Bab 6 Defleksi Elastik Balok

Bab 6 Defleksi Elastik Balok 6.1. Pendahuluan Dalam perancangan atau analisis balok, tegangan yang terjadi dapat diteritukan dan sifat penampang dan beban-beban luar. Untuk mendapatkan sifat-sifat penampang dan tegangan yang terjadi telah dibicarakan pada Bab 3 dan 4. Pada prinsipnya tegangan pada balok akibat beban luar dapat direncanakan tidak melampaui suatu nilai tertentu, misalnya tegangan ijin. Perancangan yang berdasarkan batasan tegangan ini dinamakan perancangan berdasarkan kekuatan (designfor strength). Namun demikian, pada umumnya lendutan/defleksi balok perlu ditinjau agar titik melampaui nilai tertentu. Dapat terjadi, dari segi kekuatan balok masih mampu menahan beban, namun Iendutannya cukup besar sehingga tidak nyaman lagi. Perancangan yang mempertimbangkan batasan lendutan dinamakan perancangan berdasarkan kekakuan (design for stiffhess). Pada bab ini akan dibahas mengenai beberapa metode untuk menghitung lendutan balok. Dalam kenyataan, lendutan balok diakibatkan oleh momen lentur dan gaya geser secara bersamaan. Namun lendutan balok yang diakibatkan oleh lentur lebih dominan dibandingkan oleh geser. Pada uraian di bawah akan dibahas beberapa cara perhitungan lendutan balok akibat lentur antara lain: - metode integrasi ganda (double integration) - metode luas momen (momen area) - metode superposisi (superposition) Oleh karena pengaruhnya cukup kecil, perhitungan lendutan akibat gaya geser tidak diberikan pada buku ini. 6.. Persamaan Diferensial Kurva Lendutan

Gambar 6.1. Defleksi balok akibat lentur murni Pada Gambar 6. diperlihatkan kurva defleksi batang yang menenirna lentur. Sebagaimana telah dibahas pada Bab 4, hubungan antara kelengkungan dan momen lentur murni telah diperoleh. yaitu: Sedangkan kurva suatu garis Iengkung dapat didefinisikan juga sebagai: dengan x dan y adalah koordinat titik pada suatu kurva. Umumnya defleksi balok sangat kecil dibandingkan dengan panjang bentangnya, maka dy dy kemiringan sangat kecil, sehingga juga sangat kecil. Persamaan (6.) dapat dx dx disederhanakan menjadi: 1 d y ρ dx (6.3) Jika Persamaan (6.3) disubstitusikan dalam Persamaan (6.1), dengan memperhatikan tanda dan sumbu koordinatnva maka diperoleh: d y M = dx El (6.4) 6..1. Persamaan-persamaan Diferensial Balok Secara Umum Persamaan (6.4) juga dapat digunakan untuk balok secara umuni yang menerima momen lentur yang tidak konstan atau penampang yang tidak prismatis. Persamaan-persamaan terdiri dari (Iihat juga Gambar 6.): a. Syarat keseimbangan

b. Hubungan geometri dan penggunaan sifat material d y, M ( x) = El( x) (6.7) dx c. Kombinasi dari ketiga persamaan di atas didapatkan persamaan: Gambar 6.. Bagian balok yang mengalami momen lentur M(x), geser V(x) dan beban q(x) 6... Syarat-syarat Batas Dalam penyelesaian persamaan-persamaan defleksi balok perlu diperhatikan syaratsyarat batas (boundary conditions). Syarat-syarat batas antara lain dapat berupa: a. Tumpuan jepit, terjadi defleksi dan kemiringan kurva lendutan yang sama dengan nol a adalah absis titik tumpuan yang terjepit. b. Tumpuan sederhana (sendi atau rol) rnempunyai defleksi nol dan tidak dapat menahan momen

c. Ujung bebas yang tidak menahan momen dan gaya lintang 6.3. Beberapa Contoh Hitungan Lendutan Balok Contoh 6.1 : Lendutan balok terjepit pada ujung yang satu dibebani momen pada ujung yang lain. Momen pada setiap titik (sembarang) absis x adalah M(x) = -M El = konstan Gambar 6.3. Balok dengan salah satu ujung terjepit dengan beban momen pada ujung lainnya Untuk mencari C 1, dan C digunakan syarat-syarat batas:

Jadi persamaan garis elastic: Lendutan ujung balok sebelah kanan untuk x = / adalah Contoh 6..: Balok terjepit pada salah satu ujung dengan beban terbagi rata q Gambar 6.4. Balok terjepit pada salah satu ujung dengan beban terbagi rata q Syarat batas: Jadi persamaan garis elastik:

Maka lendutan ujung balok sebelah kanan untuk x =l adalah Contoh 6.3 : Balok terjepit sebelah dengan beban titik pada ujungnya Gambar 6.5. Balok terjepit sebelah dengan beban titik pada ujungnya Syarat batas: Persamaan garis lentur: Untuk x = l

3 P Lendutan f = 3El Contoh 6.4 : Balok diatas dua tumpuan sederhana (sendi-rol) dengan beban terbagi rata q Gambar 6.6 Balok diatas dua tumpuan sederhana (sendi-rol) dengan beban terbagi rata q Syarat batas:

Atau Lendutan balok maksimum (terjadi di tengah bentang), sebesar: 6.4. Metode Luas Momen Untuk mendapatkan lendutan balok dengan metoda integrasi, seringkali dijumpai persamaan yang rumit yang disebabkan oleh variasi dan diskontinuitas serta penampang yang bervariasi (non prismatis). Berikut akan dibahas suatu cara lain untuk mendapatkan lendutan balok yang dikenal dengan metode luas-momen (momen-area). Metode ini mempunvai pendekatan dan pembatasan yang sama dengan yang dipelajari selama ini, dimana hanya memperhitungkan lenturan balok (geser diabaikan). Metode ini dapat digunakan untuk menentukan defleksi dan perputaran sudut suatu titik tertentu pada balok. Perhatikan balok AR pada Gambar 6.7. Akibat sembarang beban, terjadi lendutan seperti diperlihatkan oleh garis putus-putus. Titik 1 dan terletak pada balok. Jika dibuat garis singgung pada kurva lendutan di kedua titik tersebut, akan didapatkan sudut yang dibentuk oleh kedua garis singgung tersebut sebesar θ 1.

Gambar 6.7. Metode Luas Mornen Besarnya kelengkungan pada titik X yang berjarak x dari tumpuan sebelah kiri, seperti telah dibicarakan pada Bab 4., adalah sebagai berikut: Untuk menurunkan persamaan-persamaan metode ini dapat digunakan lagi Persamaan (6.4) yaitu: Jika ditinjau bagian kecil dx akan terjadi perubahan sudut dθ Untuk dv yang sangat kecil didapatkan pula dy dθ = dx dx Sebagai kesepakatan, digunakan tanda negatif jika garis singgung yang disebelah kanan berputar berlawanan dengan arah jarum jam atau: M ( x) dx El M adalah luas bagian yang terarsir pada diagram. Untuk mendapatkan El sudut θ 1 dilakukan dengan cara mengintegralkan luasan tersebut dan titik 1 sampai dengan titik :

Tergantung pada macam balok dan titik yang ditinjau, luas diagram M El adalah besaran aljabar yang dapat bernilai positif, negatif atau nol. Jika nilainya positif maka garis singgung pada titik disebelah kanannya akan berputar berlawanan arah jarum jam, jika nilainya negatif, gans singgung yang kanan berputar berlawanan arah jarum jam. Apabila nilainya nol, maka kedua garis singgung tersebut sejajar satu sama lain. Selanjutnya metode luas momen cocok dipergunakan untuk menghitung lendutan disuatu titik pada balok. Besarnya lendutan vertikal δ 1 antara titik dan titik yang terletak pada garis singgung yang melalui titik 1 (lihat Gambar 6.8). Gambar 6.8. Kurva lendutan balok Dengan anggapan bahwa sudut dθ sangat kecil, maka besarnya dδ adalah: Selanjutnya lendutan δ 1, didapat dengan mengintegralkan Persamaan (6.13) tersebut, sehingga menjadi: M Ruas kanan tidak lain sama dengan momen statis luasan antara titik 1 dan El terhadap titik. Persamaan tersebut dapatjuga dituliskan sebagai berikut:

S 1 δ 1 = (6.15) El dengan, S 1- = momen statis luasan M yang dibatasi oleh titik 1 dan terhadap titik. 6.5. Beberapa Contoh Hitungan Lendutan Balok dengan Metode Luas Momen Lendutan ujung sebelah kanan: Gambar 6.9 Contoh 6.6 : Mencari θ dan δ pada balok diatas dua tumpuan dengan beban titik. a) Mencari θ a dan θ b :

Gambar 6.10. b : jarak dan resultan beban bidang M kepada titik B Agar didapatkan rumus yang Iangsung dalam P. a, b dan maka dapat diteruskan menjadi:

b) Mencari lendutan disembarang titik x yang berada disebelah kiri dan kanan beban. b. 1) Ditinjau pada potongan x disebelah kiri beban P:

Dengan cara yang sama dapat dicari lendutan balok di sebelah kanan beban titik P, yaitu : c) Dengan menggunakan rumus di atas, maka besarnya lendutan di bawah beban terpusat P adalah: d) Letak dan besarnya δ maks

Rumus berlaku jika 0 <x < b δ maks terjadi pada bagian yang panjang. Besarnya δ maks : Contoh 6.7 : Oleh karena δ maks terjadi pada jarak x 1, maka sering karena pertimbangan praktis δ maks dihitung pada x 1 δ 1 δ maz. Pada tabel di bawah diperlihatkan a (letak beban a dari tumpuan sebelah kiri) dan x (letak terjadinya lendutan maksimal). 1 A x = ( a ) 3 0,5 0,50 0,4 0,53 0,3 0,55 0, 0,56 0,1 0,575

Contoh 6.8 : Berapakah besarnya gambar di bawah: δ 1 δ max jika dinyatakan dalam µ, seperti 6.3. Asas Superposisi Dalam praktek, sering dijumpai pembebanan yang bennacam-macam. Karena dibatasi bahwa balok masih dalam kondisi elastik, maka berlaku asas superposisi. Sebagai contoh balok yang dibebani dengan beban merata q dan beban terpusat P seperti pada Gambar 6.1, maka untuk menghitung defleksi yang terjadi pada suatu titik dapat dipisahkan menjadi 3 kasus pembebanan. Gambar 6.1. Metode superposisi Secara umum dapat digunakan asas superposisi untuk menghitung defleksi balok di tengah bentang akibat beberapa beban, masing-masing berjarak u dan tengah bentang (lihat Contoh 6.8):

Gambar 6.13. Balok dengan beberapa beban terpusat Sedangkan rumus umum untuk mencari lendutan maksimumnya, jika balok dibebani terbagi merata adalah: Gambar 6.14. Balok dengan beban terbagi Merata δ 1 max δ = 6.4. Balok Non Prismatis Sering terjadi, balok dengan profil tertentu cukup kuat, namun lendutan yang terjadi melebihi lendutan maksimum yang disyaratkan. Untuk memperkecil lendutan dapat digunakan ukuran balok yang lebih besar, namun dapat berakibat harga menjadi Iebih mahal atau ukuran tersebut sulit didapat dipasaran. Untuk mengatasi hal ini dapat digunakan tambahan pada bagian tertentu saja (tidak pada seluruh bentang balok, misalnya hanya bagian tengah saja agar diperoleh penampang yang Iebih besar). Selain pertimbangan lendutan, pemilihan penampang dalam satu balok disesuaikan dengan momen lentur yang harus ditahan, misalnya digunakan balok tirus. Berikut akan digunakan metode luas momen untuk menghitung lendutan balok non prismatis.

Sebagai contoh balok dengan momen inersia bagian tengah kali dibandingkan dengan bagian tepi seperti diperlihatkan pada Gambar 6.15. Gambar 6.15. Balok dengan penampang non prismatis Dari Gambar 6.15.(c) didapatkan sudut kelengkungan dititik a: Lendutan balok pada titik C: f c = momen statis dan terhadap titik C

6.8. Rangkuman Ada beberapa kesimpulan penting yang dapat diambil dan bahasan mengenai defleksi elastik balok, yaitu: 1. Dalam suatu perencanaan balok, lendutan merupakan suatu batasan yang perlu diperhatikan. Sedangkan untuk mencari lendutan dapat digunakan beberapa metode antara lain: metode integrasi ganda, luas momen dan superposisi.. Untuk metode integrasi ganda, prsamaan kurva balok yang melendut didapat dengan cara mengintegralkan dua kali persamaan lentur murni, yaitu: y = M = El = memperhatikan kondisi-kondisi batas balok yang ditinjau. 3. Metode luas momen lebih cocok untuk menentukan lendutan pada suatu titik dengan beban sembarang, momen inersia penampang balok konstan atau bervariasi dengan cara menghitung besarnya momen statis luasan bidang momen yang dibatasi oleh titik-titik yang ditinjau terhadap titik yang dicari lendutannya. 4. Jika variasi dan jumlah beban cukup banyak, dapat digunakan prinsip superposisi, yaitu dengan menjumlahkan besaran lendutan pada titik yang ditinjau akibat beban-beban tersebut yang telah dihitung secara terpisah. 6.9. Soal-soal 1. Balok dengan ketentuan seperti pada gambar di bawah, hitungan lendutan yang terjadi pada titik C.

. Sebuah balok sederhana menerima beban terpusat seperti terlihat pada gambar di bawah. Penampang yang digunakan pada bagian tengah bentang dan perletakan seperti terlihat pada gambar tersebut. Jika tegangan lentur yang diizinkan adalah 10 MPa, berapakah beban P yang maksimum yang diijinkan. Berapakah lendutan yang terjadi pada titik C. 3. Balok kantilever yang dibebani merata, q = 15 kn/m seperti diperlihatkan pada gambar di bawah Ditanyakan: Lendutan maksimum balok tersebut (E beton,5. 10 4 MPa).