Modul 8. (Pertemu s/d 6) DERET FOURIER 8. FUNGSI PERIODIK DAN FUNGSI KONTINU TERPOTONG Defiisi Fugsi f diseut fugsi periodik il terdpt p > sedemiki sehigg utuk setip erlku f ( p) f ( ). Nili p > terkecil yg memeuhi f ( p) f ( ) utuk setip diseut period dri fugsi f. Cotoh-cotoh. Fugsi-fugsi f ( ) si d g( ) dlh fugsi periodic deg period.. Fugsi-fugsi F ( ) si ( ) d G ( ) ( ) K dlh jug fugsi periodic deg period /.. Suku yk (polyomil) yg erderjt dlh tidk periodic. 4. Fugsi H ( ) tg dlh periodik deg period. Defiisi Fugsi f diseut fugsi kotiu terpotog dlm sutu itervl il: (i) itervl terseut dpt digi mejdi suitervl-suitervl yg yky erhigg di m f kotiu dlm setip su itervl; d (ii) lim f ( ) dlh erhigg di m dlh titik-ujug serg dri suitervl-suitervl di ts.
y 4 Cotoh-cotoh.Fugsi f ( ) [ ] pd itervl [ ] dlh kotiu terpotog.. Fugsi g ( ) pd itervl [ ] yg kotiu jels jug kotiu terpotog.. Fugsi h pd itervl [ ] deg h ( ) 4 < < dlh kotiu terpotog tetpi tidk kotiu di mupu di. ASSIGNMENT. Dietuk fugsi y f () pd itervl [ ) segi erikut: f ( ) pd itervl [ ) K4. Buktik hw fugsi y f () kotiu terpotog pd itervl [ ).. Dietuk fugsi y g() pd itervl [- ] segi erikut:
g( ) ( ) pd itervl [ ) g ( ) ( ). Buktik hw fugsi g kotiu terpotog pd itervl [- ]. 8. DERET FOURIER Mislk f dlh fugsi periodik deg period yg didefiisik pd itervl (- ). Deret Fourier dri f dlh: f ( ) si di m koefisie-koefisie Fourier d dlh f ( ) d f ( ) si d K K Cotoh. Crilh deret Fourier dri fugsi f di m Solusi: ( ) < < < < f deg period. Period dri f dlh sehigg. Deg formul di ts diperoleh
6 { } ; si ) si( si ) ( d o d d d d f K ( ) ( ). si si si )si ( K K d d d d f Jdi deret Fourier dri fugsi f dlh ( ) si si si 6 si ) ( si ) ( f ASSIGNMENT - f() Period - < < < <
. Crilh deret Fourier dri fugsi f ( ) < < deg period. 7. Crilh deret Fpurier dri fugsi ( ) < < f deg period. < <. Crilh deret Fpurier dri fugsi si ( ) f deg period. < < 8.: KONDISI DIRICHET Mislk fugsi f () memeuhi syrt-syrt:. f () didefiisik d erili tuggl pd itervl (- ) keculi mugki pd titik-titik yg yky erhigg pd (- );. f () periodik di lur (- ) deg period ;. f () d f '( ) kotiu terpotog pd (- ). Mk deret Fourier dri f () yitu si deg f ( ) d K koverge ke f ( ) si d K. f () il titik kotiu; f ( ) f ( ). il titik diskotiu. Dlm hl ii
8 f ( ) lim t k f ( t) f ( ) lim t kiri f ( t). Cotoh. Pd cotoh di muk telh diperoleh hw deret Fourier dri fugsi dlh ( ) < < f deg period < < f ( ) si 6 si si si. ( ( )) si Berpkh ili-ili dri f () hrus dierik di d supy deret Fourier dri f () koverge ke f () pd itervl? Solusi: Kre f () memeuhi kodisi Dirichlet deret Fourier dri f () koverge ke f () pd titik-titik di m f () kotiu d koverge ke { f ( ) f ( ) }/ pd titik-titik di m f () diskotiu. Pd titik-titik diskotiu d deret Fourier dri f () erturut-turut kovege ke ( ) / /. Jdi il didefiisik kemli f () segi erikut: f ( ) / < < < < mk deret Fourier dri f () k koverge pd itervl. ASSIGNMENT
9. Megguk deret Fourier dri fugsi f ( ) < < deg period uktik hw. 6 8.4: DERET SINUS/COSINUS FOURIER SETENGAH JEAJAH Deret sius tu ius Fourier setegh jeljh dlh deret Fourier yg hy megdug suku-suku dri fugsi sius tu ius sj (termsuk kost). Bil diigik deret setegh jeljh dri sutu fugsi mk fugsi terseut didefiisik pd itervl ( ) kemudi fugsi terseut didefiisik segi fugsi gjil tu gep pd itervl (- ) deg period. Utuk deret sius setegh jeljh dri f () : K ; f ( ) si d K. Sedgk utuk deret ius setegh jeljh dri f () : K ; f ( ) d K. Cotoh
6. Dierik f ( ) si < <. Tetuk deret ius Fourier setegh jeljh dri fugsi terseut. Solusi Dlm hl ii K ; f ( ) d K. Sehigg didpt si ( ) d { si( ) si( ) } (( ) ) (( ) ) ( ) ( ) ( ( )). K. ( ) si d ( ) 4 (( ) ) (( ) ) d si si d. Jdi { ( )} ( ) f ( ) 4 () (4) (6). 4 6 ASSIGNMENT. Dierik f ( ) < <. Tetuk deret sius Fourier setegh jeljh dri fugsi terseut.. Dierik f ( ) < <. Tetuk deret sius d ius Fourier setegh jeljh dri fugsi terseut.
6