ild II Iwa Sungkawa' HUBUNGAN ANTARA UJI t DAN UJI F DALAM PENGUJIAN NILAI TENGAH I. Pendahuluan Dalam kehidupan sehari-hari kita selalu dihadapkan dengan berbagai persoalanjpermasalahan mulai dari yang sederhana sampai ke persoalan yang rumit atau komplek. Berbagai upaya dapat dilakukan untuk menyelesaikan persoalan tersebut dan kadangkala kita dihadapkan untuk membuat keputusan dalam memilih alternatif penyelesaian yang terbaik, sehingga untuk hal tersebut perlu dipikirkan cara atau metode terbaik dan cocok yang dapat dipilih untuk penyelesaian persoalan yang sedang dihadapi. Banyak cara atau metode yang dapat digunakan dalam pengambilan keputusan dan tergantung pada permasalahan yang dihadapi. Diantara cara tersebut, dalam statistik ada suatu alat atau metode yang biasa digunakan, yang dikenal dengan pengujian hipotesis dan dalam hal ini disebut pengujian hipotesis statistik. Dalam pengujian hipotesis, berbagai pernyataan tentang parameter dari suatu populasi dapat diuji. Parameter yang biasa diuji adalah rata-rata atau nilai tengah, proporsi, ragam atau variansi dan koefisien korelasi. Metode yang digunakan dalam pengujian hipotesis, diantaranya adalah Analisis ragam, dengan menggunakan sebaran F atau dikenal dengan uji-f. Analisis ragam diantaranya dapat digunakan untuk menguji kesamaan rata-rata atau nilai tengah dari beberapa kelompok atau populasi. Tetapi untuk pengujian kesamaan nilai tengah dua kelompok cukup digunakan sebaran t atau dikenal dengan uji-t. Dalam tulisan ini. Stat Bagian Perencanaan Sekretariat Badan Litbang Peltanian Informatika Pertanian Volume 9 (Desember 2000)
Hubungan antara Uji t dan Uji F 556 g(t) merupakan fungsi kepekatan peluang bagi sebaran t dengan derajat bebas n-l. Formulasi Untuk Sebaran F Fungsi kepekatan peluang bersama bagi peubah acak u dan v yang saling bebas dan masing-masing menyebar khikuadrat dengan derajat bebas rl dan r2, adalah :t 2. u+v 1 -I -1-- 9'(u, v) = ( 2J u 2 v 2 e 2 ;0 < u < ~dano < v < ~ " / " / '1 +'2 ) [(12 )[(12 )2 2 Jika ada peubah acak baru F =(U/rl)/(V/rl) maka fungsi kepekatan peluang bagi peubah tersebut dapat ditentukan melalui transpormasi peubah acak dengan mengambil suatu peubah baru yang lain z = v dan dengan menggunakan sifat determinan Jacobian seperti dalam formulasi sebarab t dapat diperoleh fungsi kepekatan peluang gabungan bagi F dan Z yaitu g(f,z). Dengan mencari fungsi kepekatan peluang marginal bagi F yang ditempuh dengan mengintegralkan g(f,z) terhadap z dalam batasan O<z<oo dapat diperoleh fungsi kepekatan peluang bagi peubah acak F yaitu r(~)(l)ry; ~-I g(/) = 2 r 2 12 ;0 < 1 < 00 ~ r 1 r, +r, r(i)r(-1-) (1 + L)~ 2 2 r 2 Dimana g(f) merupakan fungsi kepekatan peluang bagi sebaran F dengan derajat bebas rl dan r2. Hubungan Antara Peubah Acak T dan F Dari uraian di atas apabila kita perhatikan bentuk peubah baru T dan F maka untuk peubah T2=~ V /r
557 Informatika Pertanian dan dengan menggunakan ketentuan dalam formulasi sebaran F dapat diperoleh fungsi kepekatan peluang untuk T2 yang identik dengan fungsi kepekatan peluang bagi sebaran F dimana rl=l dan r2=r, karena W menyebar normal baku dan dengan sendirinya W2 menyebar khi-kuadrat dengan derajat bebas satu. Jadi berdasarkan ketentuan di atas didapat relasi atali hubungan antara sebaran t dan sebaran F dalam bentuk T2 = F, dan dalam hal ini T2 menyebar secara F dengan derajat bebas satu dan r, atau T2 tv Fl;r' III. Tinjauan secara empirik. Dalam pengujian kesamaan dua nilai tengah dengan hipotesis Ho: 1.11 = 1.12 dengan alternatif Hl : 1.11 =1.12 dapat digunakan sebaran t yang dikenal dengan uji t. dalam hal ini derajat bebas uji t dapat di bedakan untuk dua keadaan : a) untuk ukuran sampel dari kedua populasi sarna sebanyak n maka derajat bebasnya (n-l); b) untuk ukuran sempel yang tidak sarna maka derajat bebasnya (nl+n2-2). Statistik yang digunakan untuk menguji hipotesis di atas untuk ukuran sampel tidak sarna adalah (1I\+1I2-Z = z~ Xz - Xz 1.I) s -+g n. nz 2 2 2 (nl -1)sl + (n2-1)s2 Dimana S g = dan derajat bebasnya nl +n2-2. nl + n2-2 Sedangkan untuk ukuran sampel sarna dari kedua perlakuan atau populasi yaitu sebesar n, maka statistik yang digunakan adalah XI. - X2., 11-1 = 2) - - 2 n {x II - X 2.) - (x l - X 2 )} ~ _r.. 1=( (n - 1)
Hubungan antara Vii t dan Vii F 558 Bagian penyebut dari persamaan di atas merupakan ragam gabungan untuk kedua sam pel serta tn-l menyebar t dengan derajat bebas (n-1). Apabila hipotesis di atas diuji dengan menggunakan analisis ragam maka dengan sendirinya kita menggunakan sebesar F, dan statistik yang digunakan untuk keperluan ini adalah F. 1;(n-l) - Jumlah.Kuadrat Jumlah.Kuadrat.Perlakuan.Galat /( n -1) Untuk membandingkan dua perlakuan atau r=2 dan ukuran sam pel yang diamati sebanyak n, maka jumlah kuadrat perlakuan dan galat adalah sebagai berikut JK - Perlakuan = n(xi. - X2,)2 n - JK -Galat = L{(Xli-X2i)(Xl., i=1 -X2.)}2 dan bentuk statistiknya adalah F1;(n-l) = n(~1-x2)2 3) f {(Xli-X2i)(Xl.,-X2.)}2 1=1 (n -I) Jika kita bandingkan persamaan 2) dengan persamaan 3) maka terdapat hubungan antara uji-t dan uji-f, yaitu FI;(n-l) = t(n-l) 2 Hal ini menunjukan bahwa uji-t merupakan hal khusus dari uji-f dalam hal pengujian dua nilai tengah. Untuk memberikan gambaran yang lebih jelas, berikut ini diambil suatu contoh penggunaan uji-t dan uji-f serta bagaimana hubungan kedua uji tersebut. Data pengamatan untuk contoh ini diambil dari Steel and Torrie tentang pertambahan berat pada ternak domba, sebagai berikut Kelompok I 57,8 56,2 61,9 54,4 53,6 56,4 53,2 Kelompok II 64,2 58,7 63,1 62,5 59,8 59,2
559 Informatika Peltanian Bentuk hipotesis yang diuji dalam kasus ini adalah Ho : 1.1.1=1.1.2 dan alternatifnya H1: 1.1.1=1.1.2' Untuk menguji hipotesis di atas, berikut ini dilakukan dengan menggunakan uji-t dan uji-f. a) Jika uji-t digunakan untuk hal di atas, maka dengan perhitungan sederhana didapat nilai rata-rata untuk kelompok I dan kelompok II masing-masing adalah 56,21 dan 61,25 dan nilai ragamnya masing-masing adalah 9,015 dan 5,30 serta dengan menggunakan persamaan 2) diperoleh nilai t = 3,34 b) Jika digunakan analisis ragam dengan uji-f, maka dengan menggunakan persamaan jumlah kuadrat dapat diperoleh Jkperlakuan = 81,93 dan Jkgalat = 80,59 serta dengan menggunakan persamaan 3) diperoleh nilai F = 11,18 Dari hasil di atas, ternyata terdapat hubungan t2 = (3,34)2 = 11,16 = F. Jadi untuk hal di atas, dimana kita hanya membandingkan nilai tengah untuk dua kelompok atau dua populasi, maka jenis uji yang dipilih cukup uji-t dan tidak perlu menggunakan analisis ragam. IV. Penutup Pengujian kesamaan nilai tengah untuk beberapa perubahan atau kelompok/populasi dapat digunakan analisis ragam dengan sebaran F (uji-f), khusus untuk menguji kesamaan dua nilai dengan sebaran t (uji-t). Untuk hal ini terdapat hubungan antara sebaran t dan sebaran F dalam bentuk t2 = F. Dalam pengujian kesamaan nilai tengah dengan menggunakan uji-t dan uji-f, perlu diperhatikan tentang asumsi homogenitas ragam (variansi) agar kesyahihan dari pada pengujian dapat terjamin. Walaupun demikian dalam analisis ragam dapat diambil suatu teloransi dengan menggunakan sifat robust (ajeg) terdapat asumsi. ~ Daftar Pustaka 1. Guenther, William C, Analysis of Variance; Prentice Hall, Inc. Englewood Cliff. N, J, 1964.
Hubungan antara Uji t dan Uji F 560 2. Hogg Robert V. and Craig Allen T; Introduction to Mathematical Statistics, Macmillan Publishing Co Inc. New York 1978 3. Steel, R.G.D. and J.H. Torrie. Principles and Procedures of Statistic, New York Mc Graw-Hill Book Company, 1980. 4. Sudjana, Disain dan Analisis Eksperimen, Tarsito, Bandung 1980.,