Jurl Mtemtik Muri d Terp Vol. 4 No. Jui 00: - KOMPUTASI METODE SIMPLEKS PADA PENYELESAIAN PROGRAM LINIER Akhmd Yusuf d Dewi Sri Susti Progrm Studi Mtemtik Uiversits Lmbug Mgkurt Jl. Jed. A. Yi km. 36 Kmpus Ulm Bjrbru ABSTRAK Slh stu metode yg dpt diguk utuk meyelesik permslh progrm liier dlh metode simpleks. Pd peeliti ii, peeliti k mecob membut lgoritm komputsi metode simpleks yg dpt diguk utuk peyelesi progrm liier, sehigg diperoleh rgki proses peyelesi yg efisie d hsil khir yg optiml. Peeliti ii meghsilk kode progrm Komputsi megguk bhs pemrogrm Borld Delphi 6.0 yg dpt diguk utuk meyelesik persol progrm liier deg megguk metode simpleks. Kt Kuci : Progrm Liier, Algoritm Metode Simpleks.. PENDAHULUAN Slh stu metode lisis mtemtik yg cukup memdi utuk meyelesik persol loksi sumber dy dlh metode progrm liier. Tekik progrm liier dlh merumusk mslh deg jels d megguk sejumlh iformsi yg tersedi utuk medptk peyelesi khir yg optiml. Setelh mslh terumusk deg bik, mk lgkh berikut ilh meerjemhk mslh ii ke dlm betuk model mtemtik, utuk medptk cr peyelesi eksk yg lebih mudh d rpi gu meemuk jwb terhdp mslh tersebut (Sigi, 987). Persol progrm liier dlh sutu persol utuk meetuk besry msig-msig ili vribel sedemiki sehigg ili fugsi tuju tu fugsi obyektif yg liier mejdi mksimum tu miimum deg memperhtik bts yg d. Slh stu metode yg dpt diguk utuk meyelesik permslh tersebut deg megguk metode simpleks (Suprto, 983). Tulis ii merupk hsil peeliti yg bertuju utuk membut sutu lgoritm komputsi metode simpleks dlm meyelesik persol progrm liier yg diytk dlm bhs pemrogrm Borld Delphi 6.0.. TINJAUAN PUSTAKA.. Mslh Progrm Liier Mslh progrm liier meurut Suprto (983) dlh sutu persol utuk meetuk besry msig-msig ili vribel sedemiki higg ili dri fugsi tuju yg bersift liier mejdi optimum (mksimum tu miimum) deg memperhtik bts-bts dri ili vribel peetu, dim pembts vribel iputy dpt diytk sebgi pertidksm liier. Secr umum mslh progrm liier dpt diytk sebgi berikut:
Jurl Mtemtik Muri d Terp Vol. 4 No. Jui 00: - Terdpt fugsi tuju : Z c c c, kemudi ditetuk ili,, sehigg fugsi tuju optimum deg beberp fugsi pembts, sebgi berikut : m m m b b b m 0, 0,, 0 dim : Z = fugsi tuju j = byky output ke-j yg dihsilk, dim j =,,...,. b i = byky iput ke-i yg diperluk, dim i =,,..., m. ij = byky output ke-j yg dihsilk utuk stu stu iput ke-i, dim i =,,..., m; j =,,...,. C j = byky keutug yg dihsilk dri stu stu output ke-j, dim j =,,...,. Mslh Progrm Liier pd dsry terbgi du, yitu persol memksimumk d persol memiimumk dri sutu fugsi tuju. Mslh Progrm Liier berup persol memksimumk dimk persol stdr, seperti cotoh di bwh ii : Meetuk,,, sehigg Z c c c mksimum deg fugsi pembts : b m m m b b m 0, 0,, 0 Sedgk persol Progrm Liier berup persol memiimumk dpt dirumusk sebgi berikut : Meetuk,,, sehigg Z c c c Miimum deg fugsi pembts : b m m m 0, 0,, 0 b b m.. Teori Metode Simpleks Lwrece (008) meytk bhw solusi optiml dri persol progrm liier hrus merupk solusi titik ujug yg tmpk (corer-poit fesible/cpf). Jik terdpt pilih ili optiml, mk miiml terdpt titik yg memiliki ili terdekt terhdp solusi CPF. Secr umum terdpt ili-
Jurl Mtemtik Muri d Terp Vol. 4 No. Jui 00: - ili solusi CPF yg berhigg byky. Sutu solusi CPF k bersift optiml jik tidk terdpt solusi CPF li yg lebih bik (medekti). Gmbr meujukk beberp titik yg merupk solusi CPF dri sutu progrm liier. Byky solusi CPF yg berhigg dpt ditujukk sebgi berikut : vribles pembts m ( m )! pembts m m!! X Solusi titik dlm Nyt tpi tidk optiml Gmbr. Solusi Titik Ujug Sutu cotoh, jik terdpt m = 50 fugsi pembts d = 00 vribel, ( m )! (50 00)! 40 mk terdpt solusi CPF sebyk :.00. m!! 50! 00! Atur umum dlm peggu Metode Simpleks utuk medptk solusi optiml sutu progrm liier ditry dlh :. Peetu vrible iput dsr (icomig bsic vrible) dri sutu himpu vribel o-dsr berdsrk ili plig egtif dri bris ke-z. Peetu vribel output dsr (outgoig bsic vrible) sesui deg ili miimum rsio terhdp koefisie vribel iput 3. Perlu diigt bhw pembgi setip ili deg ol k meghsilk ili tk berhigg 4. Jik terdpt koefisie pd vribel iput berili egtif mk megidiksik dy keslh 5. Perlu dihidri peggu ili egtif pd kolom vrible iput dsr 6. Dilkuk pem-pivot- deg cr membgi setip eleme pd bris pivot deg eleme pivot 7. Pem-pivot dilkuk berulg-ulg smpi diperoleh kolom vrible iput dsr merupk bgi dri mtrik idetits 8. Lgkh dihetik st diperoleh semu ili pd bris Z lebih besr tu sm deg ol..3. Peyelesi Metode Simpleks Stdrt Mslh progrm liier dpt diselesik secr grfik, k tetpi hmpir seluruh problem progrm liier sesugguhy tidk dpt diselesik deg cr grfik. Oleh kre itu, George Dtzig pd thu 947 megjuk sutu metode yg plig berhsil utuk meyelesik problem progrm liier yg disebut Metode Simpleks. 3
Jurl Mtemtik Muri d Terp Vol. 4 No. Jui 00: - Sebgi pdu utuk memhmi lgkh-lgkh peyelesi metode simpleks stdr, berikut ii diberik sutu cotoh sol. Fugsi tuju yg k dimksimumk : Z 3 5 Fugsi pembts sebgi berikut : 8 0 0, 0 Lgkh-lgkh peyelesi :. Megubh fugsi liier ke dlm betuk bku, deg cr: Fugsi Pembts (syrt/costrit) : Perubh betuk pertidksm mejdi persm dilkuk deg memberik vribel slck (S ) yg dpt megurgi vribel surplus. Bil rus k pd fugsi pembts berili egtif, mk setip rus diklik deg. Bil fugsi tuju dlm betuk pertidksm, mk perkli deg k megubh td (misl td wl mejdi ). Vribel urestricted, yitu vribel yg dpt berili positif mupu egtif, dpt diekspresik dlm du vribel o egtif, yitu : j j dim j dlh vribel urestricted (tidk dibtsi) d j 0, 0. Pd ksus di ts, kre tidk d vribel yg urestricted mk betuk bkuy mejdi : Z 3 0S 0S 0S 0 S S 3 5 8 S3 0. Berikuty dibut tbel simpleks wl Tbel simpleks wl yg tmpk pd Tbel merupk solusi wl mslh. Solusi wl ditetuk deg meetpk vribel o bsis (o dsr, j ) sm deg 0. Deg meetpk = 0 d = 0, mk diperoleh S = 5, S = 8 d S 3 = 0. Nili ili dlm tbel simpleks wl merupk ili-ili eleme (koefisie dri persm). Tbel. Tbel simpleks wl Bsis S S S 3 Solusi Z -3-0 0 0 0 S 0 0 5 S 0 0 8 S 3 0 0 0 3. Meetuk icomig vrible, yitu vribel o bsis yg bil iliy diikk dri ol dpt memperbiki ili fugsi tuju. Yg diutmk utuk dipilih sebgi icomig vrible dlh vribel deg koefisie positif terbesr kre peglm meujukk bhw pemilih ii 4
Jurl Mtemtik Muri d Terp Vol. 4 No. Jui 00: - megkibtk solusi optiml lebih cept tercpi. Utuk ksus di ts, icomig vribley dlh X. 4. Pilih outgoig vrible, yitu vribel bsis (S, S, S 3 ) yg hrus mejdi o bsis (iliy mejdi ol) ketik icomig vrible mejdi vribel bsis. Outgoig vrible dlh vribel bsis yg memiliki rsio terkecil tr sisi k persm kedl (solusi) deg koefisie positif icomig vrible. Secr legkp ditmpilk pd Tbel. Tbel. Rsio Solusi Bsis X X S S S 3 Solusi Rsio Z -3-0 0 0 0 S 0 0 5 5/ =5 S () 0 0 8 8/ = 4 S 3 0 0 0 0/ = 0 Kre ili rsio S plig kecil di tr ili rsio du vribel bsis li, mk outgoig vrible utuk ksus ii dlh S. 5. Tetuk icomig colum, pivot equtio, pivot elemet. Icomig colum dlh kolom icomig vrible. Utuk ksus ii, icomig colum = X. Nili-ili pd kolom tersebut merupk eleme icomig colum. Pivot equtio yitu bris di m terdpt outgoig vrible. Utuk ksus ii, pivot equtio dlh S. Pivot elemet dlh eleme pd perpotog tr icomig colum deg pivot equtio. Utuk ksus ii, pivot elemet dlh (ili dlm td kurug pd Tbel ). 6. Utuk meetpk solusi dsr bru, dilkuk perhitug megguk metode Guss Jord: Utuk meetuk eleme persm pivot bru : eleme pers. pivot lm eleme pers. pivot bru eleme pivot Cotoh : Utuk eleme persm pivot bru : S = / = S = / = ½ S S = 0/ = 0 d seterusy sehigg seluruh ili eleme persm pivot bru dpt disusu dlm Tbel simpleks itersi pertm seperti disjik pd Tbel 3. Tbel 3. Rsio Simpleks Itersi Pertm Bsis X X S S S 3 Solusi Rsio Z 0 -/ 0 3/ 0 4 S 0 / -/ 0 X / 0 ½ 0 4 8 S 3 0 3/ 0 -/ 6 4 Utuk meetuk eleme semu persm li termsuk Z, diguk rumus dri Metode Guss Jord : eleme pers. tbel bru eleme pers. tbel lm eleme eterig colum eleme pers. pivot bru 5
Jurl Mtemtik Muri d Terp Vol. 4 No. Jui 00: - Cotoh sol : Z 3 ( 3) 0 Utuk eleme persm Z bru : Z ( 3 ) Z S 0 ( 3 0) 0 d seterusy. Solusi yg bru memberik ili = 4 d = 0, d medptk Z = 4. Kre msih berili 0, mk msih memugkik utuk meikk ili Z deg jl meikk ili. Berdsrk Tbel Simpleks Itersi pertm, k dilkuk lgi lgkh-lgkh dri omor 3 d seterusy, sehigg diperoleh tbel simpleks optimum seperti disjik pd Tbel 4. Solusi bru memberik = 3, = d Z = 43. Diktk optimum kre tk d lgi vribel o bsis yg memiliki koefisie egtif pd persm Z (ditujukk pd Tbel 4 utuk Z di m = 0 d = 0). Tbel 4. Tbel Simpleks Optimum Bsis X X S S S 3 Solusi Z 0 0 0 43 X 0-0 X 0-0 3 S 3 0 0-3 3 Slh stu bhs pemrogrm berbsis widows dlh Borld Delphi. Meurut Alm (00), Delphi merupk sutu pket bhs pemrogrm yg bekerj deg sistem opersi widows yg mempuyi ckup fsilits yg lus d sgt cggih. Berbgi pergkt luk komputer dpt dibut megguk Delphi, termsuk gk, teks, dtbse, jug pergkt luk liy. Delphi megguk dsr bhs pemrogrm Pscl, yitu bhs pemrogrm yg merupk perlus dri bhs pscl yg berorietsi obyek. 3. METODE PENELITIAN Peeliti ii merupk peeliti yg bersift studi litertur d percob lbortorium. Metodologi yg diguk dlh deg megumpulk referesi megei bhs pemrogrm Borld Delphi 6.0 d metode simpleks utuk meyelesik progrm liier. Seljuty meyusu thp peyelesi metode simpleks d megpliksik ke dlm bhs pemrogrm. 4. HASIL DAN PEMBAHASAN 4.. Thp Metode Simpleks Metode simpleks meurut Hieller d Lieberm (995) merupk sutu prosedur ljbr yg merupk pejbr sutu prosedur geometris. Prosedur ljbr dlh prosedur yg lebuh mudh diphmi secr ituitif kre dpt digmbrk dlm betuk grfik, sedgk prosedur ljbr dlh prosedur yg memudhk perhitug d memudhk pembut lgoritm komputer. 6
Jurl Mtemtik Muri d Terp Vol. 4 No. Jui 00: - Proses itersi dlm pemrogrm terdiri dri tig lgkh itersi yg msigmsig dimk step, step d step 3 4.. Kode Progrm utuk Metode Simpleks Sesui deg bhs pemrogrm yg diguk, yitu Borld Delphi yg merupk bhs pemrogrm berorietsi obyek, mk struktur dt didefiisik sebgi sebuh obyek. Tipe obyek yg k megi peyelesi deg metode simpleks didefiisik dlm sebuh kels yg dimk TSimpleks. Utuk lebih jelsy tipe kels TSimpleks didefiisik sebgi berikut : TSimpleks = clss privte : RelArry; jkol, JBr : Iteger; public jvr, jper : iteger; Step : proses; Itersi : iteger; costructor crete (eleme: RelArry; jv, jp : iteger); destructor destroy; override; fuctio optiml: boole; fuctio NiliFuqsi : Rel; procedure Step (vr kp word); procedure Step (Vr bp : word); procedure Step3 (kp, bp : word); procedure TulisAwl (Vr grid : TStrigGrid); procedure TulisAkhir(vr grid:tstriggrid); Type relarry : rry of rry of rel; Setip ggot kels bik yg privte mupu public mempuyi per msig-msig dlm metode simpleks. Deskripsi tugs msig-msig ggot kels TSimpleks dlh sebgi berikut: () Aggot privte Terdpt tig vribel yg mejdi ggot privte d kels TSimpleks, yki, JBr, d Jkol. Vribel dlh sebuh mtrik rel berdimesi gu megi dt persm. Oleh kre sifty iterktif, dlm rti pemki bebs meetuk ukur persm yg dimsukk, mk mtrik hrus bersift dimis. Oleh kre itu mtrik hrus bertipe RelArry yg didefiisik : Type RelArry = rry of rry of rel; Vr : RelArry; Sedgk vribel JBr d Jkol dlh bertipe iteger yg meujukk ukur kolom d bris sel tempt meemptk mtrik. () Aggot Public Vibel public JVr d JPer dlh bertipe iteger yg msig-msig meujuk jumlh vribel d jumlh persm. Sedgk vribel step 7
Jurl Mtemtik Muri d Terp Vol. 4 No. Jui 00: - meujuk proses yg sedg berlgsug. Oleh kre itu dibut sutu tipe eumersi proses deg defiisi : Type proses=(awl, Setup, Iisilissi, TesOptiml, Step, Step, Step3); Vr step : proses; (3) Aggot Public Prosedur d fugsi () Costructor crete Prosedur crete berfugsi utuk membetuk obyek d kels TSimpleks deg msuk berup mtrik utm bertipe RelArry sebgi hsil pembc d msuk pemki. Sebgi prmeter tmbh d jv d jp yg msig-msig meytk jumlh vribel d jumlh persm. Oleh kre itu prosedur crete didefiisik sebgi : costructor Tsimpleks. crete (eleme: RelArry; jv, jp : iteger); vr kol, br : iteger; Step: =SetUp; Itersi :=0; jvr:=jv; jper :=jp; jkol :=jv+jp+; jbr :jp+; setlegth(, jkol, jbr); for br:=o to jer-i. do for kol:=0 to jkol- do [kol, br] :=eleme[kol, br]; (b) Destructor destroy Prosedur destroy berfugsi utuk medeloksik memori yg sebelumy dipki obyek TSimpleks. Memori terbesr di pki oleh mtrik utm yg mksiml berukur 6 3 eleme rel. Oleh kre itu deklrsi prosedur destroy sebgi berikut: destructor TSimpleks.destroy ; : =il; (c) fugsi optiml Fugsi dlh fugsi yg meujukk optiml tidky peyelesi yg diperoleh. Fugsi optiml dideklrsik sebgi : fuctio TSimpleks.optiml: boole; vr kol : iteger; optiml :=true; for kol:= to jper+jvr+ do if ([kol, 0) < 0) the Optiml : flse; (d) Fugsi NiliFugsi 8
Jurl Mtemtik Muri d Terp Vol. 4 No. Jui 00: - NiliFugsi meytk ili fugsi dlm setip lgkh itersi. Nili fugsi dimbil lgsug d mtrik pd bris 0 kolom terkhir. Oleh kre deklrsiy dlh : fuctio TSimpleks.NiliFugsi : Rel; NiliFugsi : = [jper+jvr+l, 0]; (e) Prosedur Step Step dlm itersi dlh meetuk kolom pivot. Sehigg prosedur utuk meetuk kolom pivot sebgi berikut : Procedure Tsimpleks.Step; vr kol : word; mm : rel; kolpivot:=0; mm : =0; if [,0]< [,0] the kolpivot:=; mm :=[l,o]; ed else kol.pivot:=; mi:=[,o]; for kol:=3 to jkol-l do if ([kol,0]<mi) the mi:=[kol,0); kolpivot : =kol; (f) Prosedur Step Step d itersi dlh mecri bris pivot. Oleh kre itu deklrsi prosedur Step diytk sebgi: Procedure TSimpleks.Step; vr kp, br : word; Kol : rry of rel; mi. rel; brpivot : =0; setlegth (kol, jbr); kp:=simpleks.kolpivot; 9
Jurl Mtemtik Muri d Terp Vol. 4 No. Jui 00: - for br:= to JPer do if ([jper+jvr+l,br]>o)d ([kp,br]>o) the Kol [br-] :=[jper+jvr+,br] /[kp,br] else Kol[br ]:=000000; mi:=0; if kol[0]<kol[] the mi:=kol[0]; brpivot : =; ed else brpivot:=; mi:=kol[); for br:= to JPer do if kol[br-l]<mi the mi:=kol [br-); brpivot : =br; kol:=il; (g) Prosedur Step3 Setelh ditemuk bris d kolom pivot, seljuty dilkuk opersi bris elemeter utuk memperoleh peyelesi dri persol progrm lier. Deklrsi d prosedur Step 3 dlh : procedure Tsimpleks.Step3 (kp, bp : word); vr kol, br : word; pv : rel; m, bm rel; det, br : rry of rel; pv :[kp,bp); setlegth (det, jper+); setlegth (br,jper+jvr+); for br:=0 to jper do // mbil kolom pivot det[br]:=[kp, br); for kol:=0 to Per+jVr+l do // bgi bris pivot dg pivot (kol, bp] :=[kol,bpj/pv; for br:=0 to Per do if br<> bp the for kol:=0 to jper+jvl+ do br[kol] :=-(det[brj*[kol,bp]); for kol:=0 to Per+jVr+ do 0
Jurl Mtemtik Muri d Terp Vol. 4 No. Jui 00: - [kol,br] :[kol,brj+br[kol); (h) Prosedur TulisAwl Setelh dilkuk perhitug utuk mecri peyelesi persol progrm lier, mk seljuty mtrik ditulisk ke dlm sekelompok sel. Prosedur TulisAwl dlh prosedur utuk meulisk mtrik ke dlm formt sel sebelum dy pembh slck vribel. Tempt meulisk bsil perhitug dipilih kompoe visul Strig grid yg dideklrsik sebgi grid. Seljuty deklrsi prosedur tulisawl sebgi berikut : procedure TSimpleks.tulisAwl(vrgrid;TStrigGrid); vr kol, br : word; grid.colcout:=jvr.+4; // set ukur grid Rowcout : =j Per+3; for kol:=0 to jvr+3 do for br:=0 to JPer+ do grid.cefls[kol, br] := ; grid.cells [0,0] := No ; // omor persm grid.cells [0,) := Pers. ; grid.cells[,0):= Vribel ; // vribel dsr grid.cells[,] := dsr ; grid.cells[,]:= Z ; / Z di bs judul for kol:= to jvr do // Xl, X,... X grid.cefls[+kol,) := X +ittostr(kol); for br:=0 to jper do / (0), (),... () grid.cells[0,-br] := b( +ittostr (br) + ) ; grid. Cells [,] : Z ; // Z pd vribel dsr grid.cells[jvr+3,0):= Rus ; // rus k grid.cells(jvr+3,] := k ; grid.cells[jvr+3,] := 0 ; for br: to jper do // megisi rus k grid.cefls [jvr+3,+br] :=FlotToStr ([jvr+jper +,br]); for kol:0 to jvr do for br:0 to jper do grid.cells[+kol, +br] :=FlotToStr([kol,br]); grid.visible :=true; (i) Prosedur TulisAkhir Pth proses seljuty diperluk pembh slck vrible sehigg progrm hrus dpt mempilk mtrik ke dlm strig grid yg dideklrsik sebgi grid deg membh lolsi sel utuk slck vribel. Deklrsi dri prosedur tulis khir dpt diytk sebgi berikut: procedure TSimpleks.tulis(vr grid:tstriggrid); vr
Jurl Mtemtik Muri d Terp Vol. 4 No. Jui 00: - 5. PENUTUP kol, br : word; grid.colcout:=jvr+per+4; // set ukur grid.rowcout :jper+3; for kol:=0 to jper+jvr+3 do for br:=0 to jper+ do grid.cells [kol br] := ; grid.cells[0,0]:= No ; // omor persm grid.cells[0,] := Pers. ; grid.cells[, 0] : Vribel ; // vribel dsr grid.cells[,] := dsr ; grid.cells[,]:= Z ; // Z di bris judul for kol:= to jvr+jper do // Xl, X, X grid.cells[+kol,l] := X +ittostr(kol); for br:=0 to jper do // (0), (),... () grid.cells(0, +br] := ( +ittostr(br)+ ) ; grid.cefls[l,]:= Z ; // Z pd vibel dsr grid.cells [jvr+jper+3, 0] := Rus ; // rus k grid.cells[jvr+jper+3,0) := k ; grid.cells[jvr+jper+3,]:=flottostr([jper+jvr+,0); for br:=l to JPer do // megisi rus k grid. Cells [jvr+jper+3, +br):flottostr ([jvr+jper+,br]); for kol:o to jvr+jper do // megisi etry [i,j] for br:=o to jper do grid.cells[+kol, +br] :=FlotToStr([kol,br]); grid.visible :=true; Peeliti pegembg yg dilkuk meghsilk sutu kode progrm komputsi megguk bhs pemrogrm borld delphi 6.0 utuk dpt diguk meyelesik progrm liier deg metode simpleks. Disrk kepd peeliti seljuty gr melkuk peeliti smpi deg tercipty sutu softwre tu pergkt luk bru yg dpt diguk lgsug utuk meyelesik persol progrm liier deg metode simpleks. DAFTAR PUSTAKA []. Alm, M.A.J. 00. Beljr Sediri Borld Delphi 6.0. PT. Ele Medi Komputido, Jkrt. []. Hieller & Lieberm. 995. Opertio Reserch. McGrw Hill, New Jersey. [3]. Lwrece, Stephe. 008. Survey of Opertio Reserch. Dictte of Egieerig Mgemet Progrm. Uiversity of Colordo. [3]. Sigi, P. 987. Peeliti Opersiol. Uiversits Idoesi, Jkrt. [4]. Suprto, J. 983. Progrm Liier. Lembg Peerbit Fkults Ekoomi UI, Jkrt.