EVALUASI NILAI VARIANCE UNTUK MENGHITUNG KOMPONEN KETIDAKPASTIAN PENGUKURAN DIMENSI TIPE B DARI SUATU DISTRIBUSI RECTANGULAR DAN TRAPEZOIDAL Joko Riyono Teknik Mesin Fakultas Teknologi Industri Universitas Trisakti Email: jokoriyono@trisakti.ac.id Abstrak Segala sesuatu yang diciptakan oleh manusia di dunia ini tidak ada yang sempurna, demikian pula yang terjadi pada alat alat ukur. Akibat ketidaksempurnaan itu, hasil pengukuran yang dihasilkan dengan alat alat ukur tersebut belum tentu menunjukkan nilai yang sebenarnya. Ada perbedaan atau kesalahan diantara nilai yang terukur dengan nilai sebenarnya. Dengan memahami kenyataan ini, maka suatu hasil pengukuran harus mencantumkan suatu perkiraan yang menyatakan seberapa besar kesalahan yang mungkin terjadi, dalam batas-batas kemungkinan yang wajar. Nilai perkiraan ini sekaligus juga menunjukkan seberapa besar kualitas pengukuran. Semakin besar nilai perkiraan itu, berarti semakin jelek pula kualitas pengukurannya. Nilai perkiraan inilah yang disebut ketidakpastian pengukuran. Salah satu type komponen ketidakpastian pengukuran yaitu type B yang dievaluasi dengan cara mencari besaran yang dapat dicirikan atau dipertimbangkan sebagai variansi. Dalam paper ini penulis akan mencoba menghitung ketidakpastian pengukuran type B dibawah asumsi distribusi rectangular dan trapezoidal dengan mean nol. Kata kunci: Ketidakpastian Pengukuran type B, Distribusi Rectangular dan Trapezoidal Pendahuluan Tidaklah mungkin melakukan pengukuran dengan ketepatan dan ketelitian yang mutlak, maka juga tidak mungkin membuat suatu benda dengan ukuran yang tepat sama persis dengan spesifikasi yang diminta. Memahami kenyataan ini, para perancang teknik memberikan suatu batas toleransi dalam membuat rancangan benda produksi.batas toleransi adalah besarnya kesalahan yang paling besar yang diperkirakan atau dianggap tidak akan mengurangi mutu produk atau mengganggu fungsinya.artinya, jika terjadi kesalahan dalam proses produksi sehingga ukuran benda yang dibuat berbeda dengan ukuran dalam rancangan, diharapkan benda itu tetap dapat berfungsi asalkan kesalahannya lebih kecil dari toleransinya. Olehkarena itu suatu hasil pengukuran harus mencantumkan suatu perkiraan yang menyatakan seberapa besar kesalahan yang mungkin terjadi,dalam batas-batas kemungkinan yang wajar. Nilai perkiraan ini sekaligus juga menunjukkan seberapa besar kualitas pengukuran. Semakin kecil nilai perkiraan itu, berarti semakin baik pula kualitas pengukuranya. Alasan lain menghitung ketidakpastian pengukuran adalah agar dapat memperhitungkan pengaruh ketidakpastian pengukuran dalam suatu pengukuran terhadap pengukuran lain yang berkaitan dengan pengukuran tersebut, contohnya dalam kalibrasi. Sebuah kegiatan kalibrasi adalah suatu kegiatan pengukuran, yang bertujuan untuk menentukan kesalahan dalam penunjukan alat ukur. Karena alat ukur itu kemudian akan dipakai dalam melakukan pengukuran, maka ketidakpastian dalam kalibrasi akan berpengaruh pula terhadap ketidakpastian pengukuran yang menggunakan alat ukur tersebut. Bermacam-macam metode untuk menghitung ketidakpastian pengukuran telah dibuat oleh berbagai lembaga dan kalangan, namun yang digunakan sebagai acuan internasional adalah dokumen yang dikeluarkan oleh Organisasi standarisasi Internasional (ISO). ISO guide mendefinisikan dua jenis atau kategori komponen ketidakpastian pengukuran, tipe A dan tipe B yang dibedakan menurut metode evaluasinya. Tipe A dievaluasi dengan menggunakan metode statistik yang baku untuk menganalisis satu himpunan atau sejumlah himpunan pengukuran, dan mencakup jenis kesalahan yang disebut kesalahan kesalahan acak.kesalahan kesalahan ini dicirikan oleh taksiran variansi, nilai rata-rata dan derajat kebebasan. Proceedings Seminar Nasional Teknik Mesin Universitas Trisakti TM05-1
Tipe B dievaluasi dengan cara selain analisis statistik pada sejumlah pengamatan. Ketidakpastian ini mencakup kesalahan yang disebut kesalahan kesalahan sistematik. Dalam mengevaluasinya, perlu dicari besaran yang dapat diambil sebagai variansi (keberadaannya diasumsikan). Kesalahan-kesalahan ini dicirikan oleh taksiran variansi atau simpangan baku, nilai rata rata dan derajat kebebasan. Dalam tulisan ini penulis akan mencoba menurunkan rumus untuk menghitung ketidakpastian pengukuran tipe B dibawah asumsi distribusi rectangular dan trapezoidal dengan mean nol menggunakan evaluasi besaran variance. Metodologi Penelitian Dalam tulisan ini metodologi penelitian yang digunakan adalah studi literatur, penulis mencoba merangkum berberapa tulisan terkait dengan ketidak pastian pengukuran kemudian menganologikannya dalam model matematika. Studi Pustaka Fungsi f(x) adalah fungsi distribusi peluang (probability density function) dari suatu peubah acak X jika memenuhi: a.0 1 b. 1 Nilai Tengah atau Mean dari suatu variabel random kontinu X dengan fungsi distribusi peluang f(x) didefinisikan sebagai: sedangkan Variance dari suatu variabel random kontinu X dengan fungsi distribusi peluang f(x) didefinisikan sebagai: Dengan E(X n ) E(x 2 ) - (E(x)) 2 Adapun komponen-komponen dalam sistem yang mempengaruhi ketidakpastian dalam hasil pengukuran secara garis besar diantaranya adalah : a. Standar atau acuan adalah komponen sistem pengukuran yang menjadi acuan atau pembanding fisik proses pengukuran biasanya telah dikalibrasi atau diuji memiliki ketidakpastian sendiri, ketidakpastiannya dapat ditelusuri dari sertifikat kalibrasi. b. Besaran ukur adalah besaran tertentu berupa sebuah benda atau feature yang nilainya diukur.agar hasil pengukuran memberikan nilai yang murni maka besaran ukur harus terlebih dahulu dibersihkan dari debu,minyak dan bahan lain yang menutup feature yang akan diukur sebelum proses pengukuran dilakukan.besaran ukur sebagai sumber kesalahan yaitu ketidaksempurnaan besaran ukur. c. Alat ukur adalah komponen sistem pengukuran yang berfungsi sebagai sarana pembanding antara besaran ukur dan standar ukurnya agar nilai besaran ukur dapat ditentukan secara kuantitatif dalam satuan standarnya. Alat ukur sebagai sumber kesalahan yaitu kurang baiknya akurasi, kepekaan, kemampuan ulang, histerisis, linieritas dan drift. d. Operator adalah orang yang melakukan pengukuran baik secara keseluruhan maupun bagian demi bagian. Walaupun sebagai manusia operator mempunyai kelebihan dalam kemampuan Proceedings Seminar Nasional Teknik Mesin Universitas Trisakti TM05-2
mengamati, mengingat, menyimpulkan, mengevaluasi dan membuat keputusan, namun pada umumnya juga mempunyai kekurangan dalam konsistensi yang dapat mengakinatkan dirinya menjadi sumber kesalahan. e. Lingkungan. Proses pengukuran dapat dilakukan baik diruang terbuka, berpenaung ataupun dalam ruang yang terkondisikan dengan persyaratan yang disesuaikan dengan jenis pekerjaannya. Lingkungan sebagai sumber kesalahan yaitu keadaan lingkungan yang tidak memenuhi syarat misal suhu, kelembaban, tekanan udara, medan elektromagnet dan sebagainya. Hasil dan Pembahasan 1. Distribusi Trapezoidal 1.1.Jika X adalah variabel acak kontinu dengan fungsi distribusi probabilitas f(x) seperti gambar berikut: f(x) ( -b,1/a+b) (b,1/a+b ) x -a a Gambar 1.Kurva Fungsi distribusi probabilitas Trapezoidal f(x) <, <, 0 untuk yang lain. f(x) adalah fungsi probabilitas. Bukti :, Proceedings Seminar Nasional Teknik Mesin Universitas Trisakti TM05-3
a.f (x) 0,untuk semua xϵ R b. + + 1 Adapun nilai Mean atau E(X) adalah: E(X) 0 Dan nilai E(X 2 ) Sehingga diperoleh : Var(X) E(X 2 ) (E(X)) 2 + + + + Atau standart deviasi X 1.2. Jika X adalah variabel acak kontinu dengan fungsi distribusi probabilitas f(x) seperti gambar berikut: f(x) ( -b,1/a+b) (b,1/a+b ) x -a a Gambar 2.Kurva Fungsi distribusi probabilitas Trapezoidal. Proceedings Seminar Nasional Teknik Mesin Universitas Trisakti TM05-4
f(x) <, <, 0 untuk yang lain., f(x) adalah fungsi probabilitas. Bukti : a.f (x) 0,untuk semua xϵ R b. + + 1 Adapun nilai Mean atau E(X) adalah: E(X) + + 0 Dan nilai E(X 2 ) + + Sehingga diperoleh : Var(X) E(X 2 ) (E(X)) 2 Atau standart deviasi X 2. Distribusi Rectangular. Jika X adalah variabel acak kontinu dengan fungsi distribusi probabilitas f(x) seperti gambar berikut: Proceedings Seminar Nasional Teknik Mesin Universitas Trisakti TM05-5
f(x) ( -a,1/2a) (a,1/2a) x -a a Gambar 3.Kurva Fungsi distribusi probabilitas Rectangular. f(x) <, 0 untuk yang lain. f(x) adalah fungsi probabilitas. Bukti : a.f (x) 0,untuk semua xϵ R b. ( + ) 1 Adapun nilai Mean atau E(X) adalah: E(X) aik ( ) 0 Dan nilai E(X 2 ) Sehingga diperoleh : Var(X) E(X 2 ) (E(X)) 2 Atau standart deviasi X Proceedings Seminar Nasional Teknik Mesin Universitas Trisakti TM05-6
3. Model Matematis Pengukuran. Adalah persamaan yang menyatakan hubungan diantara input dalam hal ini adalah faktor-faktor yang mempengaruhi hasil pengukuran dan outputnya dalam hal ini adalah nilai pengukuran tersebut, Jadi,(nilai pengukuran)(penunjukkan alat ukur) + (koreksi alat ukur). Contoh :dalam pengukuran panjang suatu logam dengan jangka sorong,maka model matematisnya adalah: Panjang logam penunjukkan jangka sorong + koreksi jangka sorong. Penunjukan jangka sorong dan koreksi jangka sorong masing masing mempunyai ketidakpastian yaitu ketidakpastian akibat resolusi alat ukur yang terbatas dan ketidakpastian kalibrasi jangka sorong yang terakhir dapat dilihat dari sertifikat kalibrasi. 4. Ketidakpastian Baku. Adalah nilai yang menggambarkan besar rentang ketidakpastian dari setiap komponen ketidakpastian yang meliputi : Tipe A,dari pengukuran berulang (u 1 ). Tipe B,dari resolusi alat ukur (u 2 ) Tipe B,dari sertifikat kalibrasi alat ukur yang digunakan (u 3 ). Adapun ketidakpastian pengukuran secara keseluruhan di definisikan dengan: Berikut adalah contoh kasus sederhana perhitungan ketidakpastian pengukuran untuk kasus dimensi,sebuah batang baja akan diukur untuk menentukan apakah batang baja tersebut sesuai dengan spesifikasi yang diinginkan atau tidak.untuk memastikannya akan ditentukan dengan melihat ukuran diameternya.diameter batang diukur dengan mikrometer digital pada 20 tempat disepanjang batang,dan diperoleh hasil berikut (mm): 19,003 19,007 19,007 19,005 18,998 19,006 19,002 19,002 19,006 19,007 19,003 19,001 19,007 18,999 18,999 19,004 19,006 18,999 Deviasi Untuk Menghitung Komponen Ketidakpastian Pengukuran Dimensi Tipe Br 18,999 19,004 Diperoleh 19,003 dan S 0,003 Model pengukurannya (besaran ukur) adalah rata-rata diameter yang terukur,ditambah koreksi dari mikrometer. Komponen-komponen ketidakpastiannya: a. Tipe A,dari pengukuran berulang (u 1 ). Yaitu variasi pada diameter yang terukur merupakan ekspektasi tak bias dari sehingga u 1, 0,00067. b. Tipe B,dari resolusi alat ukur (u 2 ) Tabel 1 Nilai. x i - 0 0,004 0,004 0,002-0,005 0,003-0,001-0,001 0,003 0,004 0-0,002 0,004-0,004-0,004 0 0,003-0,004-0,004 0,001 Proceedings Seminar Nasional Teknik Mesin Universitas Trisakti TM05-7
Jika diasumsikan memiliki sebaran : Trapezoidal yang pertama maka U 2,, 0,0020477 Trapezoidal yang kedua maka U 2 (, ) (, )(, ) (, ) 1,277869.10-5 Rectangular maka U 2, 0,0028867 Kesimpulannya pengukuran : diameter batang adalah 19,003 mm. Dengan ketidakpastian pengukuran ± Kesimpulan Dari uraian tulisan diatas penulis dapat simpulkan beberapa hal ; Dengan pengasumsian nilai tengah atau mean sama dengan nol dan bentuk distribusi peluangnya maka kita dapat menurunkan besaran variance dan simpangan baku yang biasa digunakan dalam perhitungan ketidakpastian pengukuran dimensi khususnya Tipe B. Penentuan rumus yang digunakan perlu memperhatikan jenis distribusinya, untuk itu perlu pengecekan terlebih dahulu jenis distribusinya agar perhitungan tidak menyimpang. Daftar Pustaka A.Praba Drijarkara,2003.Analisis dan Ketidakpastian Pengukuran Dimensi,Pelatihan Khusus pada PPM-KIM Puspitek,Serpong-Tangerang.. Evans,M.et.al,200,Statistical Distributions,John Wiley,New York. Jimmy Pusaka dkk,2001,ketidakpastian Pengukuran dan Kemampuan Ukur Terbaik,Pelatihan oleh PT Mitra Mutu Mancanegara,Jakarta. Joko Riyono&Christina Eni P,2010,Standard Deviasi Untuk Menghitung Komponen Ketidakpastian Pengukuran Dimensi Tipe B,Seminar Nasional Teknik Mesin,Makasar. Montgomery,D.et.al,2001,Engineering Statistics,John Wiley,New York. Purcell.E.et.al,Calculus,Prentice-Hall,New Jersey. Proceedings Seminar Nasional Teknik Mesin Universitas Trisakti TM05-8