IV. FUNGSI KARAKTERISTIK Pd bgi seljuty k dijbrk megei ugsi krkteristik. Pd peeliti ii k ditetuk ugsi krkteristik dri distribusi our-prmeter geerlized t deg megguk deiisi d kemudi k membuktik ugsi krkteristik yg diperoleh deg megguk ekspsi trigoometri, dri kedu r tersebut k diperoleh ugsi krkteristik yg sm.. Fugsi Krkteristik Fugsi krkteristik dlh slh stu jeis trsormsi yg serig diguk pd teori pelug d sttistik. Fugsi krkteristik merupk ugsi pembgkit mome deg membhk i sebgi bgi imgier tu mome dri (it) tu ekspektsi dri Deiisi 5 it e Fugsi krkteristik dri peubh k X, dideiisik sebgi ili ekspetsi dri it e, di m i dlh bgi imgier d t R dpt diytk sebgi berikut:
7 it it it t Ee e df e d it dim t Ee E os tx isi tx () () E os tx Eis D F merupk ugsi kumulti dri distribusi X, sedgk merupk ugsi kepkt pelug dri distribusi X. (Dudewiz &Mishr, 995). Fugsi Gjil d Fugsi Gep (-) - y=() () Fugsi gjil Deiisi 6 Fugsi disebut ugsi gjil, bil ( ) ( ). grik dri ugsi gjil simetri terhdp titik sl (titik pust koordit). (-) y=() () - Fugsi gep
8 Deiisi 7 Fugsi disebut ugsi gep, bil ( ) ( ). grik dri ugsi gep simetri terhdp sumbu-y. (Purell et l:). Teorem Simetri - Jik ugsi gep, mk ( ) d ( ) d - _ + _ + Jik ugsi gjil, mk ( ) d
9 Bukti utuk gep ( ) d d ( ) d Misl u, du d Jik gep, ( u) ( ) ( ) ( ) d ( )( d) u du u du d Oleh kre itu, ( ) d d ( ) d ( ) d (Purell et l:) Pd bgi seljuty k dijbrk megei ekspsi deret MLuri, deret ii k diguk pd ekspsi dri distribusi our-prmeter geerlized t. t e utuk meetuk ugsi krkteristik
.. Ekspsi Deret MLuri Deret MLuri diguk utuk membtu meyelesik sutu persm deg megekspresiky sehigg dpt lebih mudh meyelesiky Deiisi 8 Sebuh ugsi ( ) memiliki turu pd = b dpt diperlus deg deret Tylor berikut : b '' b ''' b b b b ' b!!! Jik b =, kit medptk ksus khusus yg serig disebut deret Mluri ; '' ''' '!!! jik e, sehigg semu turu e dlh r e r, utuk r =,,,. Deg demiki, ekspsi deret Mluri dri e!!!!, mk e dlh! (Hogg et l:).5 Power Series Deiisi 9 Dlm klkulus dsr byk tetg ksus khusus dri deret pgkt. Deret Pgkt di memiliki betuk:
(Purell et l:).6 Teorem Keuik (Uiqueess Theorem) Teorem Mislk bhw memeuhi Utuk semu di beberp itervl di sekitr, mk! Bukti Ak ditetuk,,,,, dikethui bhw Kemudi turu dri () diperoleh 5 5!! '"!! " '
Subtitusik = utuk meri, mk diperoleh D ser umum diperoleh ' "! '"!! (Purell et l:) Pd bgi seljuty k dijbrk megei sit-sit dsr ugsi krteristik yg k diguk utuk membuktik pkh ugsi krkteristik distribusi our-prmeter geerlized t memeuhi sit sit dsr ugsi krkteristik..7 Sit-sit Dsr dri Fugsi Krkteristik Sutu ugsi krkteristik hrus memeuhi sit-sit dsr dri ugsi krkteristik. Berikut ii k dibhs tetg sit-sit dsr yg hrus dipeuhi oleh ugsi krteristik dri sutu distribusi. Teorem Mislk X dlh peubh k deg ugsi krkteristik t t Ee.
Mk (i) (ii) t (iii) t t.. [ t dlh kojugt kompleks dri t.] Bukti: (i). Mislk t t Ee utuk t=. Mk berlku t Ee Ee E (ii). Mislk X dlh sebrg peubh k deg ugsi pelug (). Berdsrk deiisi e it Cos t i Si t tx si tx e os. Sehigg t dikethui bhw e e df df df ( ) d
(iii). Mislk bhw t dlh sekw dri ugsi krkteristik t t Ee E E E. Perhtik os tx i s os tx Ei s os tx i Esi tx Ak ditujukk bhw ugsi krkteristik dri X dlh t. it X Ee E e E E E os tx i si tx os tx i s os tx i Esi tx t Berdsrk () d (), bhw ugsi krkteristik dri X dlh dri t. t, sekw (Luks d Lh,96)