PERSAMAAN LEGENDRE Fugi Rel Alitik Sutu fugi f( diktk litik pd jik fugi itu dpt diytk dl deret pgkt deg rdiu kovergei poitif. f ( ( + ( + ( + ( +... dl elg kovergeiy diperoleh f ( ( f '( f "(. f '''(...... deg deiki Sehigg ( f ( ( (... f (! ( ( f ( f ( ( (! yg erupk deret Tylor. Sebgi cotoh, fugi + litik pd etip titik, edgk fugi! litik pd etip titik keculi utuk, d. Titik Bi d Titik Sigulr Milk d utu per difereil orde du y + p(y + q(y (
k dieleik ke dl deret pgkt (. Peyelei per ii gt tergtug pd jei, deg defiii berikut: Sebuh titik dlh titik bi dri per differeil ( jik kedu fugi p( d q( litik pd titik. Jik iil lh tu fugi ii tidk litik pd, k titik dlh titik igulr dri per difereil (. Sebuh titik diebut titik igulr reguler dri per difereil ( jik titik ii erupk titik igulr, d kedu fugi pd. Jik kedu fugi ( p( d ( ( p( q( d dlh titik igulr tk reguler dri per difereil (. ( q( litik tidk litik pd k Cotoh : Tetuk titik bi, titik igulr reguler, d titik iguler tk reguler dri per difereil Peyelei: ( y" + ( + y' + Dri per difereil di t, diperoleh p( q( + ( + + ( ( + ( + y dri hil di t, titik -,, d dlh titik reguler dri per difereil. Titik bi dri per difereil di t dlh eu hipu bilg rel eli -,, d. Utuk - p( + ( + ( + (
q( ( + ( + ( ( + kedu fugi ii litik pd -, ehigg - dlh titik igulr reguler per difereil. Utuk p( + ( ( + ( ( + ( q( ( ( + p( fugi ( tidk litik pd, ehigg dlh titik igulr tk reguler dri per difereil. Utuk p( + ( ( + ( + q( ( + ( ( kedu fugi litik pd, ehigg dlh titik igulr reguler dri per difereil. Deret Pgkt Sebgi Peyelei di Sekitr Titik Bi Dl bh ii, per difereil (: y + p(y + q(y k dieleik deg etode deret pgkt di ekitr titik bi. Titik dlh titik bi dri per difereil ( jik h(. Pd uuy dlh titik bi dri per difereil ( jik fugi-fugi p(/ d q(/ dpt diurik ejdi deret pgkt berikut:
p( A ( < R ( q( B ( < R (5 jri-jri kovergei R d R poitif. Per ( d (5 kotiyu pd elg kovergei < R, deg R dlh bilg terkecil ditr R d R. Cotoh : Tetuk peyelei uu per difereil y " ( y' + y di ekitr titik. Peyelei: Peyelei uu dri per difereil ii dlh y ( p( q( ( d. Kre R R, jri-jri koverge utuk peyelei per difereil ii jug deg. Deg euruk peyelei per di t, diperoleh y ' ( y " ( ( ubtitui y, y, d y ke dl per differeil diperoleh ( ( ( ( ( + ( ( ( + (
deg egguk etode hift ide diperoleh ( ( + ( + + ( ( + ( + ( + ( + ( ( + + + ( [( + ( + ( ] + + + ( Kre ru kiri deg ol, diperoleh ehigg ( +, ( + ( +,,....! 5. 6.5. 6! 6 7 ehigg....5 8.7.5.. 8! 8 6 +,,,......5...( (!,,,... Jdi, peyelei per difereil y " ( y' + y di ekitr - dlh. 6 ( ( (... + (! 6! y 5
Per Legedre Per Legedre epuyi betuk uu ( y" y' + ( + y (6 erupk utu kott. Peyelei dri per (6 gt petig dl berbgi cbg tetik terp, terut dl perlh ili bt utuk koordit bol. Peyelei per (6 diebut fugi Legedre. Deg ebgi per (6 deg koefiie y, yitu (, dpt diliht bhw koefiie -/( upu koefiie (+/( litik pd, ehigg per Legedre eiliki peyelei dl betuk y (7 turu dri per (7 eghilk y ' (8 y " ( (9 ubitui (7, (8, d (9 ke dl per (6 eghilk ( ( + ( + deg egguk etode hift ide d eggtik ( + k, diperoleh ( + ( + k ( + ( + ( kedu ru dlh idetik, k koefie uku utuk hru berili ol. Mk Koefiie diperoleh dri deret pert d ke ept :. + ( + Koefiie diperoleh dri deret pert, ke- d ke- :. + [- + ( + ] Koefiie,,...dijupi pd eu deret, ehigg ecr uu dpt ditulik ( ( + + [ ( + ( + ] + + ( ( + + +,,,,... ( ( + ( + 6
dri forul rekuri ii diperoleh ( +! ( ( +! ( ( +. ( ( + ( +! ( ( + 5. ( ( ( + ( +! 5 d eteruy deg ubtitui hubug ii pd per (7, diperoleh peyelei uu ( y ( y ( ( y + ( + ( ( + ( + y ( +... +... (!! ( ( + ( ( ( + ( + 5 y ( +... +... (5! 5! Kre ( utuk ±, k peyelei deret koverge pd - < <. Per ii eiliki peyelei yg beb liier kre rio dri y /y tidk kot. Per ( erupk peyelei uu dri per (7. Polioil Legedre P ( Per Legedre eiliki peyelei dl betuk polioil utuk hrg berup bilg bult o egtif, d deret terebut koverge. Deg egbil beberp bilg bult o egtif: Utuk : y( Utuk : y( Utuk : y( ( Utuk : Utuk : y ( y ( 5 5 + 7
Dri uri di t terliht bhw jik bilg bult o egtif gep, per Legedre eiliki peyelei dl betuk polioil pgkt gep y (, d jik bilg bult o egtif gjil, per legedre eiliki peyei dl betuk polioil pgkt gjil y (. Kott d dpt digti deg utu bilg jik utuk, y. Utuk : y( Utuk : y( Utuk : y( ( 5 Utuk : y( d eteruy Deg et ulg per, k per Legedre eiliki peyelei dl betuk polioil Legedre utuk berup bilg bult o egtif: P ( P ( P ( ( P ( (5 5 P ( (5 + P5 ( (6 7 + 5 8 8 6 7 5 P6 ( ( 5 + 5 5 P7 ( (9 69 + 5 5 6 6 8
Utuk eetuk per uu polioil legedre P ( deg ebgi kott utuk pgkt tertiggi, dpt diperkirk ruu uu utuk 5... ( bilg bult poitif (6! tu (! (7 (! utuk. Keudi dihitug koefiie li deg egguk per (, yitu hubug terhdp + ( + ( + + (8 ( ( + + Kre P ( utuk etip, d egggp diperoleh ( ( ( (! ( (! (! (!(! deg cr erup diperoleh ( ( ( (!!(!(! d eteruy, ehigg utuk deperoleh (! ( (9!(!(! Deg deiki, polioil legedre derjt, P ( ditulik dl betuk uu: (! M P ( ( (!(!(! deg M / tu (-/ berup bilg bult. 9
TUGAS:. Polioil legedre dpt dituli dl betuk forul Rodriguez : P! d d ( ( Buktik per uu Rodriguez ii deg egguk teori bioil d guk forul ii utuk eghitug P ( d P 5 (. Tetuk polioil legedre utuk per legedre ( y y +! Dikupulk plig lbt tggl 8 Oktober Pukul. vi eil : petroche7@gil.co