θ l θ α μ dan s = s l s Karena θ z = dθ dz, maka diperoleh persamaan berikut sehingga H c s θ = dθ dθ dθ dy dy dz H c s θ = α μ θ Y e α μ (θ l ) θ Y = s H c α μ θ e α μ (θ l ) θ Y = s H c α μ θ e α μ ( θ l )

49 θ Y = s l s H c α μ θ e α μ ( θ l ) θ Y = s l s H c α μ θ l θ α μ e α μ ( θ l ) θ Y = s l s H c α μ θ l θ l α μ θ l θ e α μ ( θ l ) θ Y = s l s H c α μ θ l α μ θ l θ e α μ ( θ l ) θ Y = s l H c α μ θ l e α μ ( θ l ) s α μ θ l θ Karena A = s l H c α μ θ l e α μ ( θ l ) dan = α μ θ l, maka diperoleh θ Y = A s θ

50 Lampiran 6 Penurunan persamaan (3.8) Dari persamaan (3.4) dan (3.5) diperoleh dθ ds dθ ds dθ ds = A s θ s e θ = A θ e θ = A θ eθ Penurunan persamaan (3.9) Tinjau persamaan (3.8) berikut ds = A θ e θ dθ Jika kedua ruas persamaan (3.8) diintegralkan terhadap s, maka diperoleh ds = A θ e θ dθ Misalkan x = θ dan y = e θ + C, maka dy = e θ dθ dan dθ = θ sehingga diperoleh dx, s θ = A θ e θ + Jika syarat batas s 0 = digunakan, maka θ e θ dθ + C s 0 = A + 0 + C memberikan C = A sehingga s = A θ e θ + θ e θ dθ + A

5 s = + A e θ θ A e θ θ dθ s = + A e θ θ A 0 θ e w w dw

5 Lampiran 7 Penurunan persamaan (3.33) Tinjau persamaan (3.3) berikut θ Y = e θ e θ dθ = dy. Jika kedua ruas persamaan (3.3) diintegralkan terhadap Y, maka diperoleh θ Y = ln Y + C. Jika syarat batas θ 0 = 0 digunakan, maka diperoleh θ 0 = ln 0 + C memberikan C = sehingga θ = ln Y + Penurunan persamaan (3.34) Dengan mensubstitusikan persamaan (3.33) ke dalam persamaan (3.3), diperoleh ln Y+ s = e ln Y+ s = e s = Y + s = Y +

53 Lampiran 8 Penurunan persamaan (3.35) Karena A < dan suhu terbatas di bawah oleh A =, maka diperoleh θ maks = ln Y + Karena Y = e α μ (θ l ) z l dan z =, diperoleh θ maks = ln e α μ (θ l ) l + Penurunan persamaan (3.37) Tinjau persamaan (3.5) berikut θ Y = A s θ Karena θ berorde satu dan, maka persamaan (3.5) menjadi θ Y = A s θ Y = A + A e θ θ Y = e θ + A

54 Penurunan persamaan (3.38) Tinjau persamaan (3.37) berikut dθ dy = e θ + A e θ + A dθ = dy Jika kedua ruas persamaan (3.37) diintegralkan terhadap Y, dan dimisalkan p = + A e θ, maka persamaan (3.37) menjadi A A p dp = ln p = Y + C dy A ln + A eθ = Y + C ln + A e θ = A Y + A C + A e θ = e A Y+ C sehingga e θ = C e A Y A θ Y = ln C e A Y A Jika syarat batas θ 0 = 0 digunakan, maka memberikan θ 0 = ln C A C = A sehingga diperoleh θ = ln Ae A Y A

55 Penurunan persamaan (3.39) Dengan mensubstitusikan persamaan (3.36) ke dalam lim A s, diperoleh lim s = lim + A A A e θ lim s = + A e θ lim s = e θ A sehingga diperoleh s = e θ s = e lnae A Y A s = Ae A Y A s = s = A Ae A Y A A e A Y

56 Lampiran 9 Penurunan persamaan (3.4) Dengan mensubstitusikan persamaan (3.40) ke dalam persamaan (3.5), diperoleh θ Y = A A θ θ Y = A θ Penurunan persamaan (3.4) Tinjau persamaan (3.4) berikut dθ = A θ dy Jika kedua ruas persamaan (3.4) diintegralkan terhadap Y, maka diperoleh θ dθ = A dy. Misalkan p = θ maka dθ = dp, sehingga diperoleh p dp = A dy ln p = A Y + C A Y p = C e A Y θ = C e θ = C e A Y θ = C A Y e.

57 Lampiran 0 Penurunan persamaan (3.44) Dengan menggunakan persamaan (3.38) berikut memberikan θ = ln Ae A Y A θ~ ln e A Y + ln θ~ A Y + ln A A A A. Penurunan persamaan (3.45) Dengan membandingkan persamaan (3.43) dan (3.44) diperoleh C A Y = A Y + ln A A C A Y = A Y + ln C = ln A A. A A Penurunan persamaan (3.46) Dengan mensubstitusikan persamaan (3.45) berikut C = ln A A ke dalam persamaan (3.4), diperoleh θ = θ = ln A A e A Y e A Y + ln A A e A Y

58 Lampiran Penurunan persamaan (3.49) Misalkan Y = e α μ (θ l ) z l, = α μ θ l, dan β = e α μ (θ l ), maka diperoleh sehingga Y = β z l θ = θ l α μ θ θ = θ l α μ ln Ae A Y A θ = θ l α μ ln Ae A β z l A θ = θ l ln Ae A β z l. α μ A Penurunan persamaan (3.50) Dengan mensubstitusikan persamaan (3.48) ke dalam persamaan (3.49), maka diperoleh θ = θ l ln Ae A β z l, α μ A θ = θ l α μ A Y e + ln A A e A Y θ = θ l α μ e A β α μ θ l α μ θ l z l A + ln A e A β α μ θ l z l A β z l α θ = θ l θ l e μ θ l ln A α μ A e A β α μ θ l z l

59 A β z l α θ = θ l e μ θ l ln A α μ A e A β α μ θ l z l A β z l α θ = θ l + e μ θ l ln A α μ A e A β α μ θ l z l A β z l α θ = θ l e μ θ l ln α μ dan A A e θ 3 = θ l + α μ A Y + ln A A A β α μ θ l θ 3 = θ l + α μ A β z l + ln A A θ 3 = θ l + α μ A β z l + sehingga θ = θ + θ θ 3 θ = θ l α μ ln Ae A β z l A ln A α μ A e + ln A α μ A θ = θ l α μ ln Ae A β z l A z l ln A α μ A A β z l α + θ l e μ θ l A β α μ θ l z l θl + α μ A β z l θ l α μ ln A A A β z l α e μ θ l + α μ A β z l

60 Penurunan persamaan (3.5) Dengan mensubstitusikan persamaan (3.) (3.3) ke dalam persamaan (3.30), diperoleh s = + A e θ θ s = A + θ A e θ s = A + α μ θ l α μ θ l θ A e α μ θ l θ s = A + α μ θ l α μ θ l α μ θ A e α μ θ θ l s = A + + θ θ l A e α μ θ θ l s = A θ l θ A e α μ θ θ l s = s l A + θ l e αμ θ θl Aθ s = s l A + θ l e αμ θ θl Aθ s = s l A + θ l e α μ θ θ l Aθ