BAB 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Siklus kehidupan adalah suatu rangkaian aktivitas secara alami yang dialami oleh individu-individu dalam populasi berkaitan dengan perubahan tahap-tahap dalam kehidupan. Suatu model demografik terdiri dari tahap-tahap dan transisi-transisi antar tahap-tahap tersebut yang mendeskripsikan tentang masa depan suatu individu yang diistilahkan dengan pertumbuhan, kemampuan bertahan hidup, dan proses reproduksi pada rentang waktu berturut-turut (Wardle, 1998). Karena siklus kehidupan tersebut selalu melibatkan tahapan-tahapan yang demikian (kelahiran, kematian, dan transisi-transisi antar setiap tahap), maka diperlukan suatu metode untuk membandingkan kontribusi-kontribusi relatif dari bentuk-bentuk sejarah kehidupan yang berbeda ke laju pertumbuhan populasi sehingga menghasilkan seperangkat loop yang disebut dengan analisis loop (van Groenendael et. al, 1994). Untuk siklus kehidupan yang kompleks, sulit untuk menemukan semua loop yang bermakna dalam siklus kehidupan sehingga diperlukan metode yang relevan. Dalam ilmu matematika, dikenal istilah tentang graph, yaitu suatu istilah yang menyatakan representasi dari objek-objek diskrit dan hubungan antara objekobjek tersebut. Pada kenyataannya suatu siklus kehidupan individu dalam suatu populasi pada ekologi adalah suatu objek diskrit sehingga untuk mempermudah proses pemahaman terhadap siklus kehidupan itu siklus tersebut direpresentasikan dalam suatu digraph siklus kehidupan.
2 Suatu digraph siklus kehidupan adalah suatu gambaran secara grafikal mengenai siklus kehidupan suatu populasi. Verteks-verteks pada digraph menggambarkan tahap-tahap pada kehidupan, garis penghubung (disebut arc) dari verteks j ke verteks i mengindikasikan bahwa suatu individu pada tahap j diwaktu t dapat mengkontribusi individu ke tahap i pada waktu t + 1. Representasi lain dari digraph siklus kehidupan tersebut adalah matriks, yaitu matriks proyeksi populasi. Elemen ke (i, j) pada matriks populasi tidak nol. Oleh karena itu ada hubungan antara suatu matriks proyeksi populasi n tahap dengan suatu digraph siklus kehidupan n verteks dimana arc penghubung menghubungkan verteks-verteks yang berkaitan ke elemen-elemen tidak sama dengan nol pada matriks proyeksi (Sun dan Wang, 2007). Hal ini dapat dilihat pada contoh gambar berikut: 11, 8 3, 2 3 47 v 1 17, v 2 17 v 3 Gambar 1.1 : Contoh digraph siklus kehidupan dengan tiga verteks dan empat arc. Siklus kehidupan suatu populasi dapat direpresentasikan dalam digraph berbobot. Digraph-digraph tersebut selanjutnya direpresentasikan dalam matriksmatriks yang dapat digunakan untuk mengukur kontribusi terhadap laju pertumbuhan populasi jika matriks-matriks tersebut dipartisi. Partisi matriks-matriks ini menghasilkan sekumpulan loop yang bermakna dalam siklus kehidupan. Proses ini ekuivalen dengan dekomposisi digraph berbobot yang menggambarkan siklus kehidupan. Secara Biologi, dekomposisi itu mengilustrasikan dan memperkirakan kontribusi-kontribusi siklus kehidupan yang berbeda-beda dari individu ke laju pertumbuhan populasi (Casswel, 2001; van Groenendael, 1994; Wardle, 1998). Riset tentang dekomposisi telah dilakukan dan telah memperoleh suatu metode. Wardle (1998) menemukan metode pendekatan sistematik yaitu metode spanning tree. Mulai dengan suatu base tree yang memiliki n nodes Universitas dan dihubungkan Sumatera Utara
3 dengan n 1 edge yang tidak memuat loop. Loop sendiri terbentuk dengan menambahkan edge ke base tree. Metode spanning tree tersebut akan menghasilkan sekumpulan cycle-cycle yang independen. Akan tetapi, metode spanning tree ini akan menimbulkan dua masalah. Pertama, untuk digraph yang cukup rumit biasanya sulit bahkan hampir tidak mungkin untuk menemukan suatu tree yang span-nya memuat sekumpulan cycle tanpa arah yang berlawanan. Wardle sendiri menyatakan jika cycle memuat arah yang berlawanan maka tidak mewakili siklus kehidupan individu-individu organisme, yang artinya hal tersebut bertentangan dengan interpretasi secara biologi. Kedua, setiap tree yang merentang sekumpulan cycle yang fix; pasangan cycle-cycle yang mungkin penting untuk tujuan perbandingan mungkin tidak kelihatan di sekumpulan cycle yang sama. Karena masih adanya kendala-kendala pada hasil Wardle maka pada tahun 2007 Sun dan Wang menentukan suatu metode baru. Sun dan Wang mengemukakan suatu metode dekomposisi melalui suatu algoritma pendekatan teori graph. Digraph didekomposisi menjadi dua bagian, bagian pertama merupakan sekumpulan cycle sederhana yang tidak memuat arah berlawanan dan terdiri dari arc-arc dengan bobot yang sama. Bagian kedua adalah subgraph-subgraph tanpa cycle-cycle sederhana seperti yang terdapat sebelumnya. Karena algoritma untuk dekomposisi ini tidak tunggal maka perlu dilakukan riset lanjutan sehingga dapat ditentukan cycle-cycle mana yang lebih berarti yang seharusnya menjadi prioritas utama untuk dipilih. Pada penelitian ini akan ditentukan suatu metode dekomposisi melalui pendekatan algoritma untuk mendekomposisi digraph berbobot terhubung. Riset utama akan difokuskan untuk menemukan algoritma yang relevan sehingga menghasilkan sekumpulan cycle yang bermakna dalam analisis siklus kehidupan. 1.2 Perumusan Masalah Bagaimana cara menentukan sekumpulan cycle yang bermakna dalam siklus kehidupan yaitu sekumpulan cycle yang dapat diinterperetasikan dengan baik secara
4 biologi. 1.3 Tinjauan Pustaka Berikut akan diberikan kajian pustaka mengenai graph, digraph, maupun hal-hal yang berkaitan dengan analisis siklus kehidupan. 1.3.1 Digraph. Istilah-istilah mengenai digraph diambil dari Brualdi dan Ryser (1991). Suatu digraph adalah himpunan titik-titik yang tidak kosong yang unsurnya disebut nodes atau verteks, dan himpunan garis-garis berarah yang menghubungkan verteksverteks tersebut disebut arc. Suatu digraph berbobot (D, W) adalah suatu digraph D yang memiliki bobot numerik yang ditandai pada setiap directed edgenya. Digraph-digraph berbobot memiliki suatu representasi matriks sebagai berikut: dari verteks ke verteks w 11 w 12... w 1n w 21 w 22... w 2n...... w n1 w n2... w nn w ij adalah bobot arc dari verteks v i ke verteks v j. Suatu cycle atau simple cycle adalah suatu perjalanan tertutup dari barisan arcarc di D yang menghubungkan verteks v i1,v i2,..., v ik,v i1 secara berurutan, v i1,v i2,..., v ik masing-masing berbeda kecuali verteks awal dan verteks akhir. Dalam tulisan ini, simple cycle atau cycle diistilahkan dengan loop sebagaimana diambil dari literatur-literatur ekologi. 1.3.2 Dekomposisi Analisis Siklus Kehidupan dalam Ekologi. Secara Biologi dekomposisi menggambarkan dan menghitung kontribusi-kontribusi berbeda dari siklus kehidupan individu ke laju pertumbuhan populasi. Sedangkan secara matematis dekomposisi disini didefinisikan sebagai partisi atau pembagian
5 dari matriks-matriks representasi digraph berbobot menjadi submatriks-submatriks yang apabila disatukan akan membentuk digraph siklus kehidupan itu sendiri. Akan tetapi dekomposisi bukanlah satu-satunya cara untuk menghitung kontribusi-kontribusi berbeda dari siklus kehidupan. van Groenendael (1994) sebelumnya telah menemukan analisis loop (loop analysis) sebagai metode yang sesuai untuk membagi matriks-matriks elastisitas untuk menentukan kontribusi-kontribusi yang dimaksud. Analisis loop berimplikasi pada suatu kalkulasi kontribusi relatif dari loop sejarah kehidupan ke kemampuan berdasarkan elastisitas elemen-elemen transisi matriks proyeksi. Berikut diberikan contoh gambar analisis loop seperti yang dikemukakan oleh van Groenendael. 10 35 1 2 3 45 10 Gambar 1.2 : Suatu digraph siklus kehidupan tiga tahap suatu organisme dengan dua pilihan untuk proses reproduksi, awal atau akhir (D). 35 1 2 35 Gambar 1.3 : Loop reproduksi awal (D 1 ). 10 1 2 3 10 10 Gambar 1.4 : Loop reproduksi akhir (D 2 ). Berdasarkan gambar (1.2), (1.3), dan (1.4) diketahui bahwa D = D 1 D 2, yang artinya dekomposisi merupakan partisi digraph menjadi subgraph-subgraph yang jika dihubungkan dengan matriks, matriks-matriks tersebut diubah menjadi submatriks-submatriks. Langkah dasar dalam analisis loop adalah mempertimbangkan elastisitas dalam konteks alasan yang mendasari struktur sejarah kehidupan Universitas seperti Sumatera yang Utara
6 ditunjukkan oleh graph siklus kehidupan (Caswell, 1989). Suatu karakteristik penting dari graph ini adalah kenyataan bahwa graph siklus kehidupan tersebut dapat didekomposisi menjadi sekumpulan loop, masing-masing kontribusi tersebut berhubungan dengan eigenvalue dominan pada matriks proyeksi yang berkaitan pada suatu penambahan cara yang sederhana (de Kroon, 1987; Caswell, 1989). Dasar matematik dari kalkulasi elastisitas loop didasarkan pada dua sifat berikut (van Groenendael et. al, 1994): 1. Untuk setiap tahap pada graph siklus hidup, jumlah elastisitas dari transisi yang masuk sama dengan jumlah elastisitas transisi yang keluar. Transisi masuk dan transisi keluar sama dengan definisi derajat verteks pada graf berarah yang menyatakan bahwa derajat masuk (id(v i )) sama dengan derajat keluar (od(v i )) n id(v i )= i=1 n od(v i ). i=1 2. Elastisitas suatu loop sama dengan karakteristik elastisitas dikali oleh jumlah transisi-transisi pada loop. Suatu langkah penting dari analisis loop adalah bahwa analisis loop tersebut merupakan langkah dasar untuk mendekomposisi graph siklus kehidupan suatu populasi menjadi sekumpulan siklus kehidupan yang diikuti oleh individu-individu populasi. 1.3.3 Sensitivitas Demografik dan Analisis Elastisitas. Sensitivitas demografi berarti sensitivitas λ (pertumbuhan populasi) untuk berubah pada laju demografik yang partikular. Sensitivitas mengukur pengaruh λ dari perubahan simpangan yang absolut dari suatu laju vital relatif yang partikular ke perubahan laju vital yang lainnya. Suatu tambahan dari analisis sensitivitas adalah analisis elastisitas, yang menilai sensitivitas proporsional λ ke dalam suatu laju yang vital.
7 1.4 Tujuan Penelitian Penelitian ini bertujuan untuk menentukan sekumpulan loop yang bermakna dalam siklus kehidupan dengan pendekatan matematis, yaitu algoritma yang didasarkan pada teori graph sehingga dapat diinterpretasikan dengan baik secara biologi. 1.5 Manfaat Penelitian Penelitian ini bermanfaat untuk memperkaya literatur dalam teori graph khususnya aplikasi teori graph ini dalam bidang Biologi sehingga diharapkan dapat mempermudah pekerjaan yang biasa dilakukan oleh para ahli ekologi. 1.6 Metodologi Penelitian Metode penelitian ini bersifat literatur atau kepustakaan. Untuk menentukan suatu metode baru dalam proses dekomposisi dilakukan pendekatan sebagai berikut: 1. Mempelajari literatur-literatur yang berkaitan dengan graph siklus kehidupan, analisis loop, serta literatur-literatur yang berkaitan dengan penelitian ini. 2. Menentukan matriks transisi dan matriks elastisitas berdasarkan graph siklus kehidupan (yang merupakan digraph berbobot) yang diketahui serta menentukan λ untuk mengetahui laju pertumbuhan populasi. 3. Mendekomposisi graph siklus kehidupan menjadi sekumpulan loop yang bermakna (tidak memuat arah berlawanan). 4. Menentukan algoritma untuk proses dekomposisi digraph berbobot yang menggambarkan siklus kehidupan hingga menjadi sekumpulan loop yang bermakna dalam siklus kehidupan, yaitu sekumpulan loop yang dapat diinterpretasikan dengan baik secara biologi.